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第 21 章 一元二次方程 重难点检测卷
（满分120分，考试时间120分钟，共26题）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号
填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：一元二次方程全章内容；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知 是一元二次方程，则 的值为
（ ）
A．2 B．1 C． D．1或
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 （其中a、b、c是常数且
）的方程叫做一元二次方程，据此可得 ，解之即可得到答案．
【详解】解：∵ 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故选：C
2．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月
至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至
12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的 倍，故三月
份销量为 ，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为 ，三月份销量为二月份的 倍，即
．
根据题意，三月份销量为 辆，可得方程为： ．
故选B．
3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．
利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边转化为完全平方式．
【详解】 ，
，
，
，
故选∶D．4．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于 的一元二次方程 满足
，则该一元二次方程的根是（ ）
A．1，2 B．1，0 C． ，0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键
根据当 时， ；当 时， 作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴当 时， ；当 时， ，
∴方程的根是 或 ，
故选：D．
5．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 和
，则 的值等于（ ）
A．16 B．9 C．6 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了根与系数的关系．
将方程化为一般式，利用根与系数的关系求出 ，进而求解即可．
【详解】解：一元二次方程 可化为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
6．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知 是关于x的方程 的两个实数根，
已知等腰 的一边长为3，若 恰好是 另外两边长，则 周长为 （ ）A．9 B．9或11 C．13 D．9或13
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根与等腰三角形的性质．需分两种情况讨论：3为腰长或底边长．当3
为腰长时，代入方程求出m的值并验证三角形三边关系；当3为底边时，方程需有相等实根，求出m的值
并验证．最终符合条件的周长为9．
【详解】解：当3为腰长时：将 代入方程，得： ，
解得： 或 ．
当 时，方程为 ，解得： ，三边为3、3、3，周长为 ．
当 时，方程为 ，解得： ， ．
三边为3，3，7，则 ，无法构成三角形；
当3为底边时：此时方程需有相等实根（两腰相等），即判别式 ：
则 ，解得： ，
此时方程为 ，解得： ，三边为3、3、3，周长为 ．
综上，符合条件的周长为 ，
故选：A．
7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范
围是（ ）
A． 且 B． 且 C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．
根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0且判别式为非负数计算即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴ ，
∵关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴
解得 ，
∴ 的取值范围是 且 ，故选：C．
8．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我们知道 ，利用这个性质可以求方程 的解．两边
平方，得 ，从而求出该方程的解为 ．若方程 的解为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握平方根定义，算术平方根定义，二次根式的性质，是解题的关键．
先将一个二次根式移到等号右边，两边同时平方去根号，移项，再平方，直至根号完全去掉，最后解整式
方程，注意由于未知数的取值范围扩大，要检验根．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
两边平方，得 ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
经检验： 或 都是原方程的解，
∴原方程的解为： ， ．
A. ，∴A正确；
B. ，∴B不正确；
C. ，∴C不正确；
D. ，∴D不正确．故选：A．
9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程 与 称为
“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二
次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取
的最大值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到 ，可以写成
，展开对应相等求出 的值，利用配方法求出 的最大值即可．熟练掌握新
定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”
∴第二个方程 可以写成 的形式，
∴展开得：
∴ ， ， ，
解得： ， ，
∴ ，
∵
∴
∴ 能取的最大值是2026．
故选D．10．（2025·河南·模拟预测）规定：对于任意实数 ， ， ， ，有 ，其中等式右边是通
常的加法和乘法运算．如： ，则关于 的方程 的根的情况，
下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，根据题中定义将方程转化为标准一元二次方
程，计算判别式判断根的情况即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由题意得： ，
∴
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选： ．
第II 卷（非选择题）
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是 ；②有一个根为2．
这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键．
由题意设这个一元二次方程为： ，由一元二次方程的解可得 ，可得进而得
出答案．
【详解】解：由题意设这个一元二次方程为： ，
代入 得， ，
即 ，
可取 ，∴这个一元二次方程可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
12．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至 万元/辆，则
