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专题19 二元一次方程组的特殊解法
【例题讲解】
阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组 ，小明发
现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的
看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令 ， ．
原方程组化为 ，解得 ，把 代入 ， ，
得 ，解得 ．∴原方程组的解为 ．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1) (2)
【详解】（1）令 ， ，
方程组 变形为 ，解得 ，所以 ，
解得 ∴原方程组的解为 ．
（2）令 原方程组化为 解得 ，
把 代入 得 ,解得 ·【综合解答】
1．若关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，则关于m，n的二元一次方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，利用换元法，结合题意求出 ，从而得出 ，
再解关于m、n的二元一次方程组即可．
【详解】解：设 ，
则 ，
由题意得： ，
即 ，
解得 ．
故答案为：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
2．若关于 ， 的方程组 ，解为 ．则关于 ， 的方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知方程组和x和y的解，将x和y代入可得到a、b、c 和a、b、c 两个等式的关系，
1 1 1 2 2 2
再将此关系列为方程组反解出x和y即可．
【详解】解： 关于 ， 的方程组 ，解为 ，
关于 ， 的方程组 中 ，
解得： ，
即第二个方程组的解是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了方程组的运算，明白通过已知条件解出第一个方程组的关系，再通过第一个
方程组的关系解出答案是本题的关键．
3．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 变形为 ，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方
程组，再得其解即可．
【详解】解：将 变形为 ,
设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为： ，
因为方程组 的解是 ，
所以 ，解得： ，
所以方程组 的解是 ，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系
是解题的关键．
4．已知关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，则关于 ， 的二元一次方程
组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．【详解】解：由题意得， ， ．
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义解决此题．
5．已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n的方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察两个方程组，根据已知方程组的解可得 ，由此即可得．
【详解】解：由题意得： ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
6．若方程组 的解是 ，则方程组 的解为_________．
【答案】 .
【分析】原方程组 的解为 ，所以可以得到 ，而此方程可以化为 ,进一步可以得到 ，
所以可以得到方程组 的解为 ；
【详解】 方程组 的解是
把 代入原方程组可得：
即
给上式方程组种的每个方程同乘3可得：
方程组 的解为 ；
故答案是： ；
【点睛】本题主要考查利用换元法求解二元一次方程组，熟练的利用二元一次方程组的解进行换
元变化是求解本题的关键.
7．若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于x、y的二元一次方程组
的解是__．
【答案】
【分析】令x+y=a，x-y=b，根据已知，比较后得出a，b的值，从而得出结论．
【详解】解：令x+y=a，x-y=b，则关于x、y的二元一次方程组 变为：．
∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消
元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．
8．已知关于 和 的方程组 的解是 ，则另一关于 、 的方程组
的解是______．
【答案】
【分析】由题意可得 ，即可求方程组的解．
【详解】解：∵方程组 的解是 ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
9．方程组 的解是 ，请你写出方程组 的解______．
【答案】
【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【详解】解：方程组 变形为 ，
∵方程组 的解为 ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数
的值．
10．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是_____．
【答案】
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5，通过换元替代的方法来解决．【详解】解：将方程组 的两个方程都乘以5得：
，
∵方程组 的解是 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题是考查了解二元一次方程组，考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决，
有一定的难度．
11．关于x，y的方程组 的解为 ，则① __________．
②关于x，y的方程组 的解为__________．
【答案】
【分析】将已知解代入方程组中可得 ，将两式相加可得 的值，将 可得 ，与 对比可得 ，解出即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组 的解为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．
12．三个同学对问题“若方程组 ，的解是 求方程组 的
解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一
定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解
决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
【答案】
【分析】所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【详解】解：设m=x−1，n=y−2，
∵方程组 ，的解是 ，
∴ 的解是 ，∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关
键．
13．三个同学对问题“若方程组 的解是 ，求方程组 的解．
“提出各自的想法，甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定
的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7．通过换元替代
的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．
【答案】
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决．
【详解】解： 每个方程两边同时除以7得， ，
∵方程组 和方程组 的形式一样，
∴ ，
解得 ．
故答案为 ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，同时也考查了同学们的逻辑推理能力，需
要通过类比来解决问题，有一定的难度．
14．若关于x、y的方程组 其中a、b、m为常数）的解为 ，则方程组
的解为______．
【答案】
【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知， 、 分别相当于原方程组中的x、y，据
此列出方程组，解之可得．
【详解】解： 变形为 ，
由题意知：
由题意知，
①+②，得：2x=6，x=3，
①-②，得：2y=10，y=5，
