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2022—2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测
高三年级数学试题参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B C D D B C
二、多选题
9 10 11 12
BC ACD ACD BCD
三、填空题
13.1 14. ∞ 15.2 16. 2 1
[2,+ ) [ , ]
9 4
四、解答题
17（. 1）由题可知 C B A B,
2sin -sin =2sin cos
且 C A B ， A B B
sin =sin( + ) ∴2cos sin -sin =0
π
又 ABC中， ， A 1,解得A …………………………………………（5分）
△ sinB≠0 ∴cos = =
2 3
(
)
( )
（2）由题可知AD 1 AB AC ， AD2 1 AB2 AC2 AB·AC
= + ∴ = + +2
2 4
( )
即|AD| 2 1 |AB| 2 |AC| 2 |AB||AC| A ，又AD
= + +2 cos =2
4
|AB|
2
|AC|
2
|AB||AC| |AB||AC| 当且仅当|AB| |AC|时等号成立
∴ + + =16≥3 , =
|AB||AC|
16
∴ ≤
3
S 1 |AB||AC| 4 3 …………………………………………………………（10分）
∴ = sinA≤
2 3
18（. 1）由已知得 (a a ) a ，即a ，
2 1 + 2 =3 2 2 =2
时，由 S (n )a ，S na ，两式相减得(n )a na ，
n n n n n n
n≥2 2 = +1 2 -1 = -1 -1 = -1
{ }
a a a a a
则 n n = n n -1 =⋅⋅⋅= 2 = 2 =1 ，又 1 =1 ，于是 n n 为常数列.得a n = n…………（6分）
-1 2 2 1
a n
注：也可以利用等比型递推关系 n ，用累乘法求通项公式，请酌情赋分.
a = n (n≥2)
n
-1 -1
高三年级数学试题参考答案第 1 页（共5页）[ n (n )] n (n ) n (n )
（2） ∵ b n = n sin ( 1 n ) = sin n - (n -1 ) = sin ⋅cos - n 1 - (n cos ⋅ ) sin -1 =tan n -
cos cos -1 cos cos -1 cos cos -1
(n ) (n ) n，
tan -1 =-tan -1 +tan
T ( ) ( ) ( ) [ (n ) n ]
n
∴ = -tan0+tan1 + -tan1+tan2 + -tan2+tan3 +⋯+ -tan -1 +tan
n ……………………………………………………………………………………（12分）
=tan
19.（1）零假设为
H 疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异
0:
根据列联表中数据，经过计算得到χ 2 136×(15×63-52×6) 2 x
= ≈4.882<7.879= 0.005
67×69×21×115
根据小概率值α 的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此可以认为H 成
=0.005 0 0
立，即认为两种疗法效果没有差异………………………………………………………（4分）
（2）设A组中服用甲种中药康复的人数为X ，则X ~B 14 ，所以E X 14 14，
1 1 (3, ) ( 1)=3× =
15 15 5
设A组的积分为X ，则X X ，所以E X E X 28 ， …………………（7分）
2 2 =2 1 ( 2)=2 ( 1)= =5.6
5
设B组中服用乙种中药康复的人数为Y ，则Y 的可能取值为：0，1，2，3，
1 1
P Y 1 1 1 1 ，
( 1 =0)= × × =
20 10 10 2000
P Y 19 1 1 1 C 1 1 9 37 ，
( 1 =1)= × × + × 2 × × =
20 10 10 20 10 10 2000
P Y C 1 19 9 1 1 9 9 423 ，
( 1 =2)= 2 × × × + × × =
20 10 10 20 10 10 2000
P Y 19 9 9 1539，
( 1 =3)= × × =
20 10 10 2000
故Y 的分布列为：
1
Y
1 0 1 2 3
P 1 37 423 1539
2000 2000 2000 2000
所以E Y 1 37 423 1539 11，
( 1)=0× +1× +2× +3× =
2000 2000 2000 2000 4
设B组的积分为Y ，则Y Y ，所以E Y E Y E Y 11 ， ………（11分）
2 2 =2 1 ( 2)= (2 1)=2 ( 1)= =5.5
2
因为 ，所以甲种联合治疗方案更好 …………………………………………（12分）
5.6>5.5
高三年级数学试题参考答案第2 页（共5页）20（. 1）证明：因为AD CF， 面BCFE， 面BCFE，
∥ CF⊂ AD⊄
所以AD 面BCFE.
∥
又因为 面ABED，面ABED 面BCFE BE，
AD⊂ ⋂ =
所以AD BE………………………………………………………………………………（4分）
∥
（2）条件 ，结论
①② ③
由条件易知四边形ACFD是平行四边形，故CA FD，
∥
因为FD BE，所以CA BE，又CA DE，
⊥ ⊥ ⊥
BE DE E，所以CA 面ABED，而 面
⋂ = ⊥ CA⊂
ACFD，故平面ABED 平面ACFD.
⊥
条件 ，结论
①③ ②
证明：由条件易知四边形ACFD是平行四边
形，故CA FD.
∥
由FD BE，ADBE可得FD AD.
⊥ ∥ ⊥
因 为 面 ABED 面 ACFD，面 ABED 面 第 题图
⊥ ⋂ 20
ACFD AD， 面ACFD
= FD⊂
所以FD 面ABED.
⊥
而 面ABED，CA FD，故CA DE …………………………………………………（8分）
ED⊂ ∥ ⊥
下面求平面EAC和平面PBD夹角的余弦值：
π
CFE中，由余弦定理可得CE CF EF CF EF ，故CE .
