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人教版八下期末真题必刷 04（压轴选填 60 题 12 个考点专练）
一．动点问题的函数图象（共4小题）
1．（2023春•海安市期末）如图1， 中， ，两动点 ， 同时从点 出发，点 在边
上以 的速度匀速运动，到达点 时停止运动，点 沿 的路径匀速运动，到达点
时停止运动． 的面积 与点 的运动时间 的关系图象如图2所示，已知 ，则下
列说法正确的是
① 点的运动速度是 ；
② 的长度为 ；
③ 的值为7；
④当 时， 的值为 或9．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【分析】由点 的速度和路程可知， 时，点 和点 重合，过点 作 于点 ，求出 的
长，进而求出 的长，得出 点的速度；由图2可得当 时，点 和点 重合，进而可求出 的长；
根据路程除以速度可得出时间，进而可得出 的值；由图2可知，当 时，有两种情况，根据图象
分别求解即可得出结论．
【解答】解： ，点 的速度为 ，
当点 从点 到点 ，用时 ，
当 时，过点 作 于点 ，，
，
在 中， ，
， ，
，
点的运动速度是 ；故①正确；
点 从 到 ，用时 ，
由图2可知，点 从 到 用时 ，
，故②正确；
，故③正确；
当点 未到点 时，过点 作 于点 ，
，
解得 ，负值舍去；
当点 在 上时，过点 作 交 延长线于点 ，
此时 ，
，
，
解得 ，
当 时， 的值为 或9．故④正确；
故选： ．
【点评】本题主要考查函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含 直角三角形的性质，熟练掌握各图形的性质，分别列出关于 的方程是解题的关键．
2．（2023春•望奎县期末）如图，边长为2的等边 和边长为1的等边△ ，它们的边 ，
位于同一条直线 上，开始时，点 与点 重合， 固定不动，然后把△ 自左向右沿直线
平移，移出 外（点 与点 重合）停止，设△ 平移的距离为 ，两个三角形重合部分的面
积为 ，则 关于 的函数图象是
A． B．
C． D．
【分析】分为 、 、 三种情况画出图形，依据等边三角形的性质和三角形的面积公式，
求得 与 的函数关系式，进而求解．
【解答】解：如图1所示：当 时，过点 作 ．
和△ 均为等边三角形，
为等边三角形．
．．
当 时， ，且抛物线的开口向上．
如图2所示： 时，过点 作 ，垂足为 ．
．
函数图象是一条平行于 轴的线段．
如图3所示： 时，过点 作 ，垂足为 ．
，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选： ．
【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
3．（2023春•丰台区校级期末）如图，扇形 的半径 ，圆心角 ， 是 上不同于
、 的动点，过点 作 于点 ，作 于点 ，连接 ，点 在线段 上，且
．设 的长为 ， 的面积为 ，选项中表示 与 的函数关系式的图象可能是A． B．
C． D．
【分析】根据已知得出四边形 是矩形，再根据矩形的性质得出 ，进而得出 ，
，从而得出 ， ，表示出 的长，进而得出 的面积，根据图象得出符合要
求的图象．
【解答】解：连接 ，作 于一点 ，
扇形 的半径 ，圆心角 ， 于点 ，
于点 ，
四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
，
，
，．结合解析式得出只有 图象符合要求；
．图象是一次函数与二次函数一部分，
不符合上面解析式，故此选项错误；
．是反比例函数图象，
不符合上面解析式，故此选项错误；
．图象是两部分一次函数，
不符合上面解析式，故此选项错误．
故选： ．
【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，得出函数解析式进而得出符合要求的图象是解决问题的关
键．
4．（2023 春•岳阳县期末）如图①，在矩形 中，动点 从点 出发，沿
方向运动至点 处停止，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，
如果 关于 的函数图象如图②所示，则矩形 的面积是 2 0 ．
【分析】根据图象横坐标的变化，问题可解．
【解答】解：由图象可知， 时，点 到达 ， 时，点 到 点，则 ，
矩形 的面积是20．
【点评】本题为动点问题的函数图象探究题，考查了动点到达临界点前后图象趋势的趋势变化．解答时，要注意数形结合．
二．一次函数图象上点的坐标特征（共8小题）
5．（2023春•岚山区期末）如图放置的△ ，△ ，△ ， ，△ ，都是以 ，
， ， ， 为直角顶点的三角形，点 ， ， ， ， 都在直线 上，
，点 在 轴上， ， ，则点 的坐
标是
A． ， B． C． D．
【分析】由 定理可证明各直角三角形全等，进而证明 ．由三角函数求
出 的横坐标，由 求出其纵坐标，进而求出 的坐标．同理，可求出 、 的坐标，由规律
写出 的坐标，是关于 的代数式，从而求出当 时 的坐标．
【解答】解： ， ，
△ △ △ △ ．
．
．，
，
．
，
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ， ．
点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即 ， ．
同理， ， ， ， ； ， ， ， ；
， ， ， ， ， ， ．
当 时， ， ，
， ．
故选： ．
【点评】本题考查一点的坐标及一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键通过点 、 、 的
坐标找到规律，将 坐标表示为 的代数式．
6．（2023春•青山区期末）如图，已知点 ，点 ， 分别是直线 和直线 上的动
点，连接 ， ．则 的最小值为A．2 B． C． D．
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形 ，得点 关于 的对称点 ，连接 ，
，则 ，当且仅当 ， ， 三点共线时， ，即
的最小值为 的长，根据点到直线，垂线段最短，过点 作 垂直直线 于点
，即 于点 ，交直线 于点 ，此时 最小，利用等积法求出 的长即可．
【解答】解：如图，在正方形 中， ，
直线 经过点 ， ，
直线 是正方形 的对称轴，
点 在 上，
可得点 关于 的对称点 ，
当 时， ，即直线 经过点 ，
过点 作 垂直直线 于点 ，即 于点 ，交直线 于点 ，
和 关于关于 对称，
，
，即 的最小值为 的长，
，
，
，
，
解得 ，
即 的最小值为 ，
故选： ．
【点评】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握
相关性质和数形结合是解题的关键．
7．（2023春•南部县校级期末）如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 、 两点，
， 、 分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ．当 的值
最小时，则 点的坐标为A． B． C． D．
【分析】首先证明 ，取点 ，连接 ， ， ．由 ，推出
，推出 ，因为 ，推出 的最小值为线段 的长，推出当
， ， 共线时， 的值最小，求出直线 的解析式即可解决问题．
【解答】解：由题意 ， ， ，
，
取点 ，连接 ， ， ．
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
，
的最小值为线段 的长，
当 ， ， 共线时， 的值最小，
直线 的解析式为： ，
，
当 的值最小时，则 点的坐标为 ，
故选： ．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、最短问题等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决
问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．（2023春•潮南区期末）如图，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ， 两点，过原点
