文档内容
第 3 章变量之间的关系（单元提升卷）
（满分100分，完卷时间90分钟）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的
主要步骤．
一、仔细选一选（本题共10题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中，只有一个是
正确的，请选出正确的选项。注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案）
1．函数y＝ +（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【分析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得： ，
解得：x＞﹣1且x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查函数中自变量的取值范围，二次根式成立的条件及零指数幂的概念，掌握
分母不能为零，二次根式的被开方数为非负数，a0＝1（a≠0）是解题关键．
2．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的
速度匀速运动到点C，△APC的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，
则AB的长是（ ）
A． cm B．3cm C．4cm D．6cm
【分析】由图2可知，AB＝acm，BC＝4cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，可
得出等式 •a•4＝6，求出a的值，即线段AB的长．
【解答】解：由图2可知，AB＝acm，BC＝4 cm，当点P到达点B时，△APC的面积为6cm2，
∴ •AB•BC＝6，即 •a•4＝6，解得a＝3 cm．
即AB的长为3cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，
即表示面积发生改变的点的含义是解题关键．
3．小风在1000米中长跑训练时，已跑路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象如图所示，
下列说法错误的是（ ）
A．小风的成绩是220秒
B．小风最后冲刺阶段的速度是5米/秒
C．小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等
D．小风的平均速度是4米/秒
【分析】根据函数图象上的数据，求出相应阶段的速度即可得到正确的结论．
【解答】解：A、小风的成绩是220秒，本选项正确，不符合题意；
B、小风最后冲刺阶段的速度是 ＝5（米/秒），本选项正确，不符合题意；
C、小风第一阶段的速度是 ＝5（米/秒），即小风第一阶段与最后冲刺阶段速度相等，本
选项正确，不符合题意；
D、 ＝ （米/秒），故本选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，
理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
4．对任意实数a，b定义运算“ ”：a b＝ ，则函数y＝x2 （2﹣x）的最小值是（
）
∅ ∅ ∅
A．﹣1 B．0 C．1 D．4
【分析】根据题意得到y＝x2 （2﹣x）＝ ，根据函数的性质即可得到结论．
∅
【解答】解：∵a b＝ ，
∅∴y＝x2 （2﹣x）＝ ，
∵x2＞2∅ ﹣x
∴x2+x﹣2＞0，
解得x＜﹣2或x＞1，
此时，y＞1无最小值，
∵x2≤2﹣x，
∴x2+x﹣2≤0，
解得：﹣2≤x≤1，
∵y＝﹣x+2是减函数，
∴当x＝1时，y＝﹣x+2有最小值是1，
∴函数y＝x2 （2﹣x）的最小值是1，
故选：C．
∅
【点评】本题考查了新定义的函数的性质及其应用，实数的运算，不等式的解法，正确的理
解题意是解题的关键．
5．在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”给出下列函数①y＝﹣x；
②y＝ ；③y＝x+2；④y＝x2﹣2x．其图象中不存在“好点”的函数个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意可得x＝y，然后代入每一个解析式进行计算即可判断．
【解答】解：∵横、纵坐标相等的点称为“好点”，
∴x＝y，
∴①x＝﹣x，解得x＝0，所以y＝﹣x图象中存在“好点”，
②x＝ ，解得x＝± ，所以y＝ 图象中存在“好点”，
③x＝x+2，此方程无解，所以y＝x+2图象中不存在“好点”，
④x＝x2﹣2x，解得x＝0或x＝3，所以y＝x2﹣2x图象中存在“好点”，
上述图象中不存在“好点”的函数个数为：1，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的概念，根据题意得出x＝y，然后代入每一个解析式进行计算是解
题的关键．
6．下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值
与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案．
【解答】解：显然A、B、D选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y
是x的函数；
C选项对于x取值时，y都有2个值与之相对应，则y不是x的函数；
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，
对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应．
7．2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持
平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，
