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专题 15.3 分式方程的应用
【典例1】某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购
买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过
330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
【思路点拨】
（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，由题意：用50元购买甲笔记本的数量与用
30元购买乙笔记本的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，由题意：甲笔记本的数量不少于乙笔记本
的数量，且总金额不超过330元，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤22.5，则m的整数值为20或21或
22，得共有3种进货方案，再分别求出费用，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，
50 30
由题意，得： = ，
x x−4
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x﹣4＝6，
答：甲笔记本的单价为10元，乙笔记本单价6元；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，
{10m+6(40−m)≤330
由题意得： ，
m≥40−m
解得：20≤m≤22.5，
∵m为正整数，
∴m的整数值为20或21或22，
∴共有3种进货方案，方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，费用为：20×10+20×6＝320（元）；
方案②：购进甲种笔记本21本，购进乙种笔记本19本，费用为：21×10+19×6＝324（元）；
方案③：购进甲种笔记本22本，购进乙种笔记本18本，费用为：22×10+18×6＝328（元）；
∵320＜324＜328，
∴方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，最省钱．
1．（2021秋•望城区期末）一项工程要在限期内完成，如果第一组单独做，恰好按规定日期完成，如果第
二组单独做，超过规定日期6天才能完成，如果两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，正好在规定
日期内完成，问规定日期是多少天？
【思路点拨】
设规定日期是x天，则第一组单独完成需用x天，第二组单独完成需用（x+6）天，利用第一组完成的工程
量+第二组完成的工程量＝总工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解题过程】
解：设规定日期是x天，则第一组单独完成需用x天，第二组单独完成需用（x+6）天，
3 x
依题意得： + =1，
x x+6
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意．
答：规定日期是6天．
2．（2021秋•金川区校级期末）某项工程，需要在规定的时间内完成．若由甲队去做，恰能如期完成；若
由乙队去做，需要超过规定日期三天．现在由甲乙两队共同做 2天后，余下的工程由乙队独自去做，恰好
在规定的日期内完成，求规定的日期是多少天？
【思路点拨】
设规定的日期为x天，则乙队需要（x+3）天完成，由题意：现在由甲乙两队共同做2天后，余下的工程由
乙队独自去做，恰好在规定的日期内完成，列出分式方程，解方程即可．
【解题过程】
解：设规定的日期为x天，则乙队需要（x+3）天完成，
1 1 1
根据题意得：2×（ + ）+（x﹣2）× =1，
x x+3 x+3
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，答：规定的日期为了6天．
3．（2022•朝阳区校级一模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生
产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿
意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计
1
划多 ，结果提前4天完成任务．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
3
【思路点拨】
提出问题：原计划每天加工多少个冰墩墩外套？
1
设原计划每天加工x个冰墩墩外套，则实际每天加工（1+ ）x个冰墩墩外套，利用工作时间＝工作总量÷
3
工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结
论．
【解题过程】
求：原计划每天加工多少个冰墩墩外套？
1
解：设原计划每天加工x个冰墩墩外套，则实际每天加工（1+ ）x个冰墩墩外套，
3
14400 14400
− =
依题意得： x 1 4，
(1+ )x
3
解得：x＝900，
经检验，x＝900是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天加工900个冰墩墩外套．
4．（2021秋•公安县期末）为加快乡村振兴步伐，不断改善农民生产生活条件，某乡镇计划修建一条长18
