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第21 章 一元二次方程（单元测试·拔尖卷）
一、单选题
1．已知 ， ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最大值是0 B． 的最小值是
C．当 时， 为正数 D．当 时， 为负数
2．对于二次三项式 （ 且m为常数）和 ，下列结论正确的个数有
（ ）
①当 时，若 ，则 ；
②无论x取任何实数，若等式 恒成立，则 ；
③当 时， ， ，则 ；
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．已知关于 方程 的根都是整数，且 满足等式 ，则满足
条件的所有整数 的和是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C． 或1 D． 或4
5．设 为实数， 则x、y、z 中至少有一个值（ ）
A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于
6．已知 ， ，下列结论正确的个数为( )
①若 是完全平方式，则 ；
②B－A的最小值是2；
③若n是 的一个根，则 ；
④若 ，则A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．定义新运算“ ”如下： ，当 时，x的值为（ ）
A．1 B． C． 或3 D．1或3
8．P（x．y）为第二象限上的点．且x+y＝﹣ ．已知OP=1．则 的值为（ ）
A． B． C． D． 或
9．如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形 ， ， ，点 在 边上
的中点，连接 ，将 沿 所在直线翻折得到 ， 交 于 点，若 ，点
到 的距离是( )
A． B． C． D．
10．如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长
线于点D，已知△AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题
11．已知 的算术平方根为a，则关于x的方程 的根为 ．
12．如图， 边形 ，从 边形的一个顶点出发可以作 条对角线．若过 边形的一个顶点有7条对角线， 边形没有对角线， 边形对角线的总条数等于边数，则
．
13．我们在学习一元二次方程的解法时用了降次的方法，有时用因式分解法把一元二次方程转化为两
个一元一次方程进行求解．对于一元二次不等式也可以用相类似的方法求解，那么一元二次不等式
的解集是 ．
14．若二次三项式 在实数范围内可分解因式为 ，则该二次三项式对应一
元二次方程 的值分别为 ．
15．小丽在解一个三次方程x3－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所
以原方程可以转化为(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解 ．
16．已知整数 满足 ，如果关于 的一元二次方程 的根为有理数，
则 的值为 ．
17．已知-2是三次方程 的唯一实数根，求c的取值范围．下面是小丽的解法:
解：因为-2是三次方程 的唯一实数，所以
，可得 ，
再由 ，得出c>2
根据小丽的解法，则b的取值范围是 ．
18．如图，矩形ABCD的边AB、BC是一元二次方程 的两个解（其中 ），点E
在BC边上，连接AE，把 沿AE折叠，点B落在点 处.当 为直角三角形时，则 的
长是 ．
三、解答题
19．解方程：(1) ； (2) ．
20．我们已探索过二元一次方程组、分式方程及一元二次方程方程的解法，在学习过程中感受到转化
数学思想及检验反思的数学方法．
(1)你能否用这些数学思想方法来探索方程 的解？
(2)在求解的过程中，你有何疑惑，请尝试解决这些疑惑？
21．阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵ ，
∴ ，
因此，代数式 有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式 的最小值为 ；(2)试比较 与 的大小关系，并说明理由；
(3)已知： ，求代数式 的值．
22．如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点 在 轴上， 边与 轴重合，过点 作 的
垂线分别交 和 轴于点 、 ， ，线段 ， （ ）的长是方程
的根．
(1) 求 的面积；
(2) 求直线 的解析式．
23．端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅
销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金
额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：(1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
(2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20
元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
24．在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（-2，
0），点B在第四象限．
(1) 如图1，求点B的坐标；
(2) 如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证
CD＋DN＝AM；
(3)如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限
作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x
轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．参考答案
1．B
【分析】利用配方法表示出 ，以及 时，用含 的式子表示出 ，确定 的符号，进行判断
即可．
解：∵ ， ，
∴
；
∴当 时， 有最小值 ；
当 时，即： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 是非正数；
故选项 错误，选项 正确；