消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函
数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据开始库存量与销量持平，后来脱销即可确定库存量y（吨）与时间t（天）之间
函数关系．
【解答】解：根据题意：库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的图象为先平，再逐渐
减小，最后为0．
故选：D．
【点评】本题要求能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，
通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．8．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直
角顶点C与点G重合，另一个顶点B（在点C左侧）在射线FG上，且BC＝1，AC＝2．将
△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四
边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确反映y与x函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据移动过程分三个阶段讨论，第一个是点B到达点G之前，即0＜x＜1时，求出y
和x的关系式，确定图象，第二个是点C到达点H之前，即1＜x＜2时，求出y和x的关系式，
确定图象，第三个是点C到达点F之前，即2＜x＜3时，求出y和x的关系式，确定图象，即
可确定选项．
【解答】解：过点D作DH⊥CF，
∵∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，
∴EH＝2，DH＝EF＝2，
当0＜x＜1时，重叠部分为等腰直角三角形，且直角边长为x，
∴y＝ ，
∵ ，
∴该部分图象开口向上，
当1＜x＜2时，如图，设A'B'与DG交于点N，A'C'与DG交于点M，
则S重叠 ＝S△GMC '﹣S△GNB '，
设B'K＝a，则NK＝2a，
∵GC'＝x，B'C'＝1，
∴GB'＝x﹣1，
∵△GKN是等腰直角三角形，
∴GK＝NK，
∴x﹣1+a＝2a，
∴a＝x﹣1，
∴NK＝2x﹣2，
∴ ，
∵ ，
∴S重叠 ＝ ﹣（x2﹣2x+1）＝ ，
∵ ，
∴该部分图象开口向下，
当2＜x＜3时，重叠部分的面积为S△ABC ，是固定值，
∴该部分图象是平行x轴的线段，
故选：B．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，关键是要把移动过程分成几个阶段，然后根据
每个阶段的情况单独讨论，确定y和x之间的函数关系式，从而确定图象．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P从点B出发，沿B→C→D→A方向匀
速运动至点A停止，已知点P的运动速度为2cm/s，设点P的运动时间为x（s），△PAB的面
积为y（cm2），则下列图象中，能正确表示y与x的关系的是（ ）A． B．
C． D．
【分析】分段函数，①当动点P从点B出发，运动至点C时，y＝ ＝ ＝8x；
当动点P从C点运动至点D时，y的值为24；当动点P从D点运动至点A时，y＝ ＝
×8×（8+6×2﹣2x）＝﹣8x+80，据此解答即可．
【解答】解：当0＜x≤3时，y＝ ＝ ＝8x；
当3＜x≤7时，y＝24；
当7＜x≤10时，y＝ ＝ ×8×（8+6×2﹣2x）＝﹣8x+80，
综上所述，能正确表示y与x的关系的是选项A．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x
的函数关系式．
10．如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 ，BC＝2，M为AB上一动点，
过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），
直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图
象大致是（ ）A． B．
C． D．
【分析】分M点运动到AE段（0≤x＜ ）和BE段（ ≤x≤2 ）两种情况，然后根据
题意可知在AE段S＝S△HAE +S△GHD ﹣S△EOM ﹣S△GPS ，分别表示出四个三角形的面积即可用x表
示出S；同理当在BE段时S＝S△HAE +S△GHD +S△EO1M1 +S△GP1S1 ，分别表示出四个三角形的面积
即可用x表示出S；最后根据x与S的函数关系式对图象进行判断即可．
【解答】解：①当M点运动在AE段，
此时S＝S△HAE +S△GHD ﹣S△EOM ﹣S△GPS ，
∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，
∴AH＝ AD＝ ＝1，AE＝ AB＝ ，S△HAE ＝S△GHD ，S△EOM ＝S△GPS ，
∴S＝2S△HAE ﹣2S△EOM ，
∴S△HAE ＝ AE•AH＝ ；
∵直线l⊥AB，
∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，
∴△HAE∽△OME，
∴ ，∴OM＝ ，
又∵ME＝AE﹣AM＝ ﹣x，
∴OM＝ ME＝ ，
∴S△EOM ＝ ，
∴S＝2S△HAE ﹣2S△EOM ＝ ，
此时，对应抛物线开口向下；
②当M点运动到在BE段，
此时，S＝S△HAE +S△GHD +S△EO1M1 +S△GP1S1 ，
即S＝2S△HAE +2S△EO1M1 ，
与①同理，
O M ＝ ，
1 1
又∵M E＝AM ﹣AE＝x﹣ ，
1 1
∴O M ＝ M E＝ ，
1 1 1
∴S△EO1M1 ＝ ，
∴S＝2S△HAE +2S△EO1M1 ＝ ，
此时，对应抛物线开口向上，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，
