重难点突破09导数与三角函数（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 09 导数与三角函数 1．已知函数 ，证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有2个零点． 【解答】证明：（1）函数 ， ， ， 令 ， ， ， 函数 在 上单调递减， 又 当 时， ，而 ， 存在唯一 ，使得 ， 当 时， ，即 ，函数 单调递增；当 ， 时， ，即 ，函数 单调递减， 函数 在区间 存在唯一极大值点 ； （2）由（1）可知，函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， 是函数 的极大值点，且 ， ， 又 当 时， ； ，在区间 内存在一个零点，在区间 ， 上存在一个零点， 当 时，设 ，则 ， 在 上单调递减， ， ①当 时， ， 当 时， ，无零点， ② 时 ， ， 又 ， 当 时， ，无零点， 当 时， ， 函数 在区间 内无零点， 函数 有且仅有2个零点． 2．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）如果对于任意的 ， 总成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由于 ， 所以 ， 当 ，即 时， ； 当 ，即 时， ． 所以 的单调递增区间为 ， 单调递减区间为 ； （2）令 ，要使 总成立，只需 时 ， 对 求导，可得 ， 令 ， 则 ， 所以 在 上为增函数， 所以 ； 对 分类讨论： ①当 时， 恒成立， 所以 在 上为增函数， 所以 ， 即 恒成立； ②当 时， 在上有实根 ， 因为 在 上为增函数， 所以当 时， ， 所以 ，不符合题意； ③当 时， 恒成立， 所以 在 上为减函数， 则 ，不符合题意． 综上，可得实数 的取值范围是 ， ．3．已知函数 ，其中 ， 是自然对数的底数． （1）当 时，证明：对 ， ， ； （2）若函数 在 上存在极值，求实数 的取值范围． 【解答】（1）证明：当 时， ， ， 当 ， 时， ，且 ， 所以当 ， 时， ，且 时， ， 函数 在 ， 上单调递增， ， 所以，对 ， ， ． （2）解：若函数 在 上存在极值， 则 在 上存在零点． ①当 时， 为 上的增函数， ， 则存在唯一实数 ，使得 成立， 当 时， ， 为 上的减函数； 当 时， ， 为 上的增函数， 所以 为函数 的极小值点； ②当 时， 在 上恒成立， 函数 在 上单调递增， 在 上无极值；③当 时， 在 上恒成立， 函数 在 上单调递減， 在 上无极值． 综上知，使 在 上存在极值的 的取值范围是 ． 4．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）如果对于任意的 ， ， 恒成立，求实数 的取值范围． 【解答】解：（1）由于 ， 所以 ， 当 ， ，即 ， ， 时， ； 当 ， ，即 ， ， 时， ． 所以 的单调递增区间为 ， ， ， 单调递减区间为 ， ， ； （2）令 ， 要使 总成立，只需 ， 时 ， 对 求导，可得 ， 令 ， 则 ， 所以 在 ， 上为减函数，所以 ， ； 对 分类讨论： ①当 时， 恒成立， 所以 在 ， 上为增函数， 所以 ， 即 ，故成立； ②当 时， 在上有实根 ， 因为 在 ， 上为减函数， 所以当 ， 时， ， 所以 ，不符合题意； ③当 时， 恒成立， 所以 在 ， 上为减函数， 则 ， 由 ，可得 ， 即有 ． 综上，可得实数 的取值范围是 ， ． 5．已知函数 （其中 为自然对数的底数）， 是函数 的 导函数． （1）求函数 的单调区间；（2）设 ，如果对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取 值范围． 【解答】解：（1） , 令 ,即 ,解得： , 令 ,即 ,解得： , 故 在 , 递增，在 , 递减． , 故对于任意的 ， 恒成立， 等价于 恒成立， 即 ,令 , 则 , 由（1）的结论知 在 , 上为增函数， , , ①当 ,即 时， 恒成立， 故 在 , 上递增，即 ,符合题意， ②当 即 时， 恒成立， 故 在 , 递减，即 ,不合题意， ③当 时，存在 ,使得 ,当 时， , 在 递减， 当 , 时， , 在 , 递增， 故 ,不合题意， 综上：实数 的取值范围是 ， ． 6．已知函数 ， 为 的导数．