文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题18.8平行四边形的性质与判定大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022春•临潼区期末）已知，如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF．求
证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的对角线互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，进而得
到OE＝OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得证．
【解答】证明：如图，连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又OB＝OD，
∴四边形DEBF是平行四边形．
2．（2022春•昭平县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在
AC的延长线上，∠FEC＝∠B，
（1）CF＝DE成立吗？试说明理由．
（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四边形DCFE的面积．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝BD，再根据等边对等角可得∠B
＝∠DCE，然后求出∠FEC＝∠DCE，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CED＝90°，然后求出
∠CED＝∠ECF＝90°，再利用“角边角”证明△CDE和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等证明
即可．
（2）由三角形的中位线定理得到DE的长度，再由平行四边形的面积公式求得．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACB＝90°，点D是AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠FEC＝∠B，
∴∠FEC＝∠DCE，
∵点E是BC的中点，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ECF＝90°，
在△CDE和△ECF中，
∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴CF＝DE；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴BC＝ ＝8，
∵点D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE＝ AC＝3，CE＝ ，
∴S四边形DCFE ＝3×4＝12．
3．（2021春•思明区校级期中）已知，如图，AC为 ABCD的对角线，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为
▱E，F，求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】欲证明四边形DEBF是平行四边形，只要证明DE＝BF，DE∥BF即可．
【解答】证明∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，∠DAC＝∠BCA，
又∵DE⊥AC BF⊥AC
∴∠DEA＝∠BFC＝90°，DE∥BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
4．（2021春•陈仓区期末）如图，在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四▱边形；
（2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，求BD的长．
【分析】（1）连接BD交AC于O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可．
（2）在Rt△BEF中，EF＝ ＝ ＝6，推出OE＝OF＝3，在Rt△BEO中，OB＝＝ ＝ ，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵BE⊥AC，
∴∠BEF＝90°，
在Rt△BEF中，EF＝ ＝ ＝6，
∴OE＝OF＝3，
在Rt△BEO中，OB＝ ＝ ＝ ，
∴BD＝2OB＝2 ．
5．（2021春•江夏区期末）如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点 E和点F，BE＝
DF．求证：四边形AECF是平行四边▱形．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形易知OA＝OC，OC＝OD，再证得OE＝OF，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC，设AC与BD交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵BE＝DF，∴OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
6．（2020•百色模拟）已知：如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若AC＝BC＝5，AB＝6，求四边形AMCN的面积．
【分析】（1）由题意可得AB∥CD，AB＝CD，又由M，N分别是AB和CD的中点可得AM＝∥CN，
即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质可得CM⊥AB，AM＝3，根据勾股定理可得CM＝4，则可求面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴AM＝ AB，CN＝ CD，
∴AM＝CN，且AB∥CD，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）∵AC＝BC＝5，AB＝6，M是AB中点，
∴AM＝MB＝3，CM⊥AM，
∴CM＝ ，
∵四边形AMCN是平行四边形，且CM⊥AM，
∴四边形AMCN是矩形，
∴S四边形AMCN ＝12．7．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：
AD＝BE．
【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，再由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得
出四边形ABED是平行四边形，进而得出结论．
【解答】证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C．
