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专题5 二次根式最热考点——阅读材料题（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 分母有理化
典例1（2022秋•万柏林区校级月考）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为
有理化因式．
例如：√3×√3=3，（√6-√2）（√6+√2）＝6﹣2＝4，我们称√3的一个有理化因式是√3，√6-√2
的一个有理化因式是√6+√2．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母
中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
1 1×√3 √3 8 8√3×√3 8(√6+√2)
例如 = = ， = = 4＝2√6+2√2．
√3 √3×√3 3 √6-√2 (√6-√2)(√6+√2) 4
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1）√13的有理化因式为 √13 ，√7+√5的有理化因式为 √7-√5 ；（均写出一个即可）
3 11
（2）将下列各式分母有理化：① ；② ．（要求：写出变形过程）
√15 2√5-3
思路引领：（1）根据互为有理化因式的定义得出答案即可；
（2）①先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可；
②先分子和分母都乘以分母的有理化因式，再根据二次根式的运算法则进行计算即可．
解：（1）√13的有理化因式为√13，√7+√5的有理化因式为√7-√5，
故答案为：√13，√7-√5；
3
（2）①
√15
3×√15
=
√15×√15
3√15
=
15
√15
= ；
5
11
②
2√5-311×(2√5+3)
=
(2√5-3)×(2√5+3)
11×(2√5+3)
=
11
＝2√5+3．
总结提升：本题考查了平方差公式，分母有理化和二次根式的混合运算，能找出分母的有理化因式是解
此题的关键．
变式训练
1．（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．
例如：√a与√a，√2+1与√2-1．
（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：
√2 √2(√3+√2) √6+2
= = =√6+2．
√3-√2 (√3-√2)(√3+√2) 3-2
3
（2）请仿照上述方法化简： ．
√5-√2
1 1
（3）比较 与 的大小．
√3-1 √5-√3
思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；
（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；
（3）分母有理化后再比较．
解：（1）√5+2与√5-2互为有理化因式，
故答案为：√5+2与√5-2（答案不唯一）；
3
（2）
√5-√2
3(√5+√2)
=
(√5-√2)(√5+√2)
=√5+√2；
1 √3+1 1 √5+√3
（3） = ， = ，
√3-1 2 √5-√3 2√3+1 √5+√3
∵ ＜ ，
2 2
1 1
∴ ＜ ．
√3-1 √5-√3
总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．
类型二 二重根式的化简
典例2（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料：
形如 √m±2√n的式子的化简，我们只要找到两个正数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，即
(√a) 2+(√b) 2=m，√a×√b=√n，那么便有√m±2√n=√ (√a±√b) 2=√a±√b（a＞b）．
例如：化简√7+4√3．
解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，
由于4+3＝7，4×3＝12，即(√4) 2+(√3) 2=7，√4×√3=√12，
所以√7+4√3=√7+2√12=√ (√4+√3) 2=2+√3．
请根据材料解答下列问题：
（1）填空：√5-2√6= ．
（2）化简：√21-12√3（请写出计算过程）．
思路引领：（1）利用完全平方公式化简得出答案；
（2）利用完全平方公式以及二次根式的性质化简得出答案．
解：（1）√5-2√6=√(√3-√2) 2=√3-√2；
故答案为：√3-√2；
（2）首先把√21-12√3化为√21-2√108，这里m＝21，n＝108，
∵9+12＝21，9×12＝108，即(√9) 2+(√12) 2=21，√9×√12=√108，
∴√21-12√3=√21-2√108=√ (√9-√12) 2=√12-√9=2√3-3．
总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
变式训练
c
1．（2022秋•沙县期中）阅读材料：我们已经知道，形如 的无理数的化简要借助平方差公式：
√a±√b3 3×(2+√3) 6+3√3 6+3√3
例如：
= = = =6+3√3．下面我们来看看完全平方公式在无
2-√3 (2-√3)(2+√3) 22-(√3) 2 4-3
理数化简中的作用．
问题提出：√7+4√3该如何化简？
建立模型：形如√m+2√n的化简，只要我们找到两个数 a，b，使 a+b＝m，ab＝n，这样
(√a) 2+(√b) 2=m，√a⋅√b=√n，
那么便有：√m±2√n=√ (√a±√b) 2=√a±√b（a＞b），
问题解决：化简：√7+4√3，
解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即(√4) 2+(√3) 2=
7，√4×√3=√12
∴√7+4√3=√7+2√12=√ (√4+√3) 2=2+√3．
模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
（1）√6+2√5；
（2）√13-4√10；
模型应用2：
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4-√3，AC=√3，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．
思路引领：（1）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再求出即可；
