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【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题16.7二次根式材料阅读题大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数 x，y使x+y＝a且xy＝b，这样
√a+2√b=√ (√x) 2+(√y) 2+2√x⋅√y=√ (√x+√y) 2=√x+√y，那么我们就称√a+2√b为“和谐二
次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．
例如：√3+2√2=√ (√1) 2+(√2) 2+2√1⋅√2=√ (1+√2) 2=1+√2．
2
（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如 样的式子，其实我们还可以将其进
√3+1
2 2×(√3−1) 2×(√3−1)
一步化简：
= = =√3−
1．那么我们称这个过程为分式的分母有理
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −12
化．根据阅读材料解决下列问题：
（1）化简“和谐二次根式”：①√11+2√28= √7+ 2 ；②√7−4√3= 2−√3 ．
1 1 m−n
= =
（2）已知m ，n ，求 的值．
√5+2√6 √5−2√6 m+n
【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；
（2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．
【解答】（1）解：①√11+2√28=√(√7) 2+(√4) 2+2√7⋅√4=√(√7+√4) 2=√7+2；
②√7−4√3=√7−2√12=√(√4) 2+(√3) 2−2√4⋅√3=√(√4−√3) 2=2−√3．
故答案为：√7+2；2−√3；
1 1 1 1
（2）解：∵m
= = =√3−√2，n = = =√3+√2，
√5+2√6 √3+√2 √5−2√6 √3−√2
∴m﹣n=√3−√2−（√3+√2）＝﹣2√2，m+n=√3−√2+（√3+√2）＝2√3，
m−n −2√2 √6
∴ = =− ；
m+n 2√3 3
2．（2022秋•长安区期中）求代数式a+√a2−2a+1的值，其中a＝﹣2022．下面是小芳和小亮的解题过
程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：
解：原式＝a+√(a−1) 2=a+1﹣a＝1
小亮：
解：原式＝a+√(a−1) 2=a+a﹣1＝﹣4045
（1） 小亮 的解法是错误的；
（2）求代数式a+2√a2−6a+9的值，其中a＝4−√5．
【分析】（1）根据题意得到a﹣1＜0，根据二次根式的性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2022，
∴a﹣1＝﹣2022﹣1＝﹣2023＜0，
∴√(a−1) 2=1﹣a，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）∵a＝4−√5，
∴a﹣3＝4−√5−3＝1−√5＜0，
∴√(a−3) 2=3﹣a，
则a+2√a2−6a+9
＝a+2√(a−3) 2
＝a+2（3﹣a）
＝6﹣a，
当a＝4−√5时，原式＝6﹣（4−√5）＝2+√5．3．（2022秋•仪征市期中）阅读下面材料，回答下列问题：
构造法是依据问题的条件和结论给出的信息，把问题做适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，
揭示问题的本质，从而疏通解题思路的方法．构造方程是常用的一种构造方法，它能使得问题被简化，
得以迅速解决．
5+√21 x2 1
材料：已知x= ，求代数式 −(1+ )的值；
2 x−1 x2−x
分析：这道题如果将代数式化简，再直接将 x 代入求值比较困难，观察 x 的值，发现
5+√21 −(−5)+√(−5) 2−4×1×1 −b±√b2−4ac
x= = ，对比一元二次方程求根公式x= ，不难发
2 2×1 2a
现 x 是 方 程 x2﹣ 5x+1 ＝ 0 的 根 ， 所 以 x2 ＝ 5x﹣ 1 ， x2+1 ＝ 5x ， 所 以 原 式
5x−1 x2−x+1 5x−1 4x 5x−1 4 5(x−1)
= − = − = − = =5．
x−1 x(x−1) x−1 x(x−1) x−1 x−1 x−1
（1）以2，﹣3为根的方程可以是 2 （ x ﹣ 2 ）（ x + 3 ）＝ 0 ；
−√6+√2
（2）已知x= ，请用材料中的方法求代数式−x3−√6x2−x−√6的值；
2
1+√1−4a 1+√1−4a 1+√1−4a
（3）求代数式( ) 3−( ) 2+a( )−2的值．
2 2 2
【分析】（1）写出一个满足条件的方程即可；
（2）x是方程x2+√6x+1=0的根，可得x2+√6x=−1，把所求式子变形再整体代入即可；
1+√1−4a
（3）设x= ，知x是方程x2﹣x+a＝0的根，可得x2﹣x＝﹣a，再代入可得答案．
2
【解答】解：（1）以2，﹣3为根的方程可以是2（x﹣2）（x+3）＝0，
故答案为：2（x﹣2）（x+3）＝0，
−√6+√2
（2）∵x= ，
2
−√6+√ (√6) 2 −4×1×1
∴x= ，
2×1
∴x是方程x2+√6x+1=0的根，
∴x2+√6x=−1，
∴−x3−√6x2−x−√6=−x(x2+√6x)−x−√6
=−x⋅(−1)−x−√6
=−√6；
1+√1−4a
（3）设x= ，
2
1+√1−4a 1+√1−4a 1+√1−4a
∴( )
3−(
)
2+a( )−2=x3−x2+ax−2，
2 2 2
1+√1−4a −(−1)+√(−1) 2−4×1⋅a
∵x= = ，
2 2×1
∴x是方程x2﹣x+a＝0的根，
∴x2﹣x＝﹣a，
∴x3﹣x2+ax﹣2
＝x（x2﹣x）+ax﹣2
＝﹣ax+ax﹣2
＝﹣2．
1
4．（2022秋•永安市期中）在解决问题“已知a = ，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答
2+√3
的：
1 2−√3
∵a = = =2−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴a﹣2=−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
3
（1）化简： ；
√5−√2
1
（2）若a = ，求2a2+4a﹣1的值．
√2+1
【分析】（1）把分子分母都乘以（√5+√2），然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化得到a=√2−1，再移项平方得到a2+2a＝1，接着把2a2+4a﹣1变形为2（a2+2a）﹣
