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第 16 章 二次根式 章节复习卷（11 个知识点+50 题练习）
知识点
知识点1．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
①“ ”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根
式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
知识点2．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性． （a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能
利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开
方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点3．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
① ≥0； a≥0（双重非负性）．②（ ）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③ ＝|a|＝ （算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
＝ • （a≥0，b≥0） ＝ （a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把
被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中
每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
知识点4．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数
中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
知识点5．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质： ＝ • （a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法则： • ＝ （a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质： ＝ （a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则： ＝ （a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 • ＝ （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a
＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（ ）×（ ）≠﹣4×﹣9；同样的
在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
知识点6．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：① ＝ ＝ ；② ＝ ＝ ．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为
有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如： ﹣ 的有理化因式可以是 + ，也可以是a（ + ），这里的a可以是
任意有理数．
知识点7．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几
个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同
类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看
被开方数是否相同．
知识点8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的
二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外
的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
知识点9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次
根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面
的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作
“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当
的解题途径，往往能事半功倍．
知识点10．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算
区分，避免互相干扰．
知识点11．二次根式的应用把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体
性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的
方法．
练习卷
一．二次根式的定义（共4小题）
1．（2023春•瑶海区期末）下列式子中，是二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出即可．
【解答】解： 、 是二次根式，符合题意；
、 是三次根式，不合题意；
、 ，根号下不能是负数，不合题意；
、 ，根号下不能是负数，不合题意；
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．（2023春•庐阳区校级期末）下列式子中，一定是二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】形如 的式子即为二次根式，据此进行判断即可．
【解答】解： 不符合二次根式定义，
则 不符合题意；
，符合二次根式的定义，
则 符合题意；
不符合二次根式定义，则 不符合题意；
当 时， 不符合二次根式定义，
则 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3．（2023春•滨州期末）在人教版八年级下册第十六章我们学习了《二次根式》，请叙述
学习二次根式的基本路径是什么？
【分析】根据二次根式的有关知识点得出答案即可．
【解答】解：学习二次根式的基本途径是：二次根式的概念（定义、表示）一二次根式的
性质一二次根式的运算（运算法则和运算律的应用）．
【点评】本题考查了二次根式的有关内容，能熟记二次根式的有关知识点是解此题的关键
注意：①形如 的式子叫二次根式，② 具有非负性．
4．（2023春•阳江期末）已知 为正整数，且 也为正整数，则 的最小值为 3 ．
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【解答】解： ，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又 ，9是满足题意最小的被开方数，
的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化
简再讨论是本题的关键．
二．二次根式有意义的条件（共5小题）
5．（2023秋•钟山区期末）若 满足 ，则 的值为
A．0 B．1 C．2023 D．2024
【分析】先根据二次根式有意义的条件判断出 的取值范围，再进行计算即可．
【解答】解： 有意义，，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解
题的关键．
6．（2023秋•雨湖区期末）已知 ，则 的算术平方根
是 ．
【分析】先根据被开方数不小于零的条件求出 的值，再根据非负数的性质求出 与 的