故方程组的解为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y
的方程组．
15．已知关于x，y的方程组 和 是同解方程，则关于a，b的方程组
的解是____________【答案】
【分析】解 得出 ，再结合题干可得出 即可求出a、b的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴方程组 的解为： ，
∵方程组 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握整体代入思想是解题的关键．
16．阅读材料：善于思考的李同学在解方程组 时，采用了一种“整体换元”
的解法．
解：把 ， 成一个整体，设 ， ，原方程组可化为
解得： ．∴ ，∴原方程组的解为 ．(1)若方程组 的解是 ，则方程组 的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出 ，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令 ，则原方程组可化为 ，解出m，n，代
入 ，再解出关于x，y的方程组即可．
解得： ，∴ ，解这个二元一次方程组即可．
【详解】（1）∵方程组 的解是 ，
∴ ，
解得： ；（2）对于 ，令 ，
则原方程组可化为 ，
解得： ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握
“整体换元法”的步骤是解题关键．
17．（1）解方程组 ．
（2）直接写出方程组 的解是______．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）仿照（1）中方程组的解确定出所求即可．
【详解】解：（1） ，
①-②×2得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ，则方程组的解为 ；
（2）根据（1）中方程组的解得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减
消元法．
18．甲、乙、丙在探讨问题“已知 ， 满足 ，且 求 的值．”的解题
思路时，甲同学说：“可以先解关于 ， 的方程组 再求 的值．”乙、丙同学
听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组 中的两个方程相加，再求 的值；
丙同学：先解方程组 ，再求 的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种
思路的理由．
【答案】我最欣赏乙同学的解法， ，理由见解析
【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出 的值，分析简便的原因．
【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，
，
得： ，
整理得： ，代入 得： ，
解得： ，
这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的
方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．数学方法：
解方程组： ，若设 ， ，则原方程组可化为
，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看成
一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．
(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 ，的解为 ，那么关于m、n的二
元一次方程组 的解为： ．
(2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ．
(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
求关于x，y的方程组 的解．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）设 ， ，即可得 ，解方程组即可求解；
（2）设 ， ，则原方程组可化为 ，解方程组即可求解；
（3）设 ， ，则原方程组可化为， ，根据 的解为
，可得 ，即有 ，则问题得解．
【详解】（1）设 ， ，则原方程组可化为 ，
∵ 的解为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）设 ， ，则原方程组可化为 ，
解得 ，即有 ，
解得 ，
即：方程组的解为 ；
（3）设 ， ，则原方程组可化为 ，
化简，得 ，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
∴ ，即有 ，
解得： ，
故方程组的解为： ．
【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是
解答本题的关键．
20．阅读探索：
知识累计：解方程组
解：设 ， ，原方程组可变为解方程组得： ，即 ，解得 ．所以此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求出关于 ， 的方程组
的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据换元法设 ， ，进行求解计算即可；
（2）根据换元法设 进行求解计算即可．
【详解】（1）解：设 ， ，原方程组可变为：
解得：
即
解得：（2）解：设 可得 解得： ．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
21．已知方程组 ，求 的值．
小明凑出“ ”，虽然问题获得解决，
但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设
，对照方程两边各项的系数可列出方程组
它的解就是你凑的数！
(1)根据丁老师的提示，已知方程组 ，求 的值．
(2)已知 ，且 ，当 为 时， 为定值，此定值是 ．（直
接写出结果）
【答案】(1)7
(2)-2，8
【分析】（1）仿照样例进行解答便可；
（2）仿照样例进行解答．
【详解】（1）解：假设2x+5y+8z＝m•（x+2y+3z）+n•（4x+3y+2z），
对照方程两边各项的系数可列出方程组
解得 ，∴ ，
∴ ．
（2）设8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c），
，
∴ ，
∴8a+3b﹣2＝3×4+2×（﹣2）＝8．
故答案为：﹣2；8．
【点睛】本题主要考查了方程组的解法，求代数式的值，关键读懂样例的解题方法．
22．知识积累：解方程组 ．
解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为 ，解这个方程组得 ，即 ，
所以 ，这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： ．
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组 的解为 ，请直接写出关于m、n的方程
组 的解是 ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照原题提供的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设 1＝x， 2＝y，
∴原方程组可变为：
，
解这个方程组得： ，
，
所以： ；
（2）解：设 ，
可得： ，
解得： ．
故答案为：
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题
的关键．23．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为
“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使
得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组： ．
分析：由于方程组中含有式子 和 ，所以可设 ．
原方程组可化为 ．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
(1)若关于x，y的方程组 的解是 ，则关于a，b的方程组
的解是 ；（直接写答案）
(2)已知方程组 ，求x，y的值．
【答案】(1) ；
(2)x=4，y=3．
【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题．
（2）根据题意，利用换元法解决此题．
【详解】（1）解：由题意知，a+b=1，a-b=2．得 ．
故答案为：
（2）设 ．
原方程组可化为 ．
解得 ．
即 ．
解得，x=4，y=3．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，理解阅读材料，熟练掌握二元一次方程组的解法是解
决本题的关键．