1，然后利用整体代入的方法计算．3 3(√5+√2)
【解答】解：（1） = =√5+√2；
√5−√2 (√5−√2)(√5+√2)
1 √2−1
（2）∵a = = =√2−1，
√2+1 (√2+1)(√2+1)
∴a+1=√2，
∴（a+1）2＝2，
即a2+2a+1＝2，
∴a2+2a＝1，
∴2a2+4a﹣1＝2（a2+2a）﹣1＝2×1﹣1＝1．
5．（2022秋•昌平区期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一
√b √b √3 √x−1
个整式时，求得的商就会出现类似 的形式，我们把形如 的式子称为根分式，例如 ， 都
a a 2 x
是根分式．
a √3 √a2+3
（1）下列式子中① ，② ，③ ， ③ 是根分式（填写序号即可）；
a2+1 √x+1 2
√x−1
（2）写出根分式 中x的取值范围 x ≥ 1 且 x ≠ 2 ；
x−2
√x2−6x+7 √2x−1
（3）已知两个根分式M= ，N= ．
x−2 x−2
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一个整数，且x为整数，请直接写出x的值： 1 ．
【分析】（1）根据根分式的定义进行判断即可；
（2）根据二次根式的定义，分式有意义的条件进行分析即可；
（3）①对式子进行化简，再进行求解即可；
②对式子进行化简，结合分式有意义的条件及二次根式的定义进行求解即可．
a
【解答】解：（1）① 不是根分式，
a2+1
√3
② 不是根分式，
√x+1
√a2+3
③ 是根分式，
2
故答案为：③；（2）由题意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范围是：x≥1且x≠2；
故答案为：x≥1且x≠2；
√x2−6x+7 √2x−1
（3）当M= ，N= 时，
x−2 x−2
①M2﹣N2＝1，
√x2−6x+7 √2x−1
（ ）2﹣（ ）2＝1，
x−2 x−2
x2−6x+7 2x−1
− =1，
(x−2) 2 (x−2) 2
x2−8x+8
=1，
(x−2) 2
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
√x2−6x+7 √2x−1
＝（ ）2+（ ）2
x−2 x−2
x2−6x+7 2x−1
= +
(x−2) 2 (x−2) 2
x2−4x+6
=
(x−2) 2
(x−2) 2+2
=
(x−2) 2
2
+
＝1 ，
(x−2) 2
∵M2+N2是一个整数，且x为整数，
2
∴ 是一个整数，
(x−2) 2
∴x﹣2＝±1，解得：x＝3或1，
经检验，x＝1符合题意，
故答案为：1．
6．（2022秋•市中区期中）观察下列一组等式，解答后面的问题：
（√2+1）（√2−1）＝1，（√3+√2）（√3−√2）＝1，（√4+√3）（√4−√3）＝1，（√5+√4）
（√5−√4）＝1，
（1）根据上面的规律：
1
① = √6−√5 ；
√6+√5
√3−√2
② = 5 ﹣ 2√6 ；
√3+√2
1 1 1 1
（2）计算：（ + + +⋯+ ）×（√2022+1）．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
1
（3）若a = ，则求a3﹣4a2﹣2a+1的值．
√2+1
【分析】（1）①根据平方差公式得出答案即可；
②先分母有理化，再求出答案即可；
（2）根据得出的规律进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算，最后根据二次根式的乘法法
则和平方差公式进行计算即可；
（3）求出a的值，再求出a2的值，再代入多项式a3﹣4a2﹣2a+1，最后根据二次根式的运算法则进行计
算即可．
1
【解答】解：（1）① =√6−√5，
√6+√5
故答案为：√6−√5；
√3−√2
②
√3+√2
(√3−√2) 2
=
(√3+√2)×(√3−√2)
3−2√6+2
=
3−2
＝5﹣2√6，
故答案为：5﹣2√6；1 1 1 1
（2）（ + + +⋯+ ）×（√2022+1）
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
＝（√2−1+√3−√2+•••+√2022−√2021）×（√2022+1）
＝（√2022−1）×（√2022+1）
＝（√2022）2﹣12
＝2022﹣1
＝2021；
1
（3）∵a = =√2−1，
√2+1
∴a2＝（√2−1）2＝2﹣2√2+1＝3﹣2√2，
∴a3﹣4a2﹣2a+1
＝（3﹣2√2）×（√2−1）﹣4×（3﹣2√2）﹣2×（√2−1）+1
＝3√2−3﹣4+2√2−12+8√2−2√2+2+1
＝11√2−16．
7．（2022秋•隆昌市校级月考）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题：
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一
√3+1
2 2(√3−1) 2(√3−1) 2(√3−1)
步化简：
= = = =√3−1，以上这种化简的步骤叫做分母
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2 −1 2
有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，
比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝﹣3，求a2+b2.我们可以把a+b和ab看成是一个整体，
令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝x2﹣2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
（1）计算： + + +⋯+ ；
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2023+√2021
√m+1−√m √m+1+√m
（2）m是正整数，a= ，b= 且2a2+1823ab+2b2＝2019，求m；
√m+1+√m √m+1−√m（3）已知√15+x2−√26−x2=1，求√15+x2+√26−x2的值．
【分析】（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简a，b，从而求出a+b＝4m+2，ab＝1，然后根据已知可得a2+b2＝98，再利
用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
1 1 1 1
【解答】解：（1） + + +⋯+
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2023+√2021
√3−1 √5−√3 √7−√5
= + + +...
