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课时规范练 5 一元二次方程、不等式
基础巩固练
1.(2024·山东威海模拟)已知集合A={x||x-a|<1},B={x|x2-x-2<0},若( A)∪B=R,则实数a
R
的取值范围是( )
∁
A.[-1,0] B.(-1,0)
C.(0,1) D.[0,1]
2.若关于x的不等式ax2+ax+2>0的解集是R,则实数a的取值范围是( )
A.{a|08} D.{a|a≤0或a>8}
mx+1
3.(2024·湖南岳阳模拟)已知A={x| ≤0},若2∈A,则m的取值范围是( )
mx-1
1 1
A.[ - , )
2 2
1 1
B.[- , ]
2 2
1 1
C.(-∞,- ]∪( ,+∞)
2 2
1 1
D.(-∞,- ]∪[ ,+∞)
2 2
4.(2024·广东广州模拟)在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数
x的取值范围是( )
A.(0,2) B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2)
5.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x ,x ),且x -x =15,则实数a的值是( )
1 2 2 1
5 5
A. B.-
2 2
15 5
C.± D.±
4 2
6.(多选题)(2024·河北石家庄模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-
∞,-2)∪(3,+∞),则下列选项中正确的是( )
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}
C.a+b+c>0
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D.关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集为(-∞,- )∪( ,+∞)
3 2
7.(多选题)已知实数a∈R,则关于x的不等式(x+a)(ax-1)<0的解集可能是( )
1
A.{x|-a
1或x<-a}
a
1
D.{x|x>-a或x< }
a
8.(2024·江苏盐城模拟)某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车刹车前的车
速v(单位:km/h)之间有如下关系:s=0.21v+0.006v2,在一次交通事故中,测得这种车的刹车
距离不小于39 m,则这辆汽车刹车前的车速至少为 km/h.
9.(2025·北京高三开学考试)已知关于x的不等式a(x-1)(x-2)>2x2-8x+8的解集为(-
∞,-1)∪(2,+∞),则a的值为 .
10.(13分)已知关于x的不等式ax2+5x-2a+1<0的解集是M.
(1)若-3∈M,求实数a的取值范围;
{ 7}
(2)若M= x|m0的解集为(-∞,m)∪( ,+∞),其
m
b 2
中m<0,则 + 的最小值为( )
a b
A.-2 B.2
C.2√2 D.3
12.(2024·江苏宿迁模拟)若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围
是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,-1]
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx13.(2025·八省联考,8)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是(
)
A.(-∞,1] B.[-2,1]
C.[-1,2] D.[-1,+∞)
x-1
14.(2024·辽宁大连检测)若不等式 +m<0的解集为{x|x<3或x>4},则m的值为
x+m
.
15.(2024·重庆巴蜀中学检测)已知一元二次不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-1,3),
1
则b-c+ 的最大值为 .
a
16.(13分)(2025·北京名校高三一轮)函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2.
(1)求m,n的值;
(2)若关于x的不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]恒成立,求k的取值范围;
f (x)
(3)令g(x)= ,若函数F(x)=g(2x)-r·2x在x∈[-1,1]上有零点,求实数r的取值范围.
x
创新应用练
17.(2024·陕西宝鸡模拟)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),则关于x的不等
式ax+b√x-1-a+c>0的解集为 .
18.(2024·浙江杭州模拟)定义开区间(a,b)的长度L=b-a.若关于x的不等式(m-3)x2-
2mx-8>0的解集是一个开区间,且区间的长度L满足L∈[1,2],则实数m的取值范围是
.
答案：
1.D 解析 由集合A={x||x-a|<1}={x|a-10,
2.B 解析 当a=0时,2>0恒成立,则a=0符合题意;当a≠0时,由题意可得 解得
a2-8a<0,
00.
所以x +x =2a,x x =-8a2.
1 2 1 2
5
因为x 2 -x 1 =15,所以152=(x 1 +x 2 )2-4x 1 x 2 =4a2+32a2,解得a=± .
2
6.ABD 解析 ∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),∴a>0,A正确;已知-2和
b
{-2+3=- ,
a
3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系得 则b=-a,c=-6a,不等
c
-2×3= ,
a
式bx+c>0,即-ax-6a>0,解得x<-6,B正确;a+b+c=-6a<0,C错误;对于D,关于x的不等式cx2-
1 1
bx+a<0,即-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<- 或x> ,D正确.故选ABD.
3 2
7.AD 解析 由(x+a)(ax-1)<0,当a=0时,不等式即为-x<0,解得x>0,即不等式的解集为{x|x>0};当
1 1 1
a>0时,解得-a0,解得x>-a或x< ,即不等式的解集为{x|x>-a或x< }.
a a a
1
综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x>0};当a>0时,不等式的解集为{x|-a-a或x< }.
a
结合选项可知只有AD符合题意.
8.65 解析 设这辆汽车刹车前的车速为v km/h(v>0),根据题意,有s=0.21v+0.006v2≥39,整理得
v2+35v-6 500≥0,解得v≥65或v≤-100(舍去),所以这辆汽车刹车前的速度至少为65 km/h.
9.3 解析 a(x-1)(x-2)>2x2-8x+8 (x-2)[ax-a-2(x-2)]>0 (x-2)[(a-2)x+4-a]>0.
⇔ ⇔
关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx当a=2时,原不等式等价于2(x-2)>0 x>2,故a=2不符合题意;当a≠2时,根据一元二次不等式的
a-4 ⇔
解集可得 =-1,解得a=3,而当a=3时,原不等式等价于(x-2)(x+1)>0 x<-1或x>2,故a=3符
a-2
⇔
合题意.综上,a的值为3.