证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有2个零点． 【解答】证明：（1） 的定义域为 ， ， ， 令 ，则 在 恒成立， 在 上为减函数， 又 ， ，由零点存在定理可知， 函数 在 上存在唯一的零点 ，结合单调性可得， 在 上单调递增， 在 ， 上单调递减，可得 在区间 存在唯一极大值点； （2）由（1）知，当 时， 单调递增， ， 单调递减； 当 时， 单调递增， ， 单调递增； 由于 在 ， 上单调递减，且 ， ，由零点存在定理可知，函数 在 ， 上存在唯一零点 ，结合单调性可知， 当 ， 时， 单调递减， ， 单调递增； 当 时， 单调递减， ， 单调递减． 当 ， 时， ， ，于是 ， 单调递减， 其中 ， ． 于是可得下表： 0 0 0 单调递 0 单调递 大于0 单调递 大于0 单调递 小于0 减 增 减 减 结合单调性可知，函数 在 ， 上有且只有一个零点0， 由函数零点存在性定理可知， 在 ， 上有且只有一个零点 ， 当 ， 时， ，则 恒成立， 因此函数 在 ， 上无零点． 综上， 有且仅有2个零点． 7．已知定义在 ， 上的函数 ， 为自然对数的底数． （1）当 时，证明： ； （2）若 在 上存在极值，求实数 的取值范围； （3）在（1）的条件下，若 恒成立，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）证明：当 时， ，则 ， 当 时， ， ，则 ， 所以 在 ， 上为增函数，从而 ． 所以 ； （2）因为 ， 所以 ， 由 ，可得 ． 因为 在 上存在极值， 所以直线 与曲线 在 内有交点（非切点）． 令 ，其中 ， 则 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减，且 ， ， 结合函数 与函数 在 上的图象可知， 当 时，直线 与曲线 在 上的图象有交点（非切点）， 即实数 的取值范围为 ；（3）依题意得 在 ， 上恒成立． 设 ，其中 ， 则 ， 由（1）知 ， 则 ． ①当 时， ，此时 在 ， 上单调递增，故 ，符合题意； ②当 时，由（1）知 在 ， 上为增函数， 且 ． 而 ， 于是 时， ，故存在 ， （唯一）， 使得 ，当 ， 时， ，此时 单调递减，当 ， 时， ，此时 单调递增， 所以 ，不符合题意． 综上，实数 的取值范围为 ， ． 8．已知 是函数 的导函数． （1）求不等式 的解集； （2）如果对于任意的 ， ， 总成立，求实数 的取值范围．【解答】解：（1）因为 ， ， 所以不等式 等价于 ， 即 ， 故原不等式的解集为 ， ， ； （2）令 ， 要使 总成立，只需 ， 时 ， 对 求导，可得 ， 令 ， 则 ， ， 所以 在 ， 上为增函数， 所以 ， ； 对 分类讨论： ①当 时， 恒成立， 所以 在 ， 上为增函数， 所以 ， 即 恒成立； ②当 时， 在上有实根 ， 因为 在 上为增函数， 所以当 时， ，所以 ，不符合题意； ③当 时， 恒成立， 所以 在 上为减函数， 则 ，不符合题意． 综上，可得实数 的取值范围是 ， ． 9．已知函数 ． （1）求函数 的最小值； （2）若函数 在 上有两个零点 ， ，且 ，求证： ． 【解答】解：（1）由于函数 为偶函数，要求函数 的最小值，只需 求 ， 时 的最小值即可． 因为 ， 所以，当 时，设 ， ，显然 单调递增，而 ， ，由零点存在定理，存在唯一的 ，使得 ， 分 当 ， ， 单减，当 ， ， ， 单增，而 ， ， ， ，即 ， ， 单减， 分 又当 ， ， ， ， 单增，所以 ； 分 （2）只需证 ，其中 ， ， ，构造函数 ， ， ，即 单增， 所以， ，即当 时， ， 而 ， 所以， ，又 ，即 ， 此时 ， ， ，由第（1）问可知， 在 ， 上单增，所以， ， ，即证 分 10．已知函数 ． （1）证明：函数 在 上单调递增； （2）若 ， ，求 的取值范围． 【解答】解：（1）证明： ， 因为 ，所以 ， ， 于是 （等号当且仅当 时成立）． 故函数 在 上单调递增． （2）由（1）得 在 上单调递增， 又 ，所以 ， （ⅰ）当 时， 成立．（ⅱ）当 时，令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减， 又 ，所以 ， 故 时， ． 由 式可得 ， 令 ，则 由 式可得 令 ，得 在 上单调递增， 又 ， ，所以存在 使得 ， 即 时， ， 所以 时， ， 单调递减， 又 ，所以 ， 即 时， ，与 矛盾． 综上，满足条件的 的取值范围是 ， ．