(√3+1)(√3−1) (√5+√3)(√5−√3) (√7+√5)(√7−√5)
√2023−√2021
(√2023+√2021)(√2023−√2021)
√3−1 √5−√3 √7−√5 √2023−√2021
= + + +...+
2 2 2 2
1
= ×（√3−1+√5−√3+√7−√5+...+√2023−√2021）
2
√2023−1
= ；
2
√m+1−√m √m+1+√m
（2）∵a= ，b= ，
√m+1+√m √m+1−√m
(√m+1−√m) 2
∴a= =（√m+1−√m）2，
(√m+1+√m)(√m+1−√m)
(√m+1+√m) 2
b= =（√m+1+√m）2，
(√m+1−√m)(√m+1+√m)
∴a+b＝（√m+1−√m）2+（√m+1+√m）2＝2（2m+1）＝4m+2，
ab＝（√m+1−√m）2（√m+1+√m）2＝[（√m+1−√m）（√m+1+√m）]2＝（m+1﹣m）2＝1，
∵2a2+1823ab+2b2＝2019，
∴2a2+1823+2b2＝2019，
∴2a2+2b2＝196，
∴a2+b2＝98，
∴（a+b）2﹣2ab＝98，
∴（4m+2）2﹣2＝98，∴（4m+2）2＝100，
∴4m+2＝±10，
∴4m+2＝10或4m+2＝﹣10，
∴m ＝2，m ＝﹣3（不合题意，舍去），
1 2
∴m的值为2；
（3）∵√15+x2−√26−x2=1，
∴（√15+x2−√26−x2）2＝1，
∴15+x2﹣2√15+x2√26−x2+26﹣x2＝1，
∴√15+x2√26−x2=20，
∴（√15+x2+√26−x2）2
＝（√15+x2−√26−x2）2+4√15+x2√26−x2
＝12+4×20
＝1+80
＝81，
∵√15+x2≥0，√26−x2≥0，
∴√15+x2+√26−x2=9．
8．（2022秋•南海区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
1
已知a = ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
2+√3
1 2−√3
∵a = = = 2−√3，∴a﹣2=−√3，
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解析过程，解决如下问题：
1
（1） = √2− 1 ；
√2+11 1 1 1
（2）化简 + + +⋯+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √144+√143
1
（3）若a = ，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．
√26−5
【分析】（1）根据小明的解答过程即可进行计算；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得结果；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，可得答案．
1 √2−1
【解答】解：（1） = =√2−1，
√2+1 (√2+1)×(√2−1)
故答案为：√2−1；
1 1 1 1
（2） + + +...+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √144+√143
√2−1+√3−√2+√4−√3+...+√144−√143
=√144−1
＝12﹣1
＝11；
1
（3）∵a = =√26+5，
√26−5
∴a﹣5=√26，
∴（a﹣5）2＝26，即a2﹣10a+25＝26．
∴a2﹣10a＝1，
∴a4﹣10a3+a2﹣20a+5＝a2（a2﹣10a+1）﹣20a+5＝a2×（1+1）﹣20a+5＝2（a2﹣10a）+5＝2+5＝7．
答：a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值为7．
1
9．（2022秋•杏花岭区校级月考）小明在解决问题：已知a = ．求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与
2+√3
解的：
1 2−√3
∵a = = = 2−√3∴a﹣2=−√3
2+√3 (2+√3)(2−√3)
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
（1）化简 + + +⋯+ ；
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √50+√49（2）比较√6−√5 ＞ √7−√6；（填“＞”或“＜”）
（3）A题：若a=√2+1，则a2﹣2a+3＝ 4 ．
1
B题：若a = ，则4a2﹣4√3a+7＝ 5 ．
√3−1
【分析】（1）根据分母有理化的方法化简即可；
1 1
（2）先将 和 化简，比较大小，从而可比较√6−√5 和√7−√6；
√6−√5 √7−√6
（3）A题：由a=√2+1，可得a﹣1=√2，（a﹣1）2＝2，从而可得a2﹣2a＝1，进一步求解即可；
1 √3+1
B题：由a = ，可得a= ，从而可得2a−√3=1，两边同时作平方，可得4a2−4√3a=−2，
√3−1 2
进一步求解即可．
1 1 1 1
【解答】解：（1） + + +⋯+
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √50+√49
=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√50−√49
=√50−1
=5√2−1；
1
（2） =√6+√5，
√6−√5
1
=√7+√6，
√7−√6
∵√6+√5＜√7+√6，
∴√6−√5＞√7−√6，
故答案为：＞；
（3）A题：∵a=√2+1，
∴a﹣1=√2，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+3＝4，
故答案为：4；
1
B题：∵a = ，
√3−1√3+1
∴a= ，
2
∴2a−√3=1，
∴(2a−√3) 2=1，
即4a2−4√3a+3=1，
∴4a2−4√3a=−2，
∴4a2﹣4√3a+7＝5，
故答案为：5．
10．（2022秋•高新区校级月考）阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，
取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：（2+√3）（2−√3）＝1，（
√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
1 1×√3 √3
另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样理解：如： = = ，
√3 √3×√3 3
2+√3 (2+√3)(2+√3)
= = 7+4√3．像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或
2−√3 (2−√3)(2+√3)
把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
2 √2
（1）4−√7的有理化因式可以是 4+√7 ， 分母有理化得 ．
3√2 3
1 1 1 1 √3−1 √3+1
（2）计算：① + + +⋯ ．②已知：x= ，y= ，求
1+√2 √2+√3 √3+√4 √1999+√2000 √3+1 √3−1
x2+y2的值．
2
【分析】（1）根据有理化因式的定义确定4−√7的有理化因式，把 分子分母都乘以√2可分母有理
3√2
化；
