1561d9a8a64452ecb39d9c04a5a689db

主!编! 王建磐
副主编! 王继延
本册编写人员! 唐复苏!李文革!李!俊!吴中才
忻重义!胡耀华!张海营!胡同祥
义务教育教科书
数!学
八年级!上册
责任编辑!平!萍!周!鸿
责任校对!李琳琳
装帧设计!卢晓红!刘怡霖
插图绘制!上海翔绘网络科技有限公司
出!!版!华东师范大学出版社
社!!址!上海市中山北路"##"号!邮编$%%%#$
电!!话!%$& #%'$&###!行政传真%$& #$()$&%(
客服电话!%$& #$'#((")!
印刷者!上海新华印刷有限公司
开!!本!)')毫米*&%+$毫米!&,&#
印!!张!&$-$(
字!!数!$%"千字
版!!次!$%$(年(月第&版
印!!次!$%$(年(月第&次
书!!号!./01+)' ) ()#% #%2% +
定!!价!&(-%%元
出版人!王!焰
"如发现本版图书有印订质量问题# 请寄回本社客服中心调换或电话!"# $"%$&&'(联系$
致亲爱的同学
欢迎你升入八年级# 我们的小伙伴!
通过七年级的数学学习# 相信你已经感受到# %宇宙之大& 粒子之微& 火箭
之速& 化工之巧& 地球之变& 生物之谜& 日用之繁等各个方面# 无处不有数学的
贡献' !人类离不开数学!
现在摆在你面前的这本书是初中阶段数学教科书中的第三本!请你翻开这本
书# 与我们一起继续漫游数学世界# 结识更多& 更具魅力的数学朋友!
%数的开方' 是一种新的运算# 与你以前所学的平方& 立方运算有着密切的
联系!这一章还将引入一种新数(((无理数# 把数的集合扩充到实数集# 使数的
大家庭越来越丰富!
七年级时# 我们已经学会了整式的加减# 现在继续学习%整式的乘除' !
在此基础上# 我们还要学习因式分解# 它与整数的因数分解十分类似!所有这些
都是继续学习其他数学知识的重要基础# 也能进一步帮助你去解决问题!
你已经知道通过图形的变换(((轴对称& 平移与旋转# 有些图形可以完全重
合# 它们的形状和大小都相同# 即为全等图形!%全等三角形' 是最简单的全
等图形# 它们的对应边& 对应角都相等!你将学习判定三角形全等的各种简便方
法# 并将在以前说理的基础上# 学习一些有关演绎推理的知识# 掌握一些主要的
推理论证的方法# 在合情推理与演绎推理的结合中# 领略其中的奥秘!
你知道"##" 年在北京召开的国际数学家大会"$%&"##"$吗) 这次大会的会
徽# 就是' (##多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图!你将会在
%勾股定理' 这一章中认识这个弦图# 并学会运用勾股定理解决各种有趣
的问题!
%数据的收集与表示' 将告诉你收集数据的一些基本方法# 教你让数据说
话# 学会一些处理实际问题的方法!
%项目学习' 将引导你运用数学和其他相关学科的知识解决实际问题# 感受
数学在与其他学科融合中所彰显的功效!
数学世界继续欢迎你# 为你敞开着大门!
目录
第10 章
! 数的开方!1
10)1! 平方根和立方根!2
1)平方根!2
2)立方根!5
10)2! 实数!8
阅读材料!为什么说槡"不是有理数!'"