作 垂直于直线 交 于点 ，过点 作 垂直于 轴交 轴于点 ，过点 作 垂直于直线
交 于点 ，过点 作 垂直于 轴交 轴于点 ，依此规律作下去，则点 的坐标是A． B． C． D．
【分析】根据一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ， ，可得 是等腰直角三
角形，进而得出四边形 是正方形，可求出点 的坐标，进而可以得出四边形 ，四边形
也是正方形，求出点 的坐标，点 的坐标，根据点 ，点 ，点 的坐标呈现的规律，可以
得出点 的坐标．
【解答】解：过 、 、 、 分别作 ， ， ， 垂足分别为 、 、 、
，
一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ， ，
，
，
，
，
可得四边形 是正方形，
同理可得四边形 ，四边形 也是正方形，
点 ，即， ， ，可求 ，
点 ，即， ， ，
同理 ， ，即， ， ，
， ，即， ， ，也就是 ， ，
故选： ．
【点评】考查一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形、正方形的性质，点的坐标与线段长度之
间的互相转化是解决问题的关键．
9．（2023春•德城区校级期末）如图，平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点
、 ，以 为一边向右作等边 ，以 为一边向左作等边 ，连接 交直线 于点 ．则
点 的坐标为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】求出点 、点 的坐标，得到 的表达式，将 的表达式与直线 的表达式联立，即可求解．【解答】解： ①，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为： ， 、 ，
即 ， ，则 ，
，故 ，
而 为等边三角形，则 与 轴的夹角为 ，
则 ，
，
故点 ， ，
同理可得点 的坐标为： ，
设直线 的表达式为 ，则 ，解得： ，
故直线 的表达式为： ②，
联立①②并解得： ， ，
故点 的坐标为： ， ，
故选： ．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是求出点 、 的坐标，进而求解．
10．（2023春•永定区期末）如图，过点 作 轴垂线交直线 于点 ，以 的长为边在 右侧作正方形 ；延长 交直线 于点 ，以 的长为边在 右侧作正方形 ；
延长 交直线 于点 ，以 的长为边在 右侧作正方形 则 的坐标为
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【分析】由点 作 轴垂线交直线 于点 ，求出 ，再以 的长为边在 右侧作正方
形 ，求出 ，同理求出 ， ，即可得出规律求出 的坐标．
【解答】解： 过点 作 轴垂线交直线 于点 ，
，
以 的长为边在 右侧作正方形 ，
，
同理，可得 ， ，
的坐标为 ， ，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数，通过求出前三个点 的坐标找出规律是解决本题的关键．
11．（2023春•宝清县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ，，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点
，过点 作 轴的垂线交 于点 ， 依次进行下去，则点 的坐标为 ， ．
【分析】根据题意，先求得前至少8个点的坐标，然后找到规律即可．
【解答】解：当 时， ，
点 的坐标为 ；
当 时， ，
点 的坐标为 ；
同理可得 ， ， ， ， ， ，
，
，
，
为自然数），，
点 的坐标为 ， ，
即点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查的是坐标系中点的规律，解题的关键是对前几个点作出分析，找到规律．
12．（2023春•清河区校级期末）如图，正方形 的对角线 在直线 上，点 在第一象限．
若正方形 的面积是50，则点 的坐标为 ．
【分析】如图作 ，交 的延长线于 ，作 轴于 ， 轴于 ．首先证明
是等腰直角三角形，可得 ，求出 、 的坐标即可解决问题；
【解答】解：如图作 ，交 的延长线于 ，作 轴于 ， 轴于 ．
四边形 是正方形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由 ，可得 ， ，
正方形 的面积是50，，
点 在直线 上，
， ，
，
，
故答案为
【点评】主要考查了一次函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三．待定系数法求一次函数解析式（共3小题）
13．（2023春•定州市期末）如图所示，直线 分别与 轴、 轴交于点 、 ，以线段 为边，
在第二象限内作等腰直角 ， ，则过 、 两点直线的解析式为
A． B． C． D．
【分析】过 作 垂直于 轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，以及
，利用 得到三角形 与三角形 全等，由全等三角形对应边相等得到 ，
，由 求出 的长，即可确定出 坐标，然后根据待定系数法即可求得过 、 两点
的直线对应的函数表达式．
【解答】解：对于直线 ，令 ，得到 ，即 ， ，
令 ，得到 ，即 ， ，
过 作 轴，可得 ，
，为等腰直角三角形，即 ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，即 ，
，
设直线 的解析式为 ，
，
，
解得 ．
过 、 两点的直线对应的函数表达式是 ．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定
与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
14．（2023春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 为 轴上一点，菱形 的
边长为2， ，点 是 边上一动点（不与点 ， 重合），点 在 边上，且 ，
下列结论：① ；② 的大小随点 的运动而变化；
③直线 的解析式为 ；④ 的最小值为 ．
其中正确的有 ①③④ ．（填写序号）
【分析】根据菱形 的边长为 2， ，可得 为等边三角形，又 ，可证
；由 ，可以证出 为等边三角形，所以 大小不变；求出 ， 的
坐标可以求出直线 的解析式为 ；根据垂线段最短，当 时有最小值 ．
【解答】解： 菱形 的边长为2， ，
， 为等边三角形， ，
， ，
，（故①正确），
， ，
，
为等边三角形，
，
的大小随点 的运动是不变化的，（故②不正确），
设直线 的解析式为 ，
过 ， ，
（故③正确），
根据垂线段最短，
当 时 有最小值 ，
的最小值为 ，（故④正确）．故答案为：①③④．
【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是明
确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
15．（2023春•德州期末）如图，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， ，
当过点 的直线 将四边形 分成面积相等的两部分时，则直线 的函数表达式为 ．
【分析】根据题意画出直线 ，再设解析式，代入点坐标，分别求出 和 得解析式，根据铅垂高
水平宽 等于 的面积，即可求出 的值，再代入 、 点坐标即可求出解析式．
【解答】解：如图所示，作直线 交 于点 ，过点 作 轴，交 于点 ．
设直线 将四边形 的面积分成面积相等的两部分，
设直线 的解析式为 ，代入点 ， ，
得 ，
设直线 的解析式为 ，代入点 ， ，
得 ，设 ，则 ，
四边形 的面积为 ，
，
解得 ，
点坐标为 ，
设 的解析式为 ，代入 和 ，
解得 ，
的解析式为 ．