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DEC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD＝BE．
8．（2021春•亭湖区校级期中）已知：在 ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，对角线
AC、BD交于点O． ▱
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）BF∥DE．
【分析】（1）利用SAS证明三角形全等即可；
（2）证得四边形EBFD是平行四边形即可利用对边平行证得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，∴△ABF≌△CDE（SAS）；
（2）连接BF，DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OB，OC＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∴BF∥DE．
9．（2021春•苏州期中）如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AC与EF交于点O，且AO＝
CO． ▱
（1）求证：AF＝EC；
（2）连接AE，CF，若AC＝8，EF＝6，且EF⊥AC，求四边形AECF的周长．
【分析】（1）先由ASA证明△AOF≌△COE，得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对角线互相平分确定OE＝3，OA＝4，然后求得AE＝5，从而求得答案．
【解答】（1）证明：连接AE，CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴FO＝EO，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF＝EC；
（2）解∵四边形AECF是平行四边形，AC＝8，EF＝6，
∴OA＝OC＝4，OE＝OF＝3，
∵EF⊥AC，
∴AE＝EC＝CF＝FA＝ ＝5，
∴四边形AECF的周长为4×5＝20．
10．（2021•饶平县校级模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且
BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点▱G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形证明△AOE≌△COF，即可得结论；
（2）结合（1）证明四边形AGCH是平行四边形，再根据已知条件证明GA＝GC，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
11．（2022秋•良庆区校级月考）如图，点E，F是 ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形； ▱
（2）若AB⊥BF，AB＝4，BF＝3，AC＝8．
①线段EF长为 2 ．
②求四边形BEDF的面积．
【分析】（1）连接BD交AC于O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可；
（2）①由勾股定理可求AF的长，即可求CF＝AE＝3，即可求解；
②由“SSS”可证△BEF≌△DFE，可得S△BEF ＝S△DFE ，即可求解．【解答】（1）证明：连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵OB＝OD，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①在Rt△ABF中，AF＝ ＝ ＝5，
∵AC＝8，
∴CF＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，
∵AE＝CF，
∴EF＝AF﹣AE＝2，
故答案为：2；
②过点B作BH⊥AF于H，
∵AB⊥BF，AB＝4，BF＝3，AF＝5，
∴S△ABF ＝ AB•BF＝ AF•BH，
∴3×4＝5BH，解得BH＝ ，
∵四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF，BF＝DE，
在△BEF和△DFE中，
，
∴△BEF≌△DFE（SSS），
∴S△BEF ＝S△DFE ，
∴S四边形BEDF ＝2S△BEF ＝2× ×2× ＝ ．
12．（2022春•东莞市期中）如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点
F，使CF＝ BC连接CD和EF．
（1）求证：DC＝EF；
（2）求EF的长．
【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝ BC，证明四边形DCFE为平行四边形，根
据平行四边形的性质得到DC＝EF；
（2）根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到∠BCD＝30°，CD⊥AB，根据含30°角的直角
三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∵CF＝ BC，
∴DE＝CF，
∵DE∥CF，∴四边形DCFE为平行四边形，
∴DC＝EF；
（2）解：∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
∴∠BCD＝ ∠BCA＝30°，CD⊥AB，
∴BD＝ BC＝2，
∴CD＝ ＝ ＝2 ，
∴EF＝CD＝2 ．
13．（2022春•宿豫区期中）如图，在 ABCD中，点E、F在BD上，且DA＝DE，BC＝BF．求证：四边
形AECF是平行四边形． ▱
【分析】连接AC交BD于O，根据平行四边形的性质和判断定理即可得到结论．
【解答】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝CB，
∵DA＝DE，BC＝BF，
∴DE＝BF，
∴DE﹣OD＝BF﹣OB，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
14．（2022春•芜湖期中）如图，在△ABC的BC边的同侧分别作等边△ABD，等边△BCF和等边△ACE．
（1）证明：△ABC≌△DBF；
（2）证明：四边形AEFD是平行四边形；
（3）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，则∠DFE的度数为 15 0 °．（直接填空）【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BD＝AD，CB＝CF＝FB，AC＝CE＝AE，∠CBF＝∠ABD
＝60°，求出∠CBA＝∠FBD，即可证△ABC≌△DBF；
