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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题16.6二次根式的应用大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验
公式是v＝16√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮划过的距离（单位：m），f表示
摩擦系数，在某次交通事故调查中测得d＝20m，f＝1.2．
（1）求肇事汽车的速度；
（2）若此路段限速70km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；
（2）比较两个速度的大小即可．
【解答】解：（1）当d＝20m，f＝1.2时，v＝16√20×1.2=32√6（km/h），
答：肇事汽车的速度是32√6km/h；
（2）v＝32√6≈78＞70，
∴肇事汽车已经超速．
2．（2022秋•社旗县期中）（1）计算：（﹣2x）3•（3x2﹣xy﹣1）
（2）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而
且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间 t（单位：s）和高度h（单位：
m）近似满足公式t=
√2ℎ
（不考虑风速的影响，g≈9.8t/s2）．已知一幢大楼高78.4m，若一个鸡蛋从
g
楼顶自由落下，求落到地面所用时间．【分析】直接将h＝78.4，g＝9.8代入公式计算即可．
√2ℎ
【解答】解：将h＝78.4，g＝9.8代入公式t= ，
g
√2×78.4
得：t= =4，
9.8
答：落到地面所用时间为4s．
3．（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形 ABCD的绿地，长方形绿地的长 BC为
√162m，宽AB为√128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛
的长为（√13+1）m，宽为（√13−1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺
完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）长方形ABCD的周长是2（√162+√128）（m）；
（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2（√162+√128）＝2（9√2+8√2）＝34√2（m），
答：长方形ABCD的周长是34√2（m）；
（2）购买地砖需要花费＝50×[9√2×8√2−（√13+1）（√13−1）]
＝50×（144﹣12）
＝50×132
＝6600（元）；
答：购买地砖需要花费6600元．
4．（2021秋•长安区期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为√128米，
宽AB为√98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（
√13+1）米，宽为（√13−1）米．
（1）长方形ABCD的周长是 3 0√2 米；
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个
通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可
得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（√128+√98）＝2（8√2+7√2）＝30√2（米），
答：长方形ABCD的周长是30√2米，
（2）通道的面积=√128×√98−（√13+1）（√13−1）
＝100（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（100）＝600（元）．
答：购买地砖需要花费600元；
5．（2021秋•叙州区期末）已知△ABC三条边的长度分别是√x+1，√(x−5) 2，4−(√4−x) 2，记△ABC
的周长为C△ABC ．
（1）当x＝2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）；
（2）请求出C△ABC （用含x的代数式表示，结果要求化简）；
（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S
√1 a2+b2−c2 2
= [a2b2−( ) ]．其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．若x为整数，当
4 2
C△ABC 取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【分析】（1）把x＝2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；
（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；
（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积．
【解答】解：（1）当x＝2时，√x+1=√3，√(x−5) 2=√9=3，4−(√4−x) 2=4−2=2，
∴△ABC的最长边的长度是3；{x+1≥0
（2）由题知： ，解得﹣1≤x≤4．
4−x≥0
∴√(x−5) 2=5−x，4−(√4−x) 2=x，
∴C△ABC =√x+1+√(x−5) 2+4−(√4−x) 2=√x+1+5−x+x=√x+1+5；
（3）∵C△ABC =√x+1+5，﹣1≤x≤4，且x为整数，
∴x越大C△ABC 越大，
∴当x＝4时，C△ABC 取得最大值，此时三边为√5，1，4，
∵√5+1＜4，
∴不合题意舍去．
当x＝3时，三边为2，2，3，
√1 a2+b2−c2 2
∴S= [a2b2−( ) ]
4 2
√1 22+22−32
= [22×22−( ) 2 ]
4 2
√1 1
= (16− )
4 4
3√7
= ．
4
6．（2022秋•南山区校级期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，
这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼
睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：√3+2√2=√1+2×1×√2+2=√12+2×1×√2+(√2) 2=√(1+√2) 2=1+√2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：√14+6√5=√9+2×3×√5+①=√(3+②) 2=③