【点评】本题考查了一次函数和三角形面积，正确求出一次函数解析式并表示出 的面积是解决本题
的关键．
四．一次函数的应用（共4小题）
16．（2023春•辛集市期末）容积为1500升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水
量都一定，单开进水管30分钟可把空池注满，单开出水管20分钟可把满池的水放尽．现水池内有水250
升，先打开进水管10分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量
（升 随时间 （分 变化的图象是
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义进行图象的判断，注意特殊点的寻找．【解答】解：因为进水速度是 升 分，单开出水管20分钟可把满池的水放尽，则出水速度是
升 分，
所以先打开进水管10分钟，水池中有 升的水，两管同时开放，直至把水池中的水放完共
用了 分钟，
故 （分钟）
故选： ．
【点评】本题主要考查了根据实际意义读图的能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函
数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
17．（2023春•抚顺县期末）甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从 地出发前往 地，
甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，
经过一段时间，乙先到达 地，甲一直保持原速前往 地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程 （单位：
与甲骑行的时间 （单位： 之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是
A．甲的骑行速度是 B． ， 两地的总路程为
C．乙出发 后追上甲 D．甲比乙晚 到达 地
【分析】根据函数与图象的关系以此计算即可判断．
【解答】解：甲 骑行 ，故速度为 ，
故 正确；
设乙的速度为 ，则有 ，
解得： ，
乙的速度为 ，
甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即 继续骑行，
乙先到达 地，
由题意可得 两地的总路程为 ，故 正确；
乙出发 后追上甲，
则 ，
解得 ，即乙出发 后追上甲，
故 错误．
甲的路程为 ，
甲比乙晚 到达 地，
故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2023春•新市区期末）甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速
度匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑
向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 （米 与乙出发的时间
（秒 之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有 5 0 米．
【分析】乙从开始一直到终点，行1000米用时200秒，因此乙的速度为 米 秒，甲停下来，
乙又走 秒才与甲第一次会和，第一次会和前甲、乙共同行使 秒，从起点到第一次
会和点的距离为 米，因此甲的速度为 米 秒，甲行完全程的时间为
秒，甲到终点时乙行驶时间为 秒，因此乙距终点还剩 秒的路
程，即 米．
【解答】解：乙的速度为： 米 秒，从起点到第一次会和点距离为 米，
甲停下来到乙到会和点时间 秒，之前行驶时间 秒，
甲的速度为 米 秒，
甲到终点时乙行驶时间 秒，还剩10秒路程，即 米，
故答案为50米．
【点评】考查函数图象的意义，将行程类实际问题和图象联系起来，理清速度、时间、路程之间的关系是
解决问题关键．
19．（2023春•禹城市期末）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的 ， 两处同
时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开 处后行走的路程 （单位： 与行走时间 （单位：
的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离 （单位： 与甲行走时间 （单位： 的函数图象，
则 ．
【分析】从图 1，可见甲的速度为 ，从图 2 可以看出，当 时，二人相遇，即：
，解得：乙的速度 ，乙的速度快，从图2看出乙用了 分钟走完全程，甲用了
分钟走完全程，即可求解．
【解答】解：从图1，可见甲的速度为 ，
从图2可以看出，当 时，二人相遇，即： ，解得：乙的速度 ，
乙的速度快，从图2看出乙用了 分钟走完全程，甲用了 分钟走完全程，
，
故答案为 ．【点评】本题考查了一次函数的应用，把一次函数和行程问题结合在一起，关键是能正确利用待定系数法
求一次函数的解析式，明确三个量的关系：路程 时间 速度．
五．一次函数综合题（共2小题）
20．（2023春•和平区校级期末）如图，直线 分别与 、 轴交于点 、 ，点 在线段
上，线段 沿 翻折，点 落在 边上的点 处．以下结论：
① ；
②直线 的解析式为 ；
③点 ， ；
④若线段 上存在一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，则点 的坐标是 ， ．
正确的结论是
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【分析】先求出点 ，点 坐标，由勾股定理可求 的长，可判断①；由折叠的性质可得 ，
， ，由勾股定理可求 的长，可得点 坐标，利用待定系数法可求 解
析式，可判断②；由面积公式可求 的长，代入解析式可求点 坐标，可判断③；由菱形的性质可得
，可得点 纵坐标为 ，可判断④，即可求解．
【解答】解： 直线 分别与 、 轴交于点 、 ，
点 ，点 ，
， ，
，故①正确；
线段 沿 翻折，点 落在 边上的点 处，
， ， ，，
，
，
，
点 ，
设直线 解析式为： ，
，
，
直线 解析式为： ，故②正确；
如图，过点 作 于 ，
，
，
，
，
当 时， ，
，
点 ， ，故③正确；
线段 上存在一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，且 ，
，
点 纵坐标为 ，故④错误，故选： ．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，全等三角形的判定和性
质，面积法，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
21．（2023春•禹城市期末）如图，已知点 是第一象限内横坐标为 的一个定点， 轴于点 ，
交直线 于点 ．若点 是线段 上的一个动点， ， ，则点 在线段 上运
动时， 点不变， 点随之运动．求当点 从点 运动到点 时，点 运动的路径长是 ．
【分析】（1）首先，需要证明线段 就是点 运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角
形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△ ，求出线段 的长度，即点 运动的路径
长．
【解答】解：由题意可知， ，点 在直线 上， 轴于点 ，则 为等腰直角
三角形， ．
如答图①所示，设动点 在 点（起点）时，点 的位置为 ，动点 在 点（终点）时，点 的位置
为 ，连接
， ， ，
又 ， ， （此处也可用 角的 △三边
长的关系来求得），△ ，且相似比为 ，
．
现在来证明线段 就是点 运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点 运动至 上的任一点时，设其对应的点 为 ，连接 ， ，
， ， ，
又 ， ， ，
△ ， ．
又 △ ， ，
，