千米的乡村公路，拟由甲、乙两个工程队联合完成．已知甲工程队每天比乙工程队每天少修路 0.3千米，
甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？
（2）已知甲工程队每天的修路费用为9万元，乙工程队每天的修路费用为12万元，若先由甲工程队单独
修路若干天，再由甲、乙两个工程队联合修路，恰好15天完成修路任务，则共需修路费用多少万元？
【思路点拨】
（1）设甲工程队每天修路x千米，则乙工程队每天修路（x+0.3）千米，利用工作时间＝工作总量÷工作效
率，结合甲工程队单独完成修路任务所需天数是乙工程队单独完成修路任务所需天数的 1.5倍，即可得出
关于x的分式方程，解之经检验后即可求出甲工程队每天修路长度，再将其代入（x+0.3）中可求出乙工程队每天修路长度；
（2）设先由甲工程队单独修路m天，则乙工程队修路（15﹣m）天，利用工作总量＝工作效率×工作时间，
即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用修路所需总费用＝甲工程队每天修路费用
×甲工程队修路时间+乙工程队每天修路费用×乙工程队修路时间，即可求出结论．
【解题过程】
解：（1）设甲工程队每天修路x千米，则乙工程队每天修路（x+0.3）千米，
18 18
依题意得： =1.5× ，
x x+0.3
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.6+0.3＝0.9．
答：甲工程队每天修路0.6千米，乙工程队每天修路0.9千米．
（2）设先由甲工程队单独修路m天，则乙工程队修路（15﹣m）天，
依题意得：0.6×15+0.9（15﹣m）＝18，
解得：m＝5，
∴9×15+12（15﹣m）＝9×15+12×（15﹣5）＝255．
答：共需修路费用255万元．
5．（2021秋•攸县期末）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的 2倍，如果两队
各自修建公路600米，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）现在需要修建一段长4800米的公路，因工程需要，需由甲、乙两支工程队施工完成．若甲队每天所
需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过45万元的情况下，至少安排乙队施
工多少天？
【思路点拨】
（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两队
各自修建公路600m时甲队比乙队少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
1
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工（40− m）天，根据总费用不超过45万元，即可得
2
出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路2x米，600 600
依题意，得： − =5，
x 2x
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝120．
答：甲工程队每天修路120米，乙工程队每天修路60米．
4800−60m 1
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工 =（40− m）天，
120 2
1 1
依题意，得： m+1.2（40− m）≤45，
2 2
解得：m≥30．
答：至少安排乙工程队施工30天．
6．（2020秋•天河区期末）某校组织八年级学生外出去博物馆参观，一部分学生步行，一部分学生骑车．
2
已知骑车的路程是12km．而步行路程是骑车路程的 ．若骑车的速度是步行学生速度的2倍，且骑车时间
3
比步行所需时间少用20分钟，求骑车的平均速度．
【思路点拨】
设步行学生的速度是x千米/小时，则骑车的平均速度是2x千米/小时，由题意列出分式方程，解方程进而
得出结论．
【解题过程】
2
解：设步行学生的速度是x千米/小时，则骑车的平均速度是2x千米/小时，12× =8，
3
8 12 20
依题意得： − = ，
x 2x 60
解得：x＝6，
经检验：x＝6是所列方程的解，且符合题意，
则2x＝12，
答：骑车学生的平均速度是12千米/小时．
7．（2021秋•蓬安县期中）我国铁路实现了多次大提速，这给旅客的出行带来了极大的方便．京沪铁路全
7
长约1500千米，第六次提速后列车运行全程所用的时间比第五次提速后列车运行全程所用的时间少用 1
8
小时．已知第六次提速后的平均速度比第五次提速后的平均速度快 40千米/小时，请问第六次提速后的平均速度是多少？
【思路点拨】
设第五次提速后的平均速度是x公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x+40）公里/时．根据关键描述语
7
是特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用1 小时列方程即可得到答案．
8
【解题过程】
解：设第五次提速后的平均速度是x公里/时，则第六次提速后的平均速度是（x+40）公里/时．
1500 1500 7
根据题意，得： − =1 ，
x x+40 8
解之得：x＝160，
经检验，x＝160是原方程的解．
则x+40＝200．
答：第六次提速后的平均时速为200公里/时．
8．（2021•安徽模拟）中秋节期间，小明计划外出游玩，他有两种出行线路：线路一是自己开车；线路二
