文档文本内容
凉山州 2026 届高中毕业班第二次诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1~4 BADA 5~8 CBBB
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得
3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.）
9．ABC 10．ABD 11．BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12． 13． 14．
四、解答题 （本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）
【详解】（1）因为 ，
所以 ， ..................................................（2
分）
因为 在点 处的切线方程为 ，
所以 ， ， ..................................................（4
分）
则 ，解得 ，所以 ； ..................................................（6
分）
（2）由（1）得 ，
令 ，因为 恒成立，即 ，解得 ， ......................................（8
分）
试卷第1页，共6页令 ，解得 ， 在 上单调递减；
令 ，解得 ， 在 上单调递增； ..........................................（12
分）
则当 时， 有极小值为 ，无极大值 . .....................................（13
分）
16．（15分）
【详解】（1）由题意，第一次摸到白球的概率为 ，...............................................（2
分）
即 ，解得 ，满足 ，所以 ， ..................................................（4
分）
记第 次摸到白球为事件 ,
则在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率
（另解： )． ......................................（7
分）
即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 ； .........................................（8
分）
（2）将袋子中所有小球排成一排，至少有两个白球相邻的概率为 ，若
即所有白球均不相邻的概率 ， ...............................................（9
分）
可以先排列黑球，通过插空法，让白球排列在黑球与黑球之间的空位上．
所以有 种排法， .................................................（11
试卷第2页，共6页分）
则 ，即有 ， ..........................................（12
分）
解得 ，又 ，即 ， ...............................................（14
分）
因为 ，所以 的最大值为 ． ...............................................（15
分）
17．（15分）
【详解】（1）解：设椭圆 的半焦距为 ，由已知得：
，解得： ， ..................................................（5
分）
所以椭圆 的方程为 ； ..................................................（6
分）
（2）设 ， ，
联立 ， ..................................................（7
分）
整理得 ，
由题意得 ， ..................................................（9
分）
， ， ..................................................（10
试卷第3页，共6页分）
所以 ， ..................................................（11
分）
..................................................（12
分）
令 ，
则
当且仅当 ，即 时取“ ”号， ..................................................（14
分）
所以 的面积的最大值为 ． ..................................................（15
分）
18．（17分）
【详解】（1）在 中，因为 ，
所以由正弦定理得 ， ..................................................（2
分）
即
所以 ..................................................（3
分）
而 ， ， ..................................................（4
分）
得到 ，即 成立； ..................................................（5
试卷第4页，共6页分）
(2).①因为 且由（1）题
所以 ，解得 或 （负根舍去）， ...................（7
分）
又 ..................................................（8
分）
且
................................................（11
分）
所以 ； ...............................................（12
分）
②证明：由①题可知 ，
即 ， ..................................................（13
分）
记 ，则 ， .................................（14
分）
，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ， .................................................（15
分）
由零点存在定理及 在 上单调递减可知，
试卷第5页，共6页在区间 内存在唯一实数 满足 ， ，
又 ，则 ， ..................................................（16
分）
所以 成立． ..................................................（17
分）
19．（17分）
【详解】（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，又 , ..................................................（1分）
∴ , , ， ..................................................（2
分）
∴ , ,
∴ ,又 ,
∴ ，又 ， ..................................................（4
分）
∴ 为 的角平分线， ..................................................（5
分）
又 ，即 ， ..................................................（6
分）
∴ ； ..................................................（7
分）
（2）①如图，在平面 上，过 作 的平行线 ，
则 ,记 确定的平面为 ，
显然 平面 平面 ，......................（8分）
试卷第6页，共6页若 ，则 ，
则平面 和平面 与平面 所成的角均为 ， ..............................（9
分）
如图，在平面 上，过 作 的垂线交于 ，
因为 平面 ，
所以直线 与平面 所成角为 与 , ...........................................（10
分）
则 , .................................................（11
分）
当且仅当 ，即 时取“=”号，
此时， 最大，
所以直线 与平面 所成角的最大值为 ； ..................................................（12
分）
②证明：记 为线段 的中点，
因为 ，
所以 ,
即 ,又 ，
所以 ，即 ， ..................................................（13分）
如图，以点 为原点， ， , 的方向分别为 轴、 轴、 轴
正方向，建立空间直角坐标系 ，因为 ，设 ，
设平面 与 轴交于 ，在平面 上以点 为原点， ， 的方向分别为 轴、 轴
试卷第7页，共6页正方向，建立平面直角坐标系 （长度单位与空间直角坐标系 相同）
平面直角坐标系 中设 ，
因为 ，
所以 ，消 得 ，
所以 的轨迹是离心率为 的椭圆，则 ， ................................................（14
分）
所以数列 的前 项和
则
当 时， ，不合题意； ..................................（15
分）
当 时， ，
显然数列 单调递增，
且 时， ，
， ..................................................（16
分）
即 ， 恒成立；
试卷第8页，共6页综上可知， 的最小值为2． ..................................................（17
分）
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试卷第11页，共6页
