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勾股定理7大模型专项训练（35题）
一．模型1：直角三角形中的锐角平分线模型（共5小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在边
AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ ．
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，若CD＝3，则点D到AB边
的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE∥AB交AC于点E，
已知CE＝3，CD＝4，则AD长为（ ）
A．7 B．8 C．4 D．4
4．如图，在三角形纸片ABC中，AB＝15cm，AC＝9cm，BC＝12cm，现将边AC沿过点A
的直线折叠，使它落在AB边上．若折痕交BC于点D，点C落在点E处，你能求出BD
的长吗？请写出求解过程．
5．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交
点）．A．30 B．45 C．60 D．75
二．模型2：风吹荷花模型（共4小题）
6．一根新生的芦苇高出水面1尺，一阵风吹过，芦苇被吹倒一边，顶端齐至水面，芦苇移
动的水平距离为5尺，则水池的深度和芦苇的长度各是 尺．
7．有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花
朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？
8．小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸
边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（ ）
A．1m B．2m C．3m D． m
9．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m
（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得
很直，求绳索AD的长度．
三．模型3：等边三角形中的378和578模型（共5小题）
10．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．11．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝7，BC＝8，则△ABC的面积是 ．
12．若一个等腰三角形的周长为 16cm，一边长为 6cm，则该等腰三角形的面积为
cm2．
13．当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是
．
14．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90° B．150° C．135° D．120°
四．模型4：大树折断模型（共3小题）
15．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶
端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？
16．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚
好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
17．如图所示，一棵36m高的树被风刮断，树顶落在离树根 24m处，求折断处的高度
AB．
五．模型5：赵爽弦图（共6小题）
18．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接
而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（ ）A．7 B．8 C．7 D．7
19．如图1是我国古代著名的“赵爽 弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．
若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到
图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是 ．
20．公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，
勾a＝3，弦c＝5，则小正方形ABCD的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．9
21．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所
示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝107，大正方形的面积
为57，则小正方形的边长为 ．
22．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题
这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问
题：
（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它来验证勾股
定理；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求
CD的长度．23．如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正
方形，证明：a2+b2＝c2．
六．模型6：折叠模型（共7小题）
24．如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B
重合，DE为折痕，求DE的长．
25．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使
点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A． cm B． cm C． cm D．无法确定
26．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD
＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
27．已知，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，
折痕为EF，则△ABE的面积为
A．6cm2B．8cm2 C．10cm2D．12cm2．
28．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片的一角，
使点B与点A重合，展开得折痕DE，求DE的长．
29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在
斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长．
30．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与
点A重合，则AF的长为 ．
七．模型7：蚂蚁行程模型（共5小题）
31．长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上与点C的距离为5，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C．25 D．
32．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是 2米、0.3米、0.2米，A，B是这
个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶
面爬行到B点最短路程是 米．
33．如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出
发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A．17cm B．13cm C．12cm D．14cm
34．如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A
处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂
蚁吃到食物最少需要 min．（ 取3）
π
35．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 的端点A到达A ，若圆柱底面半径为 ，
1 1
高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