（2）根据全等三角形的性质得DF＝AC＝AE，同理得出EF＝BA＝AD，即可得出结论；
（3）根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，根据周角的定义得∠DAE＝360°
﹣∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE＝150°，根据平行四边形的对角相等即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCF是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD，BC＝CF＝BF，∠CBF＝∠ABD＝60°，
∴∠CBA＝∠FBD＝60°﹣∠ABF，
在△ABC和△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DBF（SAS），
∴DF＝AC，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE，
∴DF＝AC＝AE，
同理：EF＝BA＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（3）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣∠BAC﹣∠BAD﹣∠CAE＝150°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DFE＝∠DAE＝150°．
故答案为：150．
15．（2022•道外区三模）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，E、A、D、C在同一
直线上，AB、EF交于点M，DF、BC交于点N，连接MN，若∠B＝∠FMN，且EF⊥BC．
（1）求证：AM＝DN；
（2）在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出与∠F所有相等的角．
【分析】（1）设MF交BC于点G，根据三角形的内角和得出∠C＝∠MNB，则MN∥AD，根据垂直的
定义得到∠BAC+∠EDF＝180°，则AM∥DN，即可判定四边形AMND是平行四边形，根据平行四边形
的性质即可得解；
（2）结合（1）推出四边形AMND是矩形，根据矩形的性质、三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：设MF交BC于点G，
∵EF⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠MGN＝90°＝∠BAC，
∵∠B＝∠FMN，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B，∠MNB＝180°﹣∠MGN﹣∠FMN，
∴∠C＝∠MNB，
∴MN∥AD（同位角相等，两直线平行），∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴AM∥DN （同旁内角互补，两直线平行），
∴四边形AMND是平行四边形，
∴AM＝DN；
（2）解：由（1）可得四边形AMND是平行四边形，AM∥DN，AD∥MN，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴∠BAC＝∠EDF＝∠NDC＝∠EAM＝∠MNF＝∠MGN＝∠NGF＝90°，
∵AM∥DN，
∴∠BMF＝∠F，
∵∠BMF＝∠EMA，
∴∠EMA＝∠F，
∵∠NGF＝∠NDC＝90°，∠DNC＝∠GNF，
∴∠C＝∠F，
∵AD∥MN，
∴∠C＝∠MNB，
∴∠MNB＝∠F．
∴∠BMF＝∠EMA＝∠C＝∠MNB＝∠F．
16．（2022春•新城区校级期末）如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC的中点，连接DF，
过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝ ，求AB的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，由中点定义得AF＝CF，然后由
全等三角形的判定与性质可得DF＝EF，最后根据平行四边形的判定可得结论；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°，由勾股定理可得CG＝AG＝1，BG＝ ，
再由线段的和关差关系可得答案．【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED，
∵F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AFD和△CEF中，∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠ACE，AF＝CF，
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝∠BGC＝90°，
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝45°，AC＝ ．
∴由勾股定理得CG＝AG＝1，
在Rt△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1，
∴BC＝2，
∴BG＝ ＝ ，
∴AB＝AG+BG＝ +1．
17．（2022春•大安市期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分
别从A、C同时出发，点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一
动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）AP＝ tcm ，CQ＝ 2 tcm ，（分别用含有t的式子表示）；
（2）当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值；
（3）当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值．
【分析】（1）设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm，
（2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；根据题意得：AP＝tcm，CQ＝2tcm，由AP＝BQ得出方程，解方程即可；第二种情况：四边形DCQP是平行四边形，根据题意得：AP＝xcm，CQ＝2xcm，则PD＝
（6﹣x）cm进而可得方程2x＝6﹣x，再解即可，再利用PD＝DQ得出答案．
（3）AP＝tcm，CQ＝2tcm，则PD＝（6﹣t）cm，QB＝（10﹣2t）cm，四边形ABQP和PDCQ是同高，
因此根据梯形面积公式可得6﹣t+2t＝t+10﹣2t，再解即可；
【解答】解：（1）∵点P以lcm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，
