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专题 28.3 锐角三角函数（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．在△ABC中，∠C＝90°， ，则（ ）
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
2．已知在 Rt ABC 中， C 90°，AC 8, BC 15 ，那么下列等式正确的是
（ ）
A． B．cosA= C．tan A = D．cot A=
3．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6cm，那么这个三角形的面积为（ ）
A．4.5cm2 B．9 cm2 C．18 cm2 D．36cm2
4．若菱形的周长为 ，高为2，则菱形两邻角的度数比为（ ）
A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1
5．如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，DE是 ABC的中位线，连结CD．下列各组
线段的比值一定与c△osA相等的是（ ） △
A． B． C． D．
6．如图，在等腰三角形ABC中， ，点D为BC的中点，
于点E，则 的值等于（ ）A． B． C． D．
7．如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ， ，将 沿着
方向平移 的长度得到 ，连接 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，A(4，0)、B(0，3)，在第一象内作Rt△ABC，其中∠BAC=90°且
tan∠ABC=2，点P是直线AC上的动点，点Q是直线BC上的动点，则PB+PQ的最小值是(
)
A．5 B．10 C． D．
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点H是高AD和BE的交点，∠CAD＝30°，CD
＝4，则线段BH的长度为（ ）A．6 B． C．8 D．
10．如图，在正方形 中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，
交BF于点G，下列结论，① ；② ；③
；④ 其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
11．若 ，那么 的形状是_____．
12．已知 是锐角 ，那么cos =_________．
13．如图，△ABC的顶点是正方形的格点，则sin∠BAC的值为_____________14．如图，在矩形ABCD中，连接AC，分别以点A和C为圆心，以大于 的长为
半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN分别交AC于点E，交AB于点F，若
， ，则线段BF的长为______．
15．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数 的图象上，第二象限内的点B
在反比例函数 的图象上，且OA⊥OB ，tanA= ，则k的值为_________．
16．如图，在等边三角形ABC中，E为AB边上的一个动点，连接CE，将AC沿着CE
折叠得到 ，A的对应点为 ，连接 ，当 时， 的值为
__________．
17．如图，在四边形 中，连接 ， ， ， ．若， ，则 ______．
18．如图，木工师傅在板材边角处做直角时，往往使用“三弧法”，其做法是：
（1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D；
（3）连接BD、BC．
下列说法正确的是：_____（把所有正确的序号都写出来）
①∠CBD＝30°； ②S BDC＝ AB2；③点C是 的外心；④sin2A+cos2D＝1
△
三、解答题
19．计算：
（1） ；
（2） ．20．如图，已知在 中， ，垂足为点 ，
点 是边 的中点．
(1) 求边 的长；
(2) 求 的正弦值．
21．将矩形纸片 沿 翻折，使点 落在线段 上，对应的点为 ，若
，求 的长.
22．如图，点P为函数 与函数 图象的交点，点P的纵坐标为
4， 轴，垂足为点B．（1）求m的值；
（2）点M是函数 图象上一动点，过点M作 于点D，若
，求点M的坐标．
23．如图，直线 经过 上的点 ，直线 与 交于点 和点 ， 与
交于点 ，与 交于点 ， ， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分面积．
24．如图，抛物线 交 轴于 、 两点，其中点 坐标为 ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接 ，点 在抛物线上，且满足 ．求点 的坐标；
（3）如图②，点 为 轴下方抛物线上任意一点，点 是抛物线对称轴与 轴的交点，
直线 、 分别交抛物线的对称轴于点 、 ．请问 是否为定值？如果是，
请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
参考答案
1．D
【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可．
解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，
则cosA＝ ＝ ，故A错误；
sinB＝ ＝ ，故B错误；
tanA＝ ，故C错误；
tanB＝ ＝ ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定
义成为解答本题的关键．
2．D
【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.解：由勾股定理知，AB=17；A. ,所以A错误；B. ，
所以，B错误；C. ，所以，C错误；D. = ，所以选D.
【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题
关键.
