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1.3 勾股定理的应用
1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（ ）
A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2
C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1
你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？
2．如图1，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A有一
只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，
请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）
3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A
爬到点C 处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．
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4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵
大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离
为6尺，请问水深多少？
1 / 3参考答案
1．C 若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0，k为常数）也是勾股数．
2．解：如下图：将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开．
则AC=24cm，BC= ·2πr=π·r≈18（cm）
∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=242+182，∴AB=30（cm）
∴它最短的爬行路程约为30×2=60（厘米）
3．（1）当蚂蚁在侧面A ABB 和侧面B BCC 上爬行时，爬行的最短路线的长设为
1 1 1 1
d ，则d 2=（2+1）2+32=18
1 1
（2）当蚂蚁在侧面A ABB 和上底面A B C D 上爬行时，由A到C 的最短路线的
1 1 1 1 1 1 1
长设为d ，则d 2=22+（3+1）2=20
2 2
（3）同理可求得蚂蚁在侧面A ADD 和D DCC 上爬行时，d 2=32+（1+2）2=18，蚂
1 1 1 1 3
蚁在底面ABCD，侧面D DCC 上爬行时，d 2=22+（1+3）2=20
1 1 3
所以，蚂蚁可沿A—M—C 爬行，如下图：
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或蚂蚁沿A—N—C 爬行，如下图：
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2 / 34．解：设水深为x尺
如图，Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62
∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5
答：水深4.5尺.
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