文档内容
2025 年中考押题预测卷（重庆卷）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图的立体图形由相同大小的正方体积木堆叠而成． 拿走甲、乙、丙、丁中的一个积木后，此图形主
视图的形状发生了变化，则拿走的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．估计 的运算结果应在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
4．如图，一条光线 经平面镜的反射光线 经凹透镜折射后，其折射光线 的反向延长线过凹透镜的一个焦点 ．已知光线 的入射角为 ，反射光线 与折射光线 的夹角 ，则光线
与光线 所夹的锐角为（ ）
A．65° B． C． D．25°
5．如图．在平面直角坐标系中， 与 是位似图形，位似中心为点 ，若点 的对应点
，则 的面积与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
6．若点 ， 是反比例函数 图象上的两点，下列说法正确的是（ ）
A． B．当 时， C．当 时， D．当 时，
7．（2024·四川成都·模拟预测）将三项式展开，得到下列等式：
…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，
以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有
个数，则关于x的多项式 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
8．半圆的直径 在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且 ，连接 ，取 的中点
D，连接 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形 中， ，点 为 的中点，点 为 上一点，且 ，将线段 绕点
顺时针旋转 得到线段 ，若点 恰好落在线段 上，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如 在数轴上表示数 ， 对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：
对 ，1，2进行“Q运算”，得 ．下列说法正确的个数是（ ）
①对n， ，1进行“Q运算”的结果是8，则 ；
②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式；
③对4，5，6，7， ，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是 ．
A．0 B．1 C．2 D．3
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．计算： ．
12．酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没
有标签的无色溶液，分别是 溶液、 溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随机选了两瓶溶液并各滴
入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ．
13．如图，已知 ， ， ，若 ，则 的长度为 ．
14．若关于 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于 的分式方程
的解是正整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 ．
15．如图， 是 的直径，点 在 上，过点 作 于点 ，点 为 上一点，连接 交于点 ， ，延长 与过点 的切线交于点 ，若 ， ，则 ；
．
16．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如
， 就是一个“智慧数”，可以利用 进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的
正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号）
三、解答题 （本大题共8小题，其中17题16分，其余每题各10分，共86分.解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.）
17．先化简，再求值：
(1) ，其中 是满足条件 的合适的非负整数．
(2) ，其中 ， ．18．在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，
分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点和垂足构成的四边形是平行四边形．可以利用平
行四边形的判定方法得到此结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规，过点 作对角线 的垂线，垂足为点 ，连接 、 ．（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在平行四边形 中，连接 ， 于点 ， 于点 ．求证：四边形
是平行四边形．
证明： 四边形 为平行四边形， 且 ． ①______．
， ，同理可得， ． ②______
． ③______．
又 ， ，同理可得， ．
． ④______． 四边形 是平行四边形．
进一步思考：如果四边形 是矩形呢？我们发现，在矩形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点
作这条对角线的垂线，那么这两个顶点和垂足构成的四边形是⑤______．
19．国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购
买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解M，N两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行
了续航里程实测，并将测试的结果（续航里程用x公里（1公里＝1千米）表示，分成4组：A．
；B． ；C． ；D． ）；进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．10辆M款纯电动汽车的实际续航里程：330，375，435，410，410，470，380，365，365，410
b．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）：
c．10辆N款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：402，425，410，425．
d．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表：
平均数 中位数 众数 方差
M 395 395 a 1455
N 397 b 425 2070
根据以上信息，解答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)表格中的 ， ；
(3)根据上述数据，你认为M款和N款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条
即可）．(4)小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的四项性
能进行了打分（百分制），如下表：
续航里程得分 百公里加速得分 百公里能耗得分 智能化水平得分
甲车 82 90 85 100
乙车 80 100 90 90
续航里程、百公里加速、百公里能耗、智能化水平四项性能在小王心中所占比例是4：2：1：3，你认为小
王选择哪款车更合适？请说明理由．
20．某批发商购进哪吒、敖丙两种挂件，已知每个哪吒挂件的进价比每个敖丙挂件的进价贵 元，用 元
购买哪吒挂件的个数恰好与用 元购买敖丙挂件的个数相同．(1)求该批发商购进哪吒、敖丙两种挂件的单价各是多少元；
(2)若该批发商计划购进哪吒、敖丙两种挂件共 个，且决定将哪吒挂件以每个 元，敖丙挂件以每个
元的价格对外出售，若要获得总利润为 元，应购进哪吒、敖丙两种挂件各多少个？
21．景点A的南偏东 方向有景点B，景点A的正南方向 有景点C，景点A和景点C有一条笔直的
公路相连，景点B在景点C北偏东 方向，即线段 ，
(1)求景点B到公路 的最短距离（结果取整数）；
(2)景点B的东南方向 有景点D，求景点D到公路 的最短距离（结果取整数）．
参考数据： 取 ， 取 ， 取 ．22．如图1，在矩形 中，点 为 中点，连接 ， ，点 沿着 的方向
运动，到点 时停止运动，连接 ，设点 运动的路程为 ， 的面积为 ．
(1)直接写出 的解析式及自变量 的取值范围；(2)在图2中画出 的图象，并写出一条 的性质；(3)反
比例函数 如图所示，请直接写出 时，自变量 的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过
）．
23．如图1，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；(2)点 为第一象限抛物线上的一动点，作 于点 ，当 最大时，求点
的坐标；(3)如图2，将抛物线 向右平移一个单位长度得到抛物线 ，点 ， 都在抛物线 上，且分别在第一象限和第三象限，连接 ，分别交 轴、 轴于点 ，若 ，求证：直线
经过一定点．
24．在 中， ， ， 绕点C顺时针旋转角度α（ ）得到 ．
(1)如图1，若 ，连接 交 于点E，若 ，求 的长；
(2)如图2，若 ， 平分 交 于点F，连接 ，过点C作 ，在射线 上取
点G使得 ，连接 ，请用等式表示线段 、 、 之间的数量关系并证明；
(3)如图3，若 ，点P是线段 上一动点，将 绕点P逆时针旋转 得到 ，连接 ，M为的中点，当 取得最小值时，请直接写出 的面积．