点 在线段 上，即线段 就是点 运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点 运动的路径（或轨迹）是线段 ，其长度为 ．
故答案为： ．【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确
定点 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关
系求出点 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
六．勾股定理的证明（共2小题）
22．（2023春•东西湖区期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正
方形 ．连结 ， 相交于点 、 与 相交于点 ．若 ，则 的值是
A． B． C． D．
【分析】先证明 ，得出 ．设 ，则 ， ，
再由勾股定理得出 ，即可得出答案．
【解答】解： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
．
设 ，
为 ， 的交点，
， ，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟
练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证
明的重要数学定理之一．如图，在 中， ，以 各边为边向外作正方形 、
正方形 、正方形 ．连接 、 、 ，若 ， ，则这个六边形 的
面积为A．28 B．26 C．32 D．30
【分析】根据 ， ，想法把 ， ， 求出来，想到作辅助线，构造直角三角形．
【解答】解：设 ， ， ，过 作作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足
为 ，
， ，
，
在 与 中，
，
，
， ，
同理可证 ，
， ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，
， ， ．
．
故选： ．【点评】本题考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，求出 ， ， ．
七．平行四边形的性质（共8小题）
24．（2023春•辛集市期末）如图， 中， ， ， ，动点 从 出发，
以 的速度沿 向点 运动，动点 从点 出发，以 的速度沿着 向 运动，当点 到达
点 时，两个点同时停止．则 的长为 时点 的运动时间是
A． B． 或 C． D． 或
【分析】过点 作 于点 ，由 ，可得 是等腰直角三角形，过点 作 于
点 ，得矩形 ，利用勾股定理得 ，由题意可得 ， ，然后分两种情
况列方程求出 的值即可．
【解答】解：在 中， ， ，
如图，过点 作 于点 ，
，
是等腰直角三角形，
，
过点 作 于点 ，
得矩形 ，
， ，
，，
由题意可知： ， ，
， ，
，
，
解得 ，
当 点在 点左侧时，
由题意可知： ， ，
， ，
，
，
解得 ，
点 到达点 时，两点同时停止运动，
，解得 ．
不符合题意，舍去，
的长为 时点 的运动时间是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本
题的关键是利用勾股定理得到 的值．
25．（2023春•渠县期末）如图，在平行四边形 中， ， 于 ， 于 ，
， 相交于 ， 与 的延长线相交于点 ，下面给出四个结论：① ； ②
； ③ ； ④ ，其中正确的结论是A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【分析】①由等腰直角三角形的性质可求 ；
②由余角的性质和平行四边形的性质可求 ；
③由“ ”可证 ，可得 ；
④在 和 中，只有三个角相等，没有边相等，则 与 不全等．
【解答】解： ， ，
，
，
，故①正确；
， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，故②正确；
，
，
在 和 中，
，
，
，故③正确，
在 和 中，只有三个角相等，没有边相等，
与 不全等，故④错误．
故选： ．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．（2023春•碑林区校级期末）如图， 的对角线 、 交于点 ， 平分 交 于
点 ，且 ， ，连接 ．下列结论：
① 平分 ；
②
③ ；
④ ，
成立的个数有 个
A．1 B．2 C．3 D．4
【 分 析 】 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 ， ， ， 求 得
，根据等边三角形的性质得到 ， ，求得 ，推出
平分 ．故①正确；求得 ，故②正确；得到 ，故③错误；根据
三角形中位线定理得到 ，设 ，根据勾股定理得到 ，于是
得到结论．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
是等边三角形，， ，
，
，
，
，
，
平分 ．
故①正确；
，
，
故②正确；
，
为 中点，
，
故③错误；
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，，
，
，故④正确；
故正确的为：①②④，
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，
熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．（2023春•开江县校级期末）如图，在平行四边形 中，分别以 、 为边向外作等边
和等边 ，延长 交 于点 ，点 在点 、 之间，连接 、 、 ，则以下四个结论，
正确的是
① ；② ；③ ；④ 是等边三角形．
A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据 为平行四边形， 、 是等边三角形逐一进行证明即可判断．
【解答】解： 、 是等边三角形，
， ，
， ，
， ，
， ，
，
，故①正确；
，，
，故②正确；
在等边三角形 中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
如果 ，则 是 的中点， ， ，题目缺少这个条件， 不能
求证，故③错误；
同理①②可得： ，
， ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，故④正确．
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键
是综合运用以上知识．
28．（2023春•渠县期末）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 在 的平分线上，
且 ，点 为 的中点，连接 ，若 ， ．则 的长为
A．12 B．20 C．24 D．30
【分析】延长 交 于 ，利用 证明 可得 ， ，即可证明
是 的中位线，可求解 的长，进而可求解 的长，再结合平行四边形的性质利用勾股定理
可求解．
【解答】解：延长 交 于 ，平分 ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
点是 的中点，
是 的中点，
是 的中位线，
，
，
，
在平行四边形 中， ， ， ，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的中位线，勾股定理，求解
的长是解题的关键．
29．（2023春•振兴区校级期末）如图，平行四边形 中， ， ， 在 上，
且 ， 是 的中点，过 分别作 于 ， 于 ，则 等于A． B． C． D．
【分析】连接 、 ，过 作 于 ，过 作 于 ，根据三角形的面积和平行四边
形的面积得出 ，求出 ，设 ， ，则 ，
， ， ， ， ，求出 ， ，代入求出即可．
【解答】解：连接 、 ，过 作 于 ，过 作 于 ，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得： ，
即 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
设 ， ，
， 是 的中点，
