文档内容
第9章 不等式与不等式组
一、单选题
1．如图在数轴上表示是哪一个不等式的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据数轴写出不等式的解集，判断即可．
【详解】解：根据数轴可得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法是“
”向右画，“ ”向左画，注意在表示解集时，“ ”要用实心圆点表示；“
”要用空心圆点表示．
2．“ 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】非负数就是大于或等于零的数，再根据 的2倍与3的和是非负数列出不等式即
可.
【详解】解：“ 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：
故选：
【点睛】本题考查的是列不等式，掌握“非负数是正数或零，用不等式表示就是大于或等
于零”是解题的关键.
3．某次篮球联赛中，火炬队与月亮队要争夺一个出线权，火炬队目前的战绩是17胜13负
（其中有1场以4分之差负于月亮队），后面还要比赛6场（其中包括再与月亮队比赛1
场）；月亮队目前的战绩是15胜16负，后面还要比赛5场．如果火炬队在后面对月亮队1
场比赛中至少胜月亮队5分，那么它在后面的其他比赛中至少胜（ ）场就一定能出线？
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，则火炬队胜场数不低
于月亮队列出不等式即可得出答案．
【详解】解设火炬队在后面的比赛中胜x场就一定能出线．
∵火炬队在后面对月亮队1场比赛中至少胜月亮队5分，
那么火炬队目前的战绩是18胜13负，后面还要比赛5场；月亮队目前的战绩为15胜17负，
后面还要比赛4场；月亮队在后面的比赛中至多胜4场，所以整个比赛它至多胜
场．需有 ．
解得 ．
因此火炬队在后面的比赛中至少胜1场就一定能出线,
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解题关键是设出未知数再根据题意列出不
等式．
4．已知方程组 有正数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将方程组标号，用含y的代数式表示x，利用代入消元法求出 ，根据方
程组 有正数解，可得不等式 ，解不等式即可．
【详解】解： ，
由方程 变形得 ，
把③代入①得 ，
解得 ，
方程组 有正数解，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选择D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法与不等式综合运用题，掌握二元一次方程组的解
法与不等式的解法是解题关键．
5．若 的解集是 ，则 必须满足是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的解集是 ，可得 ，再利用不等式的解集可得
，再利用两数相除，同号得正，可得 ，从而可得答案.
【详解】解： 的解集是 ，，
不等式的解集为： ＜
，
∴ ，
∴ ＜
故选：
【点睛】本题考查的是利用不等式的基本性质解不等式，以及利用不等式的解集确定字母
系数的范围，掌握不等式的基本性质是解题的关键.
6．不等式 中， 可取的最大整数值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】首先解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的最大正整数即可．
【详解】解： ，
，
最大整数解是1．
故选为：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解
集是解答本题的关键．
7．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数
轴上可表示（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据图示，可得不等式组的解集，可得答案．
【详解】解：由图示得 ， ，
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示
出来，注意，不包括点1、2，用空心点表示．8．若数a使关于x的方程 ＝﹣ ﹣1有非负数解，且关于y的不等式组
恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．﹣22 B．﹣18 C．11 D．12
【答案】B
【分析】依题意，表示出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定出a的值，表示不等
式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值即可．
【详解】由题知：原式： ，
去分母得： ，得： ，
又关于x的方程 有非负数解，
∴ ，
∴ ；
不等式组整理得： ，
解得： ，
由不等式组有解且恰好有两个偶数解，得到偶数解为2，0；
∴ ，可得
∴ ，
则满足题意a的值有﹣7，﹣6，﹣5，
则符合条件的所有整数a的和是﹣18．
故选：B；
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解，难点在熟练掌握求解
的运算过程．
9．已知关于 ， 的方程组 ，其中 ，下列结论：
①当 时， ， 的值互为相反数；② 是方程组的解；③当 时，方程组
的解也是方程 的解；④若 ，则 ．其中正确的是（ ）A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】将原方程求解，用a表示x和y，然后根据a的取值范围，求出x和y的取值范围，
然后逐一判断每一项即可．
【详解】由 ，解得
∵
∴ ，
①当 时，解得 ，故①正确；
② 不是方程组的解，故②错误；
③当 时，解得 ，此时 ，故③正确；
④若 ，即 ，解得 ，故④正确；
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解
法和不等式的解法是本题的关键．
10．如图的宣传单为莱克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公
司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉
成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出
后的利润超过成本的2成？（ ）
A．112 B．121 C．134 D．143
【答案】C
【详解】分析：设妮娜需印x张卡片，根据利润=收入﹣成本结合利润超过成本的2成，即
可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内最小的整数即可得
出结论．详解：设妮娜需印x张卡片，
根据题意得：15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x），
解得：x＞133 ，
∵x为整数，
∴x≥134．
答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．
故选C．
点睛：本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不
等式是解题的关键．
二、填空题
11．已知等腰三角形的周长为 ，则这个等腰三角形的腰长x的范围是________．
【答案】
【分析】设等腰三角形的底边长为ycm，根据三角形三边的不等关系及周长，可得关于x
的不等式，解不等式即可．
【详解】设等腰三角形的底边长为ycm，
由已知得 ， ，
∴ ，
解得：x>3，
∵y=12-2x>0，
∴x<6
∴
故答案为：
【点睛】本题是一元一次不等式的简单应用，考查了三角形三边的不等关系、等腰三角形
