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知识点 27：圆周运动
考点一：圆周运动的运动学问题
题型一：圆周运动物理量计算的问题
【知识思维方法技巧】
圆周运动物理量的相互关系：
【典例1提高题】A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路
程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3 B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1 D．向心加速度大小之比为1∶2
【典例1提高题】【答案】A
【解析】时间相同，路程之比即线速度大小之比，A项正确；运动方向改变的角度之比即
对应扫过的圆心角之比，由于时间相同，角速度大小之比为 3∶2，B项错误；路程比除以
角度比得半径之比，为8∶9，C项错误；由向心加速度a ＝知线速度平方比除以半径比即
n
向心加速度大小之比，为2∶1，D项错误.
【典例1提高题对应练习】（多选）甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化
的关系图线如图所示，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图象可以知道( )
A．甲球运动时，线速度的大小保持不变 B．甲球运动时，角速度的大小保持不变
C．乙球运动时，线速度的大小保持不变 D．乙球运动时，角速度的大小保持不变
【典例1提高题对应练习】【答案】AD
【解析】图线甲中a 与r成反比，由a ＝可知，甲球的线速度大小不变，由v＝ωr可知，
n n
随r的增大，角速度逐渐减小，A正确，B错误；图线乙中a 与r成正比，由a ＝ω2r可知，
n n
乙球运动的角速度大小不变，由v＝ωr可知，随r的增大，线速度大小增大，C错误，D
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学科网（北京）股份有限公司正确。
题型二：圆周运动的传动问题
【知识思维方法技巧】
（1）皮带传动特点：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大
小相等，即v ＝v .
A B
（2）摩擦传动和齿轮传动特点：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，
两轮边缘线速度大小相等，即v ＝v .
A B
（3）同轴传动特点：如图所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ω ＝ω ，由v＝ωr
A B
知v与r成正比．
【典例2提高题】水平放置的三个不同材料制成的圆轮A、B、C，用不打滑皮带相连，如
图所示(俯视图)，三圆轮的半径之比为R ∶R ∶R ＝3∶2∶1，当主动轮C匀速转动时，
A B C
在三轮的边缘上分别放置一相同的小物块(可视为质点)，小物块均恰能相对静止在各轮的
边缘上，设小物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，小物块与轮 A、B、C接触面间的
动摩擦因数分别为μ 、μ 、μ ，A、B、C三轮转动的角速度分别为ω 、ω 、ω ，则( )
A B C A B C
A．μ ∶μ ∶μ ＝2∶3∶6 B．μ ∶μ ∶μ ＝6∶3∶2
A B C A B C
C．ω ∶ω ∶ω ＝1∶2∶3 D．ω ∶ω ∶ω ＝6∶3∶2
A B C A B C
【典例2提高题】【答案】A
【解析】小物块在水平方向由最大静摩擦力提供向心力，所以向心加速度a＝μg，而a＝，
A、B、C三圆轮边缘的线速度大小相同，所以μ∝，所以μ ∶μ ∶μ ＝2∶3∶6，由v＝Rω
A B C
可知，ω∝，所以ω ∶ω ∶ω ＝2∶3∶6，故只有A正确．
A B C
【典例2提高题对应练习】如图所示，圆桌桌面中间嵌着一可绕中心轴 O转动的圆盘，A
是圆盘边缘的一点，B是圆盘内的一点。分别把A、B的角速度记为ω 、ω ，线速度v 、
A B A
v ，向心加速度记为a 、a ，周期记为T 、T ，则( )
B A B A B
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学科网（北京）股份有限公司A．ω ＞ω B．v ＞v C．a ＜a D．T ＜T
A B A B A B A B
【典例2提高题对应练习】【答案】B
【解析】因A、B两点同轴转动，则角速度相同，则ω ＝ω ，选项A错误；因为r ＞r ，
A B A B
根据v＝ωr可知，v ＞v ，选项B正确；因为r ＞r ，根据a＝ω2r可知，a ＞a ，选项C
A B A B A B
错误；因ω ＝ω ，根据T＝可知，T ＝T ，选项D错误。
A B A B
题型三：圆周运动的周期性和多解性问题
【典例3提高题】(多选)如图所示，B球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，竖直平台
与轨迹相切且高度为R，当B球运动到切点时，在切点的正上方的A球水平飞出，不计空
气阻力，速度大小为 ，g为重力加速度，要使B球运动一周内与A球相遇，则B球
的速度大小可能为( )
A. B. C. π D. 2π
【典例3提高题】【答案】AB
【解析】A球在空中运动的时间t＝ ，水平位移x＝vt＝ R，A球与B球相遇从上
0
往下看有两种情况，如图所示，A球水平位移的投影与直径的夹角均为30°，若在C点相遇，
B球转过的角度为 π，则B球的速度大小为v ＝ ＝ ，若在D点相遇，B球转过
B
的角度为 π，则B球的速度大小为v ＝ ＝ ，A、B正确，C、D错误．
B
【典例3提高题对应练习】(多选)如图所示，在半径为R的水平圆盘中心轴正上方水平抛
出一小球，圆盘以角速度ω做匀速转动，当圆盘半径Ob恰好转到与小球初速度方向相同
且平行的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b，重力加速度为g，
小球抛出点a距圆盘的高度h和小球的初速度v 可能是( )
0
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学科网（北京）股份有限公司A. h＝ ，v＝ B. h＝ ，v＝
0 0
C. h＝ ，v＝ D. h＝ ，v＝
0 0
【典例3提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】取小球为研究对象，设从抛出到落到b点时间为t，而圆周运动的周期T＝ ，则
有t＝nT，则有h＝ gt2＝ ·g·( )2，而初速度v＝ ＝ ；当n＝1时，则h＝ ，
0 1
v＝ ；当n＝2时，则h＝ ，v＝ ；当n＝3时，则h＝ ，v＝ ；当n＝
