文档内容
综合训练 08 立体几何初步（28 种题型 60 题专练）
一．构成空间几何体的基本元素（共1小题）
1．（2023•淮北一模）如图所示，在三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，则剩
余的部分是（ ）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
二．棱柱的结构特征（共2小题）
2．（2023•中卫一模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 中，M，N分别为BD ，B C 的中点，点P在
1 1 1 1 1 1 1
正方体的表面上运动，且满足MP∥平面CND ，则下列说法正确的是（ ）
1
A．点P可以是棱BB 的中点 B．线段MP的最大值为
1
C．点P的轨迹是正方形 D．点P轨迹的长度为
3．（2023•五华区校级模拟）直三棱柱 ABC﹣A B C 中，AB＝AC＝AA ＝2 ，P为BC中点，AP＝
1 1 1 1
BC，Q为A C 上一点，A Q＝ ，则经过A，P，Q三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（
1 1 1
）
A． B．4 C． D．5
三．棱锥的结构特征（共2小题）
4．（2023•天津一模）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•龙华区校级模拟）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．
依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．
如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧
面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）
α
A． B． C． D．
四．棱台的结构特征（共2小题）
6．（2023•柳南区二模）如图，ABC﹣A B C 是一个正三棱台，而且下底面边长为6，上底面边长和侧棱
1 1 1
长都为3，则棱台的高为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023•二模拟）在正四棱台ABCD﹣A B C D 中，上、下底面边长分别为 ，该正四棱台
1 1 1 1
的外接球的表面积为100 ，则该正四棱台的高为 ．
五．旋转体（圆柱、圆锥、π圆台）（共2小题）
8．（2023•河北模拟）一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的 2倍，若该圆锥的体积为 ，
则该圆锥的母线长为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．9．（2023•让胡路区校级二模）古希腊亚历山大时期的数学家帕普斯在《数学汇编》第 3卷中记载着一个
确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这
条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，
即V＝sl（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，s表示平面图形的面积，l表示重心绕旋转轴旋转一周
的周长）．如图直角梯形ABCD，已知AD∥BC，AB⊥AD，AD＝4，BC＝2，则重心G到AB的距离为
（ ）
A． B． C．3 D．2
六．球内接多面体（共4小题）
10．（2023•武功县校级模拟）如果一个凸多面体的每个面都是全等的正多边形，而且每个顶点都引出相
同数目的棱，那么这个凸多面体叫做正多面体．古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》的卷 13
中系统地研究了正多面体的作图，并证明了每个正多面体都有外接球．若正四面体、正方体、正八面体
的 外 接 球 半 径 相 同 ， 则 它 们 的 棱 长 之 比 为 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023•山西模拟）在正三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝2，AA ＝3，以C 为球心， 为半径的球面
1 1 1 1 1
与侧面ABB A 的交线长为（ ）
1 1
A． B． C． D．12．（2023•梅河口市校级模拟）若球 O是正三棱锥A﹣BCD的外接球， ，点E在线段
BA上，BA＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
π π
13．（2023•河南二模）在正三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝2，AA ＝3，以C 为球心， 为半径的球面
1 1 1 1 1
与侧面ABB A 的交线长为（ ）
1 1
A． B． C． D．
七．球外切几何体（共2小题）
14．（2023•全国模拟）四个半径为1的球两两相切，则它们的外切四面体棱长为（ ）
A． B． C． D．
（多选）15．（2023•小店区校级模拟）如图，棱长为 2的正方体ABCD−A B C D 的内切球球心为O，
1 1 1 1
E、F分别是棱AB、CC 的中点，G在棱BC上移动，则（ ）
1
A．对于任意点G，OA∥平面EFG
B．存在点G，使OD⊥平面EFG
C．直线EF的被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得截面圆面积的最小值为
八．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）
16．（2023•深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（