①： 5 ，②： √5 ，③ 3+√5 ．
（2）根据上述思路，化简并求出√28−10√3+√7+4√3的值．
【分析】（1）模仿样例进行解答便可；（2）把28看成52+(√3) 2，7看成22+(√3) 2，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，
便可开方计算得结果．
【解答】解：（1）由题意得，√14+6√5=√9+2×3×√5+5=√(3+√5) 2=3+√5，
则①＝5，②=√5，③＝3+√5，
故答案为：①5；②√5；③3+√5；
（2）√28−10√3+√7+4√3
=√25−2×5×√3+3+√4+2×2×√3+3
=√(5−√3) 2+√(2+√3) 2
＝5−√3+2+√3
＝7．
7．（2022秋•临汾期中）阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第 n项的表达式，
创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．
“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数F
1+√5 1−√5
（n）可以表示为( ) n−1+( ) n−1，其中n≥1．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数
2 2
列）
任务：
（1）卢卡斯数列中的第1个数F（1）＝ 2 ，第2个数F（2）＝ 1 ；
（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当n≥3时，满足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．请根据这一规
律写出卢卡斯数列中的第6个数F（6）．
1+√5 1−√5
【分析】（1）根据F（n）=( ) n−1+( ) n−1，将n＝1，2分别代入计算即可求解；
2 2
（2）根据当n≥3时，满足F（n） ＝F（n﹣1）+F（n﹣2） ，先求出F（4） ，F（5） ，再进一步求出F（6）．
1+√5 1−√5
【解答】解：（1）F（1） ＝1+1＝2，第2个数F（2） =
2
+
2
=1．
故答案为：2；1；
（2）∵F（n） ＝F（n﹣1）+F（n﹣2） ，∴F（3） ＝F（2）+F（1） ＝1+2＝3；
F（4） ＝F（3）+F（2） ＝3+1＝4，
F（5） ＝F（4）+F（3） ＝4+3＝7，
∴F（6）＝F（5）+F（4） ＝7+4＝11．
8．（2022秋•商水县校级月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空
落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度
h（单位：m）近似满足公式t=
√2ℎ
（不考虑风速的影响，g≈10m/s2）．
g
（1）求从60m高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）
（2）已知高空坠物动能（单位：J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg
的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：
伤害无防护人体只需要65J的动能）
√2ℎ
【分析】（1）把60m代入公式t= 即可；
g
√2ℎ
（2）先根据公式t= 求出h，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断．
g
【解答】解：（1）由题意知h＝60m，
√2×60
∴t= =√12=2√3（s），
10
故从60m高空抛物到落地的时间为2√3s；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，
√ℎ
理由：当t＝3s时，3= ，
5
∴h＝45，
经检验，h＝45是原方程的根，
∴这个玩具产生的动能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
9．（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制
作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√2cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．【分析】（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为5√2−2√2=3√2cm，高为√2cm，而长方体的
容积为长×宽×高，即可得答案；
（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为3√2cm，宽为√2cm，共4个面，即可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：(5√2−2√2) 2×√2=18√2（cm3），
答：长方体盒子的容积为18√2cm3；
（2）长方体盒子的侧面积为：(5√2−2√2)×√2×4=24（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．
10．（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本 43页有这
样一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释√8=2√2吗？
小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为 8，则它的边长为√8；小正方形的面积为
2，则小正方形的边长为√2．借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的 2倍，即
√8=2√2．”
√1 √2
老师夸赞小明做得非常好，继续提出一个新的问题：你能设计一个图形解释 = 吗？请你画出相应
2 2
的图形并借助图形帮助小明解答这个问题．
【分析】根据正方形的面积公式得到2个正方形的边长，利用图形得出边长的关系，进而得出答案．
【解答】解：如图，
大正方形的面积为2，则它的边长为√2；
1 √1
小正方形的面积为 ，则小正方形的边长为 ，
2 2
观察图形可以得到大正方形边长是小正方形边长的2倍，√1 √2
则 = ．
2 2
11．（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为16√2cm，宽为8√2cm的长方形纸板，现将该纸板的四个
