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专题12 将军饮马与勾股定理
【例题讲解】
请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP＋BP的
值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，则 与直线l的交
点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设 与直线l的交点为C，过点B作 ，垂足为D，若CP＝
1，PD＝2，AC＝1，写出AP＋BP的值；
(2)将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“ ”，其它条件不变，写出此时AP＋BP的
值；
(3)请结合图形，求出 的最小值．
(1)解：如图2，
∵AA′⊥l，AC＝1，PC＝1，
∴△APC为等腰直角三角形，
∴PA＝ ，∠APO=45°，
∵作点A关于直线l的对称点 ，
∴PA′＝PA＝ ，∠A′PC=∠APC=45°，∵ ，
∴∠B=90°-∠BPD=90°-45°=45°，∴∠BPD=∠B，∴PD=BD=2，
∴BP= ，∴AP+PB＝ +2 ＝3 ；
(2)解：作A′E∥l，交BD的延长线于E，如图3，
∵A′C⊥l，BD⊥l，
∴∠A′CD=∠EDC=90°，
∵A′E∥l，∴A′C⊥A′E，∴∠CA′E=90°，
∴∠A′CD=∠EDC=∠CA′E=90°，，
∴四边形A′EDC是矩形，
∴A′E＝DC＝PC+PD＝3，DE＝A′C＝AC，
∵BD＝4﹣AC，∴BD+AC＝BD+DE＝4，即BE＝4，在RT A′BE中，A′B＝ ＝5，
△
∴AP+BP＝5，
(3)解：如图3，设AC＝2m﹣2，PC＝1，则PA＝ ；设BD＝8﹣2m，PD＝2，则PB＝
，∵DE＝A′C＝AC=2m﹣2，
∴BE＝BD+DE＝2m-2+8-2m=6，A′E＝CD＝PC+PD＝3，
∴PA+PB＝A′B＝ ＝ ．
即 的最小值为 ．
【综合解答】
1．如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米的无盖长方体纸盒放在桌面上，一只昆虫从顶点
要爬到顶点 ，那么这只昆虫爬行的最短路程为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
2．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果
要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）A．25 B．5 C． D．5
3．如图，点 ， 分别为 轴、 轴上的动点， ，点 是 的中点，点 ， ，
过 作 轴．点 为直线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B．9 C． D．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到
△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为________．
5．已知△ABC的面积等于3，AB=3，则AC+BC的最小值等于___________．
6．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，
将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是
________________．
7．如图，在边长为 的正方形 中，点 、 分别是边 、 上的动点．且 ，连
接 、 ，则 的最小值为___．8．如图， 为线段 上一动点，分别过 ， 作 ， ，连接 ， ，已知
， ， ，设 ．请用含 的代数式表示 的长为_________，根据
上述方法，求出 的最小值为_____．
9．如图，在 中， 是 边上的高，垂足为 ，已知 上方有一动
点 ，且点 到 两点的距离相等，则 的周长最小值为_________________．
10．如图， ， 、 分别在 、 上，且 ， ，点 、 分别在 、
上，则 的最小值是______．
11．如图，动点M在边长为4的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为_______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=1，MC=3，动点P在
AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是________．
13．如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD、
BE．(如图①)，点O为其交点．如图②，若P、N分别为BE、BC上的动点．如图③，若点Q在线
段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值=_______．
三、解答题(共0分)14．如图，在平面直角坐标系中，点 在y轴正半轴上，点 在x轴正半轴上，
且 ． ．
(1)求AB；
(2)在y轴上是否存在一点P，使得 最小？若存在，请求出 的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐
标．
15．请阅读下列材料：问题：如图1，点A、B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP＋
BP的值最小．小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点 ，连接 ，则 与直线l
的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
(1)如图3，在图2的基础上，设 与直线l的交点为C，过点B作 ，垂足为D，若CP＝
1，PD＝2，AC＝1，写出AP＋BP的值；
(2)将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“ ”，其它条件不变，写出此时AP＋BP的
值；
(3)请结合图形，求出 的最小值．
16．问题背景：在 中，已知 ， ， 三边长为 ， ， ，求这个三角形的面
积．小辉在答题时先建立一个正方形网格（每个小正方形边长为1），再在网格中画出格点 （即
三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求 的高，而借用网格就能计
算出它的面积．我们把上述求 面积的方法叫做构图法．
(1)若 三边的长分别为 ， ， （ ），请运用构图法求出 的面积；
(2)若 三边的长分别为 ， ， （ ， ，且 ），
试运用构图法求出 的面积；
(3)已知 ， 都是正数， ，求 的最小值．