（3）根据勾股定理求出即可．
解：（1）这里m＝6，n＝5，由于1+5＝6，1×5＝5，
即12+（√5）2＝6，1×√5=√5，
所以：√6+2√5
=√12+2×1×√5+(√5) 2
=√(1+√5) 2
＝1+√5；
（2）首先把√13-4√10化为√13-2√40，这里m＝13，n＝40，由于5+8＝13，5×8＝40，即（√5）2+（√8）2＝13，√5×√8=√40，
所以√13-4√10
=√13-2√40
=√(√5) 2-2×√5×√8+(√8) 2
=√(√5-√8) 2
=√8-√5
＝2√2-√5；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
所以，(√3) 2+BC2=(4-√3) 2
所以，BC=√16-8√3=2√3-2．
总结提升：本题考查的是分母有理化，勾股定理和完全平方公式，如果直角三角形的两条直角边长分别
是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
类型三 整体思想运算
典例3（2022秋•皇姑区校级期中）阅读理解：已知x=√2+1，求代数式x2﹣2x﹣5的值．王红的做法是：
根据x=√2+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作为整体代入：得x2﹣2x﹣5
＝1﹣5＝﹣4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=√3-2，求代数式x2+4x﹣5的值；
√5-1
（2）已知x= ，求代数式x3+x2+1的值．
2
思路引领：（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．
解：（1）∵x=√3-2，
∴x+2=√3，
∴（x+2）2＝（√3）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
√5-1
（2）∵x= ，
2∴2x+1=√5，
∴（2x+1）2＝（√5）2，
变形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
√5-1
= +1
2
√5+1
= ．
2
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．
针对训练
1．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=√5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据x=√5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，
得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知x=√10-3，求代数式x2+6x﹣8的值；
√5-1
（2）已知x= ，求代数式x3+2x2的值．
2
思路引领：（1）根据x=√10-3求出x+3=√10，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入
求出答案即可；
√5-1
（2）根据x= 求出2x+1=√5，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求
2
出答案．
解：（1）∵x=√10-3，
∴x+3=√10，
两边平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；√5-1
（2）∵x= ，
2
∴2x=√5-1，
∴2x+1=√5，
两边平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解
此题的关键．
类型四 基本不等式求最值
典例4（2021春•新泰市期中）观察，计算，判断：（只填写符号：＞，＜，＝或≥，≤）
a+b
（1）①当a＝2，b＝2时， √ab；
2
a+b
②当a＝3，b＝3时， √ab；
2
a+b
③当a＝4，b＝4时， √ab；
2
a+b
④当a＝3，b＝5时， √ab．
2
a+b
（2）观察以上式子，猜想写出关于 与√ab（a＞0，b＞0）之间的数量关系： 并进行探究证明；
2
（提示：(√a-√b) 2≥0）
（3）实践应用：要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，写出镜框周长的最
小值为 ．a+b
思路引领：（1）把各组a、b的值分别代入 和√ab中计算可判断它们的大小公式；
2
a+b
（2）由于（√a-√b）2≥0，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到 ≥√ab；
2
x+ y
（3）设长方形的长宽分别为xm，ym，则xy＝1，利用（2）中的结论得到 ≥√xy，则2（x+y）
2
≥4，然后可确定镜框周长的最小值．
a+b a+b
解：（1）当a＝2，b＝2时， =2，√ab=2，则 =√ab；
2 2
a+b a+b
②当a＝3，b＝3时，， =3，√ab=3，则 =√ab；
2 2
a+b a+b
③当a＝4，b＝4时， =4，√ab=4，则 =√ab；
2 2
a+b a+b
④当a＝3，b＝5时， =4，√ab=√15，则 ＞√ab；
2 2
故答案为：＝，＝，＝，＞；
a+b
（2） ≥√ab；理由如下：
2
∵（√a-√b）2≥0，
∴a﹣2√ab+b≥0，
∴a+b≥2√ab，
a+b
∴ ≥√ab；
2
a+b
故答案为： ≥√ab；
2
（3）设长方形的长为xm，宽是ym，则xy＝1，
x+ y
∵ ≥√xy，
2
∴x+y≥2，
∴2（x+y）≥4，
即镜框周长的最小值为4米．
故答案为：4米．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘
除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式训练
1．（2022春•海淀区校级期中）阅读下面材料：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时：（√a-√b）2＝a﹣2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
1
（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+ 的最小值为 ．
x
1
当x＜0时，x+ 的最大值为 ．
x
x2+2x+10
（2）若y= （x＞﹣1），求y的最小值．
x+1
（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和10，求四