角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为√2cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【分析】（1）利用长方体的体积公式计算即可；
（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积．（两个小长方形
面积和两个大长方形面积和）
【解答】解：（1）无盖长方体盒子的体积为：
（16√2−2√2）×（8√2−2√2）×√2
＝14√2×6√2×√2
＝168√2（cm3）；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是168√2cm3．
（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：
16√2×8√2−4×√2×√2−（16√2−2√2）（8√2−2√2）
＝256﹣8﹣168
＝80（cm2）；
答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
方法二，长方体盒子的侧面积为：
（8√2−2√2）×√2×2+（16√2−2√2）×√2×2
＝6√2×√2×2+14√2×√2×2
＝24+56
＝80cm2．答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2．
12．（2021秋•钱塘区期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，求这个长方形的周长．
（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据长方形面积公式为长×宽，代入计算即可；
（2）两个小阴影部分可以组成一个长为√3，宽为（3−√3）的长方形，直接计算即可．
【解答】解：（1）设长方形的宽为x，则长方形的长为2x，
则x•2x＝10，
解得x=√5或−√5（舍去），
∴长方形的长为2√5，
∴长方形的周长为（√5+2√5）×2＝6√5．
（2）由题意可知，
大正方形的边长为3，小正方形的变成为√3，
∴阴影部分的面积为（3−√3）×√3=3√3−3．
13．（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为
12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面积；
（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能
裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出2√3和√3的范围，根据题意解答．
【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为12dm2和27dm2，
∴这两个正方形的边长分别为2√3dm和3√3dm，∴原矩形木板的面积为3√3（2√3+3√3）＝45（dm2）；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵2√3≈3.464，√3≈1.732，
3.46÷1≈3（块），
1.73÷1.5≈1（块），
3×1＝3（块）．
∴从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条．
14．（2022春•合阳县期末）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海
面上，海啸的行进速度可按公式v=√gd计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d表示海水的深度，g表
示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度20m处发生海啸，求其行进的速度．
【分析】把g与d的值代入公式计算即可求出v．
【解答】解：∵d＝20m，g＝9.8m/s2，v=√gd，
∴v=√gd=√9.8×20=√196=14（m/s），
则海啸行进的速度是14m/s．
15．（2022春•周至县期末）在一个长为4√5，宽为3√5的矩形内部挖去一个边长为（2√15−√5）的正方
形，求剩余部分的面积．
【分析】根据矩形的面积﹣正方形的面积即可得到剩余部分的面积．
【解答】解：4√5×3√5−（2√15−√5）2
＝60﹣（60﹣20√3+5）
＝60﹣60+20√3−5
＝（20√3−5）平方米，
答：剩余部分的面积为（20√3−5）平方米．
16．（2022春•济源期末）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦﹣秦九韶公式”：
a+b+c
如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 记 p= ， 那 么 三 角 形 的 面 积 为
2
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．
【解决问题】：已知在△ABC中，AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5．
（1）请你用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积．
（2）除了利用“海伦﹣秦九韶公式”求△ABC的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【分析】（1）直接代入海伦﹣秦九韶公式求解；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的积除以2求出面积即可．【解答】解：（l）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
4+7.5+8.5
∴p= =10，
2
∴S =√10×(10−4)×(10−7.5)×(10−8.5)=√10×6×2.5×1.5=√225=15．
△ABC
即△ABC的面积为15；
（2）∵AC＝4，BC＝7.5，AB＝8.5，
64 15 225 17 289
∴AC2=42=16= ，BC2=(
)
2= ，AB2=(
)
2=
，
4 2 4 2 4
64 225 289
∴AC2+BC2= + = =AB2 ，
4 4 4
∴∠C＝90°，
1 1
∴S = AC⋅BC= ×4×7.5=15．
△ABC 2 2
17．（2022春•石泉县期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高
度为h（单位：km），观测者能看到的最远距离为d（单位：km），则d≈√2ℎR，其中R是地球半径，
通常取6400km．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m，她观测到远处一艘船刚露
