文档内容
专题 26.11 “设参求值”解决反比例函数问题
（知识讲解）
函数中设参求值问题是中考重要考点，多以填空和选择题形式出现在考卷中，学生刚
学习时往往无从下手，为了让学生能掌握其解题方法，粗略理出其基本思路：
①设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼找相等关系➼➼➼➼建立
方程➼➼➼➼求值；
②设参数➼➼➼➼表示点坐标➼➼➼➼表示线段长➼➼➼➼消参数求值；
在解题过程中，有时还要根据题的实情情况设置多个参数进行解决问题。
本专题汇编了一些典型设参求值，学生通过训练，必将克服学生畏难情绪，提升学生
解此类题的自信心。
【典型例题】
类型一、设参数求面积消参数解决问题
1． 如图，两个反比例函数 和 的图象分别是l 和l．设点P在l 上，PC⊥x
1 2 1
轴，垂足为C，交l 于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l 于点B，则三角形PAB的面积为（
2 2
）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】设P的坐标是 ，推出A的坐标和B的坐标，求出PA、PB的值，根据三角
形的面积公式求出即可．
解： ∵点P在 上，∴设P的坐标是 ．
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是p．
∵A在 上，
∴A的坐标是 ．
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是 ．
∵B在 上，
∴ ，解得：x=﹣2p．
∴B的坐标是（﹣2p， ）．
∴ ．
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB．
∴△PAB的面积是： ．
故选C．
举一反三：
【变式1】如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数 和
的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积
为（ ）A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
解：设P（0，b），
∵直线AB∥x轴，
∴A，B两点的纵坐标都为b，
而点A在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴当y=b，x=﹣ ，即A点坐标为（﹣ ，b），
又∵点B在反比例函数y= 的图象上，
∴当y=b，x= ，即B点坐标为（ ，b），
∴AB= ﹣（﹣ ）= ，
∴S = •AB•OP= •b=3．
ABC
△
故选A．
【变式2】如图，过x轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y= （x＞
0），y=﹣ （x＞0）的图像交于A点和B点，若C为y轴任意一点．连接AB、BC，则
ABC的面积为_____．
△【答案】
【分析】设出点P坐标，分别表示点AB坐标，由题意 ABC面积与 ABO的面积相等，因
此只要求出 ABO的面积即可得答案． △ △
解：设点△P坐标为（a，0）
则点A坐标为（a， ），B点坐标为（a，﹣ ）
=
= ，
故答案为：
【点拨】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，熟练掌握相关知识是解题的关
键．
类型二、设参数建立关于参数的方程解决问题
2． 如图，点A，B在反比例函数 的图象上，点C，D在反比例函数
的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2， OAC与 ABD
△ △的面积之和为 ，则k的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反
比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形
的面积公式表示出S OAC,S ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为 ，列出
△ △
方程，求解得出答案.
解：把x=1代入 得：y=1,
∴A(1,1),把x=2代入 得：y= ,
∴B(2, ),
∵AC//BD// y轴,
∴C(1,k),D(2, )
∴AC=k-1,BD= - ，
∴S OAC= （k-1）×1,
△
S ABD= ( - )×1,
△
又∵△OAC与△ABD的面积之和为 ，
∴ （k-1）×1＋ ( - )×1= ，解得：k=3;故答案为B.
【点拨】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，
熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.
举一反三：
【变式1】如图， 的顶点 在 轴正半轴上，反比例函数 在第一象限
经过点 ，与 交于点 ，且 ，若 的面积为9，则 的值是______．
【答案】12
【分析】作AM⊥OB于M，DN⊥OB于N．设AM＝2m，只要证明S梯形AMND＝S△AOD
＝9，由此构建方程即可解决问题．
解：作AM⊥OB于M，DN⊥OB于N，设AM＝2m，
∴OM＝
∵四边形OACB是平行四边形，BD＝ BC，
∴ ，
∵
∴ ，∴ ，
∴k＝12，
故答案为：12．
【点拨】本题考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积等
知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式2】如图，点 是函数 图像上的任意一点，过点 作AB x轴，交另
一个函数 的图像于点 ．
(1) 若 ，则 ________．
(2) 当 时，若点 的横坐标是1，则线段 ________．
(3) 若无论点 在何处，函数 图像上总存在一点 ，使得四边形
为平行四边形，求 的值．
【答案】(1)－6； (2) ； (3)存在，
【分析】（1）如图：AB交y轴于M，根据反比例函数的比例系数的几何意义得
， ，由于 ，则 ，即可得出k的值；
（2）由 可得出 ，再由 可得出 ，即可得出 的
长度；
（3）如图，作 轴于点 ， 于点 ，证 ，得出D点的坐
标即可得出 的值．
解：（1）如图：AB交y轴于M，∵点 是函数 ，点 是函数 ，
∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：
， ,
∵ ,
∴ ,
∴ ；
故答案为： ；
（2）由题意得：
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）存在，点 在点 上方，
如图，作 轴于点 ， 于点 ，设 ，则 ，则 ， ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点拨】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图像上点的坐标特征、反比例
函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质是解题的关键．
类型三、设多个参数解决问题
3．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点 与
（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C ，C ，点P为曲线C 上的任意一点，过
1 2 1
点P作y轴的垂线交C 于点A，作x轴的垂线交C 于点B，则阴影部分的面积S AOB＝
2 2
△
_______．（结果用a，b表示）【答案】 a
【分析】设B（m， ），A（ ，n），则P（m，n），阴影部分的面积S AOB＝矩形的
△
面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．
解：设B（m， ），A（ ，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C 上的任意一点，
1
∴mn＝a，
＝mn b b （m ）（n ）
＝mn﹣b （mn﹣b﹣b ）
＝mn﹣b mn+b
a ．
故答案为： a ．
【点拨】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，矩形的面积，反比例函数图象上点
的坐标特征等知识，本题利用参数表示三角形和矩形的面积并结合mn＝a可解决问题．
举一反三：
【变式1】如图，双曲线 经过矩形OABC的顶点 ，双曲线 交 ，于点 ， ，且与矩形的对角线 交于点 ，连接 .若 ，则 的
面积为__________.
【答案】 .
【分析】设 ，根据题意 ， ， ，即可得出 ，
，解得 ，由 ， ，求得 、 ，然后根据三
角形面积公式得到 进行求解即可.
解:设 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵双曲线 经过矩形 的顶点 ，
∴ ，
∴ ，
∵双曲线 经过点 ，
∴
∴双曲线 ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为 .
【点拨】本题考查了反比例系数 的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面
积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．
【变式2】如图，A、B是反比例函数 的图像上关于原点O对称的两点，点C
是y轴负半轴上一点，直线AC与x轴交于点D，且点C是线段AD的中点，连接BD，若
点C的坐标是（0，﹣2），且 ABD的面积为5，求k的值和B点坐标．
△
【答案】 ， ，
【分析】设 ，由题意可知 ，再由 ，则有
，即可求 的值；再由点 是线段 的中点，可得
，所以 ，求出 ，即可求 点坐标．
解：设 ，
、 关于原点 对称，
，
， ，
点在反比例函数 的图像上，，
，
；
点 是线段 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
， ．
【点拨】本题考查反比例函数系数 的几何意义，熟练掌握反比例函数系数 的几何意义，
灵活运用三角形中点与三角形面积的关系是解题的关键．