0 2 0 3 0
4时，则h＝ ，v＝ .由以上分析可知，A、B、D正确，C错误．
4 0
考点二：圆周运动的动力学问题
【知识思维方法技巧】
圆周运动中的动力学问题：
（1）向心力的来源：由合外力提供，只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心力是按
力的作用效果命名的，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。
（2）向心力的确定：确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置；分析物体的受力
情况，合力沿半径方向的分力就是向心力。
（3）圆周运动问题的解题步骤：
①确定对象：确定物体圆周运动的轨道平面、圆心和半径。
②进行分析：分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力
分析几何关系，确定圆周运动的圆心、半径等；
③选择公式：根据牛顿运动定律和各力的关系列方程求解，向心力大小：F ＝ma＝m＝
向
mrω2＝mr＝mr4π2n2＝mωv，有时对结果进行必要的讨论。
（4）圆周运动中向心力与合力的关系：
①匀速圆周运动：
②非匀速圆周运动：
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学科网（北京）股份有限公司题型一：水平式圆周运动的动力学问题
类型一：车辆水平转弯模型
【典例1a提高题】如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎
的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是(
)
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
【典例1a提高题】【答案】D
【解析】汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；
汽车转弯的速度为20 m/s时，根据F ＝m，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大
n
静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为a
m
＝＝7.0 m/s2，D正确．
【典例1a提高题对应练习】(多选)如图所示，照片中的汽车在水平公路上做匀速圆周运动．
已知图中双向四车道的总宽度为15 m，内车道内边缘间最远的距离为150 m．假设汽车受
到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍．g取10 m/s2，则汽车( )
A．所受的合力可能为零 B．只受重力和地面支持力的作用
C．所需的向心力不可能由重力和支持力的合力提供 D．最大速度不能超过3 m/s
【典例1a提高题对应练习】【答案】CD
【解析】汽车做匀速圆周运动，则所受的合力不可能为零，选项A错误；汽车做匀速圆周
运动，竖直方向受重力和地面支持力的作用，水平方向受摩擦力作用，提供汽车做匀速圆
周运动的向心力，选项B错误；车在水平公路上做匀速圆周运动，则汽车所需的向心力不
可能由重力和支持力的合力提供，只由摩擦力提供，选项C正确；汽车转弯的最大半径为
r＝ m＋15 m＝90 m，由牛顿第二定律可得μmg＝m，解得v＝＝ m/s＝3 m/s，即汽车的
最大速度不能超过3 m/s，选项D正确．
类型二：火车水平转弯模型
【典例1b提高题】（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火
车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，
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学科网（北京）股份有限公司重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【典例1b提高题】【答案】AB
【解析】火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处
斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝，选项A正确；由上式得v
＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，选项B正确；当火车速率大于v时，重力和支
持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，选项 C错误；当
火车速率小于v时，重力和支持力的合力偏大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，
轮缘挤压内轨，选项D错误。
类型三：飞机水平转弯模型
【典例1c提高题】（多选）飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和
机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图所
示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力.设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀
速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T.则下列说法正确的是( )
A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大
B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大
C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大
D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变
【典例1c提高题】【答案】CD
【解析】对飞机进行受力分析，如图所示，根据重力和机翼升力的合力提供向心力，
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学科网（北京）股份有限公司得mgtan θ＝m＝mR，解得：v＝，T＝2π.若飞行速率v不变，θ增大，由v＝知，R减小，
则再由T＝2π知，T减小，故A、B错误；若θ不变，飞行速率v增大，由v＝知，R增大，
故C正确；若飞行速率v增大，θ增大，R的变化不能确定，则周期T可能不变，故D正
确.