3．B
【分析】作底边上的高运用等腰三角形的性质及三角函数定义分别求三角形的高和底
边长，代入公式计算求解．
解：如图，作底边上的高AD，
∵∠B＝30°，AB＝6cm，AD为高，
∴AD＝ABsinB＝ABsin30°＝3，BD＝ABcosB＝6× ＝3 ，
∴BC＝2BD＝6 ，
∴S ABC＝ ，
△
故选：B．
【点拨】此题考查了等腰三角形的面积的求法和三角函数的应用，解题的关键是利用
等腰三角形中底边上的高也是底边上的中线求解．
4．D
【分析】如图， 为菱形 的高， ，利用菱形的性质得到 ，利
用正弦的定义得到 ，则 ，从而得到 的比值．
解：如图， 为菱形 的高， ，
菱形的周长为 ，，
在 中， ，
，
，
，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都
相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角
形斜边上的中线性质．
5．C
【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出
答案．
解：∵ 是 的中位线
∴点 、 分别是 、 的中点
∵
∴
∴
∴
故选：C
【点拨】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性
质以及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
6．B
【分析】如图所示，连接 ，由 为 中点得出 ， ，从而根据勾股定理得出 ，然后由 ， 得出
，最后根据三角函数定义即可得出答案．
解：如图所示，连接 ，
， ， 为 中点，
， ，
，
， ，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及三角函数的定义，解题的关键是
通过等量代换得出 ，进而得出答案．
7．C
【分析】过点C作CF⊥ED交ED的延长线于点F， 沿着 方向平移 的长
度得到 ，得到AO DE，AO＝ED＝ AC，再证明四边形OCFD是矩形，OC＝DF
＝ AC，CF＝OD＝ BD，得到EF＝ED＋DF＝ AC＋ AC＝AC，由tan∠DEC＝
即可求得答案．
解：过点C作CF⊥ED交ED的延长线于点F，∵四边形ABCD为是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝ AC，OD＝ BD，
∵ 沿着 方向平移 的长度得到 ，
∴AO DE，AO＝ED＝ AC，
∵AC⊥BD，
∴DO⊥DE，
∵CF⊥ED，
∴∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形，
∴OC＝DF＝ AC，CF＝OD＝ BD，
∴EF＝ED＋DF＝ AC＋ AC＝AC，
在Rt CFE中，
△
∴tan∠DEC＝ ，
故选：C
【点拨】此题考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、平移的性质、锐角三角函数的
定义等知识，证明四边形OCFD是矩形是解题的关键．
8．D
【分析】延长BA到 ，使 ，过 点作 于点Q，交AC于点P，此
时 ，即 的最小值为 ，根据 求 的值
即可．解：延长BA到 ，使 ，过 点作 于点Q，交AC于点P如图所
示：
∵A(4，0)、B(0，3)，
∴ ， ，
在Rt△OAB中根据勾股定理可知， ，
∴ ，
∵∠CAB=90°，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线外一点与直线上各个点的连线中垂线段最短，
此时 最小，即 最小，
∵ ，
∴设 ，则 ，
∵在 中，根据勾股定理可知， ，
∴ ，
解得： ， （舍去），
则 ，
∴ 最小值为 ，故D正确．
故选：D．【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，三角函数的应用，作出辅助
线，找出什么情况下 最小是解决本题的关键．
9．C
【分析】结合题意，根据直角三角形两锐角互余、三角函数、分式方程的性质，得
，再根据等腰三角形和三角函数的性质分析，即可得到答案．
解：根据题意，得
∴
∴
∵CD＝4
∴
∴
经检验， 是 的解
∵∠ABC＝45°，∠CAD＝30°，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
经检验， 是 的解
故选：C．
【点拨】本题考查了三角函数、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
10．D
【分析】①根据正方形的性质求证 是直角三角形即可得到结果；
②由①求证 ，利用其对应边成比例即可得到结论；
③由①求证 即可得出结论；
④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论；
解：∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点，
∴ ，
∴ ，
∵CG∥AE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即△CGF为直角三角形，
∵CG∥AE，
∴ 也是直角三角形，
∴△BHE ．
故①正确；
由①得 ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
由①得 ，
∴BH=CG，而不是BH=FG，
故③错误；
∵ ，
∴ ，
即 ，
同理可得： ，
可得 ，∴ ，
∴④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案选D．
【点拨】本题主要考查了锐角三角函数的定义判断，准确结合相似三角形性质和全等
三角形性质是解题的关键．
11．锐角三角形
【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质及特殊角的三角函数值可求出∠A和
∠B的度数，然后根据三角形内角和求出∠C的度数，即可得到答案．
解：∵ ，
∴cos2A- =0，tan- =0，
∴cosA= （负值舍去），tanB= ，
∴∠A=45°，∠B=60°，
∴∠C=180°-45°-60°=75°，
∴△ABC是锐角三角形，
故答案为：锐角三角形
【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数性质的应用，熟练掌握非负数的性
质，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另
一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．
解：由sinα= = 知，如果设a=x，则c=2x，结合a2+b2=c2得b= x.