10.解 (1)-3∈M等价于原不等式对x=-3成立,即9a-15-2a+1<0.
解得a<2,所以a的取值范围是(-∞,2).
{ 7} 7
(2)∵M= x|m0,且ax2+5x-2a+1=a(x-m)(x-m- ).
2 2
7
{-a(2m+ )=5,
2
展开并比较系数可知
7
am(m+ )=-2a+1,
2
2 7 7
故a(- m- )=a(m2+ m+2)=1.
5 10 2
39 27
{m2+ m+ =0,
7 2 7 1 10 10
而a>0,故m2+ m+2=- m- = >0,从而 解得m=-3,进而得到a=
2 5 10 a 7
m<- ,
4
1
=2.
2 7
- m-
5 10
经验证当a=2,m=-3时满足题意,所以a=2,m=-3.
1
11.D 解析 ∵ax2+bx+1>0的解集为(-∞,m)∪( ,+∞),
m
1
∴a>0,且m, 是方程ax2+bx+1=0的两根,
m
1 1
∴m· = ,得a=1;
m a
1 b 1
∴m+ =- =-b,即b=-(m+ ),
m a m
当m<0时,b=-(m+ 1 )=-m+(- 1 )≥2 √ -m·(- 1 ) =2,
m m m
1 b 2 2
当且仅当m= ,即m=-1时,等号成立,令f(b)= + =b+ (b≥2),由对勾函数的性质可知函数f(b)
m a b b
在[2,+∞)上单调递增,
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∴f(b)≥2+1=3, + 的最小值为3,
a b
故选D.
12.D 解析 不等式x2+px>4x+p-3可化为(x-1)p+x2-4x+3>0,令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,由题意可得
{ f (0)=x2-4x+3>0,
解得x<-1或x>3.故选D.
f (4)=4(x-1)+x2-4x+3>0,
{ x2-ax-2a2,x≥a,
13.B 解析 当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=
-x2+ax-2a2,22时,f(x)>0,故a>2不符合题意;
当02时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,
由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,解得02时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意;
当a<0,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a,
由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,解得-2≤a<0.
综上,-2≤a≤1.
(m+1)x+m2-1
14.-3 解析 原不等式可化为 <0 [(m+1)x+m2-1](x+m)<0,
x+m
⇔
由已知,可得m+1<0,且3和4是方程[(m+1)x+m2-1](x+m)=0的两个实根,即3和4是方程
(m+1)x2+(2m2+m-1)x+m(m2-1)=0的两个实根,
2m2+m-1
{ 3+4=- ,
m+1
所以 m(m2-1)
3×4= ,
m+1
m+1<0,
解得m=-3.
15.-2 解析 因为ax2+bx+c>0的解集为(-1,3),故-1,3为方程ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,
b
{-1+3=- ,
a
⇒
{b=-2a,
∴b-c+
1
=a+
1
=-(-a-
1
)≤-2(当且仅当a=
1
,a<0,即a=-1时,等号成
c c=-3a, a a a a
(-1)×3=
a
1
立),故b-c+ 的最大值为-2.
a
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16.解 (1)由题意,函数f(x)=x2-3mx+n的两个零点分别为1和2,可得 解得
4-6m+n=0, n=2.
3 1
(2)由(1)可得f(x)=x2-3x+2=(x- )2- ,
2 4
3 1
所以f(x)=x2-3x+2在x∈[0,5]上的最小值为f( )=- .
2 4
因为关于x的不等式f(x)-k>0在x∈[0,5]上恒成立,
1
所以k<-
.
4
f (x) x2-3x+2 2 2
(3)由题意,函数g(x)= = =x+ -3,可得F(x)=g(2x)-r·2x=(1-r)2x+ -3.
x x x 2x
2
因为F(x)在x∈[-1,1]上有零点,关于x的方程(1-r)2x+ -3=0在x∈[-1,1]上有解,即关于x的方程
2x
2 3
r= − +1在x∈[-1,1]上有解.
(2x)2 2x
1 1 3 1 3 1
令t= ,因为x∈[-1,1],所以t∈[ ,2],r=2t2-3t+1=2(t- )2- ,所以当t= 时,r取得最小值- ;
2x 2 4 8 4 8
当t=2时,r取得最大值3.
1
所以实数r的取值范围为[- ,3].
8
17.(2,5) 解析 因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),所以x=1,x=2是关于x的方程
b c
ax2+bx+c=0的两个根,且a<0,可得- =3, =2,所以b=-3a,c=2a,所以ax+b √x-1 -a+c>0可化为
a a
ax-3a√x-1-a+2a>0,即x+1<3√x-1,由x-1≥0,得x≥1,所以有(x+1)2<9(x-1),即x2-7x+10<0,解得
20,解得m>-4+2 或m<-4-2 ,则x +x = ,x x =- ,由1≤|x -x |
√10 √10 1 2 1 2 1 2
m-3 m-3
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≤2,得1≤√(x +x )2-4x x ≤2,即1≤ ( ) 2-4(- )≤2,化简得1≤ ≤2,
1 2 1 2 m-3 m-3 |m-3|
7
{m≤-15或m≥ ,
{3m2+38m-105≥0, 3
即(m-3)2≤4(m2+8m-24)≤4(m-3)2,等价于
即
14m≤33, 33
m≤ ,
14
7 7 33
因为-4-2 √10 >-15,-4+2√10< ,所以m的取值范围是(-∞,-15]∪[ , ]
3 3 14
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