类型四：飞车走壁模型
【典例1d提高题】(多选)如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥
母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处
做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．A、B球受到的支持力之比为∶3 B．A、B球的向心力之比为∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1 D．A、B球运动的线速度之比为1∶1
【典例1d提高题】【答案】CD
【解析】设小球受到的支持力为F ，向心力为F，则有F sin θ＝mg，F ∶F ＝∶1，选
N N NA NB
项A错误；F＝，F ∶F ＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径R＝htan
A B
θ，R ∶R ＝1∶3，由F＝mω2R得ω ∶ω ＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得v ∶v ＝
A B A B A B
1∶1，选项D正确．
【典例1d提高题对应练习】（多选）马戏团中上演的飞车节目深受观众喜爱。如图甲所示，
两表演者骑着摩托车在竖直放置的圆锥筒内壁上做水平匀速圆周运动。若将两表演者(含摩
托车)分别看作质点A、B，其示意简图如图乙所示，摩托车与内壁倾斜方向的摩擦力恰好
为零，则B质点做圆周运动的( )
A．周期较大 B．线速度较大 C．角速度较大 D．向心加速度较大
【典例1d提高题对应练习】【答案】AB
【解析】摩托车做匀速圆周运动，摩擦力恰好为零，由重力 mg和支持力F 的合力提供圆
N
周运动的向心力，作出受力分析图如图所示，则有向心力 F ＝mg tan α。由F ＝mω2r、
n n
F ＝m，得ω＝ ，v＝，由于B质点所处位置高，运动半径r大，则ω较小，v较大，故B
n
正确，C错误；因为T＝，而B质点角速度小，则其周期较大，故A正确；由F ＝ma ，
n n
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学科网（北京）股份有限公司得向心加速度a ＝g tan α，可知A、B两质点的向心加速度相等，故D错误。
n
类型五：圆锥摆运动模型
【思维方法技巧】
如图，在同一水平面上做匀速圆周运动（圆锥摆）的两个小球，由 mgtan θ＝mω2htan
θ，可以知道角速度（周期）相同。
【典例1e提高题】（多选）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，
细线的上端都系于O点，设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动．已知L 跟竖直方
1
向的夹角为60°，L 跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( )
2
A．细线L 和细线L 所受的拉力大小之比为 ∶1
1 2
B．小球m 和m 的角速度大小之比为 ∶1
1 2
C．小球m 和m 的向心力大小之比为3∶1
1 2
D．小球m 和m 的线速度大小之比为3∶1
1 2
【典例1e提高题】【答案】AC
【解析】对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为 θ，竖直方向受力平衡，则
Tcos θ＝mg，解得T＝，所以细线L 和细线L 所受的拉力大小之比为＝＝，故A正确；小
1 2
球所受合力的大小为mgtan θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mLω2sin θ，得ω2＝，故
两小球的角速度大小之比为＝＝，故B错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为F＝
mgtan θ，小球m 和m 的向心力大小之比为＝＝3，故C正确．两小球角速度大小之比为
1 2
∶1，由v＝ωr得线速度大小之比为∶1，故D错误．
【典例1e提高题对应练习】有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如右图所示，长为 L的
钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直
轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹
角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
【典例1e提高题对应练习】【答案】ω＝
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学科网（北京）股份有限公司【解析】设座椅的质量为m，匀速转动时，座椅的运动半径为R＝r＋Lsinθ ①；受力分
析如图，由牛顿第二定律，有mgtanθ＝mω2R ②；联立①②，得转盘角速度ω与夹角θ
的关系ω＝.
题型二：转盘水平式圆周运动的动力学问题
【典例2提高题】如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用
细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则(
)
A. 绳的张力可能为零
B. 桶对物块的弹力不可能为零
C. 随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D. 随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
【典例2提高题】【答案】C
【解析】当物块随圆桶做匀速圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，
因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的拉力的水平分力
恰好提供向心力的时候，圆桶对物块的弹力恰好为零，故B错误．
【典例2提高题】（多选）如图所示，A、B两个物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量是
m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，在转盘转速增加的过程中，两物
体始终相对盘静止，则( )
A．A与B的线速度大小之比为∶1 B．A与B的角速度之比为1∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶1 D．摩擦力对物体做正功
【典例2提高题】【答案】BD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】A、B同轴转动，角速度相等，即ω ∶ω ＝1∶1，由v＝rω得：v ∶v ＝r ∶r ＝
A B A B A B
2∶1，故A错误，B正确；根据a＝rω2知，a ∶a ＝r ∶r ＝2∶1，故C错误；由于只有
A B A B
摩擦力对物体做功，由动能定理得：W＝ΔE ，转盘转速增加则A、B动能增加，所以摩擦
f k
力对物体做正功，故D正确．
题型三：竖直面内的非匀速圆周运动的动力学问题
【知识思维方法技巧】
在竖直面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
（1）无支撑的“绳（环）约束模型”：本模型的分析方法和结论适用于“水流星”、“绳
球模型”、“过山车”、“竖直固定的光滑内侧圆弧轨道”等，其共同点为：物体做圆周