边形ABCD面积的最小值．
思路引领：（1）根据公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可；
（3）设△BOC的面积为 x，根据△AOB与AOD，△BOC与△COD为等高的三角形，且△AOB与
40
△BOC，△AOD与△COD为同底的三角形，得到S△BOC ：S△COD ＝S△AOB ：S△AOD ，求出S△AOD =
x
，利
用公式求面积的最小值即可．
1
解：（1）当x＞0时， ＞0，
x
1 √ 1
∴x+ ≥2 x⋅ =2，
x x
1
∴x+ 的最小值是2；
x
1
当x＜0时，﹣x＞0，- ＞0，
x1 1
∴x+ =-（﹣x- ），
x x
1 √ 1
∵﹣x- ≥2 (-x)⋅(- )=2，
x x
1
∴﹣（﹣x- ）≤﹣2，
x
1
∴x+ 的最大值为﹣2；
x
故答案为：2；﹣2；
(x+1) 2+9
（2）y=
x+1
9
＝x+1+ ，
x+1
∵x＞﹣1，
∴x+1＞0，
√ 9
∴y≥2 (x+1)⋅ =2×3＝6，
x+1
∴y的最小值为6；
（3）设△BOC的面积为x，
∵△AOB与AOD，△BOC与△COD为等高的三角形，且△AOB与△BOC，△AOD与△COD为同底的
三角形，
∴S△BOC ：S△COD ＝S△AOB ：S△AOD ，
∴x：10＝4：S△AOD ，
40
∴S△AOD =
x
，
40
∴四边形ABCD的面积＝4+10+x+
x
√ 40
≥14+2 x⋅
x
＝14+2×2√10
＝14+4√10．
40
当且仅当x= ，即x＝2√10时，取等号．
x
∴四边形ABCD面积的最小值为14+4√10．总结提升：本题考查了配方法的应用，列出四边形ABCD面积的表达式解题的关键．
类型五 的化简
典例5 （2022秋•仁寿县校级月考）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已
知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；
而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们
把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：（√1-3x）2﹣|1﹣x|．
1
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得x≤ ，∴1﹣x＞0，∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
3
（1）试化简：√(x-3) 2-(√2-x) 2；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：√(a+b+c) 2+√(a-b-c) 2+√(b-a-c) 2+√(c-b-a) 2；
（3）已知a、b满足√(2-a) 2=a+3，√a-b+1=a-b+1，求ab的值．
思路引领：（1）根据二次根式有意义条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算
即可；
（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案；
（3）直接利用二次根式性质进而分析得出a，b的值，进而得出答案．
解：（1）隐含条件2﹣x≥0，
解得：x≤2，
所以√(x-3) 2-(√2-x) 2
＝3﹣x﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
（2）∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴√(a+b+c) 2+√(a-b-c) 2+√(b-a-c) 2+√(c-b-a) 2；＝（a+b+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝2a+2b+2c；
（3）∵√(2-a) 2=a+3，
若a≥2，则a﹣2＝a+3，不成立，
故a＜2，
∴2﹣a＝a+3，
1
∴a=- ，
2
∵√a-b+1=a﹣b+1，
∴a﹣b+1＝1或0，
1 1
∴b=- 或 ，
2 2
1
∴ab＝± ．
4
总结提升：本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题
的关键．
变式训练
1．（2022秋•唐河县月考）阅读下列解题过程：
例：若代数式√(a-1) 2+√(a-3) 2的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）．
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．
（1）当2≤a≤5时，化简：√(a-2) 2+√(a-5) 2= ；
（2）若等式√(3-a) 2+√(a-7) 2=4成立，求a的取值范围．
思路引领：（1）根据二次根式的性质即可求出答案；（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．
解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
类型六 纠正解题过程中的错误
典例6（2022秋•金水区校级期中）计算：下面是李明同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完
成相应任务．
（√6+√5）2﹣（√6-√5）2
＝（√6）2+（√5）2﹣（√6）2+（√5）2……第一步
＝6+5﹣6+5……第二步
＝10……第三步
任务一：填空：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请写出正确的计算过程；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就二次根式运算时还需注意的事项给其他同学
提一条建议．思路引领：任务一：利用完全平方公式进行计算即可解答；
任务二：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
任务三：根据在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式，即可解答．
解：任务一：填空：以上步骤中，从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是完全平方公式运用错误，
故答案为：一，完全平方公式运用错误；
任务二：（√6+√5）2﹣（√6-√5）2
