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专题11 数字类规律探索
1．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n， m）表示第n排，从左到右第m个
数，如（4，2）表示9，则表示2021的有序数对是（ ）
A．（63，5） B．（63，59） C．（64，5） D．（64，60）
【答案】D
【分析】根据图中的数字，探究发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到
2021在第多少排，然后即可写出表示2021的有序数对，本题得以解决．
【详解】解：由图可知，
第一排1个数，
第二排2个数，数字从大到小排列，
第三排3个数，数字从小到大排列，
第四排4个数，数字从大到小排列，
…，
则前n排的数字共有 个数，
∵当n=64时， =2080，
∴第64排第1个数为2080，此排数字从2080由大到小排列，
∵2080-2021+1=60，
∴表示2021的有序数对是（64，60），
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，探究发现数字的变化特点，写出
表示2021的有序数对．
2．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字
之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯
齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a＝1，a＝2．a＝3，a＝3，a＝6，a＝4，a＝
1 2 3 4 5 6 710，a＝5…，则a +a 的值为（ ）
8 99 100
A．1326 B．1327
C．1328 D．1329
【答案】A
【分析】将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算．
【详解】解：将所给数列分为两个新数列，
第1个数列由a＝1，a＝3，a＝6，a＝10……组成，
1 3 5 7
∵a=1，a=3=1+2，a=6=1+2+3，a=10=1+2+3+4，
1 3 5 7
∴a 是新数列第50项，a =1+2+3+…+50=1275；
99 99
第2个数列由a=2，a=3，a=4，a=5……组成，
2 4 6 8
∵a=2，a=3，a=4，a=5，
2 4 6 8
∴a 是新数列第50项，a =51，
100 100
∴a +a =1275+51=1326，
99 100
故选A．
【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的
关键．
3．a不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数．如：2的差倒数是 ， 的差倒数是
．已知 ， 是 的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依此类推，
则 （ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2022除以3，根据余数的情况确定出与a 相同的数即可得解．
2022
【详解】∵
∴a= ，
2
a= ，
3
a= ，
4
…
∴每3个数为一周期循环，
∵2022÷3=674，
∴a =a=4，
2022 3
故选：C．
【点睛】此题考查了数字的变化类，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现
其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
4．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，
33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位
数字是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】D
【分析】通过观察发现： 的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以根据 ，得出
的个位数字与 的个位数字相同；以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的．
即可知 的个位数字，从而得到221+311的末位数字．
【详解】解：由题意可知， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
即末位数字是每4个算式是一个周期，
末位分别为2，4，8，6，
，
的末位数字与 的末位数字相同，为2；
由题意可知， ， ， ， ， ， ，以3为底的幂的末位数字是3，9，7，1依次循环的，
，
所以 的个位数字是7，
所以 的个位数字是9，
故选：D．
【点睛】本题考查的是尾数特征，规律型：数字的变化类，根据题意找出数字循环的规律是解答
此题的关键．
5．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3
个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数．
【详解】从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是 ，第9行
的第一个数是 ，第10行的第一个数是 ；
再按照上面的规律，可得：
第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即： ，
第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即： ，
第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即： ，第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即： ，
第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即： ，
则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即： ．
故选：C．
【点睛】本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律．
6．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，…实际生活中及现代物理与化学等领域也有着广泛的应用，若
斐波那契数列中的第n个数记为 ，则 与斐波那契数列中的第
________个数相同．
【答案】2022
【分析】由于斐波那契数列中的前两个数均为1，故数列 中的1可记作
a2，这样 ， ，…，依次化简，结论可得．
【详解】解：∵斐波那契数列中 ，
∴1= ，
∴
……
故答案为：2022.