故选B．
【点拨】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
2．D
【分析】①将 代入代数式，计算即可；②根据 ，得 ，进而即可求解；③根据，令 ，则 ，一元二次方程即可求解．
解：①将 代入 ，得 ，
∵
∴ ，
∴ 或 ，
故①不正确；
②∵ ，
∴
∴
∴ ，
故②不正确
③当 时， ，
∴
令 ，则 ，
∴ ，
解得： 或 ，
即 或 ，故③不正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上运算
法则以及完全平方公式是解题的关键．
3．D
【分析】根据 ，利用二次根式有意义的条件可得出 ，然后分 或
两种情况解方程，可得出所有符合条件的整数 的值，最后求和即可．
解：∵ ，
∴ ，即 ，当 时，原方程为 ，
解得： ，
当 时， ，
∵
∴ ，
∴ ， ，
∵方程 的根都是整数，且 为整数，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ，
又∵ ，
∴ 可取 或 或 ，
综上所述，满足条件的整数 为： 或 或 或 ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的有意义的条件，一元二次方程的解法，整除性．运用了分类讨论的解题
方法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
4．A
【分析】将 与 的值代入 ，以 为整体，求出它的值即可．
解： ， ，
，
，
，解得 或4，
，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键注意 ．
5．A
【分析】先计算x+y+z，再利用配方法得到x+y+z＝ ，根据非负数的性
质和 ＞3得到x+y+z＞0，根据有理数的性质得到x、y、z中至少有一个正数．
解：x+y+z＝
＝ ，
∵ ≥0， ≥0， ≥0， ＞0，
∴x+y+z＞0，
∴x、y、z中至少有一个大于0．
故选：A．
【点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
6．B
【分析】①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方
公式求解；④利用完全平方公式求解．
解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，
∴n=±3，故结论正确；
②∵B-A
=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）
=x2-2x+n2+3
=（x-1）2+n2+2，
而（x-1）2+n2≥0，
∴B-A≥2，
∴B-A的最小值是2，故结论正确；③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，
把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，
得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，
解得
当 时，
当 时，
故结论错误；
④∵（2022-A+A-2019）2
=（2022-2019）2
=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）
=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2
=9，
∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故结论错误；
故选B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．
7．D
【分析】依据定义新运算“ ”进行计算即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ，
即： ，
，
解得， ，
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，理解定义的新运算的运算法则，正确选择解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．C
【分析】根据P（x．y）为第二象限上的点，可知0，y＞0，根据OP=1，可知 ，则
，根据x+y＝﹣ ，可得 ，且x＝﹣y﹣ 进而可得
，则 ，则 ，
解得： 或 （舍去），进而可知 ，则可求出 的值．
解：∵P（x．y）为第二象限上的点，
∴x＜0，y＞0，
∵OP=1，
∴ ，则 ，
∵x+y＝﹣ ，
∴ ，且x＝﹣y﹣
∴ ，
∴ ，
∴ ，化简得： ，
则 ，解得： 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形，解一元二
次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．9．D
【分析】连接 ， ，过点 作 于点 ，由折叠的性质可求
由 可证 ，可得 ，可证 ，在 中，由
勾股定理可求 的长．
解：连接 ， ，过点 作 于点 ，
，
， ，
点 是 中点， ， ，
， ， ， ，
是等边三角形， ，
折叠，
， ，
，
垂直平分 ' ，
，
在 和 中，
，
，
，
，设 长为 ，则 长为 ，
在 中
，
解得 ， (舍去)，
∴点 到BC边的距离为 ．
故选∶D．
【点拨】此题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质和锐角三角函数关系以及等边三角形
的判定与性质等知识，利用垂直平分线的性质得出点 ， 关于直线 对称是解题关键．
10．C
【分析】利用勾股定理求得AB的长，设DE=x，用x表示出CD，在Rt ACD中，利用勾股定理构造
方程，求解即可． △
解：在Rt ABC中，AC＝3，BC＝1，
△
∴AB= ，
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠BAD=45°，∴AE=DE，
设DE=x，则AE=DE=x，AD= ，BE= ，
在Rt BDE中， ,
△
∴BD= ，
则CD= ，在Rt ACD中， ,
△
即 ,
，
，
，
，即 ，
，
∴x= ，
∴x= (舍去)，x= ，
1 2
∴点D到AB的距离是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是学会