＝（√6）2+2√30+（√5）2﹣[（√6）2﹣2√30+（√5）2]
＝6+2√30+5﹣（6﹣2√30+5）
＝6+2√30+5﹣6+2√30-5
＝4√30；
任务三：在进行二次根式运算时，结果必须化成最简二次根式．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
针对训练
√4 1
1．（2022春•大同期末）下面是小明同学计算 - (√12-√75)的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
3 2
√4 1
解： - (√12-√75)
3 2
2√3 1
= - (2√3-5√3)⋯⋯第一步
3 2
2√3 1 1
= - ×2√3- ×5√3⋯⋯第二步
3 2 2
2√3 5√3
= -√3- ⋯⋯第三步
3 2
4√3 6√3 15√3
= - - ⋯⋯第四步
6 6 6
17√3
=- ⋯⋯第五步
6
任务一：小明同学的解答过程从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请你写出正确的计算过程．
思路引领：先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
解：（1）任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号
内第二项没有变号，
故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；√4 1
（2）任务二： - (√12-√75)
3 2
2√3 1
= - (2√3-5√3)
3 2
2 5
= √3-√3+ √3
3 2
13
= √3．
6
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
类型7 分子有理化求最值和比较大小
典例7 （2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：
(√7-√6)(√7+√6) 1
√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
1
比 较 √7-√6和 √6-√5的 大 小 ． 可 以 先 将 它 们 分 子 有 理 化 ． 如 下 ： √7-√6= ，
√7+√6
1
√6-√5= ．
√6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以√7-√6＜√6-√5．
再例如：求y=√x+2-√x-2的最大值．做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y =√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较3√2-4和2√3-√10的大小；
（2）求y=√1+x-√x的最大值．
2 2
思路引领：（1）利用分母有理化得到 3√2-4 = ，2√3-√10= ，利用 3√2+4＞2
3√2+4 2√3+√10
√3+√10可判断3√2-4＜2√3-√10；
1
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y =
√1+x+√x，由于x＝0时，√1+x+√x有最小值1，从而得到y的最大值．
(3√2+4)(3√2-4) 2
解：（1）∵3√2-4= = ，
3√2+4 3√2+4
(2√3+√10)(2√3-√10) 2
2√3-√10= = ，
2√3+√10 2√3+√10
而3√2＞2√3，4＞√10，
∴3√2+4＞2√3+√10，
∴3√2-4＜2√3-√10；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
1
而y =√1+x-√x= ，
√1+x+√x
∵x＝0时，√1+x+√x有最小值1，
∴y的最大值为1．
总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
针对训练
1．（2021秋•即墨区期中）我们在学习二次根式时，了解了分母有理化及其应用．其实，还有一个类似的
方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消除分子中的根式．
(√7-√6)(√7+√6) 1
比如：√7-√6= = ．
√7+√6 √7+√6
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较：
1 1
√7-√6和√6-√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7-√6= ，√6-√5= ．
√7+√6 √6+√5
因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7-√6＜√6-√5．
再例如，求y=√x+2-√x-2的最大值、做法如下：
4
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y =√x+2-√x-2= ．
√x+2+√x-2
当x＝2时，分母√x+2+√x-2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下面问题：
（1）比较√19-√18和√18-√17的大小；
（2）求y=√x+1-√x-1+2的最大值．
思路引领：（1）利用平方差公式进行分子有理化计算，从而比较大小；
（2）利用二次根式有意义的条件确定 x的取值范围，然后通过利用平方差公式对原式进行分子有理化变形，从而确定其最大值．
(√19+√18)(√19-√18) 1
解：（1）√19-√18= = ；
√19+√18 √19+√18
(√18+√17)(√18-√17) 1
√18-√17= = ，
√18+√17 √18+√17
∵√19+√18＞√18+√17，
∴√19-√18＜√18-√17；
（2）∵x+1≥0且x﹣1≥0，
∴x≥1，
2
原式= + 2，
√x+1+√x-1
2
当x＝1时， 有最大值为√2，
√x+1+√x-1
此时，原式有最大值为2+√2．
总结提升：本题考查二次根式的有理化计算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）
＝a2﹣b2的结构是解题关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022秋•萧县期中）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：
若√x-1和√1-x都有意义，x的值是多少？