【点睛】本题主要考查了数字变化的规律，数学常识，准确找出数字变化的规律是解题的关键．7．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单
位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度
至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推，则点E在数轴上所表示的
数为_____，这样第_____次移动到的点到原点的距离为2020．
【答案】 7 1346
【分析】根据前几次移动得出的数据，得到移动次数为奇数和偶数时的规律，即可求解．
【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3＝﹣2；
第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4；
第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5；
第4次从点B向右移动12个单位长度至点E，则E表示的数为﹣5+12＝7；
…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣ （3n+1），
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足： ，
当移动次数为奇数时，﹣ （3n+1）＝﹣2020，n＝ （舍去），
当移动次数为偶数时， ＝2020，n＝1346．
故答案为：7，1346．
【点睛】本题考查与数字相关的规律问题，根据前几次的数据得出规律的代数式是解题的关键．
8．观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第n个数记为 ，且满足
．则 ________， ________．
【答案】
【分析】由题意推导可得an= ，即可求解．
【详解】解：由题意可得：a=2= ，a= ，a= ，
1 2 3∵ ，
∴2+ =7，
∴a= ，
4
∵ ，
∴a= ，
5
同理可求a= ，
6
∴an= ，
∴a = ，
2022
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了数字的变化类，找出数字的变化规律是解题的关键．
9．把正偶数从小到大按如下规律排列：
第一组：2，4；
第二组：6，8，10，12
第三组：14，16，18，20，22，24
第四组：26，28，30，32，34，36，38，40
……
现用 An=（i，j）表示正偶数 n 是第i组第j 个数（从左到右数），如 A =（2，3），
10
A =（3，4），若 A =（a，b），则 a= ________．b= ________．
20 2022
【答案】 32 19
【分析】由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为 2×2×(1+2+3
+n)=2n(n+1) ，计算n=31时即第31组最后一个偶数为1984，继而得到答案． ⋯
【详解】由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为 2×2×(1+2+3
+n)=2n(n+1) ， ⋯
∵第31组最后一个偶数为 2×31×32=1984 ，而 ，
∴ ，故填：32，19．
【点睛】此题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含n的代数式表示
规律由此解决问题是解题的关键．
10．已知整数a，a，a，a…满足下列条件：a=0，a=-|a+1|，a=-|a+2|，a=-|a+3|…依次类推，
1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3
则a 的值为_____________．
2020
【答案】
【分析】先求出前6个值，从而得出 ，据此可得答案．
【详解】解：由题意得：a=0，
1
a=-|a+1|=-1，
2 1
a=-|a+2|=-1，
3 2
a=-|a+3|=-2，
4 3
a=-|a+4|=-2，
5 4
a=-|a+5|=-3，
6 5
…，
所以a 的值为-1010．
2020
故答案为：-1010．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是计算出前几个数值，从而得出
的规律．
三、解答题(共0分)
11．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
(1)在A处的数是正数还是负数？
(2)负数排在A、B、C、D中的什么位置？
(3)第2023个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？
【答案】(1)正数(2)B和D的位置
(3)负数，D的位置．
【分析】（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；
（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；
（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据余数的情况确定所对应的位置即可．
（1）
A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；
（2）
观察发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数，
所以，B和D的位置是负数；
（3）
∵2023÷4=505......3，
∴第2023个数排在D的位置，是负数．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对
应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．
12．观察：下列算式：
①32－4×12＝5，
②52－4×22＝9，
③72－4×32＝13，…
尝试：请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；
发现：请你把这个规律用含字母的式子表示出来；
应用：计算40412－4×20202= ．
【答案】尝试：第④个算式： ，第⑤个算式: ；发现：
；应用：8081
【分析】尝试：根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；
发现：将发现的规律，由特殊到一般，用含字母的式子表示出来，得出结论；
应用：根据规律进行计算即可求解．
【详解】解：尝试：第④个算式： ，
第⑤个算式: ，发现： ，
应用：40412－4×20202
=
，
故答案为：8081．
【点睛】本题考查了数字类规律题，找到规律是解题的关键．
13．观察下列式子中的运算规律：
……
(1)观察规律，写出第11个等式；
(2)设 表示自然数，请根据这个规律把第 个等式表示出来，并利用所学知识来验证这个等
式成立．
【答案】(1)113×117＝11×12×100＋21
(2)（10n＋3）（10n＋7）＝n（n＋1）×100＋21；验证见解析
【分析】（1）根据已知条件得出用含n的式子表示运算规律，再写出第11个等式即可；
（2）由（1）得出（10n＋3）（10n＋7）＝100n（n＋1）＋21；把式子左右两边进行运算对比即
可．
（1）
解：∵13×17＝1×2×100＋21＝1×（1＋1）×100＋21；
23×27＝2×3×100＋21＝2×（2＋1）×100＋21；
33×37＝3×4×100＋21＝3×（3＋1）×100＋21；
…
∴第n个式子为：（10n＋3）（10n＋7）＝n（n＋1）×100＋21，
∴第11个等式为：（10×11＋3）×（10×11＋7）＝11×（11＋1）×100＋21，
即113×117＝11×12×100＋21．
（2）
根据解析（1）可知，用含n的式子表示运算规律的式子为：
（10n＋3）（10n＋7）＝n（n＋1）×100＋21，∵（10n＋3）（10n＋7）
＝100n2＋70n＋30n＋21
＝100n2＋100n＋21，
n（n＋1）×100＋21＝100n2＋100n＋21，
∴左边＝右边，
故原等式成立．
【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是根据所给的等
式得出规律．
14．观察下列等式的规律，解答下列问题：
；
；
；
；
(1)第5个等式为 ，第n个等式为 （用含n的式子表示，n为正整
数）；
(2)设 ， ， ，……， ，求
的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题意，找出规律即可作答；
（2）将 分别表示出来即可进行计算．
（1）根据题意得， 、 ，故答案为： ， ；
（2）．
【点睛】本题主要考查了找出式子的变化规律，仔细读题找出其中的规律是解题的关键．
15．正整数按照如图规律排列，请问
①18这个数排在第 排，第 个位置，100 这个数排在第 排，第 个位置．
②7这个数在第4排第1个，可以记作（4,1），则50这个数可以记作（ ）,那么一个数可以记
作（10,3）,则这个数为 ．
③请问第n排的最后一个数字是 ，第n排的第二个数字是 （请用含n的
式子表示）.
【答案】①6,3,14,9; ②（10,5），48; ③ ， .
