文档内容
《圆柱的体积（解决问题）》录音稿
同学们好，欢迎来到状元成才路慕课堂，我是小樱老师。今天我们继续学习六
年级下册第三单元圆柱的认识。
一、激活学生经验，引出问题
1.师：这个矿泉水瓶的容积是多少？
生：我看到标签上的“净含量”，所以它的容积是550毫升。
师：如果没有标签呢？
生：将瓶子里灌满水，把这些水倒到量杯中，就能测出瓶子的容积。
师：要是没有这些工具，甚至连一个玻璃杯都没有，怎么办？
2.揭示课题。
师：这节课,我们就来研究怎样求这个不规则瓶子的容积的问题。［板书课题：
圆柱的体积（3）］
二、体验过程，探索瓶子容积的计算方法
1.师：原本这是一瓶装满水的瓶子，已经喝了一部分，你能根据它来提一个数
学问题吗？
生1：瓶子里还有多少水？(师：求剩下多少水？)
生2：喝了多少水？(师：也就是瓶子的空气部分。)
生3：这个瓶子一共能装多少水？(师：也就是这个瓶子容积是多少。)
师：你觉得你能轻松解决什么问题？
生：求瓶子里还有多少水。
师：需要知道哪些信息呢？
生：剩下的水呈圆柱状，所以只要量出这个瓶子的底面直径和高，就能算出它
的体积。
2.师：关于喝了多少水的问题，你会解决吗？求瓶子的容积呢？
生：喝掉部分的形状是不规则的，没有办法计算。如果喝了多少水的问题不能
解决，瓶子的容积也没有办法求出来。
师：我们遇到的困难是瓶子上半部分空气的形状是不规则的，所以无法求出
它的体积。想一想，求不规则的物体的体积，我们通常会用到什么方法？
生：我们能不能把它转化成圆柱呢？
3. 师：能否将空气部分变成一个规则的立体图形呢？我们不妨把瓶子倒过来看看,你发现了什么？（视频）
生1：倒置后，瓶子里水的体积没变，但形状变了；瓶子里空气的体积也没有
变，但形状变成了一个圆柱。
生2：我还发现，瓶子倒过来后，水和空气的体积都没变。瓶子的容积本来是
水的体积加空气的体积。水的体积是一个圆柱，空气的形状也变成了一个圆柱。
那瓶子的容积，我们就可看作两个圆柱的体积之和。
师：你们听明白了吗？也请你试着说一说，怎样求出瓶子的容积吧。
三、自主探究，解决实际问题
1.请同学们到数学书第27页例7。一个内直径是8cm的瓶子里，水的高度是
7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。这个瓶子的容积是
多少？
师：请你认真阅读，理解一下这道题说的是什么意思？
生1：瓶子的内直径是8cm，水的高度是7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部
分是圆柱形，高度是18cm。求这个瓶子的容积。
生2：这个瓶子不是一个完整的圆柱，无法直接计算容积。能不能转化成圆柱
呢？
2. 师：结合我们前面的研究，请你仔细想一想，怎么能计算出瓶子的容积呢？
（动画）
3. 自己动手试试吧（暂停5秒）
4. 方法1：将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积，一个是瓶子里水的体积，记
作圆柱1，另一部分是空气的体积，记作圆柱2，空气的体积是不规则的，可以把
它转化成一个圆柱。
①水的体积：3.14×(8÷2)2×7=351.68（㎝³）
②空气的体积：3.14×(8÷2)2×18=904.32（㎝³）
③瓶子的容积：351.68+904.32=1256(cm3)=1256(mL)
在计算和圆有关的问题时，尤其是多步计算的问题，不必太早代入π的值，
这样可以减少计算的错误哦！
5. 你还能思考到别的方法吗？
方法2：将瓶子的容积转化成两个圆柱的体积后，这两个圆柱的底面积相等，
如果把这两个圆柱摞起来，就可以得到一个高是25cm的圆柱。也就是说，将瓶子的容积转化成了一个大圆柱的体积。(动画演示)
3.14×(8÷2)2×(7+18)
=3.14×16×25
=1256(cm3)
=1256(mL)
6.师：回顾解决这个问题的方法和过程，你有哪些收获？
生：在计算瓶子的体积时，我们利用体积不变的特性，把不规则图形转化成规
则图形来计算。在五年级计算梨的体积也是用了这样的方法。
师：转化的数学思想和方法不仅丰富了我们解决问题时的思考方向，也是一