结合题意利用数形结合思想，分段求解相应的函数解析式是关键．
二、认真填一填（本题有8个小题，每小题3分，共24分。注意认真看清题目的条件和要填写
的内容，尽量完整地填写答案）11．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：①每户每月的用水不超过10立
方米时，水价为每立方米2.2元；②超过10立方米时，超出部分按每立方米3.8元收费，该
市每户居民6月份用水x立方米（x＞10），应交水费y元，则y与x的关系式为 y ＝ 3. 8 x ﹣
16 ．
【分析】根据用水不超过10立方米的收费标准、用水超过10立方米时的收费标准分别得出y
与x的函数关系式；
【解答】解：每户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式为y＝
，
因为6月份用水量为x立方米（x＞10），应交水费y元，则y关于x的函数表达式为y＝3.8x
﹣16；
故答案为：y＝3.8x﹣16．
【点评】本题考查了函数关系式，关键是掌握10立方米这个分界点，仔细审题，注意分段运
算．
12．如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是 1 1 ．
【分析】第一次输入x的值为1，计算出y＝6，选择否的程序；第二次输入x的值为2，计算
出y＝11，选择是的程序，输出即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝1+2+3＝6，
∵6＜9，
∴选择否的程序，
当x＝2时，y＝4+4+3＝11，
∵11＞9，
∴选择是的程序，
故答案为：11．
【点评】本题考查了函数值，体现了分类讨论的数学思想，看懂程序图是解题的关键，注意
第2次输入的x为2．
13．如图，三角形ABC的高AD＝4，BC＝8，点E在BC边上，连接AE．若BE的长为x，三角
形ACE的面积为y，则y与x之间的关系式为 y ＝﹣ 2 x +1 6 ．【分析】根据线段的和差，可得CE的长，根据三角形的面积，可得答案．
【解答】解：由线段的和差，得CE＝8﹣x，
由三角形的面积，得
y＝ ×4×（8﹣x）
化简，得
y＝﹣2x+16，
故答案为：y＝﹣2x+16．
【点评】本题考查了函数关系式，利用三角形的面积公式是解题关键．
14．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶．当乙车到达A地后，继续保持原速向远离
B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过一段时间后两
车同时到达C地．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之
间的函数关系如图所示，当甲车到达B地时，乙车距离A地 10 0 千米．
【分析】由图可知AB之间的距离为300km，甲，乙3小时相遇，可以求出甲乙两车的速度和，
5小时的时候，两车之间的距离开始减小，说明甲车到达B地，开始返回，从而求出甲车的速
度，进一步得到乙车的速度，问题便迎刃而解了．
【解答】解：由图可知：AB＝300km，甲，乙两车3小时相遇，
∴v甲+v乙 ＝300÷3＝100km/h，
∵甲车5小时到达B地，
∴甲的速度为300÷5＝60km/h，
∴乙的速度为100﹣60＝40km/h，
∴当甲车到达B地时，也就是5小时的时候，乙车走了40×5＝200km，
∴乙车距离A地300﹣200＝100km，
故答案为：100．【点评】本题考查了函数的图象，明白函数y表示的两车之间的距离，认真分析图象中的起
点和拐点的含义是解题的关键．
15．某商店进了一批货，进价为每件5元，出售时每件加价1元．若售出x件应收入货款y元，
则y（元）与x（件）的函数关系式是 y ＝ 6 x ． ．
【分析】单价为（5+1）元，根据总价＝单价×数量列出关系式即可．
【解答】解：依题意有：y＝（5+1）x＝6x．
故y与x的函数关系式是：y＝6x．
故答案为：y＝6x．
【点评】本题主要考查了列函数关系式．根据题意，找到所求量的等量关系是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上一动点，若AC＝4，BC＝15，CD＝x，则
△ABD的面积S与x之间的函数关系式为 S ＝﹣ 2 x +3 0 ．
【分析】根据三角形的面积公式即可求得．
【解答】解： CD×AC
＝
＝﹣2x+30．
故答案为：S＝﹣2x+30．
【点评】本题考查了函数关系式，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
17．某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度如图．
当0≤t＜1时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是 S ＝ 4 0 t ．
当1≤t＜2时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是 S ＝ 8 0 t ﹣ 4 0 ．
当2≤t＜3时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是 S ＝ 3 0 t +6 0 ．
【分析】观察函数图象，可得函数解析式．
【解答】解：观察图象，得当0≤t＜1时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是 S＝40t，
当1≤t＜2时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是 S＝80（t﹣1）+40，化简，得S＝80t
﹣40，
当2≤t＜3时，则其行驶路程S与时间t的函数关系式是 S＝30（t﹣2）+120＝30t+60，化简，
得S＝30t+60，
故答案为：S＝40t，S＝80t﹣40，S＝30t+60．
【点评】本题考查了分段函数，观察图象是解题关键，题目较为简单．
