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培优专题 26 解直角三角形模型
类型一：背靠背型
1．（2022·山东聊城·二模）从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强
疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外
体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他
常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角
∠PBO＝30°．（参考数据： ＝1.414， ＝1.732， ＝2.236）
(1)若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到
0.1m）
(2)若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m）
【答案】(1)3.8米
(2)2.7米
【分析】（1）根据 ，结合已知即可解得OB的长度；（2）在OP上取一点M，使 ，则可得 ， ，再解三角形即可解答．
（1）
解：在Rt△OBP中， ，
∴ ，
∴ （米）
答：OB的长度为3.8米；
（2）
解：在OP上取一点M，使 ，
∴ ，
∵∠PAO＝75°，
∴∠APO＝15°，∠PAM＝15°，
∴ ，
在Rt△OBP中，设 ，则 ， ，
又∵ = ，即： ，
∴ ，
解得： ，
∴ （米）
答：设备的安装高度OP的高度为2.7米
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造特殊直角三角形将Rt△OPA分成30°直角三角形和等腰三角形是解题的关键．
2．（2021·湖南永州·中考真题）已知锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系
式： ．
（1）如图1，若 ，求b的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 中建一座小型景观桥 （如图2所示），若
米， 米， ，求景观桥 的长度．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）过C作 于点D，解直角三角形即可；
（2）由已知条件可知 ，求得 ，勾股定理求得 ， 解 即可求得 的长
【详解】（1）如图，过C作 于点D
,
即（2） ， ， ,
在 中，设 ，则
在 中，
即:
解得： （不符题意，舍）
【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
3．（2021·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），
是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔
“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔 垂直于地面，在地面上选取 两处分别测得 和 的度数（
在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上 两点的距离为 ．
问题解决：求宝塔 的高度（结果保留一位小数）．
参考数据： ， ．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．【答案】
【分析】设 ，再利用锐角三角函数用含 的代数式表示 再列方程，解方程可得答案．
【详解】解： 设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得， ．
答：宝塔的高度约为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用直角三角形中的锐角三角函数建立边与边之间的关
系是解题的关键．
4．（2021·云南·模拟预测）如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条
笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东 方向与包装公司北偏西 方向的交点，住宅小区
在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参考数据： ，
）
【答案】不会
【分析】过点P作 于D，根据角的正切值表示出MD和ND的长，然后列方程求解PD的长度，
从而做出判断．【详解】解：如图，过点P作 于D．
由题意得 ．
∴在Rt△PMD中， ，即
在Rt△PND中， ，即
∵ ，
即 ，
∴ ．
答：这条公路不会穿越这个住宅小区．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解
题的关键．
5．（2021·湖北武汉·一模）【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，
求证：BA2＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB上，点G在AB
的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，DH⊥AB垂足为
H，若 ，请直接写出 的值________．【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3） ．
【分析】（1）要证明BA2＝BD•BC，只需证明 ，由已知判定 即可解答；
（2）由3AD＝2AC 可知 的相似比为 ，从而得出 ，设BD=4x，则BA=6x，
BC=9x，再过F点作 ，交BC于M点，利用平行线构造相似三角形和等腰三角形，利用已知线段
关系证明DF=FM，从而得出 ，由此即可求出BE长，
（3）延长BC到G，使CG=AC，过C点作CM⊥AG垂足为M，构造 ，由已知求出相似比为
，再设 ， ，解 即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠BAD＝∠ACB，∠B＝∠B，
∴ ，
∴ ，
∴BA2＝BD•BC；
（2）解：由（1）可得 ，
又∵3AD＝2AC
∴ ，
设BD=4x，则BA=6x，BC=9x，
如解图2，过F点作 ，交BC于M点，∴∠ABD＝∠FMD，
∵BE＝ED，
∴∠ABD＝∠EDB，
又∵∠MDF＝∠EDB，
∴∠MDF＝∠FMD，
∴MF＝DF＝1，
由 可得 ， ，
∴ ， ，
由∵BG＝2，MF＝DF＝1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：延长BC到G，使CG=AC，过C点作CM⊥AG垂足为M，
∴∠CAG＝∠G，
