文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（上海高考专用）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（4分）函数 的定义域是 ．
【分析】结合对数的性质，列出不等式组，即可求解．
【解答】解： ，
则 ，解得 且 ，
故函数 的定义域为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
2．（4分）角 的终边在直线 上，则 的值是 ．
【分析】根据角 的终边在直线 上，得到 的值，把 代入 求出值即可．
【解答】解：由角 的终边在直线 上，得到 或 为
整数）
若 ，则 ；若 ，则
所以
故答案为：【点评】考查学生掌握直线的倾斜角与终边相同的角的关系，做题时注意两种情况．
3．（4分）计算 的结果是 ．
【分析】把 ， 化为复数的三角形式，进而得出结论．
【解答】解： ，
同理可得 ，
原式 ．
【点评】本题考查了复数的三角形式的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（4分） 展开式中 的系数为 1 5 ．
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：根据二项式展开 ．
故答案为：15．
【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
5．（4分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ，则当 取得
最大值时， ．
【分析】根据正弦定理求出 外接圆半径为 ，利用两角和差的三角公式以及辅助角公式进行转化求
解即可．
【解答】解： ， ，设 外接圆半径为 ．则 ，
得 ，
则， 其 中 ， ，
．
当 ．即 时， 取得最大值，
此时 ．所以 ，
故答案为：
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，结合正弦定理以及三角函数的边角互化，利用辅助角公式以及三
角函数的性质是解决本题的关键．难度中等．
6．（4分）已知实数 ， 满足 ， 且 ，那么 的最小值是 1 0 ．
【分析】根据题中所给的式子，进行构造， ，然后利用不等式性质可求最值．
【解答】解： 实数 ， 满足 ， 且 ，
，
， 当 且 仅 当
时取等号．
故答案为：10．
【点评】本题考查基本不等式，注意合理构造，属于基础题．
7．（5分）等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，首项为 ，若 也是等差数列，则
．
【分析】若 也是等差数列，则 是关于 的一次函数，结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：由题意可得， ，
若 也是等差数列，则 是关于 的一次函数，
则 ，
即 ，
故答案为：
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．
8．（5分）若双曲线 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为 6，且离心率为
2，则双曲线 的标准方程为 ．
【分析】利用双曲线的定义求解 ，结合离心率求解 ，推出 ，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线 上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6，
可得 ，离心率为2，所以 ，则 ，
所以双曲线 的标准方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，标准方程的求法，是基础题．
9．（5分）设函数 则 4 ．
【分析】根据题意，由解析式先求出 的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数 则 ，则 （2） ；
故答案为：4．
【点评】本题考查分段函数的求值，涉及函数的解析式，属于基础题．
10．（5分）将边长为1的正方形 沿对角线 折起，使得平面 平面 ，则直线 与
所成角的大小为 ．
【分析】可画出图形，取 的中点 ，并连接 ， ，则据题意可得 ，从而得出 平
面 ，进而得出 ，并且 ，而 ，进行数量积的运算即可
求出 ，根据向量夹角的余弦公式即可求出 ，从而得出 ，从
而可得出直线 与 所成角的大小．
【解答】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
平面 平面 ， 平面 ， ，且 ，
又 ， ，且 ，
，且 ，
，且 ，
，
直线 与 所成角的大小为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了利用向量求异面直线所成角的大小的方法，向量减法的几何意义，向量的数量积的运算及计算公式，面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属
于基础题．
11．（5分）已知圆 与直线 相切于点 ，点 在圆 内，且过点 的最短弦所
在直线的方程为 ，则圆 的标准方程为 ．
【分析】根据题意，设圆 的圆心 的坐标为 ，分析可得 和 ，解可得 、 的值，
即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆 的圆心 的坐标为 ，
圆 与直线 相切于点 ，则 与直线 垂直，则有 ，①
点 在圆 内，且过点 的最短弦所在直线的方程为 ，则 与直线 垂直，则
，②
联立①②可得： ，即 的坐标为 ，
圆的半径 ，
则圆 的方程为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
12．（5分）十三世纪意大利数学家列昂纳多 斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，
2，3，5，8，13， ，即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数成
为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．关于斐波那契数列 给
出以下四个结论：
① 是奇数；②
③
④
其中所有正确结论的序号为 ①③④ ．
【分析】根据由斐波那契数列的项的奇偶性，累加法，
【解答】解：对①，由斐波那契数列的项的奇偶项是以两奇一偶，三项为一个周期不断循环，
又 ， 是奇数， ①正确；
对②， ， ， ， ， ，
累加可得 ，又 ，
， ②错误；
对③， ， ， ， ， ，
累加可得 ，又 ，
， ③正确；
对④， ， ，
， ，
， ④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查斐波那契数列的项的奇偶项特征，累加法，属中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）
13．（4分）已知 ，则下列不等式一定成立的是
A． B． C． D．【分析】举反例排除 ，再利用作差法判断 ，从而得解．
【解答】解：对于 ，当 时， ，故 错误；
对于 ，因为 ，取 ， ，则 ，故 错误；
对于 ，因为 ，取 ， ，则 ，故 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，则 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
14．（4分）设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，平行于同一个平面的两条直线可以平行、异面或相交， 错误；
对于 ，垂直于同一个平面的两条直线平行， 正确；
对于 ，平行于同一直线的两个平面可能相交， 错误；
对于 ，若 ， ，则 或 ， 错误；
故选： ．
【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直、平行的判断和性质，属于基础题．
15．（5分）某人打靶时连续射击两次，击中靶心分别记为 ， ，不中分别记为 ， ，事件“至少有
一次击中靶心”可记为
A． B． C． D．