值，最后代入进行求值即可．
【解答】解：由题可知，
，
解答 ．
故 ，
则 ，解得 ，
则 的算术平方根是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件和非负数的性质，熟练掌握相关的知识点是解题
的关键．
7．（2023秋•纳溪区期末）使 有意义的 的取值范围是
A． 且 B． C． 且 D．
【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出 且 ，再
求出答案即可．
【解答】解： 要使 有意义，必须 且 ，
且 ，
即使 有意义的 的取值范围是 且 ．
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义
的条件和分式有意义的条件得出 且 是解此题的关键．
8．（2023春•播州区期中）（1）已知 ， 为实数，且 ，求 ，
的值．
（2）已知实数 满足 ，求 的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得出 的值，再根据非负数的和为0得出 的
值即可；（2）根据二次根式有意义的条件可得 的取值范围，再根据绝对值的定义将原式化为
，两边平方即可．
【解答】解：（1） 和 均有意义，
且 ，
即 且 ，
，
当 时， ，
，
答： ， ；
（2） 有意义，
，
，
因此 ，可变为 ，
即 ，
，
即 ，
答： 的值是2024．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是正确解答的关键．
9．（2023春•朝天区期末）已知 的三边长分别为 ， ， ．
（1）化简： ；
（2）若 ， 满足 ，且 ，判断此三角形的形状，并说明理由．【分析】（1）根据三角形的三边关系，得到 ，根据二次根式的性质进行化简即可；
（2）根据二次根式的非负性，求出 ， 的值，利用勾股定理逆定理即可得出结论．
【解答】解：（1） ， ， 是 的三边长，
，
，
．
（2） ，
， ．
，即 ，
是直角三角形．
【点评】本题考查二次根式的应用．解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系，以及二次
根式的非负性．
三．二次根式的性质与化简（共5小题）
10．（2023春•云阳县期中）当 时， ．
【分析】利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确把握二次根式的性质是解题关键．
11．（2023春•铁西区期末） 的化简结果是
A．4 B． C．16 D．
【分析】根据二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解： ，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，．
12．（2023秋•雨湖区期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如 的化简，只要我们找到两个数 ， ，使 ， ，使得
， ，那么便有： ．
例如：化简 ．
解：首先把 化为 ，这里 ， ，由于 ， ，即
， ，
．
仿照上例，回答问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ．
【分析】（1）根据题中给出的方法化简即可；
（2）先仿照题中给出的方法化简，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1） ；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，规律问题，理解题意，掌握题中给出的化简
方法是解题的关键．13．（2023春•青川县期末）已知实数 在数轴上的位置如图，则化简 的结果
为
A．1 B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得： ，
则 ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
14．（2023•平潭县校级开学）有理数 ， 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：
．
【分析】根据数轴上的位置确定 ， 以及 、 的正负情况，再根据绝对值的
性质、二次根式的性质化简，然后合并同类项即可．
【解答】解：根据有理数 ， 在数轴上对应的点的位置，可知 ，
， ，
．
【点评】本题主要考查了实数与数轴、化简二次根式、化简绝对值以及整式运算等知识，
解题关键是根据数轴上的位置确定 ， 以及 、 的正负情况．
四．最简二次根式（共4小题）15．（2023•港北区三模）将二次根式 化为最简二次根式 ．
【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．
【解答】解：原式 ，
故答案为：
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式的概念，本题属于基础题型．
16．（2023秋•鹤壁期末）下列式子中是最简二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 是最简二次根式，故 符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
17．（2023秋•广平县期末）在二次根式 ， ， ， 中，最简二次根
式的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：在二次根式 ， ， ， 中，， ， ，
最简二次根式的有： ，
故选： ．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
18．（2023春•乾安县期末）已知 ，求 的值．
【分析】依据题意，由二次根式的被开方数要是非负数，进而建立不等式求得 的值，再
代入计算即可得解．
【解答】解：由题意， ，
．
又 ，
．
．
．
．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的性质，解题时要熟练掌握并理解．
五．二次根式的乘除法（共4小题）
19．（2023•信都区开学）化简：
（1） 2 ；
（2） ．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可化简；
（2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1） ．故答案为：2；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的化简与乘除运算，解题的关键是熟知相关运算法则．
20．（2023秋•雨湖区期末）如图，已知数轴上 ， 两点表示的数分别是 ， ，化简
的结果是
A． B． C． D．
【分析】由数轴得到 ， ，再根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：由数轴得， ， ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴，二次根式的混合运算，熟练掌握二次
根式的化简是解题的关键．
21．（2023秋•金东区期末）化简 的结果是
A．100 B．60 C．40 D．20
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：
．故选： ．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
22．（2023春•防城港期末）计算： 2 0 ．
【分析】直接进行二次根式的平方运算即可得出答案．
【解答】解：原式 ．
故填20．
【点评】本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意细心运算即可．
六．分母有理化（共5小题）
23．（2023春•香洲区校级期中）化简 ．
【分析】分子，分母都乘以 即可得到答案．
【解答】解： ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是分母有理化，掌握分子分母都乘以分母的有理化因式进行分母有理