18．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，AF＝EF，
设BE＝x，AF＝y，当0＜x＜2时，y关于x的函数解析式为 y ＝ （ 0 ＜ x ＜ 2 ） ．
【分析】由勾股定理表示AE，通过作垂线构造直角三角形，由等腰三角形的性质得出AM＝
ME，分别用含有x、y的代数式表示AM，AE，再根据相似三角形对应边成比例即可得出y与
x之间的函数关系式．
【解答】解：过点F作FM⊥AE，垂足为M，
∵AF＝EF，
∴AM＝ME，
在Rt△ABE中，
AE＝ ＝ ，
∴AM＝ ，
∵∠B＝∠AMF＝90°，∠FAM＝∠AEB，
∴△ABE∽△FMA，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴xy＝ ，
即y＝ （0＜x＜2），故答案为：y＝ （0＜x＜2）．
【点评】本题考查函数关系式，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问
题的关键．
三、全面答一答（本题有7个小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。如
果觉得有的题目有点难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）
19．某公司要印刷产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；
乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两印刷厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
（3）该公司拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印制厂印制宣传材料能多一些？
【分析】（1）根据两个印刷厂不同的优惠办法得出函数关系式即可；
（2）把x＝800时，求出y甲 、y乙 ，比较得出答案；
（3）将y＝3000元，代入两个关系求出相应的印刷的份数x即可．
【解答】解：（1）由甲印刷厂的优惠方法可得，y甲 ＝x+1500，
由乙印刷厂的优惠方法可得，y乙 ＝2.5x；
（2）当x＝800时，
y甲 ＝800+1500＝2300（元），
y乙 ＝2.5×800＝2000（元），
∵2300＞2000，
∴印制800份宣传材料时，选择乙印刷厂比较合算；
（3）当y＝3000时，
甲印刷厂份数为3000﹣1500＝1500（份），
乙印刷厂份数为3000÷2.5＝1200（份），
∵1500＞1200，
∴甲印刷厂印刷的份数较多．
【点评】本题考查函数关系式，函数值的计算，理解“甲印刷厂”“乙印刷厂”的优惠办法
是得出函数关系式的关键；
20．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答
下列问题．（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）如果从10时到第一次休息和11时到12时，玲玲骑行的速度都是 千米/时，求玲玲第
一次休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
【分析】（1）利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案；
（2）根据“时间﹣路程÷速度”求解即可；
（3）往返全程中回来时候速度最快，用距离除以所用时间即可．
【解答】解：观察图象可知：（1）玲玲到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米；
（2）玲玲第一次休息的时间为：2﹣（30﹣10）÷ ＝0.5（小时）；
（3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷（10﹣9）＝10（千米/时）；
10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）＝15（千米/时）；
10.5～11时，速度为0；
11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）＝12.5（千米/时）；
12～13时，速度为0；
13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）＝15（千米/时）；
可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时，两段时间的速度都是15千米/小时．
【点评】本题是一道函数图象的基础题，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题
时所需的相关信息，因此本题实际上是考查同学们的识图能力．
21．某校一课外小组准备进行“西乡县半程马拉松”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有
一家印刷社，收费y（元）与印刷数x（张）之间的关系如表：
印刷数量x … 50 100 200 300 …
（张）
收费y（元） … 7.5 15 30 45 …
（1）上表反映了 印刷收费 和 印刷数量 之间的关系，自变量是 印刷数量 ，因
变量是 印刷收费 ；（2）从上表可知：收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而 增加 ；
（3）若要印制10000张宣传单，收费 150 0 元．
【分析】（1）由表格中数据变化可得答案；
（2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案；
（3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出10000张印刷收费即可．