（2）①先分母有理化，然后合并即可；
②先利用分母有理化得到x＝2−√3，y＝2+√3，再计算出x+y＝4，xy＝1，然后利用完全平方公式得
到x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，最后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）4−√7有理化因式可以是4+√7，2 2×√2 √2
= = ；
3√2 3√2×√2 3
√2
故答案为：4+√7， ；
3
（2）①原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+•••+√2000−√1999
=√2000−1
＝20√5−1；
√3−1 (√3−1) 2 √3+1 (√3+1) 2
②∵x= = =2−√3，y= = =2+√3，
√3+1 (√3+1)(√3−1) √3−1 (√3−1)(√3+1)
∴x+y＝4，xy＝1，
x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×1＝14．
11．（2022秋•揭阳期中）阅读理解题：
1
已知a = ，将其分母有理化．
2+√3
小明同学是这样解答的：
1 2−√3
a= = =2−√3．
2+√3 (2+√3)(2−√3)
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
1
（1）计算： ；
√2+1
1 1 1 1
（2）计算： + + +⋯⋯+ ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
1
（3）若a = ，求2a2+8a+1的值．
2−√5
【分析】（1）直接分母有理化即可；
（2）把分式变形，然后裂项相消即可；
（3）先对a进行分母有理化，然后化简2a2+8a+1，代入求值即可．
1 √2−1
【解答】解：（1） = =√2−1；
√2+1 (√2+1)(√2−1)
1 1 1 1
（2） + + +⋯⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √2022+√2021
=√2−1+（√3−√2）+（√4−√3）+……+（√2022−√2021）
＝﹣1+√2022．2+√5
（3）a = =−（2+√5），
(2−√5)(2+√5)
2a2+8a+1＝2（a2+4a+4）﹣7＝2（a+2）2﹣7，
将a＝﹣（2+√5）代入得，2×(−√5) 2−7＝3．
12．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+√3)×(2−√3)=1，
(√5+√2)×(√5−√2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：
1 1×√3 √3 2+√3 (2+√3)×(2+√3)
= = ， = =7+4√3．
√3 √3×√3 3 2−√3 (2−√3)×(2+√3)
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+√7的一个有理化因式是 4−√7 ．
√3+√2 √3−√2 1 1
（2）已知x= ，y= ，则 + = 1 0 ．
√3−√2 √3+√2 x y
1 1 1 1 1
（3）利用上面所提供的解法，请化简 + + +⋯+ + ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
【分析】（1）根据有理化因式的概念解答；
（2）利用二次根式的乘法法则计算；
（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．
【解答】解：（1）∵（4+√7）（4−√7）＝16﹣7＝9，
∴4+√7的一个有理化因式是4−√7，
故答案为：4−√7；
√3+√2
（2）∵x= ，
√3−√2
1 √3−√2 (√3−√2) 2
∴ = = =（√3−√2）2＝5﹣2√6，
x √3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1
同理， = 5+2√6，
y
1 1
∴ + = 5﹣2√6+5+2√6=10，
x y故答案为：10；
（3）原式=√2−1+√3−√2+⋯+√100−√99
＝10﹣1
＝9．
13．（2022秋•新城区校级月考）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数
是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：
{a(a≥0)，
a2=|a|=
来进一步化简．
−a(a＜0)
比如：√x2+2x+1=√(x+1) 2=|x+1|，∴当x+1≥0即x≥﹣1时，原式＝x+1；当x+1＜0即x＜﹣1
时，原式＝﹣x﹣1．
√ 1
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简 m2−m+ ．
4
（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若a＝9，求a+√1−2a+a2的值”时谁的答案正确，并说明理由．
甲的答案：原式=a+√(1−a) 2=a+(1−a)=1；
乙的答案：原式=a+√(1−a) 2=a+(a−1)=2a−1=2×9−1=17．
（3）化简并求值：|x−1|+√4−4x+x2，其中x=√5．
【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简；
（2）根据a＝9，得1﹣a＜0，即可判断出答案；
（3）根据x=√5，得x﹣1＞0，2﹣x＜0，即可化简求值．
√ 1
【解答】解：（1） m2−m+
4
√ 1
= (m− ) 2
2
1
＝|m− |，
2
1 1 1
∴当m− ≥0即m≥ 时，原式＝m− ，
2 2 21 1 1
当m− ＜0即m＜ 时，原式＝﹣m+ ．
2 2 2
（2）∵a＝9，
∴1﹣a＜0，
∴原式=a+√(1−a) 2=a+(a−1)=2a−1=2×9−1=17．
∴乙的答案正确．
（3）∵x=√5，
∴x﹣1＞0，2﹣x＜0，
∴|x−1|+√4−4x+x2
＝x﹣1+√(2−x) 2
＝x﹣1+x﹣2
＝2x﹣3
＝2√5−3．
14．（2022秋•清水县校级月考）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一
√3+1
2 2(√3−1) 2(√3−1) 2(√3−1)
步化简： = = = =√3−1，以上这种化简的步骤叫做分母
√3+1 (√3+1)(√3−1) (√3) 2−1 2
有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，
比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b＝2，ab＝−3，求a2+b2．我们可以把a+b和ab看成是一个整体，
令x＝a+b，y＝ab，则a2+b2＝（a+b）2−2ab＝x2−2y＝4+6＝10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
（1）计算： + + +⋯⋯+ ；
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2019+√2017
√m+1−√m √m+1+√m
（2）m是正整数，a= ，b= 且2a2+1823ab+2b2＝2019．求m．
√m+1+√m √m+1−√m
（3）已知√15+x2−√26−x2=1，求√15+x2+√26−x2的值．1