运动的速率时刻在改变，在最低点处的速率最大，在最高点处的速率最小。在最低点处向
心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；在最高点处，向心力向下，重力
也向下，所以弹力的方向不确定，临界情况是弹力为零，重力充当向心力。
（2）有支撑的“杆（管）约束模型”：本模型的分析方法和结论适用于“过拱形桥”、
“杆球模型”、“环形管内光滑轨道”等。在最高点的临界情况是所受弹力为零，速度为
零。
注意：常利用动能定理来建立最高点和最低点的速度联系。
类型一：竖直面内球—绳模型（无支撑绳约束模型）
【知识思维方法技巧】
竖直面内球—绳模型的处理技巧：
（1）球运动在最高点时无支撑。
球运动到最高点时：若v≥，F ＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力F ，
弹 弹
若v<，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。
（2）实例：球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
【典例3a提高题】质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时
刻，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．秋千对小明的作用力小于mg B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零 D．小明的加速度为零，所受合力为零
【典例3a提高题】【答案】A
【解析】在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的
夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明，沿摆绳方向受力分析有：F－mgcos θ＝
m，由于小明的速度为0，则有F＝mgcos θ时，mg＋F ＝m，F 指向圆心并随v的增大而增大。
弹 弹
【典例3b提高题】（多选）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在
光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述
中正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．v的值可以小于
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
【典例3b提高题】【答案】ABC
【解析】 细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A正确。
根据F ＝m知，速度增大，向心力增大，故B正确。当v＝时，杆的作用力为零，当v>时，
向
杆的作用力表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C正确。当v<时，杆的作用力表现为支
持力，速度减小，支持力增大，故D错误。
【典例3b提高题对应练习】（多选）奥运会单杠比赛中有一个“单臂大回环”动作，难度
系数非常大．假设运动员质量为m，单臂抓杠身体下垂时，手掌到人体重心的距离为l，在
运动员单臂回转从顶点倒立（已知此时速度为 0）转动至最低点的过程中(可将人视做质量
集中于重心的质点，且不考虑手掌与单杠间的摩擦力，重力加速度为 g)．下列分析正确的
有( )
A．到最低点处速度是2
B．在最低点处的加速度大小是4g
C．在最低点时运动员手臂拉力是其自身重力的3倍
D．经过最低点角速度最大且等于2
【典例3b提高题对应练习】【答案】ABD
【解析】运动到最低点时：v＝＝2，a＝＝4g；F－mg＝m，F＝5mg；ω＝＝2.由此可知，
C选项不正确．
类型三：竖直面内球—内轨模型
【典例3c提高题】未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来
的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示．当旋转舱绕
其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相
同大小的支持力．为达到上述目的，下列说法正确的是( )
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
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学科网（北京）股份有限公司B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小
【典例3c提高题】【答案】B
【解析】由题意知有mg＝F＝mω2r，即g＝ω2r，因此r越大，ω越小，且与m无关，B正
确．
【典例3c提高题对应练习】如图所示，在质量为M的物体内有光滑的圆形轨道，有一质
量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A与C两点分别是轨道的最高点和最低
点，B、D两点与圆心O在同一水平面上．在小球运动过程中，物体M静止于地面，则关
于物体M对地面的压力F 和地面对物体M的摩擦力方向，下列说法正确的( )
N
A．小球运动到A点时，F ＞Mg，摩擦力方向向左
N
B．小球运动到B点时，F ＝Mg，摩擦力方向向右
N
C．小球运动到C点时，F ＜(M＋m)g，地面对M无摩擦
N
D．小球运动到D点时，F ＝(M＋m)g，摩擦力方向向右
N
【典例3c提高题对应练习】【答案】B
【解析】小球在A点时，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，A项错
误；小球在B点时，需要的向心力向右，所以M对小球有向右的支持力的作用，对M受
力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物
体受力平衡，所以物体M对地面的压力F ＝Mg，B项正确；小球在C点时，小球的向心
N
力向上，所以物体M对小球的支持力要大于小球的重力，故 M受到的小球的压力大于
mg，那么M对地面的压力就要大于(M＋m)g，系统在水平方向上不受力，则地面对M没
有摩擦，C项错误；小球在D点和B点的受力的类似，M对小球的弹力向左，则小球对M
的弹力向右，则M受到地面的摩擦力方向向左，在竖直方向上，根据平衡条件知，F ＝
N
Mg，D项错误．
类型四：竖直面内球—外轨模型
【典例3d提高题】如图，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同
一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t ，第二次由C滑到A，所用的
1
时间为t ，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的
2
动摩擦因数恒定，则( )
A．t＜t B．t＝t
1 2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司C．t＞t D．无法比较t、t 的大小
1 2 1 2
【典例3d提高题】【答案】A
【解析】在滑道AB段上取任意一点E，比较从A点到E点的速度v 和从C点到E点的速
1
度v 易知，v>v.因E点处于“凸”形轨道上，速度越大，轨道对小滑块的支持力越小，因
2 1 2
动摩擦因数恒定，则摩擦力越小，可知由A滑到C比由C滑到A在AB段上的摩擦力小，
因摩擦造成的动能损失也小．同理，在滑道BC段的“凹”形轨道上，小滑块速度越小，
其所受支持力越小，摩擦力也越小，因摩擦造成的动能损失也越小，从 C处开始滑动时，
