文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（重庆卷）
数学
（考试时间120分钟 满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、
C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．2025的相反数是（ ）
1 1
A．-2025 B．2025 C． D．−
2025 2025
2．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．反比例函数 （ ， ）的图象如图所示，点 是图象上一点，轴且与 轴交于点 ，点
是 轴上任意一点，若△ABC的面积为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
5．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口 处立一根垂直于
井口的木杆 ，从木杆的顶端 观察井水水岸 ，视线 与井口直径 交于点 ，如果测得
米， 米， 米，那么 为（ ）米
A． B． C． D．
6．如图1，在△ABC中， ．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．
图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的
直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（ ）
A．400 B．350 C．300 D．250
7．若 ，则m的值可以是（ ）
A．50 B．25 C．12 D．9
8．如图，正八边形 内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积之和是
（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 上， ， 、
交于点 ．若 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
10．依次排列的两个整式 ，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整
式 ；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式 ；将第3个
整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式 ，…以此类推，下列5个说法，
其中正确的结论有（ ）
①第9个整式为
②第 个整式中 与 的系数和为1；
③第8次操作与第9次操作得到的两个整式所有系数绝对值之和为
④第12次操作后得到的整式为
⑤当 时，第 次操作完成后，所有整式之和为 ．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线
上．）
11．计算： ．
12．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同，则一枚鸟卵孵化后的雏鸟为雌鸟的概率是
．
13．如图，在△ABC中， ，点 分别是 的中点，若点 在线段 上，且
，则 的度数为 ．
14．若 使关于 的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于 的分式方程
的解为非负数，则所有满足条件的整数 的和为 ．
15．如图，在△ABC中， ， ， ，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为 、 、 ，
则⊙O的半径为 ；连接 、 ，则 的值为 ．16．如果一个四位自然数M各数位上的数字互不相等且不为0，其中千位和十位之和为8，百位和个位之
和也为8，我们称M为“花开数”，记 ．如果一个四位自然数N各数位上的数字互不相等
且不为0，其中千位和十位之和为9，百位和个位之和也为9，我们称N为“长久数”，记 ．若
A为“花开数”，B为“长久数”．当A取最大值，B取最小值时，则 ；若
被9除余8， 被10整除，当 的值为某个自然数的平方时，B的值为
．
三、解答题：（本大题共8个小题，第17题16分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必
要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将答题过程书写在答题卡中对应位置上．
17．（1）计算： ；
（2）化简： ．
18．正月十五闹元宵，元宵节又称上元节或灯节，是中国的传统节日之一．某校以“弘扬传统文化，走进
元宵佳节”为主题在七、八年级中开展了知识竞赛．本次竞赛的满分为100分，所有参赛学生的成绩都不
低于75分．
【收集数据】从七、八年级中各随机抽取40名学生的成绩（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组： ， ，
， ， ）．
①八年级抽取学生的成绩在 这一组的具体数据是91，92，93，93，93，93，94，94．
②将八年级抽取学生的成绩整理并绘制成频数直方图（如下图）：
【分析数据】两个年级抽取学生的成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差七年级 91 90 98
八年级 91 m 100
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：表中m的值为________．
(2)若八年级有480名学生参加了此次竞赛，估计八年级参加此次竞赛的学生中成绩不低于90分的学生有
多少名．
(3)小明认为七、八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级成绩一样好．小颖认为小明的观点比较片面，
请结合上述信息帮小颖说明理由（写出一条即可）．
19．在 中， ．将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度 得到 ，点
A、B的对应点分别是点D、E．
(1)如图1，当点E恰好落在 边上时，求 的度数；
(2)如图2，当 时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边 的中点，求证：四边形 是平行
四边形．
20．【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．
如图所示．
【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．
【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料
一份或者不加料．
【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买
方案？
【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的 ．求B款加料的奶茶买了多少杯？
21．如图1是甲、乙两个圆柱形容器的轴截面示意图，乙容器中有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面始
终完全落在容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，甲、乙两个容器中水的深度 与注水
时间 之间的关系如图2所示．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)图2中折线 表示______容器中水的深度与注水时间之间的关系，线段 表示______容器中水的深
度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点 的纵坐标表示的实际意义是______；
(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同？
(3)若乙容器的底面积为 平方厘米（壁厚不计）．
①求甲容器的底面积（壁厚不计）；
②求乙容器中铁块的体积．
22．如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其右侧部分抽象后的几何
图形，其中点C是支干 上一可转动点，点P是中间竖杆 上的一动点，当点P沿 滑动时，点D随
之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时， 与 重合于竖干 ，经
测量 ， ．
(1)当 时，求竖杆最下端B到地面的距离 ；
(2)点P从点A滑动至 的中点的过程中， 变化的度数是多少？（参考数据： ≈1.73，结果精确
到 ）
23．如图，二次函数 的图象交x轴于点 ， ，交y轴于点C，点P是x轴上一动
点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段 上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形 面积的最大值，并求出此时点
N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使
以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请
说明理由．
24．综合与实践
数学兴趣小组发现：一些含有两条互相垂直的线段的图形中，某些线段之间存在特殊的数量关系．他们进
行了如下探究．
(1)猜想证明
如图（1），在正方形 中，点 ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上，且 ，请
判断 和 的数量关系，并加以证明．
(2)迁移探究
如图（2），在 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，求
证： ．
(3)拓展应用
如图（3），在矩形 中， ， ， 平分 交 于点 ，点 为 上一点，
交 于点 ，交矩形 的边于点 ．当 时，请直接写出 的长．