是先坐高铁再骑行；其中线路二的路程是线路一的2倍，且乘坐高铁部分路程占线路二全程的95%，剩余
路程为骑行路程．已知高铁平均速度是开车平均速度的5倍，若最终两种出行方式所花费时间一致，则开
车速度是骑行速度的多少倍？
【思路点拨】
设线路一的路程为s，开车的平均速度为v，骑行的速度为x，则线路二的路程为2s，利用时间＝路程÷速
度，结合两种出行方式所花费时间一致，即可得出关于 x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再
5
利于v÷ v即可求出结论．
31
【解题过程】
解：设线路一的路程为s，开车的平均速度为v，骑行的速度为x，则线路二的路程为2s，
s 2s×95% 2s×(1−95%)
依题意得： = + ，
v 5v x
5
解得：x= v，
31
5
经检验，x= v是原方程的解，且符合题意，
31
5 31
∴v÷ v= ．
31 531
答：开车速度是骑行速度的 倍．
5
9．（2021秋•荔湾区期末）列方程解应用题：小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡
上显示1天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程为140公里，比广州到湛江的路程少
280公里，小明爸爸驾车从广州到深圳的平均车速和广州到湛江的平均车速比为 7：6，从广州到湛江的时
间比从广州到深圳的时间多5小时．
（1）求广州到深圳的平均车速；
（2）从广州到湛江时，若小明的爸爸至少要提前2小时到达，则平均车速应满足什么条件？
【思路点拨】
（1）设广州到深圳的平均车速为7x 千米/时，则广州到湛江的平均车速为6x 千米/时，根据从广州到湛江
的时间比从广州到深圳的时间多5小时列出方程，求解即可；
（2）首先求出计划从广州到湛江的时间为7小时，再设若小明的爸爸至少要提前2小时到达，平均车速为
y千米/时，根据题意列出不等式，求解即可．
【解题过程】
解：（1）设广州到深圳的平均车速为7x 千米/时，则广州到湛江的平均车速为6x 千米/时，
140+280 140
根据题意得 − =5，
6x 7x
解得：x＝10．
经检验，x＝10是原方程的解．
则7x＝70．
答：广州到深圳的平均车速为70千米/时；
140+280
（2）计划从广州到湛江的时间为： =7（小时），
60
∵小明的爸爸至少要提前2小时到达，
∴从广州到湛江的时间≤5小时．
设广州到湛江的平均车速为y千米/时，
根据题意得5y≥140+280，
解得y≥84．
答：若小明的爸爸至少要提前2小时到达，则平均车速应大于或等于84千米/时．
10．（2020秋•仓山区校级期末）某段铁路全长2400千米，经过铁路技术改造，列车实现第一次提速，已
知提速后比提速前速度增加了20%，行驶全程所需时间减少了4小时．
（1）求列车提速前的速度；（2）现将铁路全长延伸至3000千米，且要继续缩短行驶全程所需的时间，则列车需再次提速，设提速百
分比为m，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不应超过180千米/每小时，求m的取值范围．
【思路点拨】
（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为（1+20%）x千米/小时，利用时间＝路程÷速
度，结合提速后行驶全程所需时间减少了4小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结
论；
（2）根据第一次提速后的速度与提速前速度之间的关系，可求出提速后的速度，利用时间＝路程÷速度，
可求出第一次提速后行驶全程所需时间，再根据“再次提速后要继续缩短行驶全程所需的时间，且速度不
应超过180千米/每小时”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解题过程】
解：（1）设列车提速前的速度为x千米/小时，则提速后的速度为（1+20%）x千米/小时，
2400 2400
依题意得： − =4，
x (1+20%)x
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．
答：列车提速前的速度为100千米/小时．
（2）第一次提速后的速度为100×（1+20%）＝120（千米/小时），
第一次提速后行驶全程所需时间为2400÷120＝20（小时）．
依题意得：{ 120(1+m)≤180 ，
120(1+m)×20＞3000
解得：0.25＜m≤0.5，
∴25%＜m≤50%．
答：m的取值范围为25%＜m≤50%．
11．（2022春•南关区校级月考）自2020年新型冠状病毒疫情发生以来，物资运输压力剧增，无人接触配
送需求爆发，国产无人机大量进入快递行业．现有甲、乙两种型号的无人机都被用来运送快件，甲型机比
乙型机平均每小时多运送20件快件，甲型机运送1000件所用时间与乙型机运送800件所用时间相等，两
种无人机平均每小时分别运送多少件快件？
【思路点拨】
设乙型无人机平均每小时运送x件快件，则甲型无人机平均每小时运送（x+20）件快件，根据甲型机运送
1000件所用时间与乙型机运送800件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出乙型无人机平均每小时运送快件数量，再将其代入（x+20）中即可求出甲型无人机平均每小时运送快件的
数量．
【解题过程】
解：设乙型无人机平均每小时运送x件快件，则甲型无人机平均每小时运送（x+20）件快件，
1000 800
依题意得： = ，
x+20 x