化是解题的关键．
24．（2023秋•邹平市期末）下列各式化成最简二次根式正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．
【解答】解： 、 ，原式化简错误，不符合题意；
、 ，原式化简错误，不符合题意；
、 ，原式化简错误，不符合题意；、 ，原式化简正确，符合题意；
故选： ．
【点评】本题主要考查了化简二次根式，熟知化简二次根式的方法是解题的关键．
25．（2023春•五莲县期末）已知 ， ，则 ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解： ， ，
， ，
原式 ，
故答案为：
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基
础题型．
26．（2023春•巨野县期末）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进一
步化简：
．
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简 ；
（2）已知 的整数部分为 ，小数部分为 ，求 的值．
【分析】（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）将 进行分母有理化为 ，进而可得 的整数部分为 ，小数部分为 ，代入即可求解．
【解答】解：（1）
；
（2） ，
又 ，
，
的整数部分为 ，小数部分为 ，
则 ．
【点评】本题考查了分母有理化及无理数的估值，熟练掌握二次根式的性质、二次根式
的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．
27．（2023春•惠城区校级期中）数学老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，
以下是数学老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题．
（1）小青编的题．观察下列等式：
；
；直接写出以下算式的结果： ；
（2）小明编的题，由二次根式的乘法可知：
， ，
再 根 据 平 方 根 的 定 义 可 得 ， ，
，
直接写出以下算式的结果： ；
（ 3 ） 数 学 老 师 编 的 题 ， 根 据 你 的 发 现 ， 完 成 以 下 计 算 ：
．
【分析】（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可；
（2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可；
（3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简 ，最后
利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ．
（2） ，
故答案为： ．
（3）．
【点评】本题考查的是分母有理化，二次根式的化简，掌握分母有理化，二次根式的化简
是解本题的关键．
七．同类二次根式（共4小题）
28．（2023秋•临邑县期末）下列二次根式中，与 属于同类二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】将几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式
叫做同类二次根式，由此判断即可．
【解答】解： 、 与 不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、 与 不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
、 ， 与 是同类二次根式，故此选项符合题意；
、 ， 与 不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了同类二次根式以及二次根式的化简，熟知同类二次根式的概念是解题
的关键．
29．（2023春•仪征市期末）已知二次根式 ．
（1）求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
（2）已知 是最简二次根式，且与 可以合并．
①求 的值；
②求 与 的乘积．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可；
（2）①根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案；②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可．
【解答】解：（1） 二次根式 有意义，
，
解得 ；
（2）① ，
与 能合并，并且 是最简二次根式，
，
解得 ；
②由①可得 ．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，
二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
30．（2023春•船营区期中）如果最简二次根式 和 是可以合并的二次根式，
则 2 ．
【分析】根据题意可得最简二次根式 和 是同类二次根式，根据被开方数相
同即可得出答案．
【解答】解： 最简二次根式 和 是可以合并的二次根式，
，
．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出关于 、 的方程是解此题的
关键．
31．（2023春•前郭县期中）是否存在实数 ，使最简二次根式 与 是同类二次根式？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出 的值，再把 的值代入
原式看是否符合题意即可．
【解答】解：若 与 是同类二次根式，则 ，
解得： ，当 时， ，
与 都不是最简二次根式．
故不存在实数 ，使最简二次根式 与 是同类二次根式．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的
二次根式叫做同类二次根式．
八．二次根式的加减法（共4小题）
32．（2023春•泸县校级期末）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】 、原式不能合并；
、原式第一项化简后，合并即可得到结果；
、原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果；
、原式利用二次根式的除法法则计算即可得到结果．
【解答】解： 、 不能合并，故选项错误；
、 ，故选项正确；
、 ，故选项错误；
、 ，故选项错误．
故选： ．
【点评】此题考查了二次根式的加减法，以及乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2023春•宁明县期中）计算： ．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式
．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
34．（2023秋•义乌市期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）分别求出每一个不等式的解，找到它们的公共部分即可．
【解答】解：（1）原式 ；
（2） ，
由①得： ；
由②得： ，
不等式组的解集为： ．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，解一元一次不等式组，熟知以上知识是解题的
关键．
35．（2024•南岗区校级开学）计算 结果是 ．
【分析】先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握把二次根式化成最简
二次根式的方法．
九．二次根式的混合运算（共5小题）
36．（2023秋•临邑县期末）下列乘法算式中，正确的是
A． B．
C． D．
【分析】利用二次根式的加法运算对 选项进行判断；根据同底数幂的除法法则对 选项
进行判断；利用约分对 选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对 选项进行判断．