的定义，解一元一次不等式，关键是清楚三角形三边的不等关系及实际问题中三角形的边
长为正这个隐含条件．
12．商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超
过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折．现有27元钱，最多可以
购买该商品的件数是________．
【答案】10件
【分析】设购买该商品x件，先判断购买件数在5件之上，再根据总价=3×5+3×0.8×超过5
件的数量，结合总价不超过27元，即可得出关于x的一元一次不等式，求出x的解集即可
得出结论．
【详解】解：设购买该商品x件，
因为共有27元，所以最多购买的件数超过5件，
依题意得：3×5+3×0.8(x-5)≤27，
解得：x≤10，故答案为：10件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式是解题的关键．
13．不等式 的正整数解________．
【答案】1和2
【分析】求出不等式的解集，然后在解集中找出正整数即可．
【详解】解：
解得： ，
∴符合条件的正整数为： 和 ，
故答案为：1和2．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键．
14．已知关于 的不等式组 有9个整数解，则 的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解
的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：
解不等式组可得 ，
∴9个整数解为1，0， ， ， ， ， ， ， ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了学生对不等式组知识点的掌握，先求出不等式组范围，再根据具
体解逆推出a的取值范围．
15． 的值不大于 的值， 的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】由题意，得：
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，关键是理解不大于即小于或等于．
16．已知 ， ，请将 ， ， 从小到大依次排列________．
【答案】【分析】根据不等式的性质和乘法法则进行判断即可．
【详解】解：∵a＜0， b＜0，
∴ab＞0，
∵﹣1＜b＜0，
∴0＜b2＜1；
两边同时乘a，
0＞ab2＞a，
∴a＜ab2＜ab．
【点睛】本题考查了不等式的性质，明确（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），
不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题关键．
17．当 ________时，代数式 的值是非负数．
【答案】
【分析】根据题意，列出不等式解不等式即可．
【详解】依题意
去分母得：
去括号得：
移项，合并同类项得：
化系数为1，得：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．定义一种法则“ ”如下： ，如： ，若 ，则
的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据题意可得2m﹣5≤3，然后求解不等式即可．
【详解】根据题意可得，
∵(2m－5)⊕3＝3，
∴2m﹣5≤3，
解得：m≤4
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解此题的关键在于准确理解题中新定义法则的
运算规律，得到一元一次不等式．
三、解答题19．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，见解析
【分析】（1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根
据所求解集在数轴上表示即可；
（2）去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根据所求解
集在数轴上表示即可；
（3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根
据所求解集在数轴上表示即可；
（4）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得一元一次不等式的解集，再根
据所求解集在数轴上表示即可；
【详解】（1）去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
在数轴上表示不等式解集，如图：
（2）去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
在数轴上表示不等式解集，如图：
；
（3）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，系数化为1，得： ，
在数轴上表示不等式解集，如图：
；
（4）去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项、合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ，
在数轴上表示不等式解集，如图：
．
【点睛】本题考查解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握
解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1．
20．赵军说不等式 永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以 ，就会出现
这样的错误结论．他的说法对吗？
【答案】不对，见解析
【分析】根据不等式的性质可知当 时，不等号方向发生改变即可求解．
【详解】解：赵军的说法不对．
理由如下：当 时，根据不等式的性质：“不等式的两边同时除以一个负数，不等号的
方向改变”可知此时得到： ．
【点睛】本题考查一元一次不等式的基本性质：不等式两边同时除以一个负数，不等号的
方向发生改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
21．解不等式组 ，
请结合题意，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ，依据是： ．
(2)解不等式③，得 ．
(3)把不等式①、②和③的解集在数轴上表示出来．
(4)从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 ．
【答案】（1）x≥﹣3、不等式的性质3；（2）x＜2；（3）作图见解析；（4）﹣2＜x＜2．
【详解】试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，
确定不等式组的解集．
试题解析：（1）解不等式①，得x≥﹣3，依据是：不等式的性质3，
故答案为x≥﹣3、不等式的性质3；
（2）解不等式③，得x＜2，
故答案为x＜2；
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来，如图所示：
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，
故答案为﹣2＜x＜2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，关键是先求出每
个不等式的解集，分别在数轴上表示每一个不等式的解集，然后再确定出不等式组的解集．
22．一艘轮船从某江上游的 地匀速行驶到下游的 地用了 ，从 地匀速返回 地用
了不到 ，这段江水流速为 ，轮船在静水里的往返速度 不变， 满足什么条件？
【答案】 满足的条件是大于33千米每小时.