解：∵√x-1和√2-x都有意义，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0．
又∵x﹣1和1﹣x互为相反数，
∴x﹣1＝0，且1﹣x＝0，
∴x＝1．
问题：若y=√2x-1+√1-2x+2，求xy的值．
思路引领：根据二次根式中的被开方数是非负数，可得x的值，进而得出y的值，然后代入所求式子计
算即可．
解：由题意得：
{2x-1≥0
，
1-2x≥0
∴2x﹣1＝0，1
解得x= ，
2
所以y＝2，
1 1
所以xy=(
)
2=
．
2 4
总结提升：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出被开方数的取值范围是解题关键．
2．（2022秋•驻马店期中）阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数 x，y使x+y＝a且xy＝b，这样
√a+2√b=√ (√x) 2+(√y) 2+2√x⋅√y=√ (√x+√y) 2=√x+√y，那么我们就称√a+2√b为“和谐二
次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．
例如：√3+2√2=√ (√1) 2+(√2) 2+2√1⋅√2=√ (1+√2) 2=1+√2．
2
（二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如 样的式子，其实我们还可以将其进
√3+1
2 2×(√3-1) 2×(√3-1)
一步化简：
= = =√3-
1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-12
根据阅读材料解决下列问题：
（1）化简“和谐二次根式”：①√11+2√28= ；②√7-4√3= ．
1 1 m-n
= =
（2）已知m ，n ，求 的值．
√5+2√6 √5-2√6 m+n
思路引领：（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可；
（2）先根据阅读材料（一）化简m与n的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可．
（1）解：①√11+2√28=√(√7) 2+(√4) 2+2√7⋅√4=√(√7+√4) 2=√7+2；
②√7-4√3=√7-2√12=√(√4) 2+(√3) 2-2√4⋅√3=√(√4-√3) 2=2-√3．
故答案为：√7+2；2-√3；
1 1 1 1
（2）解：∵m
= = =√3-√2，n = = =√3+√2，
√5+2√6 √3+√2 √5-2√6 √3-√2
∴m﹣n=√3-√2-（√3+√2）＝﹣2√2，
m+n=√3-√2+（√3+√2）＝2√3，m-n -2√2 √6
∴ = =- ；
m+n 2√3 3
总结提升：本题考查的是估算无理数的大小，二次根式的性质与化简，考查了学生的阅读理解能力以及
知识的迁移能力，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．
1 √5-√4
3 ． （ 2021 秋 • 广 平 县 期 末 ） 阅 读 下 列 解 题 过 程 ： = =√5-√4，
√5+√4 (√5+√4)(√5-√4)
1 √6-√5
= =√6-√5
√6+√5 (√6+√5)(√6-√5)
1
（1）观察上面的解答过程，请写出 = ．
√n+1+√n
1 1 1 1 1
（2）利用上面的解法，请化简： + + +⋅⋅⋅+ + ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √99+√98 √100+√99
思路引领：（1）分子、分母同乘以最简公分母√n+1-√n，化简即可；
（2）把各加数分母有理化，再合并同类二次根式．
1
解：（1） =√n+1-√n，
√n+1+√n
故答案为：√n+1-√n；
1 1 1 1 1
（2） + + +⋅⋅⋅+ +
√2+1 √3+√2 √4+√3 √99+√98 √100+√99
=√2-1+√3-√2+√4-√3+...+√99-√98+√100-√99
=√100-1
＝10﹣1
＝9．
总结提升：此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母和合并同类二次根式是关键．
4．（2022秋•南召县月考）阅读下面的材料，解答后面提出的问题：
在二次根式计算中我们常常遇到这样的情况：(2+√3)×(2-√3)=1，
(√5+√2)×(√5-√2)=3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是
另一个的有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：
1 1×√3 √3 2+√3 (2+√3)×(2+√3)
= = ， = =7+4√3．
√3 √3×√3 3 2-√3 (2-√3)×(2+√3)
像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化．解决问题：
（1）4+√7的一个有理化因式是 ．
√3+√2 √3-√2 1 1
（2）已知x= ，y= ，则 + = ．
√3-√2 √3+√2 x y
1 1 1 1 1
（3）利用上面所提供的解法，请化简 + + +⋯+ + ．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
思路引领：（1）根据有理化因式的概念解答；
（2）利用二次根式的乘法法则计算；
（3）根据分母有理化、二次根式的加法法则计算．
解：（1）∵（4+√7）（4-√7）＝16﹣7＝9，
∴4+√7的一个有理化因式是4-√7，
故答案为：4-√7；
√3+√2
（2）∵x= ，
√3-√2
1 √3-√2 (√3-√2) 2
∴ = = =（√3-√2）2＝5﹣2√6，
x √3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1
同理， = 5+2√6，
y
1 1
∴ + = 5﹣2√6+5+2√6=10，
x y
故答案为：10；
（3）原式=√2-1+√3-√2+⋯+√100-√99
＝10﹣1
＝9．
总结提升：本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
5．（2022秋•峄城区校级月考）阅读下列材料，然后回答问题：再进行二次根式运算时，我们有时会碰上
5 2
如 ， 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
√3 √3+1
5 5×√3 5
= = √3；
√3 √3×√3 3