2 2 2
△ = + -2 ⋅ ⋅cos =12 =2 3
3
又由CA ，CA AE，得AE .
=2 2 ⊥ =2
由EF ，FD ，FD DE，得DE .
=4 =2 2 ⊥ =2 2
因为AD AE DE ，所以DA AE.
2 2 2
+ = ⊥
以A为原点，AD，AE，AC分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
A ，B )，C .易知m 是平面ACE的一个法向量.
(0,0,0) (-4,2,0 (0,0,2 2 ) =(1,0,0)
设n x y z 是平面ABC的一个法向量
=( , , )
高三年级数学试题参考答案第 3 页（共5页）{ n A B { x y
由 ⋅ =0 ，得 -4 +2 =0，取x ，得y ，故n
n AC z =1 =2 =(1,2,0)
⋅ =0 2 2 =0
| |
m n
| |
cos< m , n > = | m | ⋅ | n | = 1 = 5
⋅ 5 5
故平面EAC和平面PBD夹角的余弦值是 ………………………………………（12分）
5
5
p
21.解：（1）当直线l的倾斜角为 时，设直线l的方程为y x ，
60° = 3 ( - )
2
ìy px
2
ï =2
联立方程í p 得：x 2 px 3 p 2 ，
ïy x 3 -5 + =0
î = 3 ( - ) 4
2
p p
x x 5 ，|AB| x x p 8 16，
∴ 1 + 2 = = 1 + 2 + = =
3 3 3
p ， 抛物线C的方程为y x …………………………………………………（4分）
2
∴ =2 ∴ =4
（2）设直线l的方程为x my，A x y B x y ,
-1= ( 1, 1), ( 2, 2)
{
y x
联立方程 x 2 = m 4 y 得：y 2 -4 my -4=0 ，
= +1
y y
y y m y y ，x x m y y m 2 x x 1 2 ，
∴ 1 + 2 =4 , 1 2 =-4 1 + 2 = ( 1 + 2)+2=4 +2, 1 2 = =1
16
则以AB为直径的圆的方程为：x x x x y y y y ，
( - 1)( - 2)+( - 1)( - 2)=0
即：x x x x x x y y y y y y ，
2 2
-( 1 + 2) + 1 2 + -( 1 + 2) + 1 2 =0
代入得：x m x y my ，
2 2 2
-(4 +2) + -4 -3=0
过焦点F且垂直于l的直线为：y m x ，
=- ( -1)
{
x m x y my
联立方程 y 2 -( m 4 2 x +2) + 2 -4 -3=0得： ( m 2 +1) x 2 -2( m 2 +1) x -3( m 2 +1)=0
=- ( -1)
即：x x ，解得：x 或 ，
2
-2 -3=0 =-1 3
所以过焦点F且垂直于l的直线与以AB为直径的圆的交点分别在定直线x 和x 上.
=-1 =3
……………………………………………………………………………………………（12分）
x
22.（1）当a 时，令φ x f x g x ex 2 (x ),
=1 ( )= ( )- ( )= - -1-ln +1
4
x
φ′ x ex 1 ,φ′′ x ex 1 1 ，
( )= - - x ( )= - + x
2
2 +1 2 ( +1)
高三年级数学试题参考答案第4 页（共5页）当 时，ex ，当 x 时， 1 ， φ′′ x
x≥0 ≥1 -1< <0 x >1 ∴ ( )>0
2
( +1)
得φ′ x 在( ∞)内单调递增，由φ′ ，
( ) -1,+ (0)=0
得当 x 时，φ′ x ，φ x 在( )内单调递减，
-1< <0 ( )<0 ( ) -1,0
当x 时，φ′ x ，φ x 在( ∞)内单调递增，
>0 ( )>0 ( ) 0,+
φ x φ ，即f x x ……………………………………………………（5分）
∴ ( )≥ (0)=0 ( )≥g( )
x
（2）h x f x g x ex 2 a (x )，
( )= ( )- ( )= - -1- ln +1
4
当 时，由x ，得 (x ) ， (x ) (x )，
a≤1 >0 ln +1 >0 ∴ln +1 ≥aln +1
由（1）可得h x φ x φ ；
( )≥ ( )> (0)=0
x a a
当a 时h′ x ex ，h′′ x ex 1 ，
>1 ( )= - - x ( )= - + x
2
2 +1 2 ( +1)
由x 得h′′ x ， h′ x 在( ∞)内单调递增
>0 ( )>0 ∴ ( ) 0,+
a a a a a
由h′ a ，h′ a ea a 1
(0)=1- <0 ( )= - - a > +1- - a = + a >0
2 +1 2 +1 2 +1
x a ，使得h′ x ，
∴∃ 0 ∈(0, ) ( 0)=0
则当 x x 时，h′ x ，h x 在( x )内单调递减，
0< < 0 ( )<0 ( ) 0, 0
当x x时，h′ x ，h x 在(x ∞)内单调递增，
0 < ( )>0 ( ) 0,+
由h 得h x ，
(0)=0 ( 0)<0
h a ea a a ( a ) a a a a ，
2 2 2 2 2 2
(2 )= - -1- ln 2 +1 >4 - -1-2 = -1>0
x a ，使得h x ，
∴∃ 0 ∈(0,2 ) ( 0)=0
综上，当 时h x 在( ∞)内无零点；
a≤1 ( ) 0,+
当a 时h x 在( ∞)内有一个零点；……………………………………………（12分）
>1 ( ) 0,+
高三年级数学试题参考答案第 5 页（共5页）
