凉山州2026届高中毕业班第二次诊断性考试数学答案_副本_12.2026年4月全国各地高考模拟卷_2026届四川省凉山州高三第二次诊断性考试全科_02数学_四川省凉山州高三第二次诊断性考试

凉山州 2026 届高中毕业班第二次诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1~4 BADA 5~8 CBBB
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得
3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.）
9．ABC 10．ABD 11．BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．
试卷第1页，共6页
6
7
13．2 14． ( 0 , 3 )
四、解答题 （本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）
【详解】（1）因为 f ( x ) = ( x + 1 ) a x ( a  0 , 且 a  1 ) ，
所以 f  ( x ) = ( x ln a + ln a + 1 ) a x ，xR .................................................（. 2分）
因为 f ( x ) 在点 ( 0 , f ( 0 ) ) 处的切线方程为y=2x+1，
所以 f ( 0 ) = 1 ， f  ( 0 ) = 2 ， .................................................（. 4分）
(0+1)a0 =1
则 ，解得
 (lna+1)a0 =2
a = e ，所以 a = e ； .................................................（. 6分）
（2）由（1）得 f(x)=(x+2)ex(xR)，
令 f(x)=0，因为 e x  0 恒成立，即x+2=0，解得 x = − 2 ， ......................................（8分）
令 f(x)0，解得 x  − 2 ， f (x)在(−,−2)上单调递减；
令 f(x)0，解得 x  − 2 ，f (x)在(−2,+)上单调递增； .........................................（. 12分）
则当x=−2时， f ( x )
公众号：高考试卷君
1
有极小值为 f (−2)=− ，无极大值 . ....................................（. 13分）
e2
16．（15分）【详解】（1）由题意，第一次摸到白球的概率为
试卷第2页，共6页
C
C
13
13
+ x
=
1
2
，...............................................（2分）
即
3
3
+ x
=
1
2
，解得 x = 3 ，满足 x  2 ，所以 x = 3 ， .................................................（. 4分）
记第 i 次摸到白球为事件 A
i
,
则在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率
p ( A
2
| A
1
) =
p (
p
A
(
1A
A
1
2)
)
=
A
A
1
2
2326
=
2
5
（另解： p ( A
2
| A
1
) =
C
C
1215
=
2
5
)． .....................................（. 7分）
即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为
2
5
； .........................................（8
分）
（2）将袋子中所有小球排成一排，至少有两个白球相邻的概率为p，若 p 
2
3
即所有白球均不相邻的概率 p
1

1
3
， ..............................................（. 9分）
可以先排列黑球，通过插空法，让白球排列在黑球与黑球之间的空位上．
所以有 A xx A 3x
+ 1
种排法， ................................................（. 11分）
AxA3 (x!)(x+1)x(x−1) 1
则 p = x x+1 =  ，即有x2−4x−30， .........................................（. 12分）
1 Ax+3 (x+3)! 3
x+3
解得 2 − 7  x  2 + 7 ，又 x  2 ，即 2  x  2 + 7 ， ..............................................（. 14分）
因为 x  N ，所以 x 的最大值为 4 ． ..............................................（. 15分）
17．（15分）
【详解】（1）解：设椭圆C的半焦距为 c ，由已知得：
a2 =b2+c2

 ab 2 21
 = ，解得：
 a2+b2 7
c=1

a 2 = 4 , b 2 = 3 ， .................................................（. 5分）
所以椭圆 C
公众号：高考试卷君
x2 y2
的方程为 + =1； .................................................（. 6分）
4 3
（2）设A(x,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2联立
试卷第3页，共6页
 x
x
4
=
2
m
+
y
y
3
+
2
3
= 1
， .................................................（. 7分）
整理得 ( 3 m 2 + 4 ) y 2 + 1 8 m y + 1 5 = 0 ，
由题意得  = 3  4 2  ( 3 m 2 − 5 )  0 ， ..................................................（9分）
y
1
+ y
2
= −
3
1
m
8
2
m
+ 4
， y
1
y
2
=
3 m
1 5
2 + 4
， .................................................（. 10分）
所以 S
 A B M
=
1
2
| y
1
− y
2
| ， ................................................（.. 11分）
=
1
2
 ( y
1
+ y
2
) 2 − 2 y
1
y
2
= 2 3 
3
3
m
m
2
2
+
−
4
5
..................................................（12分）
令 t = 3 m 2 − 5 ( t  0 ) ，
则
S
 A B M
=
2
2 t +
3 t
9
=
2
t +
39
t