利用参数构建方程解决问题．
11．x=5，x=1．
1 2
【分析】先根据算术平方根求出a的值，在代入解一元二次方程即可．
解：∵ =9，
9的算术平方根是3，
∴a=3，
∴关于x的方程(x-a)2=4变为(x-3)2=4
∴x-3=±2
解得x=5，x=1．
1 2故答案为：x=5，x=1．
1 2
【点拨】本题考查了算术平方根的求法和一元二次方程的解法，做题的关键是求出a的值．
12． 12
【分析】从 边形的一个顶点出发连对角线，不可以连自身和相邻的两个点，所以可以连的是
个点， 边形有n个顶点，一共可以连 条线，但是每条线都重复了一次，所以还要除以2，据此求
解即可．
解： 边形 ，从 边形的一个顶点出发可以作 条对角线，
过 边形的一个顶点有7条对角线，则这个n边形是十边形， ，
边形没有对角线，则它是三角形， ，
边形对角线的总条数等于边数，则 ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ，
故答案为： ，12．
【点拨】本题考查多边形的对角线问题和一元二次方程，熟记n边形的对角线条数为 是解题
的关键．
13． 或
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．
解：
∴ 或
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，能把一元二次不等式转化成一元一次不
等式组是解题的关键．14． ，
【分析】利用平方差公式计算后，再利用平方差公式计算，再和二次三项式比较即可．
解：
=
，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查二次三项式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟练掌握平方差公式和完全平方
公式能灵活运用是解题关键．
15． 或1
【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0变形为 ，根据一一对应的原则求得b、c
的值，然后运用因式分解和公式法求解即可．
解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，
∴ ，
又由题意得： ，
∴
解得：∴ ，
∴ ， ，
∴由求根公式得： ，
则原方程所有的解为： 或1，
故答案为： 或1．
【点拨】本题主要考查了方程的解的定义和公式法求解一元二次方程，解题关键是根据一一对应的关
系求出b、c的值．
16． 或 或
【分析】根据一元二次方程的求根公式，求出方程的根的表达式，再根据方程的根为有理数且 为整
数，即可进行解答．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵一元二次方程的根为有理数，
∴ 为有理数，
∴ ， ， ， ， ， ，
∵ 为整数，
∴ ， ， 时， 或 或 ，故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式
以及有理数和整数的定义．
17．b>-3
【分析】小丽的解法为待定系数法，先左边展开，根据多项式相等可知： ，b=n+2m，再依据
题意可知，所设二次方程无解，故 代入可得b的取值范围．
解：因为-2是三次方程 的唯一实数，所以 ，
则
可得m=-2，n= c，
再由
4-4n<0，n>1
n-4>-3，
又∵b=n+2m=n-4
b>-3
故答案为：b>-3．
【点拨】本题是高次方程，考查了高次方程解的情况，解题思路是降次，根据一元二次方程和一次方
程解的情况进行解答．
18． 或2
【分析】先求出AB与BC的长，当 CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，
如答图1所示．连接AC，先利用勾股定△理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当 CEB′
为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对△角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt CEB′中运
用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形． △
解： ，
，
解得： ，
∴AB=3，BC=4，
当 CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①△当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
图1
连接AC，在Rt ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=5， △
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当 CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，
∴△点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′，AB=AB′=3，
∴CB′=5-3=2；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
图2此时ABEB′为正方形，
∴B'E=AB=3，
∴CE=4-3=1，
∴Rt B'CE中， ．
△
综上所述，B'C的长为 或2．
故答案为： 或2．
【点拨】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形
的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．
19．(1) ， ；(2) ， ．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
解：∵
∴ ，
，
则 或 ，
∴ ， ；
（2）解：由 可知： ， ， ，
∴ ，
则方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】此题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20．(1) 是原方程的解；(2)见分析
【分析】（1）根据两边分别平方，把无理方程转化为有理方程，结果一定要检验；