）
A．384 B．392 C．398 D．404
π π π π17．（2023•漳州模拟）已知某圆锥的底面半径为1，高为 ，则它的侧面积与底面积之比为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
18．（2023•徐州模拟）在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，
来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称
号．如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（
）
A．54 B． C． D．
九．棱柱、棱锥、棱台的体积（共10小题）
19．（2023•蕉城区校级模拟）“辛普森（Simpson）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体
的体积V等于其上底面的面积S、中截面（过高的中点且平行于底面的截面）的面积 S 的4倍、下底面
0
的面积S'之和乘以高h的六分之一，即 ．我们把所有顶点都在两个平行平面内的
多面体称为拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面．中国古
代名词“刍童”（原来是草堆的意思）就是指上下底面皆为矩形的拟柱体．已知某“刍童”尺寸如图所
示，且体积为 ，则它的高为（ ）
A． B． C． D．4
20．（2023•张家口三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今 2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图，是某高一年级学生制作
的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且DF⊥AB，AC＝BC＝2，
∠ACB＝120°，当AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为（ ）
A． B． C． D．
（多选）21．（2023•湖北模拟）如图，正方体ABCD﹣A B C D 棱长为2，P是直线A D上的一个动点，
1 1 1 1 1
则下列结论中正确的是（ ）
A．BP的最小值为
B．PA+PC的最小值为
C．三棱锥B ﹣ACP的体积不变
1
D．以点B为球心， 为半径的球面与面AB C的交线长
1
（多选）22．（2023•华容县模拟）如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的
中点，将△ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P﹣BCED，则（ ）
A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3
B．存在某个点P位置，满足平面PDE⊥平面PBCC．当PB⊥PC时，直线PB与平面BCED所成角的正弦值为
D．当 时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为
（多选）23．（2023•庐阳区校级模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 中，点P为线段AD （包括
1 1 1 1 1
端点）上一动点，则（ ）
A．异面直线AD 与A C 所成的角为60°
1 1 1
B．三棱锥B ﹣PBC 的体积为定值
1 1
C．不存在点P，使得AD ⊥平面PCD
1
D．PB+PC的最小值为
24．（2023•西安模拟）表面积为100 的球面上有四点S、A、B、C，△ABC是等边三角形，球心O到平
面ABC的距离为3，若面SAB⊥面πABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为 ．
25．（2023•齐齐哈尔二模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB∥DC，DC＝AD
＝PD＝1，AB＝2，E为线段PA上一点，点F在边AB上且CF⊥BD．
（1）若E为PA的中点，求四面体BCEP的体积；
（2）在线段PA上是否存在点E，使得FE与平面PFC所成角的余弦值是 ？若存在，求出AE的长；
若不存在，请说明理由．26．（2023•福州模拟）如图，四边形 A ABB 是圆柱的轴截面，CC 是母线，点D在线段BC上，直线
1 1 1
A C∥平面AB D．
1 1
（1）记三棱锥B ﹣ABD的体积为V ，三棱锥B ﹣ABC的体积为V ，证明：V ＝2V ；
1 1 1 2 2 1
（2）若CA＝2，CB＝4，直线A C到平面AB D的距离为 ，求直线CC 与平面AB D所成角的正弦值．
1 1 1 1
27．（2023•定远县校级模拟）如图，圆锥PO的高为3，AB是底面圆O的直径，四边形ABCD是底面圆
O的内接等腰梯形，且AB＝2CD＝2，点E是母线PB上一动点．
（1）证明：平面ACE⊥平面POD；
（2）若二面角A﹣EC﹣B的余弦值为 ，求三棱锥A﹣ECD的体积．28．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，将
△PAB绕着PA逆时针旋转 到△PAD的位置，得到如图所示的组合体，M为PD的中点．
（1）当∠BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；
（2）当PC∥平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
一十．球的体积和表面积（共6小题）
29．（2023•惠州校级模拟）米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用