【解答】解： ．原式 ，所以 选项不符合题意；
．原式 ，所以 选项不符合题意；
．原式 ，所以 选项不符合题意；
．原式 ，所以 选项符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法
则是解决问题的关键．也考查了整式的运算．
37．（2023 秋•攸县期末）下列运算中，① ，② ，③
，④ ，⑤ ．其中正确的是 ④ ．（填序
号）
【分析】根据二次根式的性质对①⑤进行判断；根据二次根式的减法运算对②进行判断；
根据二次根式的乘法法则对③④进行判断．【解答】解： ，所以①错误；
，所以②错误；
，所以③错误；
，所以④正确；
，所以⑤错误．
故答案为：④．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法
则、除法法则是解决问题的关键．
38．（2023秋•攸县期末）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据平方差公式计算；
（2）先根据零指数幂、负整数指数幂的意义计算，然后把 化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法
则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
39．（2023秋•青原区期末）（1）解方程组： ；
（2）计算： ．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组；（2）先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：（1） ，
① ②得 ，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得 ，
所以方程组的解为 ；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法
则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．
40．（2024•沙坪坝区校级开学）估计 的值应在
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【分析】先化简，然后估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：
，
，
，
故选： ．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用
有理数夹逼无理数是解题的关键．
一十．二次根式的化简求值（共5小题）
41．（2023春•玉州区期中）已知 ，则代数式 的值为
A．2 B．6 C．4 D．
【分析】利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值．
【解答】解：原式
，
当 时，
原式
，
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式
是解题关键．
42．（2023•平潭县校级开学）已知 ， ，则 的值为 ．
【分析】将 ， 代入 ，然后根据分母有理化法则求解即可．
【解答】解： ， ，．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了代数式求值、二次根式化简求值等知识，熟练掌握分母有理化法
则是解题关键．
43．（2023春•海珠区期末）若 ，则式子 的值为 202 4 ．
【分析】把代数式化为 的形式，再把 的值代入进行计算即可．
【解答】解： ，
．
故答案为：2024．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
44．（2023秋•双牌县期末）已知 ，求 的值．
【分析】根据 ，可以计算出 和 的值，然后将所求式子变形，
再将 和 的值代入计算即可．
【解答】解： ，
， ，．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的
关键．
45．（2023秋•鹤壁期末）【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样分析与解答的：
， ．
，即 ．
．
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若 ，求 的值．
【分析】（1）分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（3）先分母有理化求出 ，再求出 ，两边平方后求出 ，再求
出代数式的值即可．【解答】解：（1） ．
故答案为： ；
（ 2 ） 原 式
．
故答案为：9；
（3） ，
．
，即 ．
．
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，能正确根
据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
一十一．二次根式的应用（共5小题）
46．（2023春•栖霞市期末）古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算
三角形面积的海伦公式，若三角形三边长分别为 、 、 ，记 ，三角形的面积为 ，如图，请你利用海伦公式计算 的面积为
．
【分析】根据题中的公式，代入计算求值．
【解答】解： ，
的面积为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
47．（2023春•瑞安市期中）有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截
出两个面积分别为 和 的正方形木板，则剩余木料（阴影部分）的面积为 6
．
【分析】根据正方形和矩形的面积公式可得到结论．
【解答】解：剩余木料的面积 ；
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．
48．（2023春•播州区期中）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦 秦九部公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即
如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，那么，这个三角形的面积
．如图，在 中， ， ， ．
（1）求 的面积；
（2）设 边上的高为 ， 边上的高为 ．求 的值．
【分析】（1）代入“海伦公式”求解；
（2）根据三角形的面积列方程求出 、 ，再求和．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
；
的面积为 ；
（2）由（1）知， 的面积为 ；
， ，
， ，
．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
49．（2023春•东莞市期中）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为
A． B． C．4 D．6
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积 大矩形面积 正方形面积，本题得以解
决．
【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，
题图中阴影部分的面积为 ．
故选： ．
【点评】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小
正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
50．（2023春•嘉鱼县期中）如果一个三角形的三边长分别为 ， ， ，记 ，
那么这个三角形的面积 ．这个公式称为海伦 秦九韶公式，在
中， ， ， ，则 的面积是
A．12 B． C．24 D．
【分析】代入公式，进行二次根式的化简即可．
【解答】解： ， ， ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
