文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷01·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A B B C D B D B B D
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．1 12． 13． 14． / 15．①③④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以 ，
平面PAB， 平面PAB，
所以 平面PAB，
又平面 平面 ，所以 ．
又 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 平面ABCD．
（2）解：设点D到平面PAB的距离为d，
因为 ，
因为四边形ABCD为菱形，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
17．（13分）【详解】（1）由题可知 ，则 的轨迹是实轴长为 ，焦点为 即 的双曲线的右支，则 ，
所以曲线 的方程为： (或 ).
（2）由题可知过点 的动直线 斜率存在且不为 ，则设斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，设 ， ，
联立 ，可得 ，
则 ，可得 ，即 或 ，
则，
所以 为定值，定值为 .
18．（14分）【详解】（1）因为 ， ，且 ，
所以
，
又 的对称中心到对称轴的距离的最小值为 且 ，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
令 ， ，解得 ， ，
即 的单调递增区间为 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
即 的单调递减区间为 ， .
（2）因为 ，则 ，所以 ，所以 ，则 在 上的值域为 .
19．（15分）【详解】（1） ， ，
所以 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）因为 在 上有解，所以 在 上有解，
当 时， 在 上有解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，故 ，
则当 时， ，即 ．
所以，当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
综上可知，实数 的取值范围是 ．
20．（15分）【详解】（1）由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；
第1回合乙赢，第2回合乙赢，
所以第3回合由乙发球的概率为 .
（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，
甲赢的回合数为3的概率为 ，
甲赢的回合数为2的概率为 ，所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为 .
21．（15分）【详解】（1）因为 ，
所以22是 好数；
因为 ，
所以23是 好数；
因为 ，
所以24是 好数.
（2）由题意 是 好数当且仅当 ， 是非负整数，分以下两种情形来
说明 是 好数，
情形一：若存在 ，不妨设为 ，此时 或 ，
则当 时， ，或 ，
因此 ，或 ，
即此时 是 好数；
当 时， ，由题意 ，因此不妨取 ，即 ，
因为 是偶数，所以 ，从而 是 好数；
情形二：若不存在 ，则任取 ，均有 ，当然也有 ，而此时 或 ，
则当 时， ，或 ，
由情形一可知，当 时， ，因此 ，或 ，
即此时 是 好数；
当 时， ，由题意 ，因此不妨取 ，即 ，
因为 ，从而 是 好数；
综上所述：若 是偶数且是 好数，则 是 好数.
若 是偶数且是 好数，接下来我们说明 是 好数，
即已知 是偶数， 是非负整数，
由以上分析可知 或 ， 或 是偶数，
且 ， ， ，
不妨设 ， ，
，
，
所以 ，
因为 均是偶数，
所以 是偶数， 是偶数，
所以 ，，
综上所述，若 是偶数且是 好数，则 也是 好数.
（3）记 ，设 ：
①若 的二进制表示中只有至多有 个1，那么 显然是 好数；
②若 的二进制表示中有至少有 个1，那么 的二进制表示至多有 位。
此时， 的二进制表示中的那些0隔出了若干个1串。
如果一个1串的长度为1，它一定能表示为 ，
如果一个1串的长度大于1，它一定能表示为 ，
假设 是 坏数，长度为1的1串的数量为 ，长度大于1的1串的数量为 ，
那么就意味着 ，
记 ，
如果我们标出每个1串最左边和最右边的1，那么这些1两两不相邻，且总数目为 ，
但事实上，由于一共至多有 位，所以 ，产生矛盾，
这就意味着 一定是 好数.
这就说明，小于 的正整数都是 好数，
接下来我们用反证法来证明 是 坏数，
假设 是 好数，
由于 的二进制表示中，1的个数是大于 的，
所以 的那个表示里，肯定存在负号项，
也就是说 可以表示成两个正整数 之差，不妨设 ，
且 的二进制中1的个数之和不超过 ，
而且我们还可以同时去掉 的那些位数相同的1，全都变成0，所以 可以表示成两个正整数 的差， 的二进制中1的个数之和不超过 ，且没有相同位置的1，
那么就设 的二进制表示中，1的数量分别是 ，
则 ，
那么：(1) 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有 个；
(2)每给 减掉一个 （且 的 位为0），最左最右两个1之间的0段的数目至多增加1个，
增加1个当且仅当减掉的这个位置左边最近的1的左边还是1，且这个位置的右边是0.
(3) 的二进制表示中，最左最右两个1之间有 个0段.
由(1)(2)我们知道， 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有 个，
结合(3)就可以知道 必须等于 ，且(1)，(2)，(3)的每个不等关系都取等.
由于(1)的不等关系取等，
所以 的最后一位必须是0；
但 的最后一位是1，
所以 的最后一位是1，
但是由于(2)的不等关系取等，
所以最后在减掉 这步时，右边还有0，
而这不可能，因为已经是最后一位了，
所以假设不成立，
从而 是 坏数，
所以最小的 坏数是 ，
因此最小的 坏数是 ．
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，按新定义验证即可；第二问的关键主要是注意到表达式的结构，
分类讨论即可；而第三问的关键是主要要联想到二进制表示，并且要通过归纳分析，演绎推理证明猜想，
从而顺利求解.