∴cos = = .故答案为： .
【点拨】本题考查的知识点是同角三角函数的关系，解题的关键是熟练的掌握同角三
角函数的关系.
13．
【分析】找到方格点D，连接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC为直角三角
形，然后根据正弦函数的定义求解即可．
解：：找到方格点D，连接CD，
根据题意可得：AD2=12+12=2， ，
AC2=12+32=10， ，
CD2=22+22=8， ，
AD2+ CD2=AC2，
∴ ADC ，
∴∠ =90°
，
∴
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解题意，找准直角三
角形求解是解题关键．
14．
【分析】连接CF，MN为AC的垂直平分线，则可得 ，由锐角三角函数和勾
股定理可得DC、BC的长，再设 ，利用勾股定理列方程求解即可．
解：连接CF，由题意可知：MN为AC的垂直平分线，
，
∵矩形ABCD，
， ，
在 中，AC=10，
，
，
在 中，
，
设 ，则 ，
在 中，
，
即： ，
解得： ，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了垂直平分线的画法和性质，矩形的性质，锐角三角函数以及勾股
定理，熟练掌握垂直平分线的性质以及应用勾股定理列方程是本题的关键．
15．-12
【分析】作 轴于 ， 轴于 ，如图，利用反比例函数系数的几何意义
得到 ，再根据正切的意义得到 ，接着证明 ，利用相似三角形的性质得 ，所以 ，然后根据反比例函数的性质确定 的值．
解：作 轴于 ， 轴于 ，如图，则 ，
在 中， ，
， ，
，
∴ ，
，
，
，
而 ，
．
故答案为-12．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 为常数，
的图象是双曲线，图象上的点 的横纵坐标的积是定值 ，即 ．也考查了相
似三角形的判定与性质．
16．
【分析】根据折叠对称性把各边和角表示出来，利用等边三角形性质把OB表示出来即可求出．
解：C沿着CE折叠得到 ， 与AB交于O．
设AE=x，则 =x．
∵AC沿着CE折叠得到 ，A的对应点为 ，
∴∠ECA= =60°
∴ ，EO=
∴AO=AE+EO=
又∵等边三角形ABC，
∴AO=OB=
∴tan = =
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正切值、等边三角形的性质，解题的关键是构造直角三角形并把
各边表示出来．
17．
【分析】过点C作BD垂线，垂足为E，设BE为x，DE为y，根据 ，可
得 为等腰直角三角形，以及可证 ，根据勾股定理和相似三角形的性质
列方程求出x、y的值，即可求得BD的值．
解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，在 中， ，
，
设BE为x，DE为y，
则根据勾股定理可得： ，
即： ，
， ，
，
，
，
，即 ；
根据 ，
解得： ，
则 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查锐角三角函数，相似三角形，勾股定理等知识点，根据相似三
角形性质以及勾股定理列出方程是解题的关键．
18．①②③
【分析】①根据尺规作图的过程即可得结论；
②根据①和勾股定理即可得结论；
③根据直角三角形的外接圆的性质即可得结论；
④根据锐角三角函数即可得结论．解：①根据题意的作图过程，可知
是等边三角形，∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝30°．
故①正确．
②∵∠ABD＝90°，∠CBD＝30°．
∴2AB＝AD，
根据勾股定理，得
∵BC是 的中线，
∴S ABC＝S BCD＝
△ △
故②正确．
③∵点C是直角三角形ABD斜边AD的中点，
∴点C是 的外心．
故③正确．
④在Rt 中，
∴sin2A+cos2D＝ ≠1．
故④不正确．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了尺规作图、三角形的外接圆、直角三角形、勾股定理、三角形的
面积、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19．（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据二次根式与特殊角的三角函数值即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值即可求解．解：（1）原式＝
＝
＝ ．
（2）原式 ．
【定睛】此题主要考查实数的运算。解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
20．(1) (2)
【分析】（1）由 求出 ，在 中由勾股定理可求出
的长；
（2）过点 作 于点F，证明 ，根据相似三角形的性质求出
EF，DF的长，根据勾股定理求出AE的长，再根据正弦的定义求解即可．
解：（1）∵
∴ 和 均为直角三角形，
∵
∴
∵
∴
∵
由勾股定理得，
（2）过点 作 于点F，如图，∵ ，
∴ //
∴
∴
∵点 是边 的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∴
在 中，∵
∴
∴
【点拨】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，
正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
21．10
【分析】设 ，根据三角函数表示出其它线段，最终表示出BE、AB，然后在三
角形ABE中根据勾股定理即可求出AB.