月平均降价率为 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用．
设月平均降价率为x，新能源汽车1月售价25万元/辆，3月降至 万元/辆，据此列出一元二次方程，
解方程即可得到答案．
【详解】解：设月平均降价率为x，
由题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
月平均降价率为 ．
故答案为：
13．（24-25八年级下·北京平谷·期末）有一块长 、宽 的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各
截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为 的无盖的盒子，设截去小正
方形的边长为 ，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求
出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为 ，从而得出这个长方体盒子的底面的长是 ，
宽是 ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可．
【详解】解：设截去的小正方形的边长为 ，根据题意列方程，得．
故答案为： ．
14．（2025·广东东莞·二模）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值
是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， 利用根与系数的关系 ， ，再利用通分得到 ，然
后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：根与系数的关系得 ， ，
所以
故答案为：
15．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为
行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊
的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一
元二次方程 和一元一次方程 为“相伴方程”，则c的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出 ，再结合题意得出
是一元二次方程 的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的
关键．
【详解】解：解方程 可得： ，
∵关于x的一元二次方程 和一元一次方程 为“相伴方程”，
∴ 是一元二次方程 的解，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于 的方程 的解为 ，则关于 的
方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握将 进行换元转化为已知方程形式是解题的
关键．把关于 的方程 中的 看成一个整体，利用已知方程的解来求解 ．
【详解】解：令 ，则方程 可化为 ．
关于 的方程 的解为 ， ，
在 中， ， ．
即 或 ．
当 时， ；当 时， ．
故答案为： ， ．
17．（24-25八年级下·陕西西安·期中）若多项式 ．那么 的最小值是
．
【答案】
【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为 ，进而根据完
全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键．
【详解】解：，
当 且 时， 的最小值，最小值为 ，
故答案为： ．
18．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一
个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有
(填序号)．
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程：则 ；
③若 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程；
④若关于 的一元二次方程 是倍根方程，则必有 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．
①根据倍根方程定义即可得到方程 是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方
程的定义得到 或 即 或 ，则 ；③根据
已知条件得到 ，解方程 得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的
关系判断即可．
【详解】解：① ，
，
解得： ，
方程 是倍根方程；
故①正确；
②解方程 ，
解得：是倍根方程，
或 即 或
，
故②不正确；
③ ，
解方程 得：
，
故③正确；
④设方程 的根为 ，
关于 的方程 是倍根方程，
令 ，
；故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程：(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2) ，
(3) ，
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）用公式法解方程即可；
（3）移项整理，用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
因式分解，得 ，
于是得， ，
∴
（2）解：
∵ ，
∴方程有两个不等的实数根
∴ ，
（3）解：移项，得 ，
因式分解，得 ，
于是得， ，或 ,
∴ ，
20．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程
(1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根；
(2)若该方程的两根分别是 ，且 ，求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程 的根与系数以及根的判别式 ：当 ，
方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．
（1）先计算判别式得到 ，根据非负数的性质得 ，然后根据判别式的意义即可得到方程总
有两个实数根；
（2）根据 ，再结合 ，得出 ，代入原方程进行计算，即可作答．
【详解】（1）解： ，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解： 方程 的两根分别是 ，
①．
②，
∴由 ，得 ，．
将 代入原方程，得 ，
解得： ．
21．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于 的一元二次方程 ，如果 ， ， 满足
，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程 是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于 的美妙方程 的一个根是 ，求这个美妙方程．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解
的定义是解题的关键．
（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可．
（2）根据美妙方程的定义，结合方程 的一个根为 ，得到关于 ， 的方程组即可解决问题．
【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下：
∵ 中， ， ， ，
∴ ，
故该方程是美妙方程；
（2）解：∵美妙方程 的一个根是 ，
∴ ，
解得： ，
∴这个美妙方程是 ．
22．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）银川市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店