2
2
t
3

9
t
=
3
3
当且仅当 t =
9
t
( t  0 ) ，即 t = 3 时取“ = ”号， ..................................................（14分）
所以  A B M 的面积的最大值为
3
3
． .................................................（. 15分）
18．（17分）
【详解】（1）在ABC中，因为 b c o s A = a c o s B + a ，
所以由正弦定理得 s in B c o s A = s in A c o s B + s in A ， .................................................（. 2分）
即 s in B c o s A − s in A c o s B = s in A
所以 s i n ( B − A ) = s i n A .................................................（. 3分）
而A,B(0,π)，B−A(−π,π)， ..................................................（4分）
得到B−A=A，即 2 A = B 成立； ..................................................（5分）
7
(2).①因为cosB= 且由（1）题2A=B
9
7
所以cos2A=1−2sin2A= ，解得
9
s i n A =
1
3
, 或 s in A = −
1
3
,
公众号：高考试卷君
（负根舍去）， ...................（7
分）
又sinC=sin(−A−B)=sin(−3A)=sin3A, ..................................................（8分）
且 sin3A=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos2 A+(1−2sin2 A)sinA
试卷第4页，共6页
= 2 s in A (1 − s in 2 A ) + (1 − 2 s in 2 A ) s in A
=3sinA−4sin3 A ................................................（11分）
所以 s in C = s in 3 A = 3 
1
3
− 4 （
1
3
） 3 =
2
2
3
7
； ..............................................（. 12分）
A A 1
②证明：由①题可知sinA=3sin −4sin3 = ，
3 3 3
A A 1
即4sin3 −3sin + =0， .................................................（. 13分）
3 3 3
1 1
记 f(x)=4x3−3x+ ,x(0, )，则
3 3
f ( s in
A
3
) = 0 , s in
A
3
（ 0 ,
1
3
） ， ................................（. 14分）
f ( x ) = 1 2 x 2 − 3 = 3 ( 2 x + 1 ) ( 2 x − 1 ) , x  ( 0 ,
1
3
) ，
1
当x(0, )时，
3
f ( x )  0 ，所以 f ( x ) 在 ( 0 ,
1
3
) 上单调递减，
又 f (
1
9
)  f (
1
8
) =
7
4
2 9
 ( −
1 3
3 8 4
)  0 ， ................................................（. 15分）
由零点存在定理及 f ( x ) 在 ( 0 ,
1
3
) 上单调递减可知，
在区间 ( 0 ,
1
3
) 内存在唯一实数 x
0
满足 f ( x
0
) = 0 ， x
0
 (
1
9
,
1
8
) ，
A A 1
又 f(sin )=0,sin （0, ），则
3 3 3
s in
A
3
= x
0
 (
1
9
,
1
8
) ， .................................................（. 16分）
所以
1
9
 s in
A
3

1
8
成立． .................................................（. 17分）
19．（17分）
【详解】（1）∵四边形BCCB 是矩形，
1 1
∴BC ⊥BB ，又
1
A A
1
/ / B B
1
, ..................................................（1分）
∴BC ⊥ AA ,
1
A H ⊥ 平 面 A B C , B C  平 面 ABC， ..................................................（2分）
∴BC⊥AH,AA  AH = A,
1
∴BC⊥平面AAH ,又AH 平面AAH ,
1 1
∴BC⊥AH，又AB= AC， ..................................................（4分）
∴AH为  B A C
公众号：高考试卷君
的角平分线， .................................................（. 5分）

又AB2+AC2 =BC2，即BAC = ， ..................................................（6分）
2∴
试卷第5页，共6页
 B A H =