∴设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2tcm，
故答案为：tcm；2tcm；
（2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；
根据题意得：AP＝tcm，CQ＝2tcm，
则BQ＝（6﹣2t）cm；
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝10﹣2t，
解得：t＝ ，
即 秒时四边形ABQP是构成平行四边形；
当四边形DCQP是平行四边形，
根据题意得：AP＝xcm，CQ＝2xcm，
则PD＝（6﹣x）cm；
∵AD∥BC，
∴当AP＝BQ时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2x＝6﹣x，
解得：x＝2，
当PD＝BQ时，
10﹣2x＝6﹣x，
解得：x＝4，
因此2或 或4秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形；
（3）设运动时间为t秒，则AP＝tcm，CQ＝2t，
∵AD＝6cm，BC＝10cm，
∴PD＝（6﹣t）cm，QB＝（10﹣2t）cm，当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，
四边形ABQP和PDCQ的面积相等，
则6﹣t+2t＝t+10﹣2t，
解得：t＝2，
答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒．
18．（2020•宿迁二模）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AF交CD于点E，交BC
的延长线于点F．
（1）求证：BF＝CD；
（2）连接BE，若BE⊥AF，∠BFA＝60°，BE＝4 ，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AD∥BC，求出∠FAD＝∠AFB，根据角平分线定
义得出∠FAD＝∠FAB，求出∠AFB＝∠FAB，即可得出答案；
（2）求出△ABF为等边三角形，根据等边三角形的性质得出AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，在Rt△BEF
中，∠BFA＝60°，BE＝4 ，解直角三角形求出EF＝4，BF＝8，AB＝BF＝8，BC＝AD＝4，即可得出
答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠AFB，
又∵AF平分∠BAD，
∴∠FAD＝∠FAB．
∴∠AFB＝∠FAB．
∴AB＝BF，
∴BF＝CD；
（2）解：由（1）知：AB＝BF，
又∵∠BFA＝60°，
∴△ABF为等边三角形，
∴AF＝BF＝AB，∠ABF＝60°，∵BE⊥AF，
∴点E是AF的中点．
在Rt△BEF中，∠BFA＝60°，BE＝4 ，
∴EF＝4，BF＝8，
∴AB＝BF＝8，
∵四边形BACD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°＝∠F，
∴CE＝EF，
∴△ECF是等边三角形，
∴CE＝EF＝CF＝4，
∴BC＝8﹣4＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为8+8+4+4＝24．
19．（2020•秦淮区二模）如图，点E、F分别在 ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接
AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． ▱
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．
【分析】（1）要证明线段AC与EF互相平分，可以把这两条线段作为一个四边形的对角线，然后证明
这个四边形是平行四边形即可；
（2）要证四边形AECF是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC．
又∵BE＝DF，
∴AB+BE＝DC+DF，
即AE＝CF．
∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
∴AC、EF互相平分．
（2）四边形AECF是菱形．
证明：∵AB∥DC，
∴∠AEO＝∠CFO．
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEO＝∠CEO．
∴∠CEO＝∠CFO．
∴CE＝CF．
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形．
20．（2020 春•扬中市期末）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，OA＝OC，
AB∥CD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．
（3）若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 矩 形．
【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB＝CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行
四边形”可证得结论；
（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE
＝∠AEB，继而可得AB＝AE，然后根据已知可求得DE的长度；
（3）由∠AOB＝2∠ADB可得∠OAD＝∠ADO，由平行四边形的性质可得AC＝BD，从而可得结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，
在△ABO和△DCO中，
，∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴DE＝AD﹣AE＝BC﹣AB，
∵BC﹣AB＝2，
∴DE＝2；
（3）∵∠AOB是△ADO的外角，
∴∠AOB＝∠OAD+∠ODA，
∵∠AOB＝2∠ADB，
∠OAD＝∠ODA，
∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩．
21．（2022•哈尔滨模拟）在 ABCD中，点E在BA的延长线上，点 F在DC的延长线上，连接 BF、
DE、EF，EF交AD于点G，▱交BC于点H，EG＝FH．
（1）如图1，求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）如图2，点A是BE的中点，请写出面积等于 ABCD面积的一半的两个三角形和两个四边形．
▱【分析】（1）证△BEH≌△DFG（AAS），得BE＝DF，即可得出结论；
（2）连接BD，交EF于点O，由平行四边形的性质得S△ABD ＝S△CBD ＝ S平行四边形ABCD ，S△BCF ＝S△CBD