（2）根据解题过程解答．
解：移项，得 ，
方程两边平方，得 ，
即 ，
解方程，得 或 ，
经检验： 是原方程的解；
（2）疑惑是：如何把无理方程化为有理方程，通过两边平方解决．
【点拨】本题主要考查了无理方程以及解一元二次方程，利用转化思想分析问题是解题的关键．
21．(1)1；(2) ，见分析；(3)2
【分析】（1）将代数式 配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得： 代入 中，再利用配方法即可解决问题．
解： ，
∵ ，
∴ ，
即代数式 的最小值为1；
故答案为：1；
（2） ，理由如下：，
∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确
定最值问题，属于中考常考题型．
22．(1)12；(2)
【分析】（1）先解一元二次方程求出 ，则 ，再证明 ，得到
，则 ；
（2）由全等三角形的性质得到 ，即 ，再求出 ，即可利用待定系数法求出
直线 的解析式为 ．
解：∵ ，
∴ ，
解得 或 ，
∵线段 ， （ ）的长是方程 的根
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ．
【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，求三角形
面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
23．(1)节后每千克A粽子的进价为10元；(2)节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为
3000元
【分析】（1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 元，根据节前
用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克，列出方程，解方程即可；（2）设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利润为w元，根据
利润 售价 进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，求出m的范围，根据一次函数函数增减性，求
出最大利润即可．
解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为 元，根据题意得：
，
解得： ， ，
经检验 ， 都是原方程的解，但 不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进 千克A粽子，获得的利润为w元，
根据题意得：
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴w随m的增大而增大，
∴当 时，w取最大值，且最大值为： ，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【点拨】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式．
24．(1) ；(2)见分析；(3)不变化，
【分析】（1）过B作BH⊥x轴于H，根据等角的余角相等证得∠BCH=∠CAO，根据全等三角形的判
定和性质证明△BHC≌△COA得到BH=CO=2，CH=OA=5，进而可求得点B坐标；
（2）利用待定系数法分别求出直线AB、BC的表达式，进而求得D、M的坐标，设N（x，），利用平面直角坐标系中两点间距离坐标公式和解一元二次方程可求得x值，可得点N坐标，进而求得
CD、DN、AM即可证得结论；
（3）过点E作EH⊥x轴于H，易证△AOC≌△CHE和△EHP≌△FCP，可得OA=CH，CP=PH，进而有
CP= CH= OA即可得出结论．
解：∵点A（0，5），点C（-2，0），
∴OA=5，OC=2，
过B作BH⊥x轴于H，如图1，
∴∠BHC=∠ACB=90°，
∴∠BCH+∠ACO=∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BCH=∠CAO，
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴BC=AC，
在△BHC和△COA中，
，
∴△BHC≌△COA（AAS），
∴BH=OC=2，CH=OA=5，
∴OH=CH－OC=3，
∵B在第四象限，
∴点B坐标为（3，－2）；
（2）解：如图2，设直线AB的表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，5）B（3，－2）代入，得：，解得： ，
∴直线AB的表达式为y= x+5，
当y=0时，由0= x+5得：x= ，则D（ ，0），
∴CD= +2= ，
设直线BC的表达式为y=mx+n（m≠0），
将B（3，－2）、C（－2，0）代入，得：
，解得： ，
∴直线BC的表达式为 ，
当x=0时，y= ，则M（0， ），
∴AM=5+ = ，
设N（x， ），由BN=CM得：
（x－3）2+（ +2）2=22+（ ）2，即x2－6x+5=0，
解得：x=1，x=5（舍去），
1 2
∴N（1， ），则DN= ，
∴CD+DN= =
∴CD+DN=AM；
（3）解：CP的长度不变化．如图3，过点E作EH⊥x轴于H， 则∠EHC=∠COA=90°，∵△ACE和△OCF为等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠FCO=∠FCP=90°，AC=CE，OC=CF，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠ECH=90°，
∴∠CAO=∠ECH，
在△AOC和△CHE中，
，
∴△AOC≌△CHE（AAS），
∴OA=CH，OC=EH，
∵OC=CF，
∴EH=CF，
在△EHP和△FCP中，
，
∴△EHP≌△FCP（AAS），
∴可得PH=CP，又OA=5，
∴CP= CH= OA= ，
故CP的长度不变化．
【点拨】本题属于三角形的综合题型，涉及全等三角形的判定与性质、待定系数法求直线的表达式、
等角的余角相等、坐标与图形、平面直角坐标系中两点间距离坐标公式、线段的和与差、等腰直角三角形
的性质、解一元二次方程等知识，解答的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题，有点难
度．