∴∠ACB＝∠CAG+∠G=2∠CAG＝2∠G，∵∠ACB＝2∠BAD，
∴∠BAD=∠CAG＝∠G，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，即
∴
又∵∠B=∠B，∠BAD＝∠G，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，则 ， ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
解关于x的方程得： ， ，
当 时， 不合题意舍去；
当 时， ， ．
综上所述： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等，解题关键是能
通过作合适的辅助线构造相似三角形并最终求得结果．类型二：子母型
6．（2022·辽宁鞍山·二模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，计划测量中原福塔的总高度．如图所示，
在B处测得福塔主体建筑顶点A的仰角为45°，福塔顶部桅杆天线AD高120m，再沿CB方向前进20m到
达E处，测得桅杆天线顶部D的仰角为53.4°．求中原福塔CD的总度．（结果精确到1m．参考数据：
sin53.4°≈0.803，cos53.4°≈0.596．tan53.4°≈1.346）
【答案】中原福塔CD的总高度约为389m．
【分析】设AC为xm，则CD=（x+120）m，在Rt ACB中，可得BC=AC=x，从而得到CE=x+20，然后在
△
Rt DCE中，利用锐角三角函数，可得到tan∠DEC= ，即可求解．
△
【详解】解：如图，设AC为xm，则CD=（x+120）m，
在Rt ACB中，∠ABC=45°，
∴BC=△AC=x，
∴CE=x+20，
在Rt DCE中，tan∠DEC= ，∠DEC=53.4°，
△
即 ≈1.346，
解得：x≈269.0，
∴CD=x+120=389.0≈389米，答：中原福塔CD的总高度约为389m．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数关系是解题的关键．
7．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾
器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为
50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结
果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】约为5.7m
【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝ ＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应
用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键．
8．（2021·北京市第十二中学八年级阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，
AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【答案】15﹣5
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，
即可求得答案．
【详解】解：
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°．
∴BM＝BC•sin30°＝10 × ＝5 ，
CM＝BC•cos30°＝10 × ＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质．关键是能通过解直角三角形求出线段CM，MD
的长．
9．（2020·山东青岛·九年级期末）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌 ，小明在斜坡的坡脚 处测得
宣传牌底部 的仰角为 ，沿斜坡 向上走到 处测得宣传牌顶部 的仰角为 ，已知斜坡 的坡度 ， 米， 米，求宣传牌 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：
， ，
【答案】宣传牌 的高度为2米．
【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在 、 、
中解直角三角形即可．
【详解】解：过 分别作 、 的垂线，设垂足为 、 ，
则 ， ，
在 中，
斜坡 的坡度 ， 米，
设 米， 米，
，
，
米， 米，
在 中， ，
米，
（米），
在 中， （米），
（米）．
答：宣传牌 的高度为2米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实
际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．10．（2020·四川凉山·九年级阶段练习）四川省委书记杜青林、国家旅游局副局长张希钦2006年12月16
日向获得“中国优秀旅游城市”称号的西昌市授牌，并修建了标志性建筑——马踏飞燕，如图．某学习小
组把测量“马踏飞燕”雕塑的最高点离地面的高度作为一次课题活动，制定了测量方案，并完成了实地测
量，测得结果如下表：
课题 测量“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度
如图，雕塑的最高点B到地面的高度为 ，
在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一
测量示意图 段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰
角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖
直平面内，点A，C，E在同一条直线上．
仪器 （ ）
的度数 的度数 的长度
的高
测量数据
31° 42° 3米 1.65米
请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留到十分
位）．（参考数据： ， ， ， ， ，
）
【答案】 米
【分析】在两个直角三角形中，用BG表示DG、FG，进而用 DG−FG＝DF＝3列方程求出BG即可．
【详解】如图，延长DF与AB交于点G，设BG＝x米，在Rt BFG中，
△
FG＝ ，
在Rt BDG中， ，
△
由DG−FG＝DF得， ，
即 ，
解得，x＝5.4，
∴AB＝AG＋BG＝1.65＋5.4＝7.05 7.1（米），
答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为7.1米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用BG表示DG、FG是列方程求解的关键．