＝ S平行四边形ABCD ，再证△ODG≌△OBH（SAS），得S△ODG ＝S△OBH ，则S四边形ABHG ＝S四边形CDGH ＝ S
．
平行四边形ABCD
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠CDA，AB∥CD，
∴∠BEH＝∠DFG，
∵EG＝FH，
∴EG+GH＝FH+GH，
即EH＝FG，
在△BEH和△DFG中，
，
∴△BEH≌△DFG（AAS），
∴BE＝DF，
又∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）解：如图，连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD ＝S△CBD ＝ S平行四边形ABCD ，
由（1）可知，四边形EBFD是平行四边形，
∴BE＝DF，OB＝OD，OE＝OF，
∵点A是BE的中点，∴AB＝AE，S△ADE ＝S△ABD ＝ S平行四边形ABCD ，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
∴CD＝CF，
∴S△BCF ＝S△CBD ＝ S平行四边形ABCD ，
∵EG＝FH，
∴OG＝OH，
在△ODG和△OBH中，
，
∴△ODG≌△OBH（SAS），
∴S△ODG ＝S△OBH ，
∴S四边形ABHG ＝S四边形CDGH ＝ S平行四边形ABCD ，
综上所述，面积等于 ABCD面积的一半的两个三角形为△ADE和△BCF，两个四边形为四边形ABHG
和四边形CDGH． ▱
22．（2022秋•开福区校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O
是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，DC＝2时，求FG的长．【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥BC，则∠EFO＝∠GDO，再证△OEF≌△OGD（ASA），得
EF＝GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝ ，然后由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝ AC＝ ，进而由平
行四边形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中点，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝ AC，
在Rt△ACD中，AD＝5，DC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴DE＝ AC＝ ，由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，
∴FG＝DE＝ ．
23．（2022春•锦江区校级期中）如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以
AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．
（1）求证：△CEF为等边三角形；
（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；
（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．
【分析】（1）证△BAD≌△CAF（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，再证CF＝CE，即可得
出结论；
（2）由等边三角形的性质得∠CEF＝60°，EF＝CE，再证EF∥BD，然后证EF＝BD，即可得出结论；
（3）过E作EG⊥BC于G，由（2）可知，CE＝EF＝4，则AC＝6，再由等边三角形的性质得BC＝AC
＝6，∠ACB＝60°，然后证CG＝ CE＝2，则EG＝2 ，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴∠BAC＝∠DAF＝∠ACB＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，∵BD＝CE，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形；
（2）证明：由（1）可知，△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，EF＝CE，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴EF∥BD，
∵BD＝CE，
∴EF＝BD，
∴四边形BDFE是平行四边形；
（3）解：如图，过E作EG⊥BC于G，则∠EGC＝90°，
由（2）可知，CE＝EF＝4，
∴AC＝AE+CE＝2+4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，
∴∠CEG＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴CG＝ CE＝2，
∴EG＝ ＝ ＝2 ，
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴BD＝EF＝4，
∴S平行四边形BDFE ＝BD•EG＝4×2 ＝8 ．
24．（2022•南岗区校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC
于F，延长BC至G，使CG＝BF，连接CE、DE、DG．
（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形；（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于 CG的线段．
【分析】（1）欲证明四边形CEDG是平行四边形，只要证明DE∥CG，DE＝CG即可．
（2）由四边形四边形CEDG是平行四边形，推出DH＝CH，GH＝HE，设DH＝CH＝a，则AD＝CD＝
2a，由∠A＝∠A，∠AEH＝∠ADE＝90°，推出△ADE∽△AEH，推出AE2＝AD•AH＝2a•3a＝6a2，推出
AE＝ a，根据勾股定理推出HE＝ a，CG＝ a，推出AE＝ CG，因为AE＝EB＝CE＝GD，即
可得解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AE＝EB，
∴EC＝EA＝EB，
∵EF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵AD＝DC，AE＝EB，
∴DE∥BC，DE＝ BC＝BF，
∵CG＝BF，
∴DE＝CG，DE∥CG，
∴四边形四边形CEDG是平行四边形；
（2）解：如图2中，
∵四边形四边形CEDG是平行四边形，∴DH＝CH，GH＝HE，设DH＝CH＝a，则AD＝CD＝2a，
