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考点 5-2 向量基底、模与数量积
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
2．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及
正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
3．（2022·全国·高考真题（理））已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】
根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】
解：∵ ，
又∵
∴9 ，∴
故选：C.
4.（2022·全国·高考真题（理））设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
【答案】
【分析】
设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运算律计算
可得．
【详解】
解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
5．（2021·全国·高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【分析】
由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】
由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））设向量 ， 夹角的余弦值为 ，且 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据向量的数量积公式及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】
因为向量 ， 夹角的余弦值为 ，且 ， ，
所以 .
所以 ．
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是平面内两个不共线向量， ， ，A，B，C
三点共线，则m＝（ ）
A．－ B． C．－6 D．6
【答案】C
【分析】
根据向量共线定理，列方程求 即可.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
所以 ， 共线，又 是平面内两个不共线向量，
所以可设 ，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中，设 ， ， 为 的中点， 与
交于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意得 ，再分析求解即可.【详解】
如下图所示，连接 与 交于 ，则 为 的中点，因为 为 的中点，
所以 为三角形 的重心，所以 .
故选：B.
9.（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC的面积为S满足 ，且 ， 与 的夹角
为θ.则 与 夹角的取值范围_________．
【答案】 .
【分析】
由题，结合面积公式，向量点乘定义，可得 ，进一步讨论θ的
取值范围即可
【详解】
由题， ，∴ ，
， ， θ为锐角，
∵ ，即 ，又 ，
∴ ，即 ，∴ ，
，
故答案为：
10．（2022·上海·模拟预测）若 ，且满足 ，则 ___________.
【答案】 ##
【分析】设 ，利用数量积定义求出 ，即可求出 .
【详解】
因为 ，所以 ，设 .
由 可得： ，
两式相除得： .
又 ，且
解得： .
因为 ，所以 ，解得： .
故答案为： .
11.（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹
角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，利用平面向量的数量积可得出 ，并可
得出 ，利用基本不等式可求得 的最小值，可得出的取值范围，即可得解.
【详解】
设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，
，
所以， ，①
，②
又 ，③
②与③联立可得 ，④
①④联立可得
，
当且仅当 时，取等号， ， ，则 ，
故 与 所成夹角的最大值是 ，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得 ，其中两向量 的取值范围是 ；
（2）坐标法：若非零向量 、 ，则 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知 与 为单位向量，且 ⊥ ，向量 满足 ，则| |的可
能取值有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】
建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得 ，进而由向量模的计算公式可得，分析可得 在以 为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．
【详解】
根据题意，设 ， ， ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴的正方向建立坐标系，
则 ， ，设 ，则 ，
若 ，则有 ，
则 在以 为圆心，半径为2的圆上，
设 为点 ，则 ，则有 ，
即 ，
则 的取值范围为 ；
故选：D．
13．（2023·全国·高三专题练习） 中， ，O是 外接圆圆心，是
的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】
根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出 的最大值即可计算作答.
【详解】
过点O作 ，垂足分别为D，E，如图，因O是 外接圆圆心，则D，E分别为AC，
的中点，
在 中， ，则 ，即 ，
，同理 ，因此，
，
由正弦定理得： ，当且仅当 时取“=”，
所以 的最大值为3.
故选：C
14．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
，则 的最小值为_____________.
【答案】
【分析】
令 ， ， ，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F， 与 的夹角为 ，由题
意，计算 ， ，判断出点C的轨迹为以OD为直径的圆，利用向量基底表示，将
转化为 ，然后转化为圆上任意一点到定点
距离的最小值进而求解 最小值.
【详解】
令 ， ， ，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，
与 的夹角为 ，连接CA、CB、CD、CO、EF.由 ， ， ，得 ， ，
因为 ，所以 ，在 中，由余弦定理得 .
又由 ，得 ，所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.
因为
，
当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.
所以 的最小值为 .故答案为： .
【点睛】
求解向量模的最值问题时，一般需要利用数形结合法，解答本题的关键是将求向量模长最值转化为圆上任
意一点到定点距离的最小值求解.
15．（2021·上海奉贤·一模）设平面上的向量 满足关系 ，又设 与 的
模均为1且互相垂直，则 与 的夹角余弦值的取值范围为__________.
【答案】
【分析】
用 与 表示出向量 ，利用平面向量数量积结合夹角公式求出 即可计算作答.
【详解】
当 时，由 得： ，
因 与 的模均为1且互相垂直，即有 ，
则 ， ，
则有 ，
而 ，于是得 ，
故答案为：
