文档内容
2024~2025 学年度第一学期期中联合学业质量监测考试
高一数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，知两集合中的元素是点，进而求出公共点，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】因为 ， ，
由 ，解得 ，所以 ，
故选：B
2. 是有理数集， 是实数集，命题 ， ，则（ ）
A. 是真命题， ，
B. 是真命题， ，
C. 是假命题， ，D. 是假命题， ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据特值可判断命题 的真假，再结合命题的否定的概念可得 .
【详解】命题 ， ，
由 ， ，则命题 为假命题，
且命题 的否定为 ， ，
故选：C.
3. “方程 有实根”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由 得到 有实数根满足的条件，根据真包含关系得到答案.
【详解】 有实数根，故 ，
解得 或 ，
由于 是 的真子集，
故“方程 有实根”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4. 函数 的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.
详解】由题意得 ，解得 且 且 ，
【
故定义域为 .
故选：D
5. 函数 在 上的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数的性质判断 的单调性即可得出答案.
【详解】因为 在 上单调递减，
所以当 时取最小值为 .
故选：B．
6. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数 ， 和 的单调性，结合条件，即可求解.
【详解】因为 是减函数，所以 ，因为 在 上单调递增，又 ，所以 ，
又 是增函数，所以 ，则 ，
故选：A.
7. 若 在 上是减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的定义及单调性列不等式组，解不等式即可.
【详解】由已知函数 在 上单调递减，
当 时， 单调递减，则 ，
当 时， 单调递减，则 ，即 ，
又结合分段函数可知 ，综上所述 .
故选：D.
8. 已知正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用乘1法即得.
【详解】∵ ，∴
，
当且仅当 ,即 ， 时，取等号.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列“若 ，则 ”形式的命题中， 是 的充分不必要条件的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，若 ， 时，推不出 ，所以选项A错误，
对于选项B，由 ，得到 ，又 ，所以 ，即 ，
所以 可以推出 ，由选项A知 推不出 ，所以 是 的充分不必要条件，故选
项B正确，
对于选项C，易知 可以推出 ，取 ，显然满足 ，
但不满足 ，即 推不出 ，所以 是 的充分不必要条件，故选项C正确，
对于选项D，由选项C知， 推不出 ，所以选项D错误，故选：BC.
10. 下列与函数有关的命题中，正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若幂函数 的图象经过点 ，则
C. 若奇函数 在 有最小值 ，则 在 有最大值
D. 若偶函数 在 是减函数，则 在 是增函数
【答案】CD
【解析】
【分析】利用换元法和待定系数法分别求得AB选项函数解析式，进而可得函数值，再根据函数奇偶性可
判断CD选项.
【详解】A选项： ，设 ，
则 ， ，
即 ， ，A选项错误；
B选项：设幂函数 ，过点 ，则 ，
解得 ，所以 ，则 ，B选项错误；
C选项：由已知 为奇函数，则f (−x)=−f (x)，
在(0,+∞)有最小值 ，即 ， ，
则 时， ，即 ，
即 在 有最大值 ，C选项正确；D选项：由已知 为偶函数，
又 在(0,+∞)是减函数，设 ， ， ，
则 ， ， ，故 ， 故
即 在 是增函数，D选项正确；
故选：CD.
11. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（ ）
A. 当 时， ，当且仅当 取等，解得 或 ，又由 ，所以
，故 时， 的最大值是 .
B. 当 时， ，当且仅当 取取等，解得 或 ，又由 ，所以
，故 时， 的最小值为 .
C. 由于 ，当且仅当 取等，
故 的最小值是 .
D. 当 ，且 时，由于 ， ，又
，当且仅当 ， 取等，故当 ，且 时，的最小值为 .
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式的应用条件“一正，二定，三取等”分别判断各选项.
【详解】A选项：满足基本不等式的应用条件，正确；
B选项：不满足基本不等式的应用条件中的定值，错误；
正确的为当 时， ，
当且仅当 时取等，解得 或 ，
又 ，所以 ，故当 时， 的最小值为 ；
C选项：不满足基本不等式的应用条件中的取等，错误；
正确的为 ，设 ，则 ，
又函数 在 上单调递增，
所以当 即 时， 取最小值为 ，
即 的最小值为 ；
D选项：选项中运用两次基本不等式，且两次的取等条件不一致，所以错误；
正确的为：当 ，且 时，
，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
即 的最小值为 ，
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数的定义直接计算函数值.