【分析】（1）根据阅读材料的方法先进行分母有理化，再提取公因数 ，继而两两相消，进一步计算
2
即可；
（2）先求出a+b＝2（2m+1），ab＝1，再将所求代数式化简为（a+b）2﹣2ab＝98，然后代入计算即可；
（ 3 ） 利 用 完 全 平 方 公 式 求 出 √15+x2• √26−x2=20 ， 那 么 （ √15+x2+√26−x2） 2 ＝ （
√15+x2−√26−x2）2+4√15+x2•√26−x2=12+4×20＝81，进而求解即可．
√3−1 √5−√3 √7−√5 √2019−√2017
【解答】解：（1）原式= + + +⋯⋯+
2 2 2 2
1
= （√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯⋯+√2019−√2017）
2
1
= （√2019−1）
2
√2019−1
= ；
2
√m+1−√m √m+1+√m
（2）∵a= =（√m+1−√m）2，b= =（√m+1+√m）2，
√m+1+√m √m+1−√m
∴a+b＝（√m+1−√m）2+（√m+1+√m）2＝2（2m+1），ab＝1．
∵2a2+1823ab+2b2＝2019，
∴2（a2+b2）+1823＝2019，
∴a2+b2＝98，
∴（a+b）2﹣2ab＝98，
∴4（2m+1）2﹣2＝98，
∴m＝2或﹣3，
∵m是正整数，
∴m＝2；
（3）∵√15+x2−√26−x2=1，
∴（√15+x2−√26−x2）2＝1，
∴15+x2﹣2√15+x2•√26−x2+26﹣x2＝1，∴√15+x2•√26−x2=20，
∴（√15+x2+√26−x2）2＝（√15+x2−√26−x2）2+4√15+x2•√26−x2=12+4×20＝81，
∵√15+x2≥0，√26−x2≥0，
∴√15+x2+√26−x2=9．
15．（2022春•东莞市期中）阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的
一层根号．
例如：√3+2√2=√3+2×1×√2=√12+2×1×√2+(√2) 2=√ (1+√2) 2=1+√2．
解决问题：
（ 1 ） 在 括 号 内 填 上 适 当 的 数 ：
√14+6√5=√(①)+2×3×√5+(②)=√(③) 2+2×3×√5+(④) 2=√ (3+√5) 2=⑤，①： 9 ，②：
5 ，③ 3 ，④： √5 ，⑤： 3+√5 ；
（2）根据上述思路，试将√28−10√3予以化简．
【分析】（1）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可；
（2）根据阅读材料将根式内的数配成完全平方的形式去一层根号即可．
【解答】解：（1）√14+6√5
=√9+2×3×√5+5
=√32+2×3×√5+(√5) 2
=√ (3+√5) 2
＝3+√5．
故答案为：①：9，②：5，③：3，④：√5，⑤：3+√5；
（2）原式=√25−2×5×√3+3
=√52−2×5×√3+(√3) 2
=√(5−√3) 2＝5−√3．
16．（2022春•交城县期中）阅读下面的材料，并解决问题．
1 √2−1
= =√2−1；
√2+1 (√2+1)(√2−1)
1 √3−√2
= =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1 2−√3
= =2−√3；
2+√3 (2+√3)(2−√3)
…
1
（1）观察上式并填空： = √11−√10 ；
√11+√10
1
（2）观察上述规律并猜想：当n是正整数时 = √n+1−√n （用含n的式子表示）；
√n+1+√n
1 1 1
（3）请利用（2）的结论计算：( + +⋯+ )×(√361+1)．
√2+1 √3+√2 √361+√360
【分析】（1）仿照阅读材料，分母有理化即可；
（2）仿照阅读材料，分母有理化即可；
（3）先将各二次根式分母有理化，算出括号内的，再用平方差公式计算即可．
1 √11−√10
【解答】解：（1） = =√11−√10，
√11+√10 (√11+√10)(√11−√10)
故答案为：√11−√10；
1 √n+1−√n
（2） = =√n+1−√n，
√n+1+√n (√n+1+√n)(√n+1−√n)
故答案为：√n+1−√n；
（3）原式＝（√2−1+√3−√2+...+√361−√360）×（√361+1）
＝（√361−1）×（√361+1）
＝361﹣1
＝360．
17．（2022春•赤坎区校级期末）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因
式，例如√a与√a，√2+1与√2−1．这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘
√2 √2×√3 √6
以 分 母 的 有 理 化 因 式 的 方 法 就 可 以 了 ， 例 如 ： = = ，
√3 √3×√3 32 2(3+√3) 2(3+√3) 2(3+√3) 3+√3．
= = = =
3−√3 (3−√3)(3+√3) 9−3 6 3
（1）请你写出3+√11的有理化因式： 3−√11 ；
1−b
（2）请仿照上面的方法化简 （b≥0且b≠1）；
1−√b
1 1
（3）已知a = ，b = ，求√a2+b2+2的值．
√3−2 √3+2
【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解答；
（2）根据一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法进行化简；
（3）通过分母有理化可化简a、b，从而求出a+b、ab，根据√a2+b2+2=√(a+b) 2−2ab+2，将
a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+√11）（3−√11）＝9﹣11＝﹣2，
∴3−√11是3+√11的有理化因式，
故答案为：3−√11；
1−b
（2）
1−√b
(1−b)(1+√b)
=
(1−√b)(1+√b)
(1−b)(1+√b)
=
1−b
＝1+√b；
1 1
（3）∵a = =−√3−2，b = = 2−√3，
√3−2 √3+2
∴a+b＝﹣2√3，ab＝﹣1，
∴√a2+b2+2
=√(a+b) 2−2ab+2
=√(−2√3) 2−2×(−1)+2
=√16
＝4．18．（2022春•呼和浩特期末）（1）计算：√18−
√9
−
√3+√6
+(√3−2) 0 ；
2 √3
（2）已知x=2−√3，求代数式(7+4√3)x2+(2+√3)x+√3的值；
2 3x2+x
（3）先化简，再求值：(3− )÷ ，其中x=√3+1．
x+1 x+1
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、零指数幂的性质计算；
（2）先根据完全平方公式求出x2，再根据二次根式的乘法法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
3√2
【解答】解：（1）原式＝3√2− −1−√2+1
2
√2
= ；
2
（2）∵x＝2−√3，
∴x2＝（2−√3）2＝4﹣4√3+3＝7﹣4√3，
则原式＝（7+4√3）（7﹣4√3）+（2+√3）（2−√3）+√3
＝49﹣48+4﹣3+√3
＝2+√3；
3x+3 2 x+1
（3）原式＝（ − ）•
x+1 x+1 x(3x+1)
3x+1 x+1
= •
x+1 x(3x+1)
1
= ，
x
1 √3−1
当x=√3+1时，原式= = ．
√3+1 2
19．（2022春•临汾期末）（1）计算：6+（√5+1）（√5−1）．