出海平面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？
【分析】根据d≈√2ℎR，把R＝6400km，h＝0.005km代入计算即可．
【解答】解：由R＝6400km，h＝5m＝0.005km，
得d≈√2×0.005×6400=8（km），
答：此时观测者能看到的最远距离d约是8km．
18．（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为√128米，宽AB为√50米，
现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为
(√13+1)米，宽为(√13−1)米．（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完
整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【分析】（1）根据矩形的周长＝（长+宽）×2计算即可；
（2）先求出通道的面积，再算钱数即可．
【解答】解：（1）（√128+√50）×2
＝（8√2+5√2）×2
＝13√2×2
＝26√2（米），
答：矩形ABCD的周长为26√2米；
（2）√128×√50−2×（√13+1）×（√13−1）
＝8√2×5√2−2×（13﹣1）
＝80﹣24
＝56（平方米），
6×56＝336（元），
答：购买地砖需要花费336元．
19．（2022春•赣州期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为 18dm2
和32dm2的正方形木板．
（1）截出的两块正方形木料的边长分别为 3√2 dm ， 4√2 dm ；
（2）求剩余木料的面积；
（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出 2 块这样
的木条．【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为√18dm和√32dm，再对二次根式进行化简即可；
（2）矩形的长为7√2dm，宽为4√2dm，再求面积即可；
（3）剩余木条的长为3√2dm，宽为√2dm，再由题意进行截取即可．
【解答】解：（1）√18=3√2dm，√32=4√2dm，
故答案为：3√2dm，4√2dm；
（2）矩形的长为3√2+4√2=7√2（dm），宽为4√2dm，
∴剩余木料的面积＝（7√2×4√2）﹣18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；
（3）剩余木条的长为3√2dm，宽为4√2−3√2=√2（dm），
∵3√2＜3×1.5，√2＞1，
∴能截出2×1＝2个木条，
故答案为：2．
20．（2022春•宁乡市期末）如图所示，将一个长宽分别为a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为
x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a=12+2√3，b=12−2√3，x=√2，求剩余部分的面积．
【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）把相应的值代入（1）进行运算即可．
【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；
（2）当a=12+2√3，a=12−2√3，x=√2时，
ab﹣4x2
＝（12+2√3）（12﹣2√3）﹣4×（√2）2
＝144﹣12﹣8
＝124．
21．（2022春•梁平区期末）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位： ）、
通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt，已知导线的电阻为6 ，1s时间Ω导线
产生30J的热量，求电流I的值．（结果用根式表示） Ω
【分析】将已知量代入物理公式Q＝I2Rt，即可求得电流I的值．【解答】解：通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt，
√ Q √ 30
所以电流I= = =√5．
Rt 6×1
故电流I的值为√5J．
22．（2022春•雁塔区校级期末）请阅读下面材料，并解决问题：
海伦——秦九韶公式
海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》
一书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：
a+b+c
假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p= ，那么三角形的面积
2
S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式称为海伦公式．
秦九韶（约1202﹣1261年），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公
√1 a2+b2−c2
式S= [a2b2−( ) 2 ]．它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具
4 2
有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一个公式，所以海伦公式
也称海伦﹣秦九韶公式．
问题：如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，请用海伦一秦九韶公式求△ABC的面积．
【分析】代入公式，进行二次根式的化简．
【解答】解：∵AB＝6，AC＝7，BC＝8，
∴a＝8，b＝7，c＝6，
√1 64+49−36 21√15
∴S= ×[64×49−( ) 2 ]= ．
4 2 4
23．（2021秋•龙岗区校级期中）平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都
转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：
1
设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P= （a+b+c），则有下列面积公式：
2
S=√P(P−a)(P−b)(P−c)（海伦公式）；√1 a2+b2−c2
S= [a2b2−( ) 2 ]（秦九韶公式）．
4 2
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是 6√6 ．
（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在△ABC中，AB
＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
①作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝ 1 4 ﹣ x ；
②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．
【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；
（2）①根据CD＝BC﹣BD可得答案；
②在两个直角三角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；
③根据三角形面积公式计算即可．
1 1
【解答】解：（1）P= （a+b+c）= ×（5+6+7）＝9，
2 2
由海伦公式可得S=√P(P−a)(P−b)(P−c)=√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=6√6；
√1 a2+b2−c2 √1 52+62−72 2
由秦九昭公式可得S= [a2b2−( ) 2 ]= ×[52×62−( ) ]=6√6．
4 2 4 2
故答案为：6√6；
（2）①∵BC＝14，BD＝x，
∴DC＝14﹣x，
故答案为：14﹣x；
②∵AD⊥BC，
∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，
∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，
解得x＝9；③由（2）得：AD=√AB2−BD2=√152−92=12，
1 1
∴S△ABC =
2
⋅BC•AD =
2
×14×12＝84．
24．（2022春•章贡区期末）小明家装修，电视背景墙长BC为√27m，宽AB为√8m，中间要镶一个长为2
√3m，宽为√2m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的
面积．（结果化为最简二次根式）
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
√27×√8−2√3×√2
＝3√3×2√2−2√3×√2
＝6√6−2√6
＝4√6（m2），
答：壁布的面积为4√6m2．
25．（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为8√3
米，宽AB为√98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长
为√13+1米，宽为√13−1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个
通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可
得；（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解答】解：（1）长方形ABCD的周长＝2×（8√3+√98）＝2（8√3+7√2）＝16√3+14√2（米），
答：长方形ABCD的周长是16√3+14√2（米），
（2）通道的面积=(8√3×√98)−(√13+1)(√13−1)
＝56√6−（13﹣1）
＝56√6−12（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（56√6−12）＝336√6−72（元）．
答：购买地砖需要花费336√6−72元；
26．（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、
1
b、c，则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p= （a+b+c），这个公式称为“海
2
伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h ，BC边上的高h ，求h +h 的值．
1 2 1 2
【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
1
【解答】解：（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p= (a+b+c)=12，
2
∴S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√12(12−7)(12−8)(12−9)=12√5；
1 1
（2）∵S = AC⋅ℎ = BC⋅ℎ =12√5，
△ABC 2 1 2 2
24√5 24√5
∴ℎ = =3√5，ℎ = ，
1 8 2 724√5 45√5
∴ℎ + ℎ =3√5+ = ．
1 2 7 7
27．（2022春•磁县期中）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；
（2）先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这
就是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC=√8=2√2，
正方形ECFG的边长为：CF=√32=4√2；
（2）∵BF＝BC+CF，BC＝2√2，CF＝4√2，
∴BF＝6√2；
1
∴S△BFG =
2
GF•BF＝24；
1
又S△ABD =
2
AB•AD＝4，
∴S阴影 ＝S正方形ABCD +S正方形ECFG ﹣S△BFG ﹣S△ABD
＝8+32﹣24﹣4，
＝12．
28．（2022春•丰台区期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学
的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
a+b
对于两个数a，b，M= 称为a，b这两个数的算术平均数，N=√ab称为a，b这两个数的几何平均
2
√a2+b2
数，P= 称为a，b这两个数的平方平均数．
2
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：3 √10
（1）若a＝﹣1，b＝﹣2，则M＝ − ，N＝ √2 ，P＝ ；
2 2
（2）小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这
三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问
题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是 N ≤ M ≤ P ．（把M，N，P从小到大
排列，并用“＜”或“≤”号连接）．
【分析】（1）将a＝﹣1，b＝﹣2分别代入M，N，P求值即可得；
（2）①分别求出M2，P2，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
