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专题22.6 二次函数y=a(x−h) 2(a≠0)与y=a(x−h) 2+k(a≠0)图象与性质（分
层练习）（基础练）
一、单选题
1．抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．设 ， ， 是抛物线 上的三点，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
3．下列关于抛物线 的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线 相同 B．对称轴是直线
C．当 时，y随x的增大而减小 D．当 时，
4．二次函数 的图像只有在 这一段位于x轴的下方，则a的值为
（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．已知二次函数 （ 为常数），则对如下两个结论的判断正确的是（ ）
①不论 为何值，函数图像的顶点始终在一条直线上；
②当 时， 随 的增大而增大，则 的取值范围为 ．
A．两个都对 B．两个都错 C．①对②错 D．①错②对
6．已知点 ， 都在二次函数 的图象上．若 ，则m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于二次函数 有如下说法：①图象的开口向上；②图象最低点到 轴的距离为；③图象的对称轴为直线 ；④当 时， 随 的增大而增大．其中所有正确结论的序号是
（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
8．已知抛物线 与 轴有两个交点 ， ，抛物线 与
轴的一个交点是 ，则 的值是（ ）
A．5 B． C．5或1 D． 或
9．已知抛物线 过不同的两点 ， ，则当点 在该函数图象上时，
m的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
10．一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利 ．下列表达式中可以直接看
出最大获利润和此时销售价格的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．二次函数 的图象开口方向是 ．
12．将抛物线 沿 轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ；
13．若点 ， ， 在抛物线 上，则 ， ， 的大小关系为
（用“ ”连接）
14．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为
．
15．二次函数的顶点形式是 ，请你写出一个以直线 为对称轴，顶点在x轴
下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式 ．16．二次函数 的图象上任意二点连线不与 轴平行，则 的取值范围为
.
17．在研究二次函数 的图象和性质时，甲、乙、丙、丁四位同学的说法如下：甲：图
象的顶点坐标为 ；乙：函数的图象关于直线 对称；丙：当 时，函数取得最大值 ；
丁：当 时， 随 的增大而增大．其中，说法错误的是 同学．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的正半轴的交点为 ，顶点为 ，点
为该抛物线上一点，且在对称轴右侧第一象限内（点 不与点 重合），连接 、 、 、
，若 的周长为 ，则四边形 的周长为 （用含 的代数式表示）．
三、解答题
19．已知二次函数
(1) 将 化成 的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
(2) 当 取何值时， 随 的增大而减小．
20．已知二次函数 ，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程：
……①；
……②；
……③；
顶点坐标是 ……④；
（1）请你帮他检查一个，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步．
（2）请写出此题正确的求顶点的计算过程．
21．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．
22．已知抛物线y=a（x-h） +k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出抛物线的解析式；
（2）写出 随 的增大而增大的自变量 的取值范围；
（3）当自变量 取何值时，函数 有最大值？最大值为多少？23．已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过 轴上一点 ．
(1) 求抛物线解析式；
(2) 求抛物线与 轴的交点坐标；
(3) 试说明：当 时，函数值 随着 的增大而变化的情况．24．如图，已知经过原点的抛物线 与 轴交于另一点A(2，0)．
（1）求 的值和抛物线顶点 的坐标；
（2）求直线 的解析式．
参考答案
1．B
【分析】根据题目中的解析式，即可直接写出抛物线的顶点坐标．
解：∵抛物线解析式为： ，
∴抛物线的顶点坐标为： ，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数得性质，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点式的特点与性质．
2．B
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线 的开口向下，对称轴为直线 ，然后根
据二次函数的增减性即可判断函数值的大小．
解：∵抛物线 的开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时， 随 的增大而减小，
∵ ， ， 在抛物线上，且 ，∴ ，
故选： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查
了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质．
3．C
【分析】根据二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，判断对称轴顶点坐标，开口方向
以及与 轴的交点坐标，逐项分析判断即可求解．
解： ， ，故A选项正确，
对称轴为直线 ，故B选项正确，
当 时，y随x的增大而减小，故C选项不正确，
令 ，解得： ，
∵抛物线开口向下，则当 时， ，故D选项正确，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据题意得出 和 是方程 的两个根，解方程即可．
解： ，
抛物线的对称轴为 ，
又 图像只有在 这一段位于x轴的下方，
和x＝6是方程a（x﹣4）2﹣4＝0的两个根，且a＞0，
把x＝2或 代入 得： ，
解得 ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，利用二次函数的性质得到 和是方程 的两个根是解题的关键．
5．C
【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断①，由抛物线开口方向及顶点坐标可得
随 增大而增大时 的取值范围，从而判断②．
解： ，
抛物线顶点坐标为 ，
抛物线顶点在直线 上，①正确．
抛物线开口向上，顶点坐标为 ，
时， 随 增大而减小， 时， 随 增大而增大，
当 时， 随 的增大而增大，
②不正确．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不
等式的关系．
6．D
【分析】分别把点 ， 代入，再由 得到关于m的不等式，解不等式即可．
解：∵点 ， 都在二次函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故选：D
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
也考查了二次函数的性质．7．B
【分析】根据顶点式，得出 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，在对称轴左侧， 随
的增大而减小，逐项分析判断即可求解．
解：∵ ， ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，在对称轴左侧， 随
的增大而减小，
∴①图象的开口向上；故①正确；
②图象最低点到 轴的距离为 ，故②不正确；
③图象的对称轴为直线 ，故③正确，
④当 时， 随 的增大而减小，故④不正确．
故选：B.