， ，
， ，
由勾股定理得： ， ，，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，
关键是求出 和求出 、 的值．
30．（2023春•渠县期末）如图，平行四边形 中， 为对角线交点， 平分 ， 平分
， ， ，则 1. 5 ．
【分析】延长 交 于 ，由平行四边形的性质得 ， ， ，
，再证 ，则 ，然后证 ，由等腰三角形的性质得 ，
最后证 是 的中位线，即可求解．
【解答】解：延长 交 于 ，如图所示：
四边形 是平行四边形，
， ， ， ，， ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的中位线，
，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握
平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证出 为 的中位线是解题的关键．
31．（2023春•凤城市期末）如图，在 中， ， ， ，垂足分别为点 ，
． ． ，则 5 ．【分析】由平行四边形的性质可求得 ，再利用含 角的直角三角形的性质求解 ， ， 的
长，进而可求解 的长，
【解答】解：在 中， ， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，含 角的直角三角形的性质，求解 ， 的长是解题的关
键．
八．平行四边形的判定与性质（共3小题）
32．（2023春•西峡县期末）如图， 中， ， 为锐角．要在对角线 上找点 ，
，使四边形 为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有
A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙
【分析】方案甲，连接 ，由平行四边形的性质得 ， ，则 ，得四边形为平行四边形，方案甲正确；
方案乙，证 ，得 ，再由 ，得四边形 为平行四边形，方案
乙正确；
方案丙，证 ，得 ， ，则 ，证出 ，
得四边形 为平行四边形，方案丙正确．
【解答】解：方案甲中，连接 ，如图所示：
四边形 是平行四边形， 为 的中点，
， ，
， ，
，
四边形 为平行四边形，故方案甲正确；
方案乙中， 四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，
， ，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
四边形 为平行四边形，故方案乙正确；
方案丙中， 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ， 平分 ，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，故方案丙正确；
故选： ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；
熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
33．（2023春•市南区期末）如图，已知 是边长为3的等边三角形，点 是边 上的一点，且
，以 为边作等边 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ， ，则下列结论：
① ；②四边形 是平行四边形；③ ；④ ．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】连接 ，作 于 ．首先证明 ，根据 可证明 ，
再证明 是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：作 于 ．
， 都是等边三角形，
， ， ，，
在 与 中，
，
，故①正确；
， ，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
四边形 是平行四边形，故②正确，
，故③正确，
， ，
， ，
，
，故④错误，
①②③都正确，
故选： ．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
34．（2023春•萧县期末）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，且点 ， ，另有
两点 ， ，若点 是直线 上的动点，点 为 轴上的动点，要使以 ， ， ， 为
顶点的四边形是平行四边形，且线段 为平行四边形的一边，则满足条件的 点坐标为 或
．
【分析】先根据 ， 两点求出 的函数解析式，根据 可得出 点横坐标是2或 ，进而求得
点 的坐标．
【解答】解：设直线 的解析式为： ，由题意得，
，
，
，
， ，
，
， ，
点 的横坐标为：2或 ，当 时， ，
，
当 时， ，
，
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了平行四边形性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础
知识．
九．菱形的性质（共5小题）
35．（2023春•泸县校级期末）如图，菱形 的对角线 、 相交于点 ，过点 作 于
点 ，连接 ， ，若菱形 的面积为 ，则 的长为
A．4 B． C．8 D．
【分析】在 中先求得 的长，根据菱形面积公式求得 长，再根据勾股定理求得 长．
【解答】解： ，
，
四边形 是菱形，
， ， ，
（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
， ，
由 得，
，，
，
，
故选 ．
【点评】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得 的长．
36．（2022秋•铁西区校级期末）如图，菱形 的顶点 、 在 轴上 在 的左侧），顶点 、
在 轴上方，对角线 的长是 ，点 为 的中点，点 在菱形 的边上运动．当点
到 所在直线的距离取得最大值时，点 恰好落在 的中点处，则菱形 的边长等于
A． B． C． D．3
【分析】如图1中，当点 是 的中点时，作 于 ，连接 ．首先说明点 与点 重合时，
的值最大，如图2中，当点 与点 重合时，连接 交 于 ， 交 于 ．设 ．利
用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【解答】解：如图1中，当点 是 的中点时，作 于 ，连接 ．， ，
， ，
，
，
，
当点 与 重合时， 的值最大．
如图2中，当点 与点 重合时，连接 交 于 ， 交 于 ．设 ．
， ，
， ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，，
，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题
的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
37．（2023春•温江区校级期末）如图，菱形 中， ， ，点 在对角线 上，
连接 ， ，点 为直线 上一动点．连接 ，以 、 为邻边构造平行四边形 ，
连接 ．则 的最小值为 ．
【分析】过 作 ，作 于 ，交 于 ，作 于 ，作 于 ，由直
角三角形的性质求出 ，令 ，得到 ，因此 ，求出的值，得到 的值，即可求出 的值，由 ，即可解决问题．
【解答】解：过 作 ，作 于 ，交 于 ，作 于 ，作 于 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
令 ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，的最小值是 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，关键是通过作辅助线，构造直角
三角形，由直角三角形的性质求出 的长，由 ，即可求出 的最小值．
38．（2023春•浦东新区校级期末）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三
