文档内容
第二章 二次函数
2.1 二次函数
学习目标：
1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)
2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)
3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)
自主学习
一、复习回顾
1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量)
(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1.
合作探究
一、要点探究
知识点一：二次函数的定义
问题1 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产
量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种
一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
(1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙
子？
(3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式.
1做一做
银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变
量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发
展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将
本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100 元，
那么请你写出两年后的本息和 y (元)的表达式.
想一想
(1) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能写出这两数之积 y 的表达式吗?
(2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗? 可能是 75 cm2 吗? 还可能
是多少? 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗?
合作探究
问题 1~3 中函数关系式有什么共同点?
同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.
知识要点
二次函数的定义：
一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y = ax² + bx + c( a，b，c 是
常数，a≠ 0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数.
a为二次项系数，ax2 叫做二次项；
b为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项.
同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？
2典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量)
① y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 ；
④ y = ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
方法总结
判断一个函数是否为二次函数的步骤：
合作探究
链接中考
1. (西湖区月考) 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数；
知识点二：二次函数的自变量取值范围
问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？
① y = -5x² + 100x + 60000 ② y = 100x2 + 200x + 100
③y = -x2 + 20x
总结：二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范
围会有一些限制.
知识点三：列二次函数关系式
3例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方
形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y与 x之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函
数？
二、课堂小结
当堂检测
1. (武汉)下列函数中，是二次函数的是( )
2. 已知函数 y = 3x2m-1－5
① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数.
3. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2.
求 (1) y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围；
(2) 当 x = 3 时矩形的面积.
参考答案
4一、创设情境，导入新知
1.答案：(1) 是；
(2)不是，是反比例函数 ；
(3)不是，x 最高次数是二次 ；
(4)不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件；
(5) 不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值；
(6)是 .
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数的定义
问题1：
答案：(2) 果园共有(100 + x)棵树，平均每棵树结(600 - 5x)个橙子.
y = (100 + x)(600 - 5x)= -5x² + 100x + 60000.
做一做
答：y = 100x2 + 200x + 100.
想一想
(1) y = x(20 - x) = -x2 + 20x
(2) 设矩形的其中一边长为 x，面积为 S.
S = x(20 - x) = -x2 + 20x
当 S = 100 时，-x2 + 20x = 100. 解得 x = 10.
当 S = 75 时，-x2 + 20x = 75. 解得 x = 5，x = 15.
1 2
典例精析
答案：① 不是，y = 6x + 9 ； ② 是 ； ③ 是 ；
④ 不是，等式右边是分式； ⑤ 不是，x 的最高次数是 3 ；
⑥ 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.
链接中考
1. 解：(1) 由题意得 ∴ m = 1.
(2)y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
例3
解：由题意得y＝122－2x(x+1)，
又∵x+1<2x≤12，∴1