∵∠A＝∠A，∠AEH＝∠ADE＝90°，
∴△ADE∽△AEH，
∴ ＝ ，
∴AE2＝AD•AH＝2a•3a＝6a2，
∴AE＝ a，
在Rt△AEH中，HE＝ ＝ ＝ a，
∴GH＝HE＝ a，
∴CG＝ ＝ ＝ a，
∴AE＝ CG，
∵AE＝EB＝CE＝GD，
∴所有长度等于 CG的线段是AE、EB、EC、GD．
25．（2022春•源城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝8，AB＝CD，BD＝12，点E从D点出
发，以每秒 1个单位的速度沿 DA向点 A匀速移动，点 F从点 C 出发，以每秒 3个单位的速度沿
C→B→C做匀速移动，两个点同时出发，当有一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．点 G为BD
上的一点，假设移动时间为t秒，BG的长度为y．
（1）证明：AD∥BC；
（2）在移动过程中，小明发现有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？
并分别求出此时的移动时间t和BG的长度y．
【分析】（1）利用平行四边形得判定和性质证明；
（2）利用全等三角形的判定求解．
【解答】解：（1）∵AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC；（2）BG＝y，DE＝t，
当0≤t≤ 时，CF＝3t，则BF＝8﹣3t，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB，
若△DEG与△BFG全等，
则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，
即： 或 ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
当 ＜t≤ 时，则BF＝3t﹣8，
若△DEG与△BFG全等，
则BF＝DE且BG＝DG，或者BF＝DG且BG＝DE，
即： 或 ，
解得： 或 ，
所以△DEG与△BFG全等的情况出现了三次，
第一次是2秒时，y＝6，
第二次是4秒时，y＝6，
第三次是5秒时，y＝5．
26．（2022春•海淀区期末）在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE＝
EF，且∠DEF＝60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）当AD＜BD，AB＝ DE时，求∠BDE的度数．【分析】（1）根据题意即可补全图形；然后证明△BDE≌△CEF可得CE＝BD，进而可以解决问题；
（2）根据题意证明△DEF是等边三角形，可得DE＝DF，由点E，点G关于AC对称，可得EF＝GF，
∠FEC＝∠FGC，所以DF＝GF，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图1，即为补全的图形，
证明：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵点E，点G关于AC对称，
∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG，
∴∠A＝∠ACG，
∴AB∥CG，
即BD∥CG，
∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°，
∴∠BED+∠CEF＝120°，
在△BDE中，
∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△BDE与△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（AAS），∴CE＝BD，
∴CG＝CE＝BD，
∵BD∥CG，
∴四边形DBCG是平行四边形；
（2）∵四边形DBCG是平行四边形，
∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°，
∵BC＝AB，AB＝ DE，
∴DG＝ DE，
∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，
∵点E，点G关于AC对称，
∴EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，
∴DF＝GF，
∴DG＝ DF＝ GF，
在△DFG中，DG2＝DF2+GF2，
∴∠DFG＝90°，
∵DF＝GF，
∴∠FDG＝∠FGD＝45°，
∴∠CGF＝∠CGD﹣∠FGD＝15°，
∴∠BDE＝∠CEF＝∠CGF＝15°．
27．（2022春•甘州区校级期末）如图，E、F是 ABCD对角线AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形． ▱
（2）如果把条件AE＝CF改为BE⊥AC，DF⊥AC，试问四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？
（3）如果把条件AE＝CF改为BE＝DF，试问四边形BFDE还是平行四边形吗？为什么？
【分析】（1）方法一：证明△BAE≌△DCF，推出BE＝DF，BE∥DF即可．方法二：连接BD，交AC
于点O．只要证明OE＝OF，OB＝OD即可；（2）是平行四边形．只要证明△BAE≌△DCF即可解决问题；
（3）四边形BFDE不是平行四边形．因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF
全等；
【解答】（1）证法一：∵ABCD是平行四边形
∴AB＝CD 且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE＝∠DCF
又∵AE＝CF
∴△BAE≌△DCF（SAS）
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD
∴∠BEF＝180°﹣∠AEB∠DFE＝180°﹣∠CFD
即：∠BEF＝∠DFE
∴BE∥DF，而BE＝DF
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
证法二：连接BD，交AC于点O．
∵ABCD是平行四边形
∴OA＝OC OB＝OD（平行四边形的对角线互相平分）
又∵AE＝CF
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
（2）四边形BFDE是平行四边形
∵ABCD是平行四边形
∴AB＝CD 且AB∥CD（平行四边形的对边平行且相等）
∴∠BAE＝∠DCF
∵BE⊥AC，DF⊥AC
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，BE∥DF∴△BAE≌△DCF（AAS）
∴BE＝DF
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
（3）四边形BFDE不是平行四边形