角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角
形的“最优覆盖菱形”．
问题：如图，在 中， ， ，且 的面积为 ．如果 存在“最优覆盖菱
形”为菱形 ，那么 的取值范围 ．
【分析】由 的面积为 可得 的高为 ，然后再分三角形的高取最大值和最小值两种情况
求解即可．
【解答】解： 的面积为 ，
的 边上的为高 ，如图：当高取最小值时， 为等边三角形，
点 与 或 重合，
如图：过 作 ，垂足为
等边三角形 ， ，
， ， ．
，
，
，即 ．
如图：
当高取最大值时，菱形为正方形，
点 在 的中点，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，灵活运用相关
知识是解答本题关键．
39．（2023春•潢川县期末）如图，菱形 中， ， ， 、 分别是边 和对角线上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
【分析】如图， 的下方作 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ， ．证明
，推出 ， ，根据 求解即可．
【解答】解：如图， 的下方作 ，在 上截取 ，使得 ，连接 ， ．
四边形 是菱形， ，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
的最小值为 ，
故答案为 ．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
一十．矩形的性质（共8小题）
40．（2023春•阜平县期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， ．若不改变矩
形 的形状和大小，当矩形顶点 在 轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点 始终在 轴的
正半轴上随之左右移动，已知 是边 的中点，连接 ， ．下列判断正确的是
结论Ⅰ：在移动过程中， 的长度不变；
结论Ⅱ：当 时，四边形 是平行四边形．
A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对
C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以判断结论Ⅰ；根据 ，证明
， ，即可判断结论Ⅱ，进而可以解决问题．
【解答】解： 是边 的中点， ，
，故结论Ⅰ正确；
，
四边形 是矩形，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，故结论Ⅱ正确，
故选： ．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
41．（2023春•德州期末）如图，在矩形 中， 交 于点 ，点 在 上，连接 交
于点 ，且 ，若 ，则 的值是
A． B． C． D．8
【分析】连接 交 于点 ，连接 ，令 交 于点 ，根据三角形中位线定理、平行线的性质、
对顶角相等和余角的性质可得 ，设 ， ，则 ，
解方程求出 的值，即可求出 的值．
【解答】解：连接 交 于点 ，连接 ，令 交 于点 ，
，
，
又 四边形 是矩形，
， ， ，
是 的中位线，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
设 ，
则 ，
， ，
，
，在 中， ，
又 ，
，
四边形 是矩形，
，
，
解得： ，
，
故选： ．
【点评】本题是矩形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，对顶角
相等和余角的性质等，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
42．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形 中， ， ， 为 的中点， 为 上一
动点， 为 中点，连接 ，则 的最小值是
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据中位线定理可得出点点 的运动轨迹是线段 ，再根据垂线段最短可得当 时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知 ，故 的最小值为 的长，由勾股定理
求解即可．
【解答】解：如图：
当点 与点 重合时，点 在 处， ，
当点 与点 重合时，点 在 处， ，
且 ．
当点 在 上除点 、 的位置处时，有 ．
由中位线定理可知： 且 ．
点 的运动轨迹是线段 ，
当 时， 取得最小值．
矩形 中， ， ， 为 的中点，
、 、 为等腰直角三角形， ．
， ．
．
．
，即 ，
的最小值为 的长．
在等腰直角 中， ．．
的最小值是 ．
故选： ．
【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
43．（2023春•惠城区校级期末）如图，平行四边形 的四个顶点分别在矩形 的四条边上，
，分别交 ， 于点 ， ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，要求得
平行四边形 的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【分析】连接 ， ，依据 ，即可得出 ，再根据 ，即可得到
，进而得出要求得平行四边形 的面积，只需知道四边形 的面积即可．
【解答】解：如图所示，连接 ， ，
由题可得， ， ，
，
又 ， ，
，
，
又 ，，
，
，
即 ，
要求得平行四边形 的面积，只需知道四边形 的面积即可．
故选： ．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质的运用，解决问题的方法是作辅助线，通过连
接四边形的对角线，将四边形的面积问题转化为三角形的面积问题来解决．本题的关键在于在复杂图形中
找出 ，发现 这一对应边相等的条件．
44．（2023春•邹城市期末）如图，矩形 中， ， ．点 为边 上的一个动点，△
与 关于直线 对称，当△ 为直角三角形时， 的长为 9 或 1 8 ．
【分析】分两种情况 分别求解，（1）当 时，如图（1），根据轴对称的性质得
，得 ；
（2）当 时，如图（2），根据轴对称的性质得 ， ， ，得 、
、 在同一直线上，根据勾股定理得 ，设 ，则 ，根据勾股
定理得， ，代入相关的值，计算即可．
【解答】解：（1）当 时，如图（1），
，根据轴对称的性质得 ，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）当 时，如图（2），
根据轴对称的性质得 ， ， ，
△ 为直角三角形，
即 ，
，
、 、 在同一直线上，
根据勾股定理得 ，
，
设 ，则 ，
在 △ 中， ，
即 ，
解得 ，
即 ；
综上所述： 的长为9或18；
故答案为：9或18．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
45．（2023春•吉首市期末）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点， 是线段 上
一动点， 为 的中点，连接 ，则线段 的最小值为 ．
【分析】如图，取 中点 ，连接 交 于 ，连接 ，根据矩形的性质得到可得 ，当
时， 有最小值，即可求解．
【解答】解：如图，取 中点 ，连接 交 于 ，连接 ，
四边形 是矩形，
， ， ，
点 是 中点，点 是 中点，
，
，
四边形 是矩形，
点 是 的中点，
即为点 的运动轨迹，
当 时， 有最小值，
，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，确定点 的运动轨
迹是本题的关键．
46．（2023春•叙州区期末）在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，过点 分别作 轴于点 ，
轴于点 ，已知经过点 的直线 将矩形 分成的两部分面积比为 时，则