【详解】试题分析：①由表可知，第6排第1个数是16，故第3个数是18；由第13行的最后一个
为91，故100在第14行，第14行第1个数是92.所以100是第9个数；
②根据1+2+3+…+n= 知，第n-1排最后一个数是 ，第n排最后一个数是 .易知
第9排最后一个数是45，第10排的第一个数是46，故50这个数可记作（10，5），则（10，3）
表示的数是48；
③先计算出第n行前面共有 个数，然后得到第n行的第二个数字和最后一个数字.
试题解析：① 6，3，14，9；
②（10，5），48
③∵第n行前面共有1+2+3+ +n-1= ，
⋯
∴第n行的最后一个数字为 +1+n-1= ，第n行的第二个数字为： +2= .
16．如图，在数轴上，点A向右移动1个单位到点B，点B向右移动 （n为正整数）个单位
得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．(1)当 时，A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．
①数轴上原点的位置可能在（ ）
A．在点A左侧或在A、B两点之间
B．在点C右侧或在A、B两点之间
C．在点A左侧或在B、C两点之间
D．在点C右侧或在B、C两点之间
②若a、b、c中两个数的和等于第三个数，求a的值．
(2)将点C向右移动 个单位得到点D，点D表示有理数d，若a、b、c、d四个数的积为正数，
且这四个数的和与其中的两个数的和相等，a为整数．若n分别取1，2，3，…，80时，对应的a
的值分别为 ， ， ，…， ，求 的值．
【答案】(1)①B；②
(2)-1720
【分析】（1）①把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，再根据a、b、c三个数的乘积为正数即可选
择出答案；②分三种情形构建方程即可解决问题．
（2）依据题意得，b=a+1，c=b+n+1=a+n+2，d=c+n+2=a+2n+4．根据a、b、c、d四个数的积为正
数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，即可得出用含n的式子表示a，由a为整数，分两
种情况讨论：当n为奇数时；当n为偶数时，得出a=-2，a=-2，a=-3，a=-3，…， ，
1 2 3 4
，从而得出 ．
（1）
①B
把n=1代入即可得出AB=1，BC=2，
∵a、b、c三个数的乘积为负数，
∴从而可得出在在点C右侧或在A、B两点之间；选B．
② ，
当 时， （不满足三个数积为负，舍去）
当 时， （不满足三个数积为负，舍去）当 时，
综上， ．
（2）
依据题意得， ， ，
∵a、b、c、d四个数的积为正数，且这四个数的和与其中的两个数的和相等，
∴a、b为负，c、d为正．（排除四个数同正或同负情况）
∴ 或 ．【排除 ， ， （ 变分数）， （c变原点）
四种情况】
∴ 或 ；
∵a为整数，n为正整数，
∴当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ．
∴ ， ， ， ，…， ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互
相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学
思想．
17．为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画
出的一些备选图案如图所示．
[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．
(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；
(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．
【答案】(1)16，20； ，4n＋4
(2)存在，见解析【分析】（1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图4白砖和灰砖的数量，
通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量；
（2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少1的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程有解
证明假设成立．
（1）图3的灰砖数量应为1+2+3+2+1=9图3的白砖数量为12+4=16图4的灰砖数量应为
1+2+3+4+3+2+1=16图4的白砖应比图3上下各多一行得图4白砖的数量为：16+4=20图1灰砖的
数量为1图2灰砖的数量为4图3灰砖的数量为9图4灰砖的数量为16得图 灰砖的数量为 图1
白砖的数量为8= 图2白砖的数量为12= 图3白砖的数量为16= 图4白砖的数
量为20= 得图 白砖的数量为 故答案为：16，20； ，4n＋4．
（2）假设存在，设图n白砖数恰好比灰砖数少1∴白砖数量为 ，灰砖数量为 ∴ =
∴ ∴ ∴ ，或 （舍去）故当 时，白砖的数量为
24，灰砖的数量为25，白砖比灰砖少1故答案为：存在．
【点睛】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法
和一元二次方程的性质．
18．将连续的偶数按下表方式排列，用正方形任意圈出四个数，如图，若圈出的四个数中，第一
行第一列上的数表示为a其余各数分别用b，c、d表示：
(1)观察与发现：分别用含a的代数式表示b、c、d三个数：b＝______；c＝_____；d＝______；
(2)归纳与总结：求这四个数的和（用含a的代数式表示，并化简）；
(3)这四个数的和会等于112吗？如果会，请求出a值，如果不能，请说明理由；（列方程解答）
【答案】(1) ； ；
(2) ；
(3)会， ．
【分析】（1）随机用正方形圈四个数，观察其规律即可发现a、b、c、d的关系；（2）利用（1）中结论可知：将这四个数相加即可；
（3）假设会，则利用 求出a的值，a应为偶数．
(1)
解：通过观察可以发现 ， ， ，
(2)
解：利用（1）中结论可知： ；
(3)
解：假设会，
则当 时， ， ，
∵22是偶数，
∴和会等于112．
【点睛】本题考查用代数式表示数的规律，数字规律探索，解该类题型的关键是要发现其中的规
律，之后的题就会迎刃而解．