2 2×(√3-1) 2×(√3-1)
= = =√3-1．
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-1以上这种化简的过程叫做分母有理化．
（1）请根据以上方法化简：
4 4 1
① ；② ；③
√2 √5-1 3-√5
（2）直接写出：2-√3的倒数是 ；
（3）计算：
1 1 1 1
（ + + +⋯⋯+ ）⋅(√2023+1)
√2+√1 √3+√2 √4+√3 √2023+√2022
思路引领：（1）根据阅读材料分母有理化即可；
（2）根据倒数的概念列式，再分母有理化即可；
（3）将括号内各数分母有理化，合并同类二次根式后再算乘法．
4 4√2
解：（1） = =2√2；
√2 √2×√2
4 4(√5+1)
= =√5+1；
√5-1 (√5-1)(√5+1)
1 3+√5 3+√5
= = ；
3-√5 (3-√5)(3+√5) 4
1
（2）2-√3的倒数是 = 2+√3，
2-√3
故答案为：2+√3；
（3）原式＝（√2-√1+√3-√2+√4-√3+......+√2023-√2022）×（√2023+1）
＝（√2023-1）（√2023+1）
＝2022．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是读懂题意，掌握分母有理化的方法．
6．（2022春•昭化区期末）【阅读材料】像√a•√a=a（a≥0），（√b+1）（√b-1）＝b﹣1（b≥0）这
样的两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，
√5与√5，√3+1与√3-1，都互为有理化因式．进行含有二次根式的分式计算时，利用有理化因式，可
以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：√7-3的有理化因式为 ；a b
（2）已知正整数a，b满足 - =3-2√2，求a，b的值．
√2-1 √2
思路引领：（1）根据题意和题目中的式子，可以写出√7-3的有理化因式；
（2）根据题意，将题目中的式子变形，然后即可得到关于 a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即
可．
解：（1）∵（√7-3）（√7+3）＝7﹣9＝﹣2，
∴√7-3的有理化因式为√7+3，
故答案为：√7+3；
a b
（2）∵ - =3-2√2，
√2-1 √2
a(√2+1) √2b
∴ - = 3﹣2√2，
(√2-1)(√2+1) 2
√2
∴a（√2+1）- b＝3﹣2√2，
2
√2
∴√2a+a- b＝3﹣2√2，
2
1
∴（a- b）√2+a＝3﹣2√2，
2
{ 1
a- b=-2
∴ 2 ，
a=3
{a=3
解得 ，
b=10
即a的值是3，b的值是10．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运
算法则和分母有理化的方法．
7．（2022春•新余期末）阅读下列解题过程：
例：若代数式√(2-a) 2+√(a-4) 2=2，求a的取值．
解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|，
当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）；
当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立；
当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4；所以，a的取值范围是2≤a≤4．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤a≤7时，化简：√(3-a) 2+√(a-7) 2；
（2）若√(a+1) 2+√(a-3) 2=6，求a的取值；
（3）请直接写出满足√(a-1) 2+√(a-6) 2=5的a的取值范围 ．
思路引领：（1）根据已知可得3﹣a≤0，a﹣7≤0，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答；
（2）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答；
（3）按照例题的思路，分类讨论进行计算即可解答．
解：（1）∵3≤a≤7，
∴3﹣a≤0，a﹣7≤0，
∴√(3-a) 2+√(a-7) 2
＝|3﹣a|+|a﹣7|
＝a﹣3+7﹣a
＝4；
（2）原式＝|a+1|+|a﹣3|，
当a＜﹣1时，原式＝﹣a﹣1+3﹣a＝﹣2a+2＝6，解得a＝﹣2；
当﹣1≤a＜3时，原式＝a+1+3﹣a＝4，等式不成立；
当a≥3时，原式＝a+1+a﹣3＝2a﹣2＝6，解得a＝4；
所以，a的值为﹣2或4；
（3）原式＝|a﹣1|+|a﹣6|，
当a＜1时，原式＝1﹣a+6﹣a＝7﹣2a＝5，解得a＝1（舍去）；
当1≤a＜6时，原式＝a﹣1+6﹣a＝5，等式恒成立；
当a≥6时，原式＝a﹣1+a﹣6＝2a﹣7＝5，解得a＝6；
∴a的取值范围：1≤a≤6，
故答案为：1≤a≤6．
总结提升：本题考查了整式的加减，二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键．
8．（2022秋•辉县市期中）【阅读学习】
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3+2√2=（1+√2）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b√2=（m+n√2）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b√2=m2+2n2+2√2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b√2的式子化为平方式的方法．
【解决问题】
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a
＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b√3=（m+n√3）2成立，且
a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；
（3）若a+6√5=（m+n√5）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
思路引领：（1）根据阅读材料，利用完全平方公式将等式右边展开，即可求出a、b的值；
（2）根据（1）的结论即可得到结果；