的值为 或 ．
【分析】将点 代入得 ，得 ，设直线 与 轴交于 ，与 交于 ，分
两种情况画图讨论：①当 时，②当 时；当直线过 时，可以验
证此时将矩形 分成的两部分面积比为 ．
【解答】解：将点 代入直线 ，得 ，
，
直线 ，
当直线与线段 、 相交时，如图，设直线 与 轴交于 ，与 交于 ，则 ， ， ， ，
， ，
直线将矩形 分成的两部分面积比为 ，
①当 时， ，
，
解得 ；
②当 时， ，
，
解得 （此时直线 与边 无交点，舍去），
当直线过点 时，如图：由 、 可得直线解析式为 ，
令 得 ，
，
， ，
，此时 ，
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、两点间距离公式、梯形面积等知识，
解题的关键是分类讨论．
47．（2023春•随县期末）如图，矩形 中， 为 的中点，过点 的直线分别与 ， 交于点
， ，连接 交 于点 ，连接 ， ．若 ， ，则下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④四边形 是菱形．
其中正确的结论有 ①②③④ （填写所有正确结论的序号）．
【分析】①②根据题中矩形和等边三角形的性质证明出 ，即可证明；
③由全等三角形的性质即可判断；
④根据菱形的判定方法证明即可．
【解答】解：①如图，连接 ，四边形 是矩形，
、 、 互相平分，
为 中点
也过 点，
，
， ，
是等边三角形，
， ，
在 与 中，
，
，
与 关于直线 对称，
， ，故①②正确，
② ，
， ，
， ，
，
， ，
，
，
， ，
，
，，故③正确；
，
，
四边形 是菱形，故④正确．
其中正确结论是①②③④，共4个．
故答案为：①②③④．
【点评】本题属于四边形的综合题，主要考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是证明四边形 是菱形，属于中考常考题型．
一十一．矩形的判定与性质（共2小题）
48．（2023春•西华县期末）如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，点
是 边上的一动点，过点 作 于点 ， 于点 ，连接 ，则 的最小值为
4.8 ．
【分析】连接 ，证四边形 是矩形，则 ，当 时， 的值最小，再由面积法求
出 的值，即可得出结论．
【解答】解：如图，连接 ，
四边形 是菱形， ， ，
， ， ， ，
，
，
于点 ， 于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
当 时， 的值最小，此时， ，
，
，
，
的最小值为4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、三角形面积等知识；熟练
掌握菱形的性质，证明四边形 为矩形是解决问题的关键．
49．（2023 春•五莲县期末）如图，在 中， ， ， ，点 在 边上，
， ，垂足分别为点 、 ，连接 ，则线段 的最小值等于 4. 8 ．
【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可
得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方
程求解即可．
【解答】解：如图，连接 ．
， ， ，
，
， ， ，四边形 是矩形，
，
由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，
，
，
解得 ，
．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段 的
值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．
一十二．正方形的性质（共11小题）
50．（2023 春•邹城市期末）如图，正方形 和正方形 中，点 在 上，已知 ，
，点 是 的中点，则 的长是
A．5 B．3.5 C．4 D．
【分析】根据正方形的性质求出 ， ， ，延长 交 于 ，连接 、
，求出 ， ， ，根据正方形性质求出 ，根据直角三角形斜边上
的中线性质求出 ，根据勾股定理求出 即可．
【解答】解： 正方形 和正方形 中，点 在 上， ， ，
， ， ，
延长 交 于 ，连接 、 ，
则 ， ， ，
四边形 和四边形 是正方形，
，，
为 的中点，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的应用，解此题的关键是能正确
作出辅助线，并求出 的长和得出 ，有一定的难度．
51．（2023春•新吴区期末）如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，过点 作
，交 延长线于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．在下列结论中：
① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【分析】①过 作 于 点，过 作 于 点，如图所示：根据正方形的性质得到
， ， 推 出 四 边 形 为 正 方 形 ， 由 矩 形 的 性 质 得 到 ，
，根据全等三角形的性质得到 ，故①正确；
②利用已知条件可以推出矩形 为正方形；根据正方形的性质得到 ，
推出 ，故②正确；③根据②的结论可得 ，所以 ，故③正确；
④当 时，点 与点 重合，得到 不一定等于 ，故④错误．
【解答】解：①过 作 于 点，过 作 于 点，如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
，
，
四边形 为正方形，
四边形 是矩形，
， ，
，
又 ，
在 和 中，
，
，
，故①正确；
② 矩形 为正方形；
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
在 和 中，
，
，故②正确；
③根据②得 ， ，
，
，故③正确；④当 时，点 与点 重合，
不一定等于 ，故④错误，
综上所述：①②③正确．
故选： ．
【点评】本题属于中考选择题的压轴题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
52．（2023春•渝北区期末）如图，在正方形 中， 是边 上一点， 是 延长线上一点，连接
交对角线 于点 ，连接 ，若 ， ，则
A． B． C． D．
【分析】连接 ， ，根据正方形的性质证明 ，得 ， ，证
得 是等腰直角三角形，过 作 ，交 于 ，然后证明 ，得
，再根据等腰三角形的性质得 ，利用三角形的外角定义即可解决问题．
【解答】解：如图，连接 ， ，四边形 为正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
过 作 ，交 于 ，
， ，
四边形 为正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选： ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，
解决本题的关键是得到 ．
53．（2023春•太湖县期末）如图，正方形 中，点 ，点 为 上一点，且 ，连接
，过点 作 交 于点 ，过点 作 ，交 轴于点 ，交 于点 ，则点 的
坐标为
A． B． C． ， D． ，
【分析】由 是正方形， ，得 ， ，又 ，知
， ，根据 ，可证明 ，即知 ， ，设直线
为 ，用待定系数法可得直线 为 ，根据 设直线 为 ，可得
直线 为 ，令 即可得 ， ．
【解答】解： 是正方形， ，
， ，，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
设直线 为 ，把 ， 代入得：
，解得 ，
直线 为 ，
由 设直线 为 ，把 代入得：
，
解得 ，
直线 为 ，
在 中，令 得 ，
解得 ，
， ，
故选： ．
方法二：， ，
，
，
，
，
，
点 ， ，
， ，
，
解答 ，
，
， ，
故选： ．
【点评】本题考查正方形与一次函数综合应用，解题的关键是求出 的坐标，从而得出直线 的解析式．