类型三：拥抱型
11．（2020·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为 米的
发射塔 ，如图所示，在山脚平地上的 处测得塔底 的仰角为 ，向小山前进 米到达点 处，测
得塔顶 的仰角为 ，求小山 的高度．【答案】小山 的高度为 米
【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．
【详解】解：设 为 米，则 米，∵ ∴ ，而 米，
在 中， ，
则 米， 米，
在 中， ，
解得 ．
答：小山 的高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角
的概念是解题的关键．
12．（2020·山西太原·模拟预测）山西大学主校区内有一座毛主席塑像，落成于1969年12月26日．是山
西大学的标志性建筑之一，目前已被列入保护文物．综合与实践小组的同学们开展了测量这一毛主席塑像
高度的活动．他们在该塑像底部所在的平地上，选取一个测点，测量了塑像顶端的仰角，调高测倾器后二
次测量了塑像顶端的仰角．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数及测倾器高度时，都分别测量了两
次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表．
课
题
成
员 测量毛主席塑像的高度组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
测倾器，皮尺等
测
量
工
具测 说明：线段 的长表示塑像从最高点到地面之间的距离，
量 为测点，线段 ， 表示测倾器（点 在 上），点
示 ， ， ， ， 都在同一竖直平面内，且 ，
意
； 、 表示两次测量的仰角，点 ，
图
在 上．
测量项目 第一次 第二次 平均值
的度数
测
量
的度数
数
据
测倾器 的高
测倾器 的高
任务：
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出毛主席塑像的高度；（参考数据：
， ， ， ， ，
）
（2）该综合与实践小组在制定方案时，讨论“用已知高度的侧倾器 测出仰角 ，再测出 的长
来计算塑像高度 ”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
【答案】（1）毛主席塑像的高度为 ；（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能
准确测出 ．
【分析】（1）根据题意AB BC，CE BC，AB EG，AB DF，可推得四边形BCEG与四边形DEGF
都是矩形，其中BG=CE=1.70m， ，EG=DF，在 AEG和 ADF分
别用正切函数写出对应边的式子，即可求得AG的长度，则AB的长度可求；
（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．
【详解】解：（1）由题意，得AB BC，CE BC，AB EG，AB DF，∴ ，
∴四边形BCEG与四边形DEGF都是矩形，
∴BG=CE=1.70m， ，EG=DF，
在 AEG中，∠AEG=33.5°，∠AGE=90°，
且 ，即 ，
在 ADF中，∠ADF=35.0°，∠AFD=90°，
，即 ，
∴ ，即 ，
解得：AG=10.56m，
∴AB=AG+BG=10.56+1.70=12.26m，
答：毛主席塑像的高度为12.26米．
（2）因为塑像下半部分为底座，其底部不可直接到达，不能准确测出BC．
【点睛】本题主要考察了三角函数的实际应用，解题的关键是找出两个直角三角形，并运用正切函数写出
对应边的比例式子．
13．（2021·河南·九年级专题练习）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸
父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC
方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到
0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cos30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cos59.1°≈0.51，
tan59.1°≈1.67）【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米
【分析】设 ，则 ，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，
从而可计算得出DE的值．
【详解】解：在Rt△ACD中， ，则 .
设 ，则
在Rt△BCD中， .
∴
∴
解得： .
在Rt△ACE中， .
∴
答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米.
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错．
14．（2018·北京四中九年级期中）如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面
上选择了在条直线上的三点 为楼底)， ，她在 处测得广告牌顶端 的仰角为 ，在 处测得商
场大楼楼顶 的仰角为 米.已知广告牌的高度 米，求这座商场大楼的高度 (
，小红的身高不计，结果保留整数)．【答案】15米.
【分析】因为在E处的仰角是45°，所以可得AE=AB，设AB为x米，再结合D处的仰角60°以及题中的
条件，进而求解直角三角形即可．
【详解】设AB为x米，
∵在 处测得商场大楼楼顶 的仰角为
∴∠BEA=45°，
∴AE=AB=x，
∴AD=AE-DE=x-5，AC=BC+AB=2.35+x，
∵在 处测得广告牌顶端 的仰角为 ，
∴∠CDA=60°，
∴AC=AD•tan∠CDA= AD，
∴x+2.35= （x-5），
∴（ -1）x=2.35+5 ，
解得 ，
答：商场大楼的高度AB约为15米．
【点睛】本题主要考查了生活中仰角、俯角的问题，解题的关键是利用解直角三角形求三角形的边长．
15．（2018·四川眉山·九年级期末）在“双创”活动中，某校将双创宣传牌（AB）放置在教学楼顶部（如
图所示）．数学兴趣小组成员小明在操场上的点D处，用高度为1 m的测角仪CD，从点C测得宣传牌的
底部B的仰角为 ，然后向教学楼正方向走了4 m到达点F处，又从点E测得宣传牌顶部A的仰角为 ．
已知教学楼高 ，且点A、B、M在同一直线上，求宣传牌AB的高度．（参考数据： ，， ， ）
【答案】宣传牌AB的高度为2米
【分析】过点C作 于G，设AB为x，根据 可得 ，然后在
中解直角三角形即可.