（2）下面是夏红同学对题目的计算过程，请认真阅读并完成相应的任务．
x2
题目：已知x=√2，求x+1− 的值．
x−1
(x+1)(x−1)−x2
原式= ⋯第一步
x−1
x2−1−x2
= ⋯第二步
x−1−1
= ．…第三步
x−1
把x=√2代入上式，得
−1
原式= ⋯第四步
√2−1
−1
= ⋯第五步
(√2+1)(√2−1)
＝﹣1…第六步
任务一：填空：
①在化简步骤中，第 一 步是进行分式的通分．
②第 五 步开始出错，这一错误的原因是 分子没有乘（√2+ 1 ） ．
任务二：请直接写出该题计算后的正确结果．
【分析】（1）根据平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）任务一：①根据题目中的解答过程可以解答本题；
②根据题目中的解答过程可以发现哪一步出错了，并写出错因即可；
任务二：根据分式的计算方法和二次根式分母有理化的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）6+（√5+1）（√5−1）
＝6+5﹣1
＝10；
（2）任务一：填空：
①在化简步骤中，第一步是进行分式的通分．
故答案为：一；
②第五步开始出错，这一错误的原因是分子没有乘（√2+1），
故答案为：五，分子没有乘（√2+1）；
任务二：﹣1−√2，
(x+1)(x−1)−x2
计算过程为：原式=
x−1
x2−1−x2
=
x−1
−1
= ．
x−1
−1 −1×(√2+1)
当x=√2时，原式= = =−1−√2．
√2−1 (√2+1)(√2−1)20．（2022春•章贡区期末）阅读并完成下面问题：
1 1×(√2−1)
①
= =√2−1；
1+√2 (√2+1)(√2−1)
1 √3−√2
②
= =√3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
1 √5−√3 √5−√3
③ = = ．
√5+√3 (√5+√3)(√5−√3) 2
试求：
（1）下列各数中，与2−√3的积是有理数的是 A ．
A．2+√3
B．2
C．√3
D．2−√3
（2）√7+√6的倒数为 √7−√6 ；
1
（3）若x = ，求x2﹣2x的值．
√2−1
【分析】（1）观察已知等式确定出2−√3的有理化因式即可；
（2）求出√7+√6的倒数，化简即可；
（3）原式利用完全平方公式化简后，把x分母有理化代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）与2−√3的积是有理数的是2+√3；
故选：A；
1 √7−√6
（2）√7+√6的倒数为 = =√7−√6；
√7+√6 (√7+√6)(√7−√6)
故答案为：√7−√6；
1 √2+1
（3）∵x = = =√2+ 1，
√2−1 (√2+1)(√2−1)
∴原式＝（x﹣1）2﹣1＝（√2+1﹣1）2﹣1＝2﹣1＝1．
21．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
√2+1 (√2+1)(√2+1)
如： = = 3+2√2．
√2−1 (√2−1)(√2+1)
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简√2+√3−√2−√3．解：设x=√2+√3−√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x＞0．
由于x2＝（√2+√3−√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2．
解得x=√2，即√2+√3−√2−√3=√2
3−2√2
根据以上方法，化简： +√3−√5−√3+√5．
3+2√2
3−2√2
【分析】根据题目提供的方法先计算√3−√5−√3+√5．再计算 ，进而进行计算即可．
3+2√2
【解答】解：设x=√3−√5−√3+√5，易知√3−√5＜√3+√5，故x＜0，
由于x2＝（√3−√5−√3+√5）2＝3−√5+3+√5−2√(3−√5)(3+√5)=2，
所以x=−√2，即√3−√5−√3+√5=−√2，
(3−2√2)(3−2√2)
所以原式= −√2
(3+2√2)(3−2√2)
＝17﹣12√2−√2
＝17﹣13√2．
22．（2018秋•天河区校级期中）小马在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个含根号
的式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了如下探索：
设a+b√2=（m+n√2）2，（其中a、b、m、n均为正整数）则有a+b√2=m2+2mn√2+2n2．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样，小马找到了把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m，n的式子分别表示a，b得，a＝
m 2 +3 n 2 ，b＝ 2 m n ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 1 3 + 4 √3=（ 1 + 2 √3）2．
（3）设x=√3+√2，试用含有x的代数式（各项系数均为有理数）来表示√2．（要写出必要过程）
【分析】（1）已知等式右边利用完全平方公式展开，表示出a与b即可；
（2）令m＝1，n＝2，确定出a与b的值即可；
（3）先把已知条件变形得到x−√2=√3，再两边平方得到x2﹣2√2x+2＝3，然后用x表示√2即可．
【解答】解：（1）∵（m+n√3）2＝m2+2mn√3+3n2，
而a+b√3=（m+n√3）2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；故答案为m2+3n2，2mn；
（2）令m＝1，n＝2，则a＝m2+3n2＝1+3×4＝13，b＝2mn＝4，
∴13+4√3=（1+2√3）2；
故答案为13，4，1，2；
（3）∵x=√3+√2，
∴x−√2=√3，
∴（x−√2）2＝3，
∴x2﹣2√2x+2＝3，
x2−1
∴√2= ．
2
23．先阅读下面的材料．再解答下面的问题．
∵（√a+√b）（√a−√b）＝a﹣b，
∴a﹣b＝（√a+√b）（√a−√b）
特别地．（√12+√11）×（√12−√11）＝1，
1
∴ =√12+√11，
√12−√11
当然也可以利用12﹣11＝1得1＝12﹣11，
1 (√12) 2−(√11) 2
故 = =√12+√11
√12−√11 √12−√11
这种变形也是将分母有理化．
利用上述的思路方法解答下列问题：
1 1 1 1 1
（1）计算： − + − + ；
3−√8 √8−√7 √7−√6 √6−√5 √5+2
5 4 2
（2）计算： − − ．
4−√11 √11−√7 3+√7
【分析】（1）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可；
（2）先把每一部分分母有理化，化简后合并同类二次根式即可．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 原 式
3+√8 √8+√7 √7+√6 √6+√5 √5−2
= − + − +
(3−√8)(3+√8) (√8−√7)(√8+√7) (√7−√6)(√7+√6) (√6−√5)(√6+√5) (√5+2)(√5−2)
＝3+√8−（√8+√7）+√7+√6−（√6+√5）+√5−2
＝3﹣2＝1；
5×(4+√11) 4×(√11+√7) 2×(3−√7)
（2）原式= − −
(4−√11)(4+√11) (√11−√7)(√11+√7) (3+√7)(3−√7)