因为把条件AE＝CF改为BE＝DF后，不能证明△BAE与△DCF全等．
28．（2020•道里区三模）已知：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为
OB、OD的中点，连接AE并延长至点G，使EG＝AE，连接CF、CG．
（1）如图1，求证：EG＝FC；
（2）如图2，连接BG、OG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个平行四边形，使
写出每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
【分析】（1）由平行四边形的性质得 AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，由平行线的性质得∠ABE＝
∠CDF，易证BE＝DF，由SAS证得△ABE≌△CDF（SAS），得出AE＝FC，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD ＝4S△ABO ，易证AG、OB互相
平分，则四边形ABGO是平行四边形，S四边形ABGO ＝2S△ABO ＝ S四边形ABCD ，易证OE是△ACG的中位线，
则OE∥CG，易证四边形 BOCG是平行四边形，S四边形BGCO ＝2S△BGO ＝2S△ABO ＝ S四边形ABCD ，证
GO∥CD，GO＝CD，则四边形CDOG是平行四边形，S四边形CDOG ＝2S△CDO ＝2S△ABO ＝ S四边形ABCD ，证
CG∥EF，EF＝CG，则四边形EFCG是平行四边形，S四边形EFCG ＝S四边形CDOG ＝ S四边形ABCD ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝ OB，DF＝ OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝FC，
∵EG＝AE，
∴EG＝FC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AB＝CD，S四边形ABCD ＝4S△ABO ，
∵EG＝AE，点E为OB的中点，
∴AG、OB互相平分，
∴四边形ABGO是平行四边形，
∴S△ABO ＝S△BGO ，
∴S四边形ABGO ＝2S△ABO ＝ S四边形ABCD ，
∵OA＝OC，EG＝AE，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴BG∥AC，
∴四边形BOCG是平行四边形，
∴S四边形BGCO ＝2S△BGO ＝2S△ABO ＝ S四边形ABCD ，
∵四边形ABGO是平行四边形，
∴GO∥AB，GO＝AB，
∵AB∥CD，
∴GO∥CD，GO＝CD，∴四边形CDOG是平行四边形，
∴S四边形CDOG ＝2S△CDO ＝2S△ABO ＝ S四边形ABCD ，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴EF＝ BD＝OD，
∵四边形CDOG是平行四边形，
∴CG∥EF，CG＝OD，
∴EF＝CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴S四边形EFCG ＝S四边形CDOG ＝ S四边形ABCD ，
∴图中的平行四边形ABGO、平行四边形BOCG、平行四边形CDOG、平行四边形EFCG四个平行四边
形，每个平行四边形的面积都等于平行四边形ABCD面积的一半．
29．（2020春•道里区校级月考）如图，E为 ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE
交BC于点F，连接AC、BE． ▱
（1）如图1，求证：AF＝EF；
（2）连接BD交AC于点O，连接OF并延长交BE于点G，直接写出图中所有长度是OF二倍的线段．
【分析】（1）由 AB∥CD 可以得到∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF，再利用 DC＝CE 即可证明
△ABF≌△ECF，便可得结论；
（2）证明OF是△ACE的中位线，得CE＝2OF，进而得AB＝CD＝CE＝2OF，再证明四边形OGEC为
平行四边形得OG＝2OF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD．
又∵DC＝CE，∴AB＝CE．
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠E，∠ABF＝∠ECF．
∴△ABF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵AF＝CF，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OF∥CE，CE＝2OF，
∵AB＝CD＝CE，
∴AB＝CD＝CE＝2OF，
∵AB∥CE，AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AC∥BE，
∵OF∥CE，
∴四边形OGEC为平行四边形，
∴OG＝CE＝2OF，
故图中长度是OF二倍的线段有AB，CD，CE，OG．
30．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E在CD的延长线上，连接
BE交AD于点F，BE平分∠ABC，BC＝EC，作FG⊥BA延长线于点G．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若F为AD中点，EF＝6，BC＝2 ，求GF的长．
【分析】（1）证∠ABF＝∠E，得AB∥CD，由AB＝CD，即可得出四边形ABCD为平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得AD＝BC＝2 ，证△ABF≌△DEF（AAS），得BF＝EF＝6，AB＝DE，则AB＝CD＝DE＝ CE＝ BC＝ ，由勾股定理得GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，得AG＝ ，
由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，BC＝EC，
∴∠ABF＝∠CBE，∠CBE＝∠E，
∴∠ABF＝∠E，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝2 ，
∵F为AD中点，
∴AF＝DF＝ ，
在△ABF和△DEF中， ，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴BF＝EF＝6，AB＝DE，
∵AB＝CD，
∴AB＝CD＝DE＝ CE＝ BC＝ ，
∵FG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∴GF2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，
即（ ）2﹣AG2＝62﹣（ +AG）2，
解得：AG＝ ，
∴GF＝ ＝ ．