（3）根据题意得到a＝m2+5n2，b＝2mn，求得mn＝3，分类讨论即可得到结论．
解：（1）（m+n√3）2＝m2+2√3mn+3n2＝m2+3n2+2mn√3．
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）当n＝1，m＝2时，a＝22+3×1＝7，b＝2mn＝4，
故a＝7，b＝4，m＝2，n＝1时，a+b+m+n的值最小．
（3）（m+n√5）2＝m2+2√5mn+5n2＝a+6√5，
∴a＝m2+5n2，6＝2mn，
∴mn＝3，
∵a、m、n均为正整数，
∴令m＝1，n＝3或m＝3，n＝1；
当m＝1，n＝3时，a＝12+5×32＝46．
当m＝3，n＝1时，a＝32+5×12＝14．
综上，a的值为14或46．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，理解题意，弄清阅读材料中
把一个式子化为平方式的方法是解题的关键．
9．（2022春•邗江区期末）阅读下列材料，并回答问题：
把形如a+b√m与a﹣b√m(a、b为有理数且b＞0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．
（1）请你举出一对共轭实数： 3+√2 和 3-√2 ；
（2）﹣2√5和2√5是共轭实数吗？若是请指出a、b的值；（3）若两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4√3，请求出这两个共轭实数．
思路引领：（1）根据题意，可以写出一组共轭实数，本题答案不唯一；
（2）根据共轭实数的定义，可以判断﹣2√5和2√5是共轭实数，并写出a和b即可；
（3）根据两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4√3，可以求得a、b、m的值，从而可以写出这两个
共轭实数．
解：（1）由题意可得，
3+√2与3-√2是共轭实数，
故答案为：3+√2，3-√2；
（2）﹣2√5和2√5是共轭实数，a＝0，b＝2；
（3）设这两个共轭实数为a+b√m与a﹣b√m，
∵两个共轭实数的和是10，差的绝对值是4√3，
∴（a+b√m）+（a﹣b√m）＝10，|（a+b√m）﹣（a﹣b√m）|＝4√3，
∴2a＝10，|2b√m|＝4√3，
∴a＝5，b＝2或b＝﹣2（舍去），m＝3，
∴这两个共轭实数是5+2√3，5﹣2√3．
总结提升：本题考查二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
10．（2022春•武江区校级期末）请阅读下列材料：
问题：已知x=√5+2，求代数式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根据x=√5+2得（x﹣2）2＝5，∴x2
﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代
入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
（1）已知x=√5-2，求代数式x2+4x﹣10的值；
√5-1
（2）已知x= ，求代数式x3+x2+1的值．
2
思路引领：（1）根据完全平方公式求出x2+4x＝1，代入计算即可；
（2）根据二次根式的乘法法则、完全平方公式计算，答案．
解：（1）∵x=√5-2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；√5-1
（2）∵x= ，
2
√5-1 3-√5
∴x2＝（ ）2= ，
2 2
√5-1 3-√5
则x3＝x•x2= × =√5-2，
2 2
3-√5 √5+1
∴x3+x2+1=√5-2+ +1= ．
2 2
总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法则是解题的关键．
11．（2021秋•宽城县期末）（1）计算：(√5-√3)(√5+√3)+1；
√ 2 1
（2）计算：√125+9 - √24+(√5) 2；
27 2
（3）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
√9 √2
-√12×(√24+3 )
2 3
√9 √2
= -√12×(√24+3 )⋯⋯第一步
√2 3
3√2 √2
= -2√3×2√6+2√3×3 ⋯⋯第二步
2 3
3√2
= -12√2+6√2⋯⋯第三步
2
9√2
= ⋯⋯第四步
2
①以上化简步骤中第一步化简的依据是： ；
②第 步开始出现错误，请写出错误的原因 ，该运算正确结果应是 ．
思路引领：（1）利用平方差公式计算；
（2）先把各二次根式化简，然后合并即可；
（3）①第一步化简的依据为二次根式的除法法则；
②第二步去括号错误，然后计算出正确的结果．
解：（1）原式＝5﹣3+1
＝3；
√6 1
（2）原式＝5√5+9× - ×2√6+5
9 2
＝5√5+√6-√6+5＝5√5+5；
（3）①化简步骤中第一步化简的依据是商的算术平方根，等于算术平方根的商；
故答案为商的算术平方根，等于算术平方根的商；
②第二步开始出现错误，请写出错误的原因括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；，该运算正
33√2
确结果应是- ．
2
33√2
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号； - ．
2
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法
则是解决问题的关键．
12．（2021秋•岳阳期末）王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两
道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题，观察下列等式：
2 2(√3-1) 2(√3-1) 2(√3-1)
= = = =√3- 1；
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-12 3-1
2 2(√5-√3) 2(√5-√3) 2(√5-√3)
= = = =√5-√3；
√5+√3 (√5+√3)(√5-√3) (√5) 2-(√3) 2 5-3
直接写出以下算式的结果：
2 2
= ； （n为正整数）＝ ；
√7+√5 √2n+1+√2n-1
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
（√3+1）2＝4+2√3，（√5+√3）2＝8+2√15，（√a+√b）2＝a+b+2√ab（a≥0，b≥0）；
再根据平方根的定义可得：