＝4+√11−（√11+√7）﹣（3−√7））
＝4+√11−√11−√7−3+√7
＝1．
24．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一
个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
(√7−√6)(√7+√6) 1
比如：√7−√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较
1 1
√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6= ，√6−√5= ．
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5．
再例如，求y=√x+2−√x−2的最大值、做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y =√x+2−√x−2= ．
√x+2+√x−2
当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；
（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．
1 1
【分析】（1）先将两数变形为 、 ，再由√15＞√13知√15+√14＞√14+√13，
√15+√14 √14+√13
从而得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出 x≥1，据此知√x+1+√x−1有最小值√2，从而得到 y
2
=√x+1−√x−1+3= +3的最大值．
√x+1+√x−1
1
【解答】解：（1）√15−√14= ，
√15+√14
1
√14−√13= ，
√14+√13而√15＞√13，
∴√15+√14＞√14+√13，
∴√15−√14＜√14−√13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
2
∵y =√x+1−√x−1+3= +3，
√x+1+√x−1
当x＝1时，分母√x+1+√x−1有最小值√2，
2
∴y = +3有最大值是√2+3．
√x+1+√x−1
25．（2020秋•吴江区期中）像√2⋅√2=2；(√3+1)(√3−1)=2；(√5+√2)(√5−√2)=3⋯两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．爱动脑筋的小明同学在
进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．
1 √3 √3
（1） = = ；
2√3 2√3×√3 6
√2+1 (√2+1) 2 2+2√2+1
（2） = = =3+2√2．
√2−1 (√2−1)(√2+1) 2−1
勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
（3）化简：√3+√5−√3−√5．
解：设x=√3+√5−√3−√5，易知√3+√5＞√3−√5，∴x＞0．
由：x2＝3+√5+3−√5−2√(3+√5)(3−√5)=6−2√4=2．解得x=√2．
即√3+√5−√3−√5=√2．
请你解决下列问题：
（1）2√3−3√5的有理化因式是 2√3+3√5 ；
3 1 1
（2）化简： + + ；
√3 √2−1 2+√3
（3）化简：√6−3√3−√6+3√3．
【分析】（1）找出原式的有理化因式即可；
（2）原式各式分母有理化，计算即可求出值；
（3）设x=√6−3√3−√6+3√3，判断出x小于0，将左右两边平方求出x的值即可．
【解答】解：（1）2√3−3√5的有理化因式是2√3+3√5；故答案为：2√3+3√5；
（2）原式=√3+√2+1+2−√3
=√2+3；
（3）设x=√6−3√3−√6+3√3，可得√6−3√3＜√6+3√3，即x＜0，
由题意得：x2＝6﹣3√3+6+3√3−2√(6−3√3)(6+3√3)=12﹣6＝6，
解得：x=−√6，
则原式=−√6．
26．（2019秋•郫都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个
式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+√2b＝（m+√2n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+√2b＝m2+2n2+2√2mn，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+√2b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+√6b＝（m+√6n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
a＝ m 2 + 6 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）若a+4√3=（m+√3n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：√7−√21+√80．
【分析】（1）利用完全平方公式展开得到（m+√6n）2＝m2+6n2+2√6mn，从而可用m、n表示a、b；
（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）∵（m+√6n）2＝m2+6n2+2√6mn，a+√6b＝（m+√6n）2，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn．
故答案为m2+6n2，2mn；
（2）∵（m+√3n）2＝m2+3n2+2√3mn，a+4√3=（m+√3n）2，
∴a＝m2+3n2，mn＝2，
∵m、n均为正整数，
∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，
∴a＝13或7；
（3）√21+√80=√20+4√5+1=√(2√5+1) 2=2√5+1，则√7−√21+√80
=√7−2√5−1
=√6−2√5
=√(√5−1) 2
=√5−1．
27．（2021春•长兴县月考）阅读下列材料，解答后面的问题：
在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的
一些运算．如：
①要使二次根式√a−2有意义，则需a﹣2≥0，解得：a≥2；
√ 1 1 1 1
② 化 简 ： 1+ + ， 则 需 计 算 1 + + ， 而 1
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2
1 1 n2 (n+1) 2+(n+1) 2+n2 n2 (n+1) 2+n2+2n+1+n2 n2 (n+1) 2+2n2+2n+1 n2 (n+1) 2+2n(n+1)+1 [n(n+1)+1] 2
+ + = = = = =
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2
，
所以 √ 1+ 1 + 1 = √[n(n+1)+1] 2 = n(n+1)+1 =1 + 1 = 1 + 1 − 1 ．
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2 n(n+1) n(n+1) n n+1
√ a+2 √a+2
（1）根据二次根式的性质，要使 = 成立，求a的取值范围；
3−a √3−a
（2）利用①中的提示，请解答：如果b=√a−2+√2−a+1，求a+b的值；