【解答】解：（1）根据表格中的数据变化可得：
上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费，
故答案为：印刷收费；印刷数量；印刷数量；印刷收费；
（2）增加；
（3）由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为7.5÷50＝0.15（元），
所以印刷10000张的费用为：0.15×10000＝1500（元），
故答案为：1500．
【点评】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的
单价是解决问题的关键．
22．在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，某医药研究所正在试研发一种抑制新型冠状病
毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的
含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足图中折线．
（1）求注射药物后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式，并写出自变量的取值
范围；
（2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，对控制病情是有效的．如果病人按
规定的剂量注射该药物后，求控制病情的有效时间．
【分析】（1）观察函数的图象可知，本题的函数是个分段函数，应该按自变量的取值范围进
行分别计算．
当0﹣1小时的时候，函数图象是个正比例函数，可根据1小时的含药量用待定系数法进行求
解；
当1﹣10小时时，函数的图形是个一次函数，可根据1小时和10小时两个时间点的含药量用
待定系数法求函数的关系式．
（2）在0﹣1小时的时间段内，当含药量上升到4微克时，控制病情开始有效，那么让这个区
间的函数值＝4求出这个时间点．
同理，可在1﹣10小时的时间段内求出另一个时间点，他们的差就是药的有效时间．
【解答】解：（1）当0≤t≤1时，设y＝k t，则6＝k ×1，∴k ＝6，∴y＝6t；
1 1 1
当1＜t≤10时，设y＝k t+b，
2∴ ，
解得 ，
y＝﹣ t+ ，
∴y＝ ；
（2）当0≤t≤1时，令y＝4，即6t＝4，
∴t＝ （或6t≥4，∴t≥ ）
当1＜t≤10时，令y＝4，即﹣ t+ ＝4，
∴t＝4．
∴注射药液 小时后开始有效，有效时间长为：4﹣ ＝ （小时）．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，要注意的是不同的自变量的取值范围内，函数意
义的不同．
23．已知y是关于x的函数，若存在x＝p时，函数值y＝﹣p，则称函数y是关于x的倩影函数，
此时点（p，﹣p）叫该倩影函数的影像点．
（1）判断函数y＝﹣ 是否为倩影函数，如果是，请求出影像点，如果不是，请说明理由；
（2）已知函数y＝﹣ +2x﹣k（k≠0）；
①求证：该函数总有两个不同的影像点；
②是否存在一个k值，使得函数y＝﹣ +2x﹣k（k≠0）的影像点的横坐标x ，x 都为整数，
1 2
如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点（p，﹣p）代入，有解则是倩影函数，求出影像点；
（2）①把点（p，﹣p）代入，得到关于p的二次方程，用根式判别式证明；
②在①的条件下，求出x的值，结合x为整数求出k的值．
【解答】（1）解：由题意得：把点（p，﹣p）代入y＝﹣ 得：﹣p＝ ，
解得：p ＝2，p ＝﹣2，
1 2∴函数y＝﹣ 是倩影函数，影像点为（2，﹣2），（﹣2，2）．
（2）①证明：把点（p，﹣p）代入y＝﹣ +2x﹣k（k≠0）得：﹣p＝ ，
化简得：3p2+（﹣6﹣k）p+k＝0，
∴Δ＝（﹣6﹣k）2﹣4×3×k＝k2+36＞0，
∴该函数总有两个不同的影像点．
②解：由①得，方程3p2+（﹣6﹣k）p+k＝0的解为：p＝ ＝1+ ，
∵影像点的横坐标x ，x 都为整数，
1 2
∴ 是6的整数倍，且k为整数，
设 ＝6n（n为整数），
化简得：3n2﹣nk﹣3＝0，
解得：k＝3n﹣ ，
∴n＝1或3，
当n＝1时，k＝0（舍），
当n＝3时，k＝8，
此时，x ＝4，x ＝ ，不符合题意，
1 2
综上所述：不存在k的值，使得影像点的横坐标x ，x 都为整数．
1 2
【点评】本题以新定义为背景，考查了反比例函数和一元二次方程的解相关知识点，解题的
关键是把（p，﹣p）代入函数解析式后，结合根式判别式Δ判断一元二次方程的根情况．
24．已知正方形ABCD的边长是2，E是CD的中点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，
到达E点即停止运动，若点P经过的路程为x，△APE的面积记为y，试求出y与x之间的函
数解析式，并求出当y＝ 时，x的值．
【分析】分为三种情况：当P在AB上，根据y＝ AP×AD，代入求出即可；当P在BC上，
根据y＝S正方形ABCD ﹣S△ADE ﹣S△CEP ﹣S△ABP ，根据三角形的面积公式代入求出即可；当P在CE上，根据y＝ EP×AD，代入求出即可；把y＝ 代入解析式，求出x即可．
【解答】解：当P在AB上，即0＜x≤2时，如图1，y＝ AP×AD＝ ×x×2＝x；
当P在BC上，即2＜x≤4时，如图2，y＝S正方形ABCD ﹣S△ADE ﹣S△CEP ﹣S△ABP ，
＝2×2﹣ ×2×1﹣ ×1×（4﹣x）﹣ ×2×（x﹣2），
＝﹣ x+3；
当P在CE上，即4＜x≤5时，如图3，y＝ EP×AD＝ ×（6﹣1﹣x）×2＝﹣x+5；
∴
①当 时， ＝x．
解得 ；
②当 时， ＝﹣ x+3，
解得 x＝ （不合题意，舍去）；
③当 时， ＝﹣x+5，
解得 x＝ ；
综上所述，当y＝ 时，x的值是 或 ．【点评】本题考查了分段函数，三角形的面积公式，正方形的面积等知识点的应用，关键是
根据题意求出所有情况，注意：①要分类讨论，②利用规则图形的面积求不规则图形的面积
的方法．