②根据（2）①中的所画的图形可得N2≤M2≤P2，由此即可得出结论．
a+b −1−2 3
【解答】解：（1）当a＝﹣1，b＝﹣2时，M= = =− ，N=√ab=√−1×(−2)=√2，
2 2 2
√a2+b2 √(−1) 2+(−2) 2 √5 √10
P= = = = ，
2 2 2 2
3 √10
故答案为：− ，√2， ；
2 2
a+b (a+b) 2 (a−b) 2+4ab (a−b) 2
（2）①M2=( ) 2= = = +ab，
2 4 4 4
则用阴影标出一个面积为M2的图形如下所示：a2+b2 (a−b) 2+2ab (a−b) 2
P2= = = +ab，
2 2 2
则用阴影标出一个面积为P2的图形如下所示：
②由（2）①可知，N2≤M2≤P2，当且仅当a﹣b＝0，即a＝b时，等号成立，
∵a，b都是正数，
∴M，N，P都是正数，∴N≤M≤P，
故答案为：N≤M≤P．
29．（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际
丈量土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著
名的数学家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面
积方法，简称秦九韶公式．在海伦（公元62年左右，生平不详）的著作《测地术》中也记录了利用三
角形三边长求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前287年﹣公元
前212年）得出的，故我国称这个公式为海伦﹣秦九韶公式．它的表述为：三角形三边长分别为a、b、
c，则三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)．（公式里的p为半周长即周长的一半）
请利用海伦﹣秦九韶公式解决以下问题：
（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 4√5 ．
（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四边形ABCD的面积为
6+6√6 ．
（3）五边形ABCDE中，AB＝BC=2√3，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五边形ABCDE的面积．
【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；
（2）根据二次根式的计算解答即可；
（3）根据二次根式的混合计算解答即可．
【解答】解：（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为√8×(8−3)×(8−6)×(8−7)=4√5；
故答案为：4√5；
（2）∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝5，
1
∴△ABC的面积= ×3×4=6，
2
∴△ACD的面积=√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=6√6，
∴四边形ABCD的面积为：6+6√6，
故答案为：6+6√6；
（3）∵五边形ABCDE中，AB＝BC=2√3，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，
∴AC＝6，
1
∴△ABC的面积= ×6×√3=3√3，
2
∴CE＝10，
1
∴△CDE的面积为： ×6×8=24，
2
∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，
∴△ACE的面积=√14×(14−10)×(14−12)×(14−6)=8√14，
∴五边形ABCDE的面积为24+3√3+8√14．
{x=2a+3b
30．（2022春•岳麓区校级期中）已知a，b均为正整数．我们把满足 的点P（x，y）称为幸福
y=3a+2b
点．
（1）下列四个点中为幸福点的是 P （ 5 ， 5 ） ；
1
P （5，5）；P （6，6）；P （7，7）；P （8，8）
1 2 3 4
（2）若点P（20，t）是一个幸福点，求t的值；
（3）已知点P（ 1， 1）是一个幸福点，则存在正整数a，b满足{√m+1=2a+3b，试问是
√m+ √m−
√m−1=3a+2b1 1
否存在实数k的值使得点P和点Q（ a+k， b﹣k）到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等？若存
2 2
在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据a，b均为正整数，对a，b分类讨论，分别求出幸福点即可；
{x=2a+3b
（2）将P点坐标分别代入 求出t的值即可；
y=3a+2b
（3）先表示出点P（2a+3b，3a+2b），再根据点P和点Q到x轴的距离相等，到y轴的距离也相等列
出关系式求解即可．
{x=2a+3b
【解答】解：（1）∵a，b均为正整数，满足 的点P（x，y）称为幸福点，
y=3a+2b
∴当a＝1，b＝1时，x＝5，y＝5，故P （5，5）是幸福点，
1
当a＝1，b＝2时，x＝8，y＝7，故（8，7）是幸福点，
当a＝2，b＝1时，x＝7，y＝8，故（7，8）是幸福点，
..．
∴P （5，5），P （6，6），P （7，7），P （8，8）中只有P （5，5）是幸福点，
1 2 3 4 1
故答案为：P （5，5）；
1
（2）∵点P（20，t）是一个幸福点，
∴2a+3b＝20，3a+2b＝t，
∵a，b均为正整数，
∴a＝1，b＝6或a＝b＝4或a＝7，b＝2，
当a＝1，b＝6时，t＝15，
当a＝b＝4时，t＝20，
当a＝7，b＝2时，t＝25，
∴t的值为15或20或25；
{√m+1=2a+3b
（3）∵点P（√m+1，√m−1）是一个幸福点，则存在正整数a，b满足 ，
√m−1=3a+2b
∴消去m得，b＝a+2，
1 1
∵P（2a+3b，3a+2b），Q（ a+k， b﹣k），
2 2
1 1
∴P（5a+6，5a+4），Q（ a+k， a+1﹣k），
2 2
∵点P和点Q到x轴的距离相等，∴有4种情况，
1
{ 5a+6= a+k
2
① ，
1
5a+4= a+1−k
2
3
解得，a＝﹣1（舍），k= ；
2
1
{ 5a+6= a+k
2
② ，
1
5a+4=− a−1+k
2
解得，a＝1，k＝10.5，
∴b＝3，符合题意；
1
{5a+6=− a−k
2
③ ，
1
5a+4= a+1−k
2
21
解得，a＝﹣3（舍），k= ；
2
1
{ 5a+6=− a−k
2
④ ，
1
5a+4=− a−1+k
2
1
解得，a＝﹣1（舍），k=− ；
2
∴当a＝1，b＝3，k＝10.5时，点P和点Q到x轴的距离相等，且到y轴的距离也相等．