解： ∵ 是矩形，沿 翻折
∴ ，BE=EF，∠AFE=∠B=∠D = ，∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC= ,
∴∠DAF=∠EFC,
∴ ,
设 ，则
∴ ,
∴ ,
∴AD=8k，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∴ ,
∴ .
【点拨】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数的定义以及勾股定理．此题
难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
22．（1）24；（2）M点的坐标为
【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用k=xy计算m即可；
（2）利用分类思想，根据正切的定义，建立等式求解即可.
解：（1）∵点P纵坐标为4，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
当M点在P点右侧，
∴M点的坐标为 ，
∴（6+2t）（4-t）=24，
解得： ， （舍去），
当 时， ，
∴M点的坐标为 ，
当M点在P点的左侧，
∴M点的坐标为 ，
∴（6-2t）（4+t）=24，
解得： ， ，均舍去．
综上，M点的坐标为 ．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数解析式的确定，
三角函数，一元二次方程的解法，熟练掌握函数图像交点的意义，灵活运用三角函数的定
义，构造一元二次方程并准确解答是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）
【分析】（1）连接 ，证明 即可；（2）由已知条件得出 ，利用特殊角锐角三角函数求出
OD、OG的长度，再由扇形面积公式以及三角形面积公式求 即可．
解：.（1）证明：连接 ．
∵ ， ．
∴ ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 切线．
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查切线的判定，锐角三角函数，扇形面积的计算等知识点，根据
题意求出 是解题关键．24．（1） （2） 或 （3） 为定值，定值
为8．
【分析】（1）把点 、 坐标代入抛物线解析式即求得 、 的值．
（2）点 可以在 轴上方或下方，需分类讨论．①若点 在 轴下方，延长 到 ，
使 构造等腰 ，作 中点 ，即有 ，利用
的三角函数值，求 、 的长，进而求得 的坐标，求得直线 的解析式后
与抛物线解析式联立，即求出点 坐标．②若点 在 轴上方，根据对称性， 一定经过
点 关于 轴的对称点 ，求得直线 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点 坐
标．
（3）设点 横坐标为 ，用 表示直线 、 的解析式，把 分别代入即求得
点 、 的纵坐标，再求 、 的长，即得到 为定值．
解：（1）∵抛物线 经过点 ， ．
∴ ，解得： ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）①若点 在 轴下方，如图1，
延长 到 ，使 ，过点 作 轴，连接 ，作 中点 ，连接并延
长 交 于点 ，过点 作 于点 ．
∵当 ，解得： ，
∴
∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ 中， ， ，
∵ ， 为 中点，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 中， ， ，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ 中， ， ， .
∴ ， ，
∴ ， ，即 ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ： .
∵ ，解得： （即点 ）， ，
∴ .
②若点 在 轴上方，如图2，在 上截取 ，则 与 关于 轴对称，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ： .
∵ ，解得： （即点 ）， ，
∴ .
综上所述，点 的坐标为 或 ．
（3） 为定值.
∵抛物线 的对称轴为：直线 ，
∴ ， ，
设 ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ： ，
当 时， ，∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 ： ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，为定值．
【点拨】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元
一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点
位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．