小滑块损失的动能更大．故综上所述，从A滑到C比从C滑到A在轨道上因摩擦造成的动
能损失要小，整个过程中从A滑到C平均速度要更大一些，故tF ，C选项正确，D选项错误．
BP AP
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学科网（北京）股份有限公司【典例1提高题对应练习】一质量为m的小球由轻绳a、b分别系于一轻质木架上的A和C
点，绳长分别为l 、l(且l≠l)，如图所示，当木架绕轴BC以角速度ω匀速转动时，小球
a b a b
在水平面内做匀速圆周运动，绳a在竖直方向，绳b在水平方向，当小球运动到图示位置
时，绳b被烧断的同时木架停止转动，重力加速度为g，则( )
A．小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B．在绳b被烧断瞬间，绳a中张力突然增大到mg＋mω2l
a
C．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动
D．绳b未被烧断时，绳a的拉力等于mg，绳b的拉力为mω2l
b
【典例1提高题对应练习1】【答案】D
【解析】绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向 C点，对小球受力分析，受重力
mg，a绳子的拉力F ，b绳子的拉力F ，根据牛顿第二定律有F －mg＝0，F ＝mω2l ，小
1 2 1 2 b
球的线速度为v＝ωl ，绳子断开后，木架停止转动，由于惯性，小球将绕A点转动，若速
b
度较小，小球将在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平
面ABC的竖直平面内绕A点做完整的圆周运动，故A、C错误，D正确；在最低点时有F
a
－mg＝m，解得F ＝mg＋m>F ，则a绳中张力突然增大到mg＋m，故B错误。
a 1
【典例1提高题对应练习2】如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆
上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为 m的小球上，OA＝OB＝AB，现
通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，
若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )
A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg
C．AB绳的拉力范围为mg～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg
【典例1提高题对应练习2】【答案】B
【解析】当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相
同，设为F ，则2F cos 30°＝mg，F ＝mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于
1 1 1
零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F ，则F cos 30°＝mg，F ＝mg，因此
2 2 2
OB绳的拉力范围为mg～mg，AB绳的拉力范围为0～mg，B项正确．
题型二：物体接触与脱离的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
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学科网（北京）股份有限公司运动物体与固定相接触或脱离临界条件是：物体间的弹力恰好为零
类型一：水平式圆周运动的锥体模型
【典例2a提高题】如图甲所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的
小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小
球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.(g取10 m/s2，
结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω 至少为多大？
0
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【典例2a提高题】【答案】(1) rad/s (2) rad/s
【解析】(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆
周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式
得：mgtan θ＝mωlsin θ，解得：ω＝，即ω＝ ＝ rad/s.
0
(2)同理，当细线与竖直方向成 60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式：mgtan α＝
mω′2lsin α，解得：ω′2＝，即ω′＝ ＝ rad/s.
【典例2a提高题对应练习】如图甲所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m
＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝
37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.(g取
10 m/s2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω 至少为多大？
0
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
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学科网（北京）股份有限公司【典例2a提高题对应练习】【答案】(1) rad/s (2) rad/s
【解析】(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示．小球做匀速圆
周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式
得：mgtan θ＝mωlsin θ，得：ω＝，即ω＝ ＝ rad/s.
0
(2)同理，当细线与竖直方向成 60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式：mgtan α＝
mω′2lsin α，解得：ω′2＝，即ω′＝ ＝ rad/s.
类型二：竖直面内圆周运动的内轨模型
【典例2b提高题】质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，如图所示，经
过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压
力值是( )
A．0 B．Mg C．3mg D．5mg
【典例2b提高题】【答案】C
【解析】小球恰好通过最高点时，只受到重力作用，重力完全充当向心力，则有 mg＝m，
当小球到达最高点速率为2v时，应有F＋mg＝m，联立解得小球受到轨道的支持力大小为
F＝3mg，根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为3mg，故C项正确，A、B、D错
误。
类型三：竖直面内圆周运动的外轨模型