【分析】事件“至少有一次击中靶心”包括：第一次击中第二次不中，第一次不中第二次击中以及两次都
击中，结合题意可得出选项．
【解答】解：由题意，某人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次击中靶心”包括：第一次击中第二次不中，第一次不中第二次击中以及两次都击中，又击中靶心分别记为 ， ，不中分别记为 ， ，则事
件“至少有一次击中靶心”可记为： ．
故选： ．
【点评】本题考查相互独立事件的概率公式，考查分类讨论思想，属于基础题．
16．（5 分）记 ， 分别为函数 ， 的导函数，若存在 ，满足 且
，则称 为函数 与 的一个“真实点”．若函数 与 有
且只有一个“真实点”，则实数 的值为
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设 是函数 与 的“真实点”，求出两个函数的导数，
由“真实点”的定义可得 ，变形可得方程 有且只有一解，据此可得
、 的值，代入方程组计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设 是函数 与 的“真实点”，
则 ， ，
则有 ，变形可得 ，
若两个函数有且只有一个“真实点”，即方程 有且只有一解，
则有△ ，解可得 ，方程的唯一解 ，
则有 ，解可得 ，
故选： ．
【点评】本题考查函数、导数的综合应用以及函数与方程的关系，涉及导数的计算，属于综合题．
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）
17．（14分）已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）已知 ，且 ，求 的值．
【分析】（1）由周期公式直接求解即可；
（2）由同角三角函数的基本关系可得 ，从而可得 ．
【解答】解：（1）函数 ，
则函数 的最小正周期为 ．
（2）因为 ，所以 ，
．
【点评】本题主要考查三角函数的周期，函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
18 ． （ 14 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ， ， ，
， ． 为 的中点，点 在 上，且 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值；
（Ⅲ）设点 在 上，且 ．判断直线 是否在平面 内，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的性质可得 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理证明即可；
（Ⅱ）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面
的法向量，由向量的夹角公式求解即可；
（Ⅲ）利用空间向量的坐标运算，求出 的坐标，由向量的坐标表示，得到 ，即可判断得到答
案．
【解答】（Ⅰ）证明：因为 平面 ，又 平面 ，
则 ，
又 ，且 ， ， 平面 ，
故 平面 ；
（Ⅱ）解：过点 作 的垂线交 于点 ，
因为 平面 ，且 ， 平面 ，
所以 ， ，
故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，0， ， ， ， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，
因为 为 的中点，
则 ，1， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
故 ，
又因为平面 的法向量为 ，
所以 ，
由题意可知，二面角 为锐二面角，
故二面角 的余弦值为 ；
（Ⅲ）解：直线 不在平面 内，
因为点 在 上，且 ，
又 ，
故 ，
则 ，
由（2）可知，平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以直线 不在平面 内．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质的应用，二面角的求解，在
求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行
研究，属于中档题．
19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，
单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
【分析】（1）由排列组合公式可得样本空间的样本点的个数及所求的事件的样本点的个数，由古典概型
的概率公式可得所求的概率；
（2）由两个级别的箱数之比，可得样本中两个级别的箱数；
（3）由分层抽样的平均数及方差的计算公式，可得168个水果的方程和平均数，进而估计136箱单果的质
量．
【解答】解：（1）古典概型：设 事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数
，
事件的样本点的公式 ，
所以 （A） ；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数 ，
所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
（3）设一级果平均质量为 ，方差为 ，二级果质量为 ，方差为 ，总体样本平均质量为 平均值，方差为 ，
因为 ， ， ， ，
所以 克，
克 ．
预估：平均质量为 克．
【点评】本题考查分层抽样的平均数公式及方差公式的应用，属于基础题．
20．（18分）已知椭圆 的右焦点为 ，点 是椭圆与 轴正半轴的交点，点 是椭
圆与 轴正半轴的交点，且 ．直线 过圆 的圆心，并与椭圆相交于 ，
两点，过点 作圆 的一条切线，与椭圆的另一个交点为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线 的斜率．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及 ， ， 之间的关系，列出等式进行求解即可；
（2）设出直线 的方程，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、点到直线的距离公式以及
三角形面积公式进行求解即可．
【解答】解：（1）易知 ，
解得 ，
所以 ，
则椭圆的方程为 ；
（2）若圆 的切线 轴，
此时 ， ，不符合题意；
不妨设直线 的方程为 ，因为直线 与圆 相切，
所以 ，
整理得 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
不妨设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ， ，
因为 到直线 的距离为1，
所以
，
将 代入并消去 整理得 ，
即 ，
解得 （负值舍去），
所以 ，
故直线 的斜率为1或 ．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21．（18分）设常数 ，函数 ．
（1）若 为奇函数，求 的值，并说明理由；（2）若存在区间 ， 使得 在 ， 上的值域为 ， ，求实数 的取值范围．
【分析】（1）利用奇函数的定义，得到关于 的方程，再求出 即可；
（2）当 时，确定函数 的单调性，得到方程 由两个不相等的正数根，求解即可
同理求出 的情况，即可得到答案．
【解答】解：（1）因为函数 为奇函数，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，整理可得 ，
所以 ，
经检验， 均符合题意；
（2）当 时， ，
则函数 在区间 ， 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以方程 由两个不相等的正数根，
所以 ，解得 ；
当 时，函数在 ， ， ， 上单调递减，
由题意可知， ，
两式相减可得， ，
故 ，所以 ，解得 ，此时 且 或 ，
当 时， 有解，故此时 ，
当 时， 无解．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数奇偶性和单调性，考查了逻辑推理能力与运算能力，属
于中档题．