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，掌握 的图象与性质是解题的关键．
8．C
【分析】将 往右平移m个单位后得到 ，由此即可求解．
解：比较抛物线 与抛物线 ，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵ 与 轴的一个交点是 ， 与 轴有两个交点 ，
，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=5，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．
9．C【分析】由 都在抛物线 上，得到 ，进而得到
由 也在抛物线上， 代入化简得到 ，解出即可得出
结果．
解： ， 都在抛物线 上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或 ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．
10．A
【分析】根据二次函数的性质求解即可求解．
解：根据题意，设一个月可以获利为 ，则
根据顶点式即可求得最大获利润和此时销售价格，
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标是
解题的关键．
11．向下
【分析】根据二次系数 即可解答．
解：∵二次函数 中， ，
∴二次函数 图像的开口方向是向下．
故答案为：向下．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
12．
【分析】根据抛物线沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数可直接得出答案．
解：∵将抛物线 沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数，
∴得到的新的抛物线的解析式是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线沿 轴翻折后，横坐标不变，纵坐标
变为相反数是解答此题的关键．
13．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，再根据开口向上离对称轴越远函数值越大进行求解即可．
解：∵抛物线解析式为 ，∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点 ， ， 在抛物线 上， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】由二次函数解析式可得二次函数对称轴为直线 ，且开口向下，则离对称轴越远，函数值
越小，推出当 时， ，据此求解即可．
解：∵二次函数解析式为 ，
∴二次函数对称轴为直线 ，且开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵当 时， 的最小值为 ， ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟知二次函数开口向下时，离对称轴越远函数值越小
是解题的关键．
15． （答案不唯一）
【分析】先写出顶点式的顶点坐标，再结合题意根据二次函数的性质确定答案即可．
解： 的顶点坐标为 ，
直线 为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上，
，（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二次根式顶点式及二次根式的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
16． 或
【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或
对称轴的右边，即可进行解答．
解：∵二次函数表达式为 ，
∴该函数的对称轴为直线 ，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二
次函数的表达式求出函数的对称轴．
17．丙
【分析】根据 总结归纳抛物线的性质，再逐一比对即可．
解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为： ，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，
当 时，函数取得最大值 ，
当 时， 随 的增大而增大．
∴甲，乙，丁的说法正确，丙的说法错误；
故答案为：丙．
【点拨】本题考查的是抛物线的性质，熟练的掌握 的图象与性质是解本题的关键．
18． /【分析】由抛物线 的对称性得到： ， ，则四边形 的周长为
等于 的周长加上 的长，由此得出答案即可．
解： 抛物线 ，
对称轴为直线 ，
，
由抛物线的对称性知 ，
∴四边形 的周长为
的周长为 ，
即 ，
∴四边形 的周长为 ，
即四边形 的周长为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，抛物线与 轴的交点坐标，此题利用了抛物线的对称性，解题
的关键在于把求四边形 的周长转化为 的周长加 的长．
19．(1) ；对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；(2)当 时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，
把一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
（2）根据二次函数的图像即可解答．
解：（1）
该二次函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ；
（2）如图，当 时，y随x的增大而减小．【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．
20．（1）①；（2）见详解
【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤，即可得到答案；
（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转
化为顶点式，即可得到答案．
解：（1）y＝0.5x2−x−0.5
＝0.5（x2−2x）−0.5 ①
＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ②
＝0.5（x−1）2−1③
∴顶点坐标是（1，−1）④；
故答案为：①；
（2）y＝0.5x2−x−0.5
＝0.5（x2−2x）−0.5
＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5
＝0.5（x−1）2−1
∴顶点坐标是（1，−1）．
【点拨】此题考查二次函数的顶点式，二次函数解析式的三种形式有：顶点式；两根式以及一般式，
掌握配方法，是解题的关键．
21．（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3
【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝
2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
解：（1）∵a＝﹣1＜0，∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．
22．（1） ；（2） ；（3）当 时， 有最大值，最大值为2
【分析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设顶点式 ，
将 代入解析式，即可求得 的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大；
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，进而求得当 时，最值为2．
解：（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，
设顶点式 ，将 代入得，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，即 时， 随 的增大而增大，
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为 ，且开口朝下，
当 时， 有最大值，最大值为2．
【点拨】本题考查了二次函数 的图象与性质，掌握 的图象与性质是解
题的关键．23．(1)抛物线的解析式为 ；(2)抛物线与 轴的交点坐标为 ；(3) 时，函数值
随着 的增大而减小
【分析】（1）设顶点式 ，然后把 代入求出 的值即可；
（2）计算自变量的值为 所对应的函数值即可；
（3）根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，
抛物线与 轴的交点坐标为 ；
（3）抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，
当 时，函数值 随着 的增大而减小．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关
系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的
性质．
24．（1） ，M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
解： （1）∵抛物线 过点A(2，0)，
，解得 ，
，
,∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为 ，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得 ，
∴直线AM的解析式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题．