【典例2c提高题】半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一个小物体m，如图所
示，今给它一个水平的初速度v＝，则物体将( )
0
A．沿球面下滑至M点 B．先沿球面至某点N，再离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道运动 D．立即离开半球做平抛运动
【典例2c提高题】【答案】D
【解析】小物体在半球面的顶点，若是能沿球面下滑，则它受到的半球面的弹力与重力的
合力提供向心力，有mg－F ＝＝mg，F ＝0，这说明小物体与半球面之间无相互作用力，
N N
小物体只受到重力的作用，又有水平初速度，小物体将做平抛运动，D选项正确；即使小
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学科网（北京）股份有限公司物体的初速度为0，在光滑曲面上的某点也将离开曲面，其高度我们在力的分解中已证明
为h＝R，A、B选项错误；离开曲面受恒力mg的作用，不可能做圆周运动，圆周运动的
合外力为变力，C选项错误．
类型四：竖直面内圆周运动的管道模型
【典例2d提高题】如图所示，一光滑的圆管轨道固定在竖直平面内，质量为m的小球在
圆管内运动，小球的直径略小于圆管的内径．轨道的半径为 R，小球的直径远小于R，可
以视为质点，重力加速度为g.现从最高点给小球以不同的初速度v，关于小球的运动，下
列说法正确的是( )
A．小球运动到最低点时，对外管壁的最小压力为4mg
B．若小球从静止沿轨道滑落，当滑落高度为时，小球与内、外管壁均没有作用力
C．小球能再运动回最高点的最小速度v＝
D．当v>时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为5mg
【典例2d提高题】【答案】B
【解析】当在最高点速度为零时，到达最低点的速度最小，对外管壁的压力最小，则由机
械能守恒定律有mg·2R＝mv 2，在最低点设外管壁对小球的支持力为F，由牛顿第二定律F
1
－mg＝m，联立解得F＝5mg，由牛顿第三定律得，小球对外管壁的压力最小为5mg，故
A错误；小球从静止沿轨道滑落，当滑落高度为时，由机械能守恒定律有mg＝mv 2，设此
2
时重力沿半径方向的分力为F ，由几何关系得F ＝，此时所需的向心力为F ＝m，联立
1 1 向
解得F ＝F ，此时重力沿半径方向的分力恰好提供向心力，所以小球与内、外管壁均没
向 1
有作用力，故B正确；因为管内壁可以给小球支持力，所以小球在最高点的速度可以为零，
故C错误；若在最高点速度v>，在最高点时由牛顿第二定律得F ＋mg＝m，从最高点到最
2
低点由机械能守恒定律得mg·2R＝mv 2－mv2，在最低点时由牛顿第二定律得F －mg＝m，
3 3
联立解得F －F ＝6mg，所以当v>时，小球在最低点与最高点对轨道的压力大小之差为
3 2
6mg，故D错误．
【典例2d提高题对应练习】如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内
侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )
A．小球通过最高点时的最小速度v ＝
min
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学科网（北京）股份有限公司B．小球通过最高点时的最小速度v ＝0
min
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
【典例2d提高题对应练习】【答案】B
【解析】小球在竖直放置的光滑圆形管道内的圆周运动属于轻杆模型，小球通过最高点的
最小速度为0，A错误，B正确；小球在水平线ab以下管道运动，由于沿半径方向的合力
提供做圆周运动的向心力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无
作用力，故C错误；小球在水平线ab以上管道中运动时，由于沿半径方向的合力提供做圆
周运动的向心力，当速度非常大时，内侧管壁没有作用力，此时外侧管壁有作用力，当速
度比较小时，内侧管壁有作用力，故D错误．
类型五：竖直面内匀速圆周运动模型
【典例2e提高题】如图所示是一个建筑工地经常使用的夯土机的简化模型．铁球的质量为
m(可视为质点)，铁砧的质量为M＝5m，连接铁球和铁砧的杆长为L，其质量不计．电动
机带动铁球绕着水平转轴O以某一角速度匀速转动，且球经过最高点时铁砧恰好对地没有
压力，重力加速度为g，重力加速度为g，求：
（1）角速度ω的大小；
（2）铁球经过最低点时铁砧对地面的压力大小
【典例2e提高题】【答案】(1) (2)12mg
【解析】(1)铁球经过最高点时，以M为研究对象，设M受到杆的拉力大小为F ，由平衡
1
条件得F ＝Mg，以m为研究对象，设m受到杆的拉力大小为F ，由牛顿运动定律得F ＋
1 2 2
mg＝mω2L，同一杆上的拉力相等F ＝F ，解得ω＝ ，(2)铁球经过最低点时以m为
1 2
研究对象，设m受到杆的拉力大小为F ，由牛顿运动定律得F －mg＝mω2L，以M为研究
3 3
对象，设M受到杆向下的拉力大小为F ，地面对铁砧的支持力大小为F，由平衡条件得F
4
＝Mg＋F 且F ＝F 解得F＝12mg，由牛顿第三定律得，铁砧对地面的压力大小F′＝F＝
4 3 4
12mg.
题型三：物体相对滑动的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F ＝，静摩擦力方向一定指向圆心。
m
（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在
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学科网（北京）股份有限公司一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大
且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
类型一：水平转盘静摩擦力控制物体的不发生相对滑动模型
【典例3a提高题】(多选)如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间
的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B与轴心间的距离均为
R，C与轴心间的距离为2R，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动，重力加速度为g)(
)
A. 物体C的向心加速度最大 B. 物体B受到的静摩擦力最大
C. ω＝ 是C开始滑动的临界角速度 D. 当圆台转速增加时，B比A先滑动
【典例3a提高题】AC
【解析】物体绕轴做匀速圆周运动，角速度相等，有a ＝ω2r，物体C的转动半径最大，故
n
向心加速度最大，A正确；静摩擦力提供向心力，有F＝mω2r，故物体B受到的静摩擦力
f
最小，B错误；当物体C恰好未滑动时，静摩擦力达到最大，有μmg＝m·2Rω2，解得ω＝
，故临界角速度为 ，C正确；由C项分析可知，转动半径越大的临界角速度
越小，越容易滑动，与物体的质量无关，故物体C先滑动，物体A、B将一起后滑动，D
错误．
【典例3a提高题对应练习】如图所示，餐桌中心是一个半径为r＝1.5 m的圆盘，圆盘可绕
中心轴转动，近似认为圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计.已知放置
在圆盘边缘的小物体与圆盘间的动摩擦因数为μ ＝0.6，与餐桌间的动摩擦因数为μ ＝
1 2
0.225，餐桌离地高度为h＝0.8 m.设小物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力.