【分析】直接利用总路程不变得出不等关系进而得出答案．
【详解】解：由题意得，从A到B的速度为： 千米/时，从B到A的速度为：
千米/时
∵从 地匀速返回 地用了不到12小时，
∴ ，
解得： .
答： 满足的条件是大于33千米每小时.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确得出不等关系是解题关键．
23．每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营
养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息．根据此信息，解答下列问题：
1．快餐的成分：蛋白质，脂肪、矿物质、碳水化合物；
2．快餐总质量为 ；
3．脂肪所占的百分比为5%；
4．所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍．
（1）求这份快餐中所含脂肪质量；
（2）若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；
（3）若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物质量的最大值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）用总质量乘以5%即可；
（2）设所含矿物质的质量为 ，根据题意列方程 ，求出解即
可得到答案；
（3）设所含矿物质的质量为 ，则所含碳水化合物的质量为 ，根据题意列不
等式解答．
【详解】解：（1）这份快餐中所含脂肪质量为 （g）；
（2）设所含矿物质的质量为 ，
由题意得 ，
解得 ，
故 ．
∴这份快餐所含蛋白质的质量为 ；
（3）设所含矿物质的质量为 ，则所含碳水化合物的质量为 ，
∴ ，
解得 ，
故 ．
∴所含碳水化合物质量的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查学生用不等式解决实际问题的能力，列一元一次方程解决实际问题，
正确理解题意设定未知数列出方程及不等式是解题的关键．
24．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近
两周的销售情况：
销售数量
销售时段 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号
的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若
能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元；（2）超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元；（3）在（2）的条件下超市能实现
利润超过1850元的目标．相应方案有两种：当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B
种型号的电风扇14台；当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13
台．
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，列二元一次方程组，
解方程组即可得到答案；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，利用超市准备用
不多于7500元，列不等式160a+120（50﹣a）≤7500，解不等式可得答案；
（3）由超市销售完这50台电风扇实现利润超过1850元，列不等式（200﹣160）a+（150
﹣120）（50﹣a）＞1850，结合（2）问，得到 的范围，由 为非负整数，从而可得答案．
【详解】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得： ，
① ② 得：
把 代入①得：
解得： ，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤ ．
因为： 为非负整数，所以： 的最大整数值是
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）根据题意得：
（200﹣160）a+（150﹣120）（50﹣a）＞1850，
＞
解得：a＞35，
∵a≤ ，
＜ ,
a为非负整数，
或∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当a＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当a＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式，一元一次不等式组的应
用的方案问题，掌握以上知识是解题的关键．
25．对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示
a，b，c这三个数中最小的数，如：
，min{﹣1，2，3}＝﹣1；
，min{﹣1，2，a}＝ ；
解决下列问题：
（1）填空：min{﹣22，2﹣2，20130}＝ ；
（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝ ；
②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则 ”（填a，b，c的大
小关系）；
③运用②解决问题：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的
值．
【答案】（1）-4；（2） ；（3）①1；②a＝b＝c；③-4
【分析】（1）先求出﹣22，2﹣2，20130这些数的值，再根据运算规则即可得出答案；
（2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案；
（3）根据题中规定的M{a、b、c}表示这三个数的平均数，min{a、b、c}表示a、b、c这
三个数中的最小数，列出方程组即可求解．
【详解】（1）∵﹣22＝﹣4，2﹣2＝ ，20130＝1，
∴min{﹣22，2﹣2，20130}＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）由题意得： ，
解得：0≤x≤1，
则x的取值范围是0≤x≤1；
故答案为0≤x≤1；
（3）①M{2，x+1，2x}＝ ＝x+1＝min{2，x+1，2x}，∴ ，
∴ ，
∴x＝1．
②若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则a＝b＝c；
③根据②得：2x+y+2＝x+2y＝2x﹣y，
解得：x＝﹣3，y＝﹣1，
则x+y＝﹣4．
故答案为：①1；②a＝b＝c；③﹣4．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，读懂题目信息并理
解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．