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1
（3）利用②中的结论，计算： 1+ + + 1+ + + 1+ + +⋯+ 1+ + ．
12 22 22 32 32 42 20202 20212
【分析】（1）根据二次根式成立的条件求解即可；
（2）根据二次根式成立的条件求出a，b的值，进而求解即可；
（3）利用②中的结论求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，¿，
∴﹣2≤a＜3；
（2）由题意得，¿，∴a＝2，
∴b=√2−2+√2−2+1＝0+0+1＝1，
∴a+b＝2+1＝3；
1 1 1 1 1 1
（3）原式＝（1+ − ）+（1+ − ）+⋯+（1+ − ）
1 2 2 3 2020 2021
1
＝1×2020+1−
2021
2020
＝2020 ．
2021
28．（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
(√7−√6)(√7+√6) 1
√7−√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
1
比 较 √7−√6和 √6−√5的 大 小 ． 可 以 先 将 它 们 分 子 有 理 化 ． 如 下 ： √7−√6= ，
√7+√6
1
√6−√5= ．
√6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．
再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y =√x+2−√x−2= ．
√x+2+√x−2
当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；
（2）求y=√1+x−√x的最大值．
2 2
【分析】（1）利用分母有理化得到 3√2−4 = ，2√3−√10= ，利用 3√2+4＞2
3√2+4 2√3+√10
√3+√10可判断3√2−4＜2√3−√10；
1
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y =
√1+x+√x
，由于x＝0时，√1+x+√x有最小值1，从而得到y的最大值．(3√2+4)(3√2−4) 2
【解答】解：（1）∵3√2−4= = ，
3√2+4 3√2+4
(2√3+√10)(2√3−√10) 2
2√3−√10= = ，
2√3+√10 2√3+√10
而3√2＞2√3，4＞√10，
∴3√2+4＞2√3+√10，
∴3√2−4＜2√3−√10；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
1
而y =√1+x−√x= ，
√1+x+√x
∵x＝0时，√1+x+√x有最小值1，
∴y的最大值为1．
29．（2021春•朝阳区校级期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的
结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么√a2±2ab+b2=|a±b|．如
何将双重二次根式√5±2√6化简？我们可以把5±2√6转化为(√3) 2±2√6+(√2) 2=(√3±√2) 2完全平
方的形式，因此双重二次根式√5±2√6=√(√3±√2) 2=√3±√2得以化简．
{ y(x≥0)
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′= ，
−y(x＜0)
则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的
“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点(√2，−√3)的“横负纵变点”为 （√2，−√3） ，
点(−3√3，−2)的“横负纵变点”为 （﹣ 3√3 ， 2 ） ；
（2）化简：√7+2√10；
1 ❑
（3）已知 a为常数（1≤a≤2），点 M（−√2，m）且m= (√a+2√a−1+√a−2√a−1)，点
√2
M'是点M的“横负纵变点”，则点M'的坐标是 （−√2，−√2） ．
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义解答；（2）根据材料一，模仿解答；
（3）先化简m得到点M的坐标，再根据点M'是点M的“横负纵变点”，求出点M′的坐标．
【解答】解：（1）∵√2≥0，
∴点(√2，−√3)的“横负纵变点”为（√2，−√3）；
∵﹣3√3＜0，
∴点(−3√3，−2)的“横负纵变点”为（﹣3√3，2）；
故答案为：（√2，−√3）；（﹣3√3，2）．
（2）√7+2√10
=√(√5) 2+2×√5×√2+(√2) 2
=√(√5+√2) 2
＝|√5+√2|
=√5+√2；
（3）∵1≤a≤2，
∴0≤a﹣1≤1，
∴0≤√a−1≤1，
∴√a−1−1≤0．
1
∴m = (√(√a−1) 2+2√a−1⋅1+12+√(√a−1) 2−2√a−1⋅1+12 )
√2
1
= （|√a−1+1|+|√a−1−1|）
√2
1
= （√a−1+1+1−√a−1）
√2
1
= ×2
√2
=√2，
∴M（−√2，√2），
∵−√2＜0，
∴M′（−√2，−√2）．
故答案为：（−√2，−√2）．30．（2021秋•高州市期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．
设 a+b√2=(m+n√2) 2（其中 a、b、m、n 均为正整数），则有 a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝
m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a
＝ m 2 + 3 n 2 ，b＝ 2 m n ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 2 1 + 4 √5=（ 1 + 2 √5）2；
1 1
（3）化简 −
√16−6√7 √11+4√7
【分析】（1）将（m+n√3）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设a+b√5=(m+n√5) 2，则(m+n√5) 2=m2+2mn√5+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b√5，可
将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并
同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：（1）∵a+b√3=(m+n√3) 2，(m+n√3) 2=m2+2mn√3+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b√5=(m+n√5) 2
则(m+n√5) 2=m2+2mn√5+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
1 1
（3） −
√16−6√7 √11+4√7
1 1
= −
√(3−√7) 2 √(√7+2) 2
1 1
= −
3−√7 √7+23+√7 √7−2
= −
(3−√7)(3+√7) (√7+2)(√7−2)
3+√7 √7−2
= −
2 3
3 2 √7 √7
= + + −
2 3 2 3
13 √7
= +
6 6