具，其外形近似一个正四棱台．米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，
如今也成为了一种颇具意趣的藏品．已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为2和4．侧棱长为 ．
则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C．32 D．40
π π
30．（2023•蕉城区校级模拟）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为
（ ）A． B． C． D．
（多选）31．（2023•深圳模拟）如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，
O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中正确的是（ ）
A．AO⊥平面BCD
B．球O的体积为
C．球O被平面BCD截得的截面面积为
D．球O被正四面体ABCD表面截得的截面周长为
32．（2023•屯昌县二模）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，AC＝ ，BC＝3，点P在棱BB
1 1 1 1
上，且PA⊥PC ，当△APC 的面积取最小值时，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．
1 1
33．（2023•张家口三模）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，
，则四棱锥P﹣ABCD外接球表面积为 ；若点Q是线段AC上的动点，则|PQ|+|QB|
的最小值为 ．
34．（2023•兴国县模拟）如图，正三角形ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，其中AB＝4，把
△ADE沿着DE翻折至△A′DE的位置，则当四棱锥A′﹣BCED的体积最大时，四棱锥A′﹣BCED
外接球的表面积为 ．一十一．多面体和旋转体表面上的最短距离问题（共2小题）
35．（2023•郴州模拟）已知圆台的上、下底面圆半径分别为10和5，侧面积为300 ，AB为圆台的一条母
线（点B在圆台的上底面圆周上），M为AB的中点，一只蚂蚁从点B出发，绕圆π 台侧面一周爬行到点
M，则蚂蚁爬行所经路程的最小值为（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
36．（2023•高新区校级模拟）已知点M是棱长为3的正方体ABCD﹣A B C D 的内切球O球面上的动点，
1 1 1 1
点N为线段B C 上一点，NC ＝2B N，DM⊥BN，则动点M运动路线的长度为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
一十二．三角形五心（共2小题）
37．（2023•河南模拟）已知点 O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足 ，
，则点O为该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
38．（2023•禅城区校级一模）在△ABC中，设 ，那么动点M的轨迹必通过
△ABC的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
一十三．组合几何体的面积、体积问题（共1小题）
39．（2023•东湖区校级一模）在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点G满足 ．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）求多面体ABCDE的体积最大值．
一十四．平面图形的直观图（共1小题）
40．（2023•弥勒市校级模拟）如图，若斜边长为2 的等腰直角△A'B'C'（B'与O'重合）是水平放置的
△ABC的直观图，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．8
一十五．斜二测法画直观图（共1小题）
41．（2023•建水县校级模拟）水平放置的平行四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O'A'B'C'，如图所示．此直观图恰好是个边长为 的正方形，则原平行四边形OABC的面积为 ．
一十六．简单空间图形的三视图（共1小题）
42．（2023•甘肃一模）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个
三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）
一十七．平行投影及平行投影作图法（共1小题）
43．（2023•济南三模）如图，正四面体ABCD的棱AB与平面 平行，且正四面体内的所有点在平面 内
α α
的射影构成图形面积的最小值是 ，则该正四面体的棱长为（ ）A． B．1 C． D．2
一十八．由三视图求面积、体积（共1小题）
44．（2023•苍梧县校级模拟）某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的表面积
为（ ）
A．65 B． C． D．60
一十九．平面的基本性质及推论（共2小题）
45．（2023•吉林模拟）已知 ， 是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ∩ ＝l，A 且Aα ，β则A l
B．若Aα，Bβ，C是∈平α面 内∈β不共线三∈点，A ，B ，则C
C．若直线a ，直线bα ，则a与b为异面∈β直线∈β ∉β
D．若A 且⊂αB ，则直⊂线β AB
46．（2023∈•α合肥模∈拟α ）已知正方⊂体αABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为4，M，N分别是侧面CD