【详解】由已知 ，则 ，
所以 ，且 ，所以 ，
故答案为： .
13. 函数 的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得 ，即 ，解得： ，
所以函数 的定义域是 ，
是由 和 复合而成，
因为 对称轴为 ，开口向下，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，而 单调递增，
所以 的单调递增区间是 ，
故答案为： .
14. 表示 与 中的较大者，设 ，则函数
的最小值是______.
【答案】0
【解析】
【分析】画出 的图象，数形结合得到ℎ(x)的最小值.
【详解】令 ，解得 或-1，
令 ，解得 或-1，
画出 的图象，如下：
显然ℎ(x)的最小值为0.
故答案为：0
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 集合 ， .
（1） 是实数集，若 ，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，先求出集合 ，进而求得 ，利用集合的运算，即可求解；
（2）根据条件得 ，再利用一元二次不等式的解法，对 进行分类讨论，求出集合 ，再利用集合
间的关系，即可求解.
【小问1详解】
当 时， ，由 ，得到 ，
所以 ，得到 或 ，
由 ，得到 ，所以 ，得到 或 ,
所以 或 .
【小问2详解】
由 ，得到 ，又 ，
当 时， ，所以 ，得到 ，
当 时， ，满足 ，所以 满足题意，
当 时， ，所以 ，得到 ，
的
综上，实数 取值范围为 .
16. 已知函数
（1）用定义法证明函数 在区间 上是增函数；（2）函数 的定义域为 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组 ，即可求解.
【小问1详解】
任取 ，且 ，
则 ，
又 ， ，则 ，所以 ，
得到 ，即 ，所以函数 在区间 上是增函数.
【小问2详解】
因为函数 的定义域为 ，且在区间 上是增函数，
由 ，得到 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 或 .
17. 幂函数 的定义域是全体实数.
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 在区间[0,4]上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为1，故 ；
（2） 在区间[0,4]上恒成立，当 时， 恒成立，当 时，参变分离，
得到 在 恒成立，由基本不等式求出 ，从而得到 ，得到答案.
【小问1详解】
由题意得 ，
解得a=2或 ，当 时， ，此时定义域不是全体实数，故舍去；
当a=2时， ，满足题意；
【小问2详解】
在区间[0,4]上恒成立，
即 在区间[0,4]上恒成立，
当 时， 恒成立，满足要求，
当 时，变形为 在 恒成立，
其中 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 ，解得 ，
实数k的取值范围是 .18. 如图， 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 . 动直线 与 的边共有两个
公共点，即 ，在 内且位于直线 右侧的区域面积为 .
（1）求 的解析式；
（2）设 ，证明： 是奇函数.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据分段函数的定义，分段讨论即可求出函数 的解析式；
（2）由（1）中结果，结合条件得 ，再利用奇偶函数的判断方法，即可证
明结果.
【小问1详解】
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，且 ，得到 ，所以
，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，由（1）知 ，
所以 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，
所以 ，故 ，又 定义域为 ，关于原点对称，
的
所以 是奇函数.
19. 已知函数 是 上的奇函数，（1）求实数 的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，可得 ，再利用条件 ，可求得 ，即可求解；
（2）利用函数单调性的定义得到 在区间 上单调递减，从而得到 ，令
，将问题转化成求 的值域，再利用二次函数的性质，即可求
解.
【小问1详解】
因为函数 是 上的奇函数，则 ，
又 ， ，得到 ，所以 ，
此时有 ，所以 ， ，满足题意，故实数 ， .
【小问2详解】
由（1）知 ，任取 ，
则 ，
因为 ，则 ，得到 ，所以 ，即 ，所以 在区间 上单调递减，
所以 时， ，
令 ，由 ，
得到 ，对称轴为 ，
当 时， 在区间 上单调递增，此时， ，
当 时， 在区间 上单调递减，此时， ，
当 时， ，
① 时， ，
② 是， ，
综上，当 时，函数 的值域为 ，
当 时，函数 的值域为 ，
当 时，函数 的值域为 ，
当 时，函数 的值域为 .