√4+2√3=√3+1，√8+2√15=√5+√3，√a+b+2√ab=√a+√b（a≥0，b≥0）；
直接写出以下算式的结果：
√6+2√5= ，√4-2√3= ，√7+4√3= ；
（3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
2 2 2 2 2
（ + + + + ）•√12+2√11．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √9+√7 √11+√9
思路引领：（1）根据分母有理化化简即可得出答案；（2）将被开方数化成完全平方公式，根据√a2=|a|化简即可；
（3）将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消，将第二个式子根据√a2=|a|化简，根据平方差公式
即可得出答案．
2
解：（1）
√7+√5
2(√7-√5)
=
(√7+√5)(√7-√5)
2(√7-√5)
=
7-5
=√7-√5；
2
√2n+1+√2n-1
2(√2n+1-√2n-1)
=
(√2n+1+√2n-1)(√2n+1-√2n-1)
2(√2n+1-√2n-1)
=
2n+1-2n+1
2(√2n+1-√2n-1)
=
2
=√2n+1-√2n-1；
故答案为：√7-√5，√2n+1-√2n-1（n为正整数）；
（2）√6+2√5
=√(√5) 2+2√5+1
=√(√5+1) 2
=√5+1；
√4-2√3
=√(√3) 2-2√3+1
=√(√3-1) 2
=√3-1；√7+4√3
=√22+2×2×√3+(√3) 2
=√(2+√3) 2
＝2+√3；
故答案为：√5+1，√3-1，2+√3；
（ 3 ） 原 式 ＝ [
2(√3-1) 2(√5-√3) 2(√7-√5) 2(√9-√7) 2(√11-√9)
+ + + +
(√3+1)(√3-1) (√5+√3)(√5-√3) (√7+√5)(√7-√5) (√9+√7)(√9-√7) (√11+√9)(√11-√9)
]•√(√11+1) 2
=(√3-1+√5-√3+√7-√5+√9-√7+√11-√9)(√11+1)
＝（√11-1）（√11+1）
＝11﹣1
＝10．
总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项
式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．
13．（嘉祥县期中）阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（√a-√b）2≥0，∴a﹣2√ab+b≥0，∴a+b≥2√ab，只有当a＝b时，等号
成立；结论：在a+b≥2 √ab（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2√ab．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b＝9，√ab≤ ；
1
（2）若m＞0，当m为何值时，m+ 有最小值，最小值是多少？
m
思路引领：（1）根据a+b≥2 √ab（a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2 √ab（a、b均为正实数），进而得出即可．
解：（1）∵a+b≥2 √ab（a、b均为正实数），
9
∴a+b＝9，则a+b≥2√ab，即√ab≤ ；
29
故答案为： ；
2
1 √ 1
（2）由（1）得：m+ ≥2 m× ，
m m
1 1
即m+ ≥2，当m= 时，m＝1（负数舍去），
m m
1
故m+ 有最小值，最小值是2．
m
总结提升：此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 √ab（a、b均为正实数）求出是解
题关键．
14．（2021春•莆田期中）阅读下面材料：
同学们上学期学习分式，整式还有这个学期的二次根式，小明发现像m+n，mnp，√m2+n2等代数式，
如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．太神奇了！于是他把这样的式子命名为神奇对称式．
他还发现像m2+n2，（m﹣1）（n﹣1）等神奇对称式都可以用mn，m+n表示．例如：m2+n2＝（m+n）2
﹣2mn，（m﹣1）（n﹣1）＝mn﹣（m+n）+1．于是丽丽把mn和m+n称为基本神奇对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
2 n
（1）代数式① ，②m2﹣n2，③ ，④√xy+√yz+√xz(x≥0，y≥0，z≥0)中，属于神奇对
√mn m
称式的是 （填序号）；
（2）已知（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣px+q．
1 1
①若p＝3，q＝﹣2，则神奇对称式 + = ；
m n
m3+1 n3+1
②若√p2-q＝0，求神奇对称式 + 的最小值．
m n
思路引领：（1）根据神奇对称式的概念进行判断；
（2）①首先利用多项式乘多项式的计算法则计算求得mn，m+n的值，然后利用分式的计算法则进行
计算；
②利用分式的运算法则将原式进行化简，然后代入求值，结合配方法求代数式的最值．
2 2
解：（1） = ，故①是神奇对称式；
√mn √nm
只有当m+n＝0或m﹣n＝0时，m2﹣n2＝n2﹣m2，∴m2﹣n2不一定等于n2﹣m2，故②不是神奇对称式；
n m
只有当m＝n≠0或m＝﹣n时， = ，
m n
n m
∴ 不一定等于 ，故③不是神奇对称式；
m n
√xy+√yz+√xz=√yx+√zy+√zx，故④是神奇对称式；
故答案为：①④；
（2）①∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p＝3，mn＝q＝﹣2，
1 1 m+n 3
∴ + = =- ，
m n mn 2
3
故答案为：- ；
2
②∵（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝＝x2﹣px+q，
∴m+n＝p，mn＝q，
1 1
原式＝m2+ +n2+
m n
m+n
＝（m+n）2﹣2mn+
mn
p
＝p2﹣2q+ ，
q
又∵√p2=q，
∴p＝±q，
当p＝q时，原式＝p2﹣2q+1＝（p﹣1）2≥0，
∴此时，原式的最小值是0；
当p＝﹣q时，原式＝p2﹣2q﹣1＝（p﹣1）2﹣2≥﹣2，
∴此时，原式的最小值是﹣2；
m3+1 n3+1
综上， + 的最小值是﹣2．
m n
总结提升：本题考查多项式乘多项式的运算，分式的混合运算，二次根式的混合运算，理解新定义，掌
握运算法则是解题关键．