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100．
答：甲型无人机平均每小时运送100件快件，乙型无人机平均每小时运送80件快件．
12．（2021春•秦都区月考）我市水产养殖专业户王大爷承包了一个水塘，用于养殖甲鱼和桂鱼，已知甲
鱼每条的进价比桂鱼多10元，且用300元购进甲鱼的数量与用200元购进桂鱼的数量相等．
（1）求甲鱼和桂鱼每条的进价分别是多少元？
（2）经过市场调查可知，王大爷养殖甲鱼共需要饲料12500kg，养殖桂鱼共需要饲料3500kg，为了节约运
输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的 2倍．结果运输养殖所需要全
部饲料的实际次数比原计划减少了2次，求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少kg？
【思路点拨】
（1）设甲鱼每条的进价为x元，则桂鱼每条的进价为（x﹣10）元，由题意：用300元购进甲鱼的数量与
用200元购进桂鱼的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料akg，由题意：实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是
原计划每次装载总量的2倍．结果运输养殖所需要全部饲料的实际次数比原计划减少了2次，列出分式方
程，解方程即可．
【解题过程】
解：（1）设甲鱼每条的进价为x元，则桂鱼每条的进价为（x﹣10）元，
300 200
由题意得： = ，
x x−10
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，
则x﹣10＝20，
答：甲鱼每条的进价为30元，则桂鱼每条的进价为20元；
（2）设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料akg，由（2）得，共需要饲料为500×25+700×5＝16000（kg），
12500+3500 12500+3500
根据题意得： − =2，
a 2a
解得：a＝4000，
经检验，a＝4000是原方程的解，且符合题意，
答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000kg．
13．（2021•香坊区二模）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比
B型机器人每小时多搬运20千克，且A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用
时间相等．
（1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料；
（2）为生产效率和生产安全考虑，A、B型两种机器都要参与原料运输，但两种机器人不能同时进行工作，
如果要求不超过5小时需完成对580千克原料的搬运，则A型机器人至少要搬运多少千克原料？
【思路点拨】
（1）设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）千克原料，根据工作时间＝
工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等，
即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设A型机器人要搬运m千克原料，则B型机器人要搬运（580﹣m）千克原料，根据工作时间＝工作
总量÷工作效率，结合工作时间不能超过5小时，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小
值即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）千克原料，
1200 1000
依题意得： = ，
x+20 x
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝120．
答：A型机器人每小时搬运120千克原料，B型机器人每小时搬运100千克原料．
（2）设A型机器人要搬运m千克原料，则B型机器人要搬运（580﹣m）千克原料，
m 580−m
依题意得： + ≤5，
120 100
解得：m≥480．
答：A型机器人至少要搬运480千克原料．14．（2021•翠屏区校级模拟）2019年12月武汉发现病毒性肺炎病例，2020年1月12日被世界卫生组织
命名为“2019﹣nCoV”．在党和政府的领导下，我国进行了一场抗击“2019﹣nCoV”的战斗．为了控制疫情
的蔓延，我省准备捐赠320件一种急需防疫物资送往武汉，用多辆甲、乙两种型号的货车运输，如果用甲
型车若干辆，装满每辆车后还余下20件物资未装；如果用同样辆数的乙型车装，还剩一辆可以装30件
（此时其余各车已装满）已知装满时，每辆甲型车比乙型车少装10件．
（1）求甲、乙两型车每辆装满时，各能装多少件防疫物资？
（2）如果将这批物资从我省运到武汉的运输成本（含油费、过路费、损耗等）甲、乙两型车分别为 320
元/辆，350元/辆．计划派甲、乙两型车共5辆参与运输物资，且甲型车辆数不少于乙型车的一半，设运输
的总成本为W元．请你提出一个派车方案：既要保证320件防疫物资装完，又要使运输总成本W最低，并
求出这个最低运输成本值．
【思路点拨】
（1）设每辆甲型车能装x件防疫物资，则每辆乙型车能装（x+10）件防疫物资，利用使用数量＝运送物资
的总数量÷每辆车满载时的装载量，结合使用甲、乙两型车数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之即