【详解】解：过点C作 于G，则 ，
∵ ，
∴ ，
设AB为x，
∵ ，
∴ ，
∴CG=4+18+x=22+x，
在 中， ，
则 ，即
解得： ，
答：宣传牌AB的高度为2米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
类型四：12345型16．（2018·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，点A（ ，
0），B（0，2），点C在第一象限，∠ABC=135°，AC交 轴于D，CD=3AD，反比例函数 的图象
经过点C，则 的值为_______．
【答案】9
【分析】过点A作AH⊥CB的延长线于点H，得到AH=BH= = ，根据已知条件得到B，H，A，O
四点共圆，连接OH，推出H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，根据全等三角形
的性质得到AM=BN= ，求得直线HB的解析式，于是得到结论．
【详解】解：∵点A（ ，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∴ ；
如图，过点A作AH⊥CB的延长线于点H，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBA=HAB=45°，∴AH=BH= = ，
∵BH⊥AH，BO⊥AO，
∴B，H，A，O四点共圆，
连接OH，则∠BOH=∠BAH=45°，
∴H在第二象限角平分线上，
作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，
则四边形HMON是正方形，
∴HM=HN，
∵AH=BH，
∴Rt△HAM≌Rt△HBN，
∴AM=BN，
∵OM=ON，
∴AM=BN= ，
∴H（ ， ），
∴直线BH的解析式为y= x+2，
过C作CI⊥x轴于I，
∴OD∥CI，
∴ ，
∴OI=3AO=3，
把x=3代入y= x+2得y=3，
∴C点坐标为（3，3）．
∵点C在反比例函数 的图像上，
∴ ；
故答案为：9.
【点睛】本题考查了四点共圆，解直角三角形，正方形的判定和性质，求函数的解析式，全等三角形的判
断和性质，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线，熟练掌握所学的知识进行解题是解决本题的关键．17．（2018·江苏无锡·九年级期末）如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得
到△PAE，过C作CF⊥DE于F，若CF=2，则DF=_____．
【答案】6．
【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明 AMD≌△DFC，则DM=FC=2，由折叠和正形
的边长相等得：AE=AD，根据等腰三角形三△线合一得：DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，设∠
MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，可得∠PAM=45°，则 PAH是等腰直角三
角形，证明 PGE∽△AMD，列比例式得：GE=1，AM=2PG，设PG=x△，则AM=2x，根据
AH=PH，得△2x﹣1=2+x，求得x的值，即可解决问题；
【详解】过A作AM⊥DF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠ADF+∠MAD=90°，
∴∠FDC=∠MAD，
∵∠AMD=∠DFC=90°，
∴△AMD≌△DFC，
∴DM=FC=2，
由折叠得：AB=AE，BP=PE，
∵AB=AD，
∴AE=AD，
∴DM=EM=2，∠EAM=∠MAD，
∵P是BC的中点，
∴PC= BC= AD=PE，
设∠MAD=α，则∠EAM=α，∠BAP=∠PAE=45°﹣α，
∴∠APE=90°﹣（45°﹣α）=45°+α，
∵∠EAM=∠DAM，∠BAP=∠PAE，∴∠PAE+∠EAM= ∠BAD=45°，
过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G，
∴△PAH是等腰直角三角形，
∴∠APH=45°，
∴∠HPE=α=∠MAD，
∵∠PGE=∠AMD=90°，
∴△PGE∽△AMD，
∴
∴
∴GE=1，AM=2PG，
设PG=x，则AM=2x，
∴AH=2x﹣1，
∵AH=PH，
∴2x﹣1=2+x，
x=3，
∴PG=3，AM=6，
∵△DAM≌△CDF，
∴DF=AM=6．
故答案为6.
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等和相似的性质和判定、勾股定
理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定等知识，有难度，证明∠PAM=45°是关键，
设未知数，并确定其等量关系列方程解决问题．
18．（2018·山东滨州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE= ，∠EAF=45°，则AF的长为_____．
【答案】
【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF= x，再利用矩形的性
质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角
形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．
【详解】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF= x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE= ，AB=2，
∴BE=1，
∴ME= ，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴ ，∴ ，
解得：x=
∴AF=
故答案为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相
似三角形是解题的关键．
19．（2018·山东泰安·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，
点 落在 处，若 的延长线恰好过点 ，则 的值为__________．
【答案】
【详解】分析：先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三
角函数即可得出结论．
详解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°，∴∠BA'C=90°．在Rt A'CB中，A'C=
△
=8，设AE=x，则A'E=x，∴DE=10﹣x，CE=A'C+A'E=8+x．在Rt CDE中，根据勾股定理得：（10﹣x）
△
2+36=（8+x）2，∴x=2，∴AE=2．在Rt ABE中，根据勾股定理得：BE= =2 ，
△
∴sin∠ABE= = ．
故答案为 ．
点睛：本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段AE是解答本题的关键．
20．（2017·浙江丽水·中考真题）（2017丽水）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x
轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是____；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是________．
【答案】 ； 12．
【详解】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，所以直线
AB的解析式为y=﹣x+2，则B（0，2），∴OB=OA=2，AB= ．
设点O到直线AB的距离为d，由S OAB= OA2= AB•d，得：4= d，则d= ．故答案为 ．
△
（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
所以OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
所以m＞0．
因为∠CPA=∠ABO=45°，所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，所
以 ，即 ，解得m=12．故答案为12．