统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出75个，六月份售出108个，且从四月份到六月份的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，该品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌
头盔每个应涨价多少元？
【答案】(1)
(2)5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一
元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设头盔每个涨价m元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m的一元二次方程求解，根据
“尽可能让顾客得到实惠”取舍即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得 ，
解得 ， （舍），
该品牌头盔销售量的月增长率为 ；
（2）解：设头盔每个涨价m元，
由题意得 ，
整理得 ，
解得 ， ，
要尽可能让顾客得到实惠，
该品牌头盔每个应涨价5元．
23．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车
车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为 ），另外的边利用学校现有总长 的铁栏
围成，其中平行于墙的 边开有两个长为1米的木质门．
(1)若围成的面积为 ，试求出自行车车棚的长和宽；(2)能围成面积为 的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)车棚的长为 ，宽为
(2)不能围成面积为 的自行车车棚，理由见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设车棚的宽为 ，则长为 ，根据题意，列出方程，即可求解；
（2）假设能围成面积为 的自行车车棚，设车棚的宽为 ，则长为 ，
根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设车棚的宽为 ，则长为 ，根据题意得：
，
整理得： ，
解得： ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，
答：车棚的长为 ，宽为 ；
（2）解：不能围成面积为 的自行车车棚，理由如下：
假设能围成面积为 的自行车车棚，
设车棚的宽为 ，则长为 ，根据题意得：
，
整理得： ，
此时 ，
所以此方程无解．
即不能围成面积为 的自行车车棚．
24．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图所示，在四边形 中， ， ，，点P从A向点D以 的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以 的速度运
动，到点B即停止，直线 将四边形 截得两个四边形，分别为四边形 和四边形 ，
(1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？
(2)若 ，当 时，直接写出经过______秒后， ．
【答案】(1)8或10
(2)8或12
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定，
对于（1），设运动时间为t秒，表示出 ，即可得 再
根据 两种情况得出方程，求出解即可；
对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出 ，并表示出 ，然后结合 得出方程，
求出解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知 ，则
当 时，四边形 是平行四边形，即 ，
解得 ；
当 时，四边形 是平行四边形，即 ，
解得 ．
所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形；
（2）解：如图所示，过点D作 ，交 于点E，
根据题意可知四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，解得 ．
如图所示四边形 是等腰梯形或平行四边形，即 ，此时 ，
即 ，
解得 或 ，
所以当 或 时， ．
故答案为：8或12．
25．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程 ，其中b、c
均为整数，且有一个根为 ，求b、c的值．
晨晨同学根据二次根式的性质： ，联想到了如下解法：由 得 ，则 ，
即 ，∴ ．故 ．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知一个关于x的方程 ，其中b、c均为整数，且有一个根为 ，求b、c的值．
(2)已知 ，求代数式 的值；
(3)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)8
(3)2028
【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键．
（1）先表示出 ，再展开，得到 ，即可得到结果；
（2）先表示出 ，再展开 ，即可得到结果；
（3）先表示出 ，再展开 ，带入求值即可．
【详解】（1）解： ，
，
，即 ．
；
（2）解： ，
，
，即 ，
．
（3）解： ，
，
，即 ，
．
26．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程
，如果 的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，
但是如果一元二次方程的根都为整数， 的值一定是一个完全平方数．定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“友好方程”，代数式 的值为该
“友好方程”的“超强代码”，用 表示，即 ；若另一关于x的一元二次方程
也为“友好方程”，其“超强代码”记为 ，当满足
时，则称一元二次方程 是一元二次方程
的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程” 的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程 （m为整数，且 ）是“友好方程”，请求出
该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程 是 （m，n均为正整数，且 ）的
“最佳搭子方程”，且 的一个根是 的一个根的2倍，求m和n的
值
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算．
（1）直接根据“超强代码”的定义作答即可；
（2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出 ，再根据“超强代码”的定义计算即可；
（3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到 ，可知
，再根据“ 的一个根是 的一个根的2倍”列出所有情况，
判断是否符合题意即可．
【详解】（1）解：“友好方程” 的“超强代码”是： ，故答案为： ；
（2）解：∵ 是“友好方程”，
∴ 且为完全平方数，
∵ ，
∴ ，
∴ =36或49或64，
∴ 或 或 ，
∵ 为整数，
∴ ，
将 代入原方程，则 ，
∴ ，
∴方程 的“超强代码”为 ；
（3）解：方程 的“超强代码”为：
，
由 得：
方程 的“超强代码”为：
，
由 得：
∵ 是 的“最佳搭子方程”，
∴ ，
即 ，整理得， ，
∵ ， 均为正整数且 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
又∵ 的一个根是 的一个根的2倍，
∴①当 时， 得： ， ，
②当 时， ， ， （舍），
③当 时， 得： （舍），
综上所述： ， ．