54．（2023春•平桥区期末）如图，边长为2的正方形 的对角线相交于点 ，点 是 边上的动
点，连接 并延长交 的延长线于点 ，过点 作 交 于点 ，交 延长线于点 ，连
接 ．若点 恰好是 中点时，则 的长为A．2 B． C． D．
【分析】作 于 ，由正方形的性质可以证明 得到 ，因此 是
等腰直角三角形，由平行线分线段成比例定理求出 的长，由等腰直角三角形的性质得到 的长，由
勾股定理求出 的长，即可得到 的长．
【解答】解：作 于 ，
四边形 是正方形，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，，
，
是等腰直角三角形， ，
，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，关键是证明
，得到 是等腰直角三角形．
55．（2023春•江阴市期末）如图， 为正方形 中 边上的一点，且 ， ， 、
分别为边 、 上的动点，且始终保持 ，则 的最小值为
A．8 B． C． D．12
【分析】由勾股定理可求 的长，由“ ”可证 ，可得 ，通过证明四边形 是平行四边形，可得 ， ，由 ，可得当点
，点 ，点 三点共线时， 的最小值为 ，由勾股定理即可求解．
【解答】解：过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，过点 作 ，两直线交
于点 ，连接 ，如图，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
， ， ，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 的最小值为 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行
四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
56．（2023春•清丰县校级期末）如图，四边形 是边长为4的正方形，点 在边 上，且 ，
作 分别交 、 于点 、 ， 、 分别是 ， 的中点，则 的长是
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】连接 ， ．证明 ，则 是直角三角形，利用 是 斜边上的中线，可
得 ，因为 ，再利用勾股定理求出 的长即可．
【解答】解：连接 ， ．如图所示，四边形 是边长为4的正方形．
，且 平分 ．
．
．
．
是等腰直角三角形．
为 中点．
．
是直角三角形．
．
．
．
四边形 是矩形．
点 为 的中点．
过点 ．即点 为 的中点．
在 中， ．
．
在 中， ．
．
故选： ．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等，添加辅助线构
造直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题的关键．
57．（2023春•和平区校级期末）如图，正方形 的边长是6，对角线的交点为 ，点 在边 上且
， ，连接 ，则：
（1） ；
（2） ．【 分 析 】 （ 1 ） 在 上 截 取 ， 根 据 正 方 形 性 质 ， 得 ， ，
，再根据同角的余角相等，得 ，从而证明 ，进
而得到 ；
（2）在 中，根据勾股定理，得 ，再根据等面积法求出 ，再通过两次
勾股定理的应用得出 ．
【解答】解：（1）在 上截取 ，
在正方形 ， ， ， ， ， ， 、
分别平分 、 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ；（2）在 中，根据勾股定理，得 ，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
，
在 中，根据勾股定理，得 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，掌握这三个性质定理的综合
应用，其中勾股定理的应用是解题关键．
58．（2023春•黄岩区期末）如图，在边长为2的正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，
，垂足为点 ，以 ， 为边作矩形 ．若图中阴影部分面积为3，则矩形
的面积为 3 ．
【分析】过点 作 于 ，交 于 ，先证明 ，可推出 ，进 而 可 得 ， ， 再 求 得 ， 由 ， 可 得
， 即 ， 再 由 直 角 三 角 形 面 积 可 得 ， 利 用
，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点 作 于 ，交 于 ，
正方形 的边长为2，
， ， ，
，
，垂足为点 ，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
即 ，
，
，，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题是正方形与矩形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质，三角形面积，矩形面积，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，有一定难度．
59．（2023春•襄汾县期末）如图，在正方形 中， 为对角线 上一点，连接 ，过点 作
，交 延长线于点 ，以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．在下列结论中：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确的结论序号是 ①②③ ．
【分析】过 作 于 点，过 作 于 点，如图所示：根据正方形的性质得到
， ， 推 出 四 边 形 为 正 方 形 ， 由 矩 形 的 性 质 得 到 ，
，根据全等三角形的性质得到 ，故①正确；推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到 ， 推出 ，故
②正确；可得 ，所以 ，故③正确；当 时，点 与点 重合，得到 不一
定等于 ，故④错误．
【解答】解：过 作 于 点，过 作 于 点，如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
，
，
四边形 为正方形，
四边形 是矩形，
， ，
，
又 ，
在 和 中，
，
，
，故①正确；
矩形 为正方形；
， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
在 和 中，
，
，故②正确；
， ，，
，故③正确；
当 时，点 与点 重合，
不一定等于 ，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的
作出辅助线是解题的关键．
60．（2023春•潮南区期末）如图，正方形 中，在 的延长线上取点 ， ，使 ，
，连接 分别交 ， 于 ， ，下列结论：
① ；② ；③ ；④图中只有8个等腰三角形．
其中正确的有 ②③ （填序号）．
【分析】根据正方形的性质和已知推出四边形 是平行四边形，得到 ， ，无法证出
为 的中点；得到 ，推出 ，求出 ，得到 ，
求出 即可；根据三角形的面积公式推出 和四边形 的面积相等；可得有9个
等腰三角形．
【解答】解： 正方形 ， ，， ， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
要使 ，只要 为 的中点即可，
但 ， ，
，
即 和 不全等，
不是 中点， ①错误；
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
， ②正确；
， ， ， ，
，
要使 和四边形 的面积相等，只要 和 的面积相等即可，根据已知条件
，
③ ；正确，
等腰三角形有 ， ， ， ， ， ， ， ， ； ④错
误；
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，平行四边形的
性质和判定等知识．综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