可求出每辆甲型车满载时的装载量，再将其代入（x+10）中可求出每辆乙型车满载时的装载量；
（2）设安排m辆甲型车，则安排（5﹣m）辆乙型车，根据“甲型车辆数不少于乙型车的一半，且 5辆车
的装载量不少于320件”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为
整数即可得出m的值，再求出各m值下W的值，比较后即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设每辆甲型车能装x件防疫物资，则每辆乙型车能装（x+10）件防疫物资，
320−20 320+30
依题意得： = ，
x x+10
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝60+10＝70．
答：每辆甲型车满载时能装60件防疫物资，每辆乙型车满载时能装70件防疫物资．
（2）设安排m辆甲型车，则安排（5﹣m）辆乙型车，
{ 1
依题意得： m≥ (5−m) ，
2
60m+70(5−m)≥320
5
解得： ≤m≤3．
3又∵m为整数，
∴m可以为2，3．
当m＝2时，5﹣m＝5﹣2＝3，此时W＝320×2+350×3＝1690（元）；
当m＝3时，5﹣m＝5﹣3＝2，此时W＝320×3+350×2＝1660（元）．
∵1690＞1660，
∴当安排3辆甲型车，2辆乙型车时，运输总成本W最低，最低运输成本为1660元．
15．（2021秋•五华区期末）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化，每年5月
21日为国际茶日．已知某茶店5月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为1200元、900元，红茶每克的售
价是绿茶每克售价的1.5倍，红茶的销售量比绿茶的销售量小1000克．问绿茶、红茶每克的售价分别是多
少元？
【思路点拨】
设绿茶每克售价为x元，则红茶每克的售价为1.5x元，利用销售数量＝销售总额÷销售单价，结合红茶的
销售量比绿茶的销售量小1000克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出绿茶每克的售价，
再将其代入1.5x中即可求出红茶每克的售价．
【解题过程】
解：设绿茶每克售价为x元，则红茶每克的售价为1.5x元，
1200 900
依题意得： − =1000，
x 1.5x
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×0.6＝0.9．
答：绿茶每克售价为0.6元，红茶每克售价为0.9元．
16．（2022春•鼓楼区校级期中）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，两
公司为该活动各捐款30000元．已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐款20
元．请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程．
【思路点拨】
设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，由题意：两公司为该活动各捐款30000元．乙公司比甲公司
人均多捐款20元．列出分式方程，解方程即可．
【解题过程】
解：提出问题：乙公司有多少人？
设乙公司有x人，则甲公司有（1+20%）x人，30000 30000
由题意得： − =20，
x (1+20%)x
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意，
答：乙公司有250人．
17．（2022春•雨花区校级月考）圆圆预测一种应季衬衫能畅销市场，就用12000元购进了一批这种衬衫，
面市后果然供不应求，圆圆又用30000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单
价贵了20元．
（1）圆圆购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按四折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低
于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【思路点拨】
（1）设圆圆购进的第一批衬衫是x件，根据第二批单价比第一批单价贵20元，列分式方程，求解即可；
（2）设每件衬衫的标价至少y元，根据“两批衬衫全部售完后利润不低于25%”列不等式，求解即可．
【解题过程】
解：（1）设圆圆购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，
30000 12000
根据题意，得 = +20，
2x x
解得x＝150，
经检验，x＝150是原方程的根，且符合题意．
答：圆圆购进的第一批衬衫是150件．
（2）3x＝3×150＝450，
设每件衬衫的标价至少y元，
根据题意，得（450﹣50）y+50×0.4y≥（30000+12000）×（1+25%），
解得y≥125．
∴每件衬衫的标价至少是125元．
18．（2022•山西模拟）春节前夕，习近平总书记赴山西慰问基层干部群众．1月26日下午，习近平总书
记在霍州市师庄乡冯南垣村同村民一起揉花馍，花馍将销往全国各地．临近年关，某商店决定购进一批花