1
和侧面BC
1
的中
心，过点M的平面 与直线ND垂直，平面 截正方体AC 所得的截面记为S，则S的面积为（ ）
1
A．5 α B．4 αC．7 D．9
二十．异面直线及其所成的角（共2小题）
47．（2023•琼山区校级一模）在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，
该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的
曲池，它的高为2，AA ，BB ，CC ，DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1
1 1 1 1
和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）
1 1A． B． C． D．
48．（2023•蕉城区校级二模）在长方体 ABCD﹣A B C D 中，A D和CD 与底面所成的角分别为 30°和
1 1 1 1 1 1
45°，则异面直线A D和B D 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1
A． B． C． D．
二十一．异面直线的判定（共1小题）
（多选）49．（2023•保山模拟）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示
GH，MN是异面直线的图形为（ ）
A． B． C． D．
二十二．空间中直线与直线之间的位置关系（共1小题）
50．（2023•顺义区二模）在正方体ABCD﹣A B C D 中，点M，N分别是棱DD 和线段BC 上的动点，则
1 1 1 1 1 1
满足与DD 垂直的直线MN（ ）
1
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条
C．有且仅有3条 D．有无数条
二十三．空间中直线与平面之间的位置关系（共1小题）
51．（2023•嵊州市模拟）已知不重合的平面 ， ， 和直线l，则“ ∥ ”的充分不必要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 α β γ α β
B．lα⊥ 且l⊥ β
α βC． ⊥ 且 ⊥
D．γ 内α的任γ何直β 线都与 平行
二十四．α 直线与平面平行（β共2小题）
52．（2023•白山二模）在正方体ABCD﹣A B C D 中，E，F分别为AB，A D 的中点，则（ ）
1 1 1 1 1 1
A．EF∥平面BB D B．EF∥平面B CD
1 1 1 1
C．EF⊥平面A BD D．EF⊥平面BC D
1 1
53．（2023•葫芦岛一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝PD，AB⊥PA，AD＝
4，AB＝BC＝2．E为PD的中点．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：点D到平面PAB的距离．
条件①：四棱锥V
P﹣ABCD
＝4；
条件②：直线PB与平面ABCD所成的角正弦值为 ．
二十五．直线与平面垂直（共2小题）
54．（2023•深圳模拟）如图，已知正方体ABCD﹣A B C D ，点P在直线AD 上，Q为线段BD的中点，
1 1 1 1 1
则下列命题中假命题为（ ）A．存在点P，使得PQ⊥A C
1 1
B．存在点P．使得PQ∥A B
1
C．直线PQ始终与直线CC 异面
1
D．直线PQ始终与直线BC 异面
1
55．（2023•张家口一模）已知正方体ABCD﹣A B C D ，则下列选项不正确的是（ ）
1 1 1 1
A．直线A B与B C所成的角为60°
1 1
B．A B⊥DB
1 1
C．DB ⊥平面ACD
1 1
D．B C⊥B D
1 1
二十六．平面与平面之间的位置关系（共1小题）
56．（2023•临汾模拟）“平面 与平面 平行”是“平面 内的任何一条直线都与平面 平行”的
（ ） α β α β
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二十七．平面与平面平行（共2小题）
57．（2023•辽宁一模）能使两个不同平面 与 平行的条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 α β
B．α， 垂直于同一个平β面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一条直线
α β
58．（2023•湖北模拟）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣EFGH中，点M是正方体的中心，将四棱锥M
﹣BCGF绕直线CG逆时针旋转 （0＜ ＜ ）后，得到四棱锥M'﹣B'CGF'．
α α π
（1）若 ，求证：平面MCG∥平面M'B'F'；（2）是否存在 ，使得直线M'F'⊥平面MBC？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
α α
二十八．平面与平面垂直（共2小题）
59．（2023•鲤城区校级模拟）设m，n为两条直线， ， 为两个平面，则 ⊥ 的充分条件是（ ）
A．m∥ ，n∥ ，m⊥n B．mα⊥ β，n∥ ，m⊥n α β
C．m⊥α，n⊥β，m⊥n D．m α，n β，m⊥n
60．（2023α•兴国县β 模拟）如图，在三棱柱 ABC﹣A
1
B⊂1 Cα1 中，⊂侧β 面AA
1
C
1
C是矩形，侧面BB
1
C
1
C是菱形，
∠B BC＝60°，D、E分别为棱AB、B C 的中点，F为线段C E的中点．
1 1 1 1
（1）证明：AF∥平面A DE；
1
（2）在棱BB 上是否存在一点G，使平面ACG⊥平面BB C C？若存在，请指出点G的位置，并证明你
1 1 1
的结论；若不存在，请说明理由．
