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第 2 课时 勾股定理的实际应用
形是直角三角形或可构成直角三角形，在计
算中常应用勾股定理．
1．熟练运用勾股定理解决实际问题； 【类型二】 含 3 0 ° 或 4 5 ° 等特殊角的三
(重点) 角形与勾股定理的综合应用
2．勾股定理的正确使用．(难点) 由于过度采伐森林和破坏植被，
我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日
A 市测得沙尘暴中心在 A 市的正西方向
一、情境导入 300km的B处，以10km/h的速度向南偏东
60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的
范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否
会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；
若会，求出A市受沙尘暴影响的时间．
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在
吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只
在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从
A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最
近？ 解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求
二、合作探究 出∠ABC＝30°，再根据直角三角形30°角所
探究点一：勾股定理在实际生活中的应 对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB，
用 从而判断出A市受沙尘暴影响，设从D点开
【类型一】 勾股定理在实际问题中的简 始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理
单应用 列式求出CD的长，再求出受影响的距离，
然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．
解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由题
意得，∠ABC＝90°－60°＝30°，∴AC＝AB＝
×300＝150(km)，∵150＜200，∴A市受沙
如图，在离水面高度为5米的岸 尘暴影响，设从D点开始受影响，则AD＝
上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC 200km.由勾股定理得，CD＝＝＝50(km)，∴
的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳． 受影响的距离为2CD＝100km，受影响的时
问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子 间位100÷10＝10(h)．
是直的，结果保留根号)? 方法总结：熟记“直角三角形30°角所
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即 对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知
可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即 道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直
可求得AB的值，然后解答即可． 角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关
键．
探究点二：勾股定理在几何图形中的应
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5 用
米，则AB＝＝12米，6秒后，BC＝13－ 【类型一】 利用勾股定理解决最短距 离
0.5×6＝10米，则AB＝＝5米，则船向岸边 问题
移动距离为(12－5)米．
方法总结：在实际生产生活中有很多图
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展开，左面和上面展开，从而比较取其最小
值即可．
【类型二】 运用勾股定理与方程解决有
关计算问题
如图，四边形ABCD是边长为9
的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落
如图，长方体的长BE＝15cm，宽 在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且
AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上， B′C＝3，则AM的长是( )
且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体 A．1.5 B．2
的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距 C．2.25 D．2.5
离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：
如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝
＝5，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM
＝＝25(cm)．∵5＞25，∴第二种短些，此时
最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面 解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在
展开)所示，AM＝＝5(cm).5＞25，∴最短距 Rt△ ABM 中 ， AB2 ＋ AM2 ＝ BM2 ， 在
离为25cm. Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB
答：需要爬行的最短距离是25cm. ＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋
DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝
2，即AM＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线
段的长度为x，然后用含有x的式子表示其
他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理
列方程解答．
【类型三】 勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A所表示的
数为a，则a的值是( )
A.＋1 B．－＋1
C.－1 D.
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜
边长，再根据两点间的距离公式即可求出A
点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为
1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是，
方法总结：因为长方体的展开图不止一 那么点A所表示的数为－1.故选C.
种情况，故对长方体相邻的两个面展开时， 方法总结：本题考查的是勾股定理和数
考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展 轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的
开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长 符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨 三、板书设计
论三种情况：前面和右面展开，前面和上面 1．勾股定理在实际生活中的应用
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2．勾股定理在几何图形中的应用
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地
套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质
所在；另一方面对于立体图形转化为平面问
题在实际问题中抽象出数学模型还存在较
大的困难，在今后的教学中要通过实例不断
训练提高.
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