（1）为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度ω的最大值为多少？
（2）缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，餐桌半径 R
的最小值为多大？
（3）若餐桌半径R′＝r，则在圆盘角速度缓慢增大时，物体从圆盘上被甩出后滑落到地面
上的位置到从圆盘甩出点的水平距离L为多少？
【典例3a提高题对应练习】【答案】(1)2 rad/s (2)2.5 m (3)2.1 m
【解析】(1)由题意可得，当小物体在圆盘上随圆盘一起转动时，圆盘对小物体的静摩擦力
提供向心力，所以随着圆盘转速的增大，小物体受到的静摩擦力增大.当静摩擦力最大时，
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学科网（北京）股份有限公司小物体即将离开圆盘，此时圆盘的角速度达到最大，则有F ＝μF ＝mrω2，F ＝mg，两
fm 1 N N
式联立可得ω＝2 rad/s
(2)由题意可得，当物体滑到餐桌边缘时速度恰好减为零，对应的餐桌半径取最小值.设物体
在餐桌上滑动的位移为x，物体在餐桌上做匀减速运动的加速度大小为a，
则a＝，F＝μmg;所以a＝μg＝2.25 m/s2，物体在餐桌上滑动的初速度为v ＝ωr＝3 m/s，
f 2 2 0
由运动学公式0－v2＝－2ax可得x＝2 m，由几何关系可得餐桌半径的最小值为R＝＝2.5
0
m
(3)当物体滑离餐桌时，开始做平抛运动，平抛的初速度为物体在餐桌上滑动的末速度v′，
t
由题意可得v′2－v2＝－2ax′，由于餐桌半径为R′＝r，所以x′＝r＝1.5 m，解得v′＝1.5
t 0 t
m/s，设物体做平抛运动的时间为t，则h＝gt2，解得t＝＝0.4 s，物体做平抛运动的水平位
移为x″＝v′t＝0.6 m，所以由题意可得L＝x′＋x″＝2.1 m
t
类型二：水平转盘静摩擦力与轻绳控制异侧物体不发生相对滑动模型
【典例3b提高题】（多选）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳
相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为R ＝r，
A
R ＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆
B
盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是( )
A．绳子张力为T＝3μmg B．圆盘的角速度为ω＝
C．A所受摩擦力方向沿绳指向圆外 D．烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动
【典例3b提高题】【答案】ABC
【解析】两物体A和B随着圆盘转动时，合力提供向心力，有F ＝mω2R，B的轨道半径
合
比A的轨道半径大，所以B所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体
刚好还未发生滑动时，B所受的最大静摩擦力方向沿绳指向圆心，A所受的最大静摩擦力
方向沿绳指向圆外，以B为研究对象，有T＋μmg＝2mrω2，以A为研究对象，有T－μmg
＝mrω2，联立解得T＝3μmg，ω＝，故选项A、B、C正确；烧断绳子，对A分析，若A
恰好未发生相对滑动，有μmg＝mrω 2，解得ω ＝<ω，故此时烧断绳子A一定发生相对滑
A A
动，同理可得，B也一定发生相对滑动，选项D错误。
【典例3b提高题对应练习】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着
用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R ＝
A
r，R ＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，
B
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．此时绳子张力为3μmg
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为
D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【典例3b提高题对应练习】【答案】AC
【解析】两物体A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则 F＝mω2r，B的半径比A
的半径大，所以B所需向心力大，细绳拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未
发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对圆盘
沿半径指向圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得：F －μmg＝mω2r，F ＋μmg＝
T T
mω2·2r，解得：F ＝3μmg，ω＝ ，故A、C正确，B错误．烧断细绳瞬间A物体所需的向
T
心力为2μmg，此时烧断细绳，A的最大静摩擦力不足以提供向心力，则A做离心运动，故
D错误．
类型三：水平转盘静摩擦力与轻绳控制同侧物体不发生相对滑动模型
【典例3c提高题】(多选)如图甲所示，将质量为M的物块A和质量为m的物块B沿同一
半径方向放在水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接．物块与转盘间的最大静摩擦力
均为各自重力的k倍，物块A与转轴的距离等于轻绳长度，整个装置能绕通过转盘中心的
竖直轴转动．开始时，轻绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓
慢增大，绳中张力F 与转动角速度的平方ω2的关系如图乙所示，当角速度的平方ω2超过
T
3ω时，物块A、B开始滑动．若图乙中的F 、ω 及重力加速度g均为已知，下列说法正确
1 1
的是( )
A．L＝ B．L＝ C．k＝ D．m＝M
【典例3c提高题】【答案】BC
【解析】开始转速较小时，A、B两物块的向心力均由静摩擦力提供，当转速增大到一定程
度时，B的静摩擦力不足以提供向心力时，绳子开始有拉力，当转速再增大到一定程度，A
的最大静摩擦力也不足时，两者开始做离心运动，由题图乙可得：kmg＝m·2ω·2L，F ＋
1
kmg＝m·3ω·2L，可解得：L＝，k＝，选项A错误，B、C均正确；对物块A分析，kMg－
F ＝M·3ω·L，可推得M＝2m，D错误．
1
【典例3c提高题对应练习】如图所示，用长为L的轻绳(轻绳不可伸长)连接的甲、乙两物