种很好的解决问题的策略，这样的策略在生活中很常见也很实用。在解决瓶子容
积的问题中，实际上我们用到了数学学习中一项非常重要的知识——等积变形，
今后我们可以多运用等积变形，解决相应的实际问题。
四、实践应用，巩固提升
1.现在请大家把数学书翻到第27页，完成做一做。课件出示教科书P27“做一
做”。
师：请同学们自己试着用水瓶操作几次，你能想出解决办法吗？动手试试吧！
（暂停5秒）
判断辨析：错误情况“计算的是矿泉水瓶的容积”，这个同学做对了吗？
师：不对，这个同学求的是水瓶的容积。题目要我们解决的问题是“小明喝了
多少水”，其实就是求倒置后空气部分的体积。我们在解决问题时一定要认真分
析，理清题目的问题，再解答。
师：所以，我应该计算空气部分的体积，你做对了吗？
师：这道题和例题相似，也可以用转化的方法把不规则物体的体积转化成规
则的圆柱来进行计算。
2 .现在请大家把数学书翻到第29页，完成练习五第9题。两个底面积相等的
圆柱，一个高为4.5dm，体积为81dm³。另一个高为3dm，它的体积是多少？
师：这两个圆柱形状不同，但什么相同呢？（停顿）对，他们的底面积相等。那
我们是不是可以利用这个条件来计算第二个圆柱的体积呢？自己动手试试吧！
（暂停5秒）
师：我们先利用第一个圆柱的信息求出底面积，S=V÷h=81÷4.5＝18（dm²）再用公式V=Sh=18×3＝54（dm³）求出第二个圆柱的体积。
答：它的体积是54dm3。
你做对了吗？
3.现在请大家把数学书翻到第29页，完成练习五第10题。一个圆柱玻璃容器
的底面直径是10cm，把一块完全浸在这个容器的水中的铁块取出后，水面下降
2cm，这块铁块的体积是多少？
师：铁块的体积等于什么呢？还记得我们利用排水发计算不规则物体的体积
吗？（暂停）对，下降部分水的体积。
你会做吗？自己动手试试吧！（暂停5秒）
师：求下降部分水的体积就是求底面直径是10cm，高是2cm的圆柱的体积。
利用公式V=πr²h，用3.14×（10÷2）2×2＝157（cm³）
答：这块铁块的体积是157cm3。
同学们，你做对了吗？
五、课堂小结
师：今天的数学课，你们有哪些收获呢？
生：我们在计算瓶子的容积时，把瓶子分成两个部分，一个是水的体积，因为
是圆柱，所以可以直接求，另一个是空气部分，这是一个不规则物体，我们将它转
化成圆柱再来计算。
师：转化这种方法在我们小学阶段经常用到，
①在计算小数乘除法时，我们将小数乘除法这个新知识转化成已学过的整数
乘除法
②计算平行四边形、三角形、梯形、圆形面积时，转化成长方形面积
③计算圆柱体体积时，转化成近似的长方体
④不规则物体的体积，转化成规则物体
运用转化的方法，帮助我们解决了许多数学问题。
六、阅读并思考：教科书P30“你知道吗？”
1. 古希腊著名的数学家阿基米德（Archimedes)是历史上最杰出的数学家之
一。他曾经说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球。”
2. 按照他生前的遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图
形。
3. 为什么阿基米德希望在自己的墓碑上刻圆柱容球的图形呢？这是因为在他众多的科学发现当中，以圆柱容球定理最为满意。
4. 如图，圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容器中，盖上容器上盖后
球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密接触。
5. 如图，当圆柱容球时，球的直径与圆柱的高和底面直径相等。
假设圆柱的底面半径为r
V柱=πr²×2r=2πr³
V球=4/3 πr³
V球∶V柱=4/3 πr³∶2πr³=2∶3
即当圆柱容球时，球的体积正好是圆柱体积的三分之二。
6. 阿基米德还发现，当圆柱容球时，球的表面积也是圆柱表面积的三分之
二。你能求出球的表面积吗？
有兴趣的同学可以课后去尝试计算！
七、作业设计
接下的四道题是今天的家庭作业，请大家独立完成哦！
今天的课就上到这里，相信大家一定收获满满，我们下次再见！