馍，已知甲种花馍每件的进价比乙种花馍每件的进价少 6元，花180元购买甲种花馍的件数与花240元购
买乙种花馍的件数相等．
（1）求甲、乙两种花馍每件的进价．（2）由于畅销，第一批购进的花馍已经售馨，现该商店决定用不超过 4000元再购进一批甲、乙两种花馍
共200件，结果恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础上9折销售，而乙种花馍比第一批进
价提高了5%，则最多可购买乙种花馍多少件？
【思路点拨】
（1）设甲种花馍每件的进价为x元，则乙种花馍每件的进价为（x+6）元，由题意：花180元购买甲种花
馍的件数与花240元购买乙种花馍的件数相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买乙种花馍a件，由题意：现该商店决定用4000元再购进一批甲、乙两种花馍共200件，结果
恰逢批发商进行调价，甲种花馍在第一批进价的基础上9折销售，而乙种花馍比第一批进价提高了5%，列
出一元一次不等式，解不等式即可．
【解题过程】
解：（1）设甲种花馍每件的进价为x元，则乙种花馍每件的进价为（x+6）元，
180 240
由题意得： = ，
x x+6
解得：x＝18，
经检验，x＝18是原方程的解，且符合题意，
则x+6＝24，
答：甲种花馍每件的进价为18元，则乙种花馍每件的进价为24元；
（2）设购买乙种花馍a件，则购买甲种花馍（200﹣a）件，
由题意得：24a（1+5%）+18×90%×（200﹣a）≤4000，
4
解得：a≤84 ，
9
∵a为正整数，
∴a的最大值为84，
答：最多可购买乙种花馍84件．
19．（2022•西山区一模）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途经，保障人民群众的身体健康．据某市 3
月份统计，甲接种点完成一批加强针的接种任务用了m天，乙接种点完成相同数量的加强针接种任务多用
2天，且乙接种点平均每天接种加强针的人数比甲接种点少20%．
（1）求整数m的值．
（2）接种工作包含登记、接种、留观，需要组队完成．某中学现有 2160人符合接种加强针条件，甲接种
点需要组建A和B两种团队到校接种，A种团队每小时可完成100人的接种，B种团队每小时可完成60人
的接种．若AB两种团队共10个，其中A种团队不超过5个，要求上午9点同时开始工作，中午12点前（包含12点）完成．问甲接种点有几种派遣方案前往该中学可以在12点前（包含12点）完成该校加强针
的接种．
【思路点拨】
（1）根据题意列方程求解即可；
（2）根据题意列出不等式组，解不等式组，即可得出答案．
【解题过程】
1 1
解：（1）根据题意得： （1﹣20%）= ，
m m+2
解得：m＝8，
当m＝8时，m（m+2）≠0，
答：整数m的值为8；
（2）设A种团队有x个，则B种团队有（10﹣x）个，
{ x≤5
由题意得： ，
3[100x+60(10−x)]≥2160
解得：3≤x≤5，
∵x为整数，
∴x为3或4或5，
当x＝3时，10﹣x＝7，
当x＝4时，10﹣x＝6，
当x＝5时，10﹣x＝5，
∴有3种派遣方案，
答：甲接种点有3种派遣方案前往该中学可以在12点前（包含12点）完成该校加强针的接种．
20．（2021秋•临海市期末）某水果商两次去批发市场采购同一种水果，第一次用 2000元购进了若干千克，
很快卖完．第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，且每千克的进价比第一次提高了20%．
（1）求第一次购买水果的进价；
（2）求第二次购买水果的数量；
（3）该水果商按以下方案卖出第二批的水果：先以a元/千克的价格售出m千克，再以8元/千克的价格售
出剩余的全部水果，共获利1600元．若a，m均为整数，且a不超过第二次进价的2倍，求a和m的值．
【思路点拨】
（1）设第一次购买水果的进价为x元/千克，则第二次购买水果的进价为（1+20%）x元/千克，利用数量＝
总价÷单价，结合第二次用3000元所购数量比第一次多100千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论；（2）利用数量＝总价÷单价，即可求出第二次购买水果的数量；
（3）利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价，即可得出关于 m，a的二元二次方程，化简后可得出a
600
= +8，结合a不超过第二次进价的2倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值
m
范围，再结合a，m均为正整数，即可得出结论．
【解题过程】
解：（1）设第一次购买水果的进价为x元/千克，则第二次购买水果的进价为（1+20%）x元/千克，
3000 2000
依题意得： − =100，
(1+20%)x x
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：第一次购买水果的进价为5元/千克．
（2）3000÷[（1+20%）×5]
＝3000÷[1.2×5]
＝3000÷6
＝500（千克）．
答：第二次购买水果的数量为500千克．
（3）依题意得：am+8（500﹣m）﹣3000＝1600，
600
∴a= +8．
m
∵a不超过第二次进价的2倍，
600
∴a≤2×（1+20%）×5，即 +8≤12，
m
∴m≥150．
又∵a，m均为正整数，
{ a=12 { a=11 { a=10
∴ 或 或 ．
m=150 m=200 m=300
答：当a的值为12时，m的值为150；当a的值为11时，m的值为200；当a的值为10时，m的值为
300．