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学科网（北京）股份有限公司块(均可视为质点)，放置在水平圆盘上，甲、乙连线的延长线过圆盘的圆心O，甲与圆心O
的距离也为L，甲、乙两物块的质量均为m，与圆盘间的动摩擦因数均为μ，物块与圆盘间
的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，甲、乙始终相对圆盘静止，则下列说法中正确的是(
)
A．圆盘转动的角速度最大为 B．圆盘转动的角速度最大为
C．轻绳最大弹力为μmg D．轻绳最大弹力为μmg
【典例3c提高题对应练习】【答案】BC
【解析】当ω较小时，甲、乙均由静摩擦力充当向心力，ω增大时，由F＝mω2r可知，它
们受到的静摩擦力也增大，而r ＝L，r ＝2L，r β。则( )
A．A的质量一定小于B的质量
B．A、B受到的摩擦力可能同时为零
C．若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力
D．若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大
【典例3d提高题】【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】当B受到的摩擦力恰为零时，受力分析如图；根据牛顿第二定律得：mgtan β＝
mω 2Rsin β，解得：ω ＝，同理可得：ω ＝，物块转动角速度与物块的质量无关，所以无
B B A
法判断质量的大小；由于α>β，所以ω >ω ，即A、B受到的摩擦力不可能同时为零；若A
A B
不受摩擦力，此时转台的角速度为ω >ω ，则B物块有向上的运动趋势，所以此时B受沿
A B
容器壁向下的摩擦力；如果转台角速度ω>ω ，A和B受沿容器壁向下的摩擦力，如果角速
A
度增大，A、B受到的摩擦力都增大，故只有D正确。
【典例3d提高题对应练习】如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转
的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速旋
图433
转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐
壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.
(1)若ω＝ω，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω；
0 0
(2)若ω＝(1±k)ω，且0＜k 1，求小物块受到的摩擦力大小和方向．
0
≪
【典例3d提高题对应练习】【答案】见解析
【解析】(1)小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小
物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供圆周运动的向心力，有 mgtan θ＝mω·Rsin
θ，代入数据得ω＝
0
(2)当ω＝(1＋k)ω 时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为 f，陶罐
0
壁对小物块的支持力为F ，沿水平和竖直方向建立坐标系，则水平方向：F sin θ＋fcos θ
N N
＝mω2·Rsin θ，竖直方向：F cos θ－fsin θ－mg＝0，代入数据解得：f＝mg；同理，当ω
N
＝(1－k)ω 时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则水平方向：F sin θ－fcos θ＝
0 N
mω2·Rsin θ，竖直方向：F cos θ＋fsin θ－mg＝0，代入数据解得：f＝mg
N
类型五：斜面转盘静摩擦力与重力控制物体不发生相对滑动模型
【知识思维方法技巧】
由摩擦力及其他力的合力提供向心力，发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值，
如图，小物体随倾斜圆盘匀速转动的最大角速度，就是在最下端时摩擦力达到最大静摩擦
力，由μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r，可求得ω的最大值。
【典例3e提高题】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度
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学科网（北京）股份有限公司ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间
的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10
m/s2.则ω的最大值是( )
A． rad/s B． rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
【典例3e提高题】【答案】C
【解析】物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好
要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝
mrω2，求得ω＝1.0 rad/s，C项正确，A、B、D项错误．
【典例3e提高题对应练习】如图所示，两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点)，静
止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为l，b到转
轴的距离为2l，物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩
擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，下列说
法中正确的是( )
A．a在最高点时所受摩擦力可能为0
B．a在最低点时所受摩擦力可能为0
C．ω＝是a开始滑动的临界角速度
D．ω＝是b开始滑动的临界角速度
【典例3e提高题对应练习】【答案】AD
【解析】a在最高点时可能有重力沿斜面的分力提供向心力，所以所受摩擦力可能为 0，故
选项A正确；a在最低点，由牛顿运动定律f－mgsin θ＝mω2l，所以a在最低点时所受摩
擦力不可能为0，故选项B错误；对a在最低点，由牛顿运动定律μmgcos θ－mgsin θ＝
mω2l，代入数据解得ω＝，故选项C错误；对b在最低点，由牛顿运动定律μmgcos θ－
mgsin θ＝mω2(2l)，代入数据解得ω＝，故选项D正确。
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