4
； .................................................（. 7分）
（2）①如图，在平面 A B C 上，过 A 作 B C 的平行线 l ，
则AA  l = A,记
1
A A 和1 l 确定的平面为，
显然 平面 B C C
1
B
1
/ / 平面，......................（8分）
若n=1，则 c o s
1
2
 = − ，

则平面BCCB 和平面与平面ABC所成的角均为 ， .............................（. 9分）
1 1 3
如图，在平面 A B C 上，过H作 l 的垂线交于T，
因为 A
1
H ⊥ 平面ABC，
所以直线 A
1
A 与平面ABC所成角为  A
1
A H 与  A T1 H =

3
, ...........................................（10分）
则 ta n  A
1
A H =
A
H
1
H
A

A
H
1
H
T
= ta n  A T1 H = 3 , ................................................（. 11分）
当且仅当 A H = H T ，即 B C ⊥ A H 时取“=”号，

此时，AAH = 最大，
1 3
所以直线 A
1
A 与平面 A B C 所成角的最大值为

3
； .................................................（. 12分）
②证明：记O为线段 B C 的中点，

因为HBHC=−3，
所以 (
H O  + O  B ) 
(
H O  + O  C
) = − 3 ,
即 (
H O  + O  B ) 
(
H O  − O  B
) = − 3 ,又 B C = 4 ，
所以
H O  2
= 1 ，即HO=1， ..................................................（13分）
如图，以点 O 为原点，
O A  
，
O B  
,
H A 
1
 
的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴
正方向，建立空间直角坐标系 O x y z ，因为HO=1，设H(cost,sint,0)，
设平面与z 轴交于 O
1
 
，在平面上以点O 为原点，OA，OB的方向分别为x 轴、
1 1 1
y
1
轴
正方向，建立平面直角坐标系xO y （长度单位与空间直角坐标系
1 1 1
O x y z
公众号：高考试卷君
相同）
平面直角坐标系xO y 中设A(x,y)，
1 1 1 1
1
因为cosOAO =−cos= ，
1 2n所以
试卷第6页，共6页
 x
y
=
=
2
s
n
i n
c o
t
s t ,
，消 t 得
4
x
n
2
2
+ y 2 = 1 ( n  N  ) ，
所以 A
1
的轨迹是离心率为 e
n
1
的椭圆，则1−e 2 = ， ...............................................（. 14分）
n (2n)2
所以数列 { 1 − e
n
2 } 的前 n
1 1 1 1
项和S = + + + +
n （21）2 （22）2 （23）2 （2n）2
1 1 1 1
则S −S = + + + +
n+p n 4（n+1）2 4（n+2）2 4（n+3）2 4（n+p）2
当n=1时， S
1+ 3
− S
1
=
1
1
6
+
1
3 6
+
1
6 4
=
5
6
7
1
6
 0 .1 ，不合题意； ..................................（15分）
当n=2时， S
2 + p
− S
2
=
4 （
1
2 + 1 ） 2
+
4 （
1
2 + 2 ） 2
+
4 （
1
2 + 3 ） 2
+  +
4 （
1
2 + p ） 2
，
显然数列 { S
2 + p
− S
2
} 单调递增，
且p3时， S
2 + p
− S
2
=
4 （
1
2 + 1 ） 2
+
4 （
1
2 + 2 ） 2
+
4 （
1
2 + 3 ） 2
+  +
4 （
1
2 + p ） 2
，

4 （
1
2 + 1 ） 2
+
4 （
1
2 + 2 ） 2
+（
2 
1
） 5 2 − 1
+  +
[ 2 （ 2 +
1
p ） ] 2 − 1
=
1
3 6
+
1
6 4
+
1
2
 [ (
1
9
−
1
1 1
) +  + (
2 （ 2
1
+ p ） - 1
−
2 （ 2
1
+ p ） + 1
) ]
=
1
3 6
+
1
6 4
+
1
2
 [
1
9
−
2 （ 2
1
+ p ） + 1
]

1
3 6
+
1
6 4
+
1
1
8
=
5 7
5 7 6
 0 .1 ， .................................................（. 16分）
即  p  N  ， S
2 + p
− S
2
 0 .1 恒成立；
综上可知， n
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的最小值为2． .................................................（. 17分）永久高中群【无水印】
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