槡*的算法!'+
数学活动!探寻纸张规格的秘密!16
小结!17
复习题!18
第11 章
! 整式的乘除!21
11)1! 幂的运算!22
1)同底数幂的乘法!22
2)幂的乘方!23
3)积的乘方!25
4)同底数幂的除法!26
11)2! 整式的乘法!30
1)单项式与单项式相乘!30
2)单项式与多项式相乘!31
3)多项式与多项式相乘!32
11)3! 乘法公式!35
1)两数和乘以这两数的差!35
2)两数和" 差$ 的平方!37
阅读材料!贾宪三角!,"
11)4! 整式的除法!45
1)单项式除以单项式!45
2)多项式除以单项式!46
11)5! 因式分解!49
数学活动!面积与代数恒等式!53
小结!54
复习题!56
第12 章
! 全等三角形!59
12)1! 命题& 定义& 定理与证明!60
1)命题!60
2)定义& 定理与证明!62
阅读材料!图形中的%裂缝' !-*
12)2! 三角形全等的判定!67
1)全等三角形的判定条件!67
2)边角边!69
3)角边角!74
4)边边边!79
5)斜边直角边!83
阅读材料!由尺规作图产生的三大难题!.-
12)3! 等腰三角形!89
1)等腰三角形的性质!89
2)等腰三角形的判定!94
信息技术应用!探索三角形边& 角的关系!/(
12)4! 逆命题和逆定理!101
1)互逆命题和互逆定理!101
2)线段垂直平分线!102
3)角平分线!105
阅读材料!*几何原本+ !'#(
数学活动!三角形全等的判断!111
小结!112
复习题!114
第13 章
! 勾股定理!118
13)1! 勾股定理及其逆定理!119
1)直角三角形三边的关系!119
2)直角三角形的判定!123
3)反证法!126
阅读材料!勾股定理史话!'"/
信息技术应用!美丽的勾股树!'+'
13)2! 勾股定理的应用!133
数学活动!探索勾股定理的无字证明!138
小结!139
复习题!140
第14 章
! 数据的收集与表示!143
14)1! 数据的收集!144
1)数据有用吗!144
2)亲自调查获取一手数据!149
3)检索文献获取二手数据!152
阅读材料!谁是*红楼梦+的作者!'*+
14)2! 数据的表示!157
1)频数分布直方图!158
2)扇形统计图!162
3)容易误导读者的统计图!165
信息技术应用!计算机帮我们画统计图!'(#
数学活动!守护我们的健康!173
小结!174
复习题!175
项目学习5! 几何的妙用!181
项目学习6! 采集一手数据!183
后记!187
第10 章　数的开方
!!要剪出一张面积为"# $%
" 的正方形纸片! 正方形的边长应是多少"
解决此问题要用到平方根的概念!
!
本章将学习有关数的一种新的运算!!!开方! 在此基础上认识新朋
友!!!无理数! 把数的范围扩充到实数!
数学!八年级上册
10.1　平方根和立方根
1!平方根
本章导图中提出的问题! 就是已知正方形的面积为"# $%
"! 求这个正方形
的边长!
容易知道! 这个正方形的边长是# $%!
上述问题实质上就是要求一个数! 这个数的平方等于"# !
概括
&&如果一个数的平方等于"! 那么这个数叫做" 的平方根#'()*+,
+--.$!
因为#
" #"#! 所以#是"#的一个平方根!
又因为#$#$
" #"#! 所以$#也是"#的一个平方根!&
这就是说! #和$#都是"#的平方根!
根据平方根的意义! 我们可以利用平方运算来探求一个数的平方根!
"
例1&求/00的平方根!
解&因为/0
" #/00!
#$/0$
" #/00! 除了/0和$/0以外! 任何数的平方都
不等于/00! 所以/00的平方根是/0和$/0!也可以说! /00的平方根是%/0!
试一试
/!/11的平方根是什么"
"!0的平方根是什么"
2!$1有没有平方根" 为什么"
请你自己也编三道求平方根的题目! 并给出解答!&
!
第"#章!数的开方
概括
&&一个正数如果有平方根! 那么必定有两个!! 它们互为相反数!
显然! 如果我们知道了这两个平方根中的一个! 那么立即可以得到另
一个!
正数"的正的平方根! 叫做"的算术平方根! 记作槡" ! 读作%根号"&' 另
一个平方根是它的相反数! 即$槡" !因此! 正数"的平方根可以记作%槡" ! 其
中"称为被开方数!
槡" #" # 0$ 表
示" 的算术平方
根! 试就" &0 和
" # 0 两种情况!
分别说出它的意义!
因为0的平方等于0! 而其他任何数的平方都不
等于0! 所以0的平方根只有一个#就是0$! 也叫做0
的算术平方根! 记作槡0 !即槡0 #0!
因为任何有理数的平方都不可能是负数! 所以!
负数没有平方根!
求一个非负数的平方根的运算! 叫做开平方!将一个正数开平方! 关键是
找出它的算术平方根!
在例/中! 我们可以先求出/00 的算术平方根! 有槡/00 #/0! 然后得知
/00的平方根是%槡/00 #%/0!
"
例2&将下列各数开平方(
仿照小题# /$
的解答过程! 写出
小题#"$的解答!
#/$ 13' &&&&&&&&#"$ 1
"#!
解&#/$ 因为4
" #13! 所以槡13 #4! 因此13的
平方根为%槡13 #%4!
#"$ &
&
&!
在例/) 例" 中! 我们是通过观察! 利用开平方与平方的关系来求平方根
的!通常可用计算器直接求出一个正数的算术平方根#有时得到的是近似值$!
"
!! 数的范围从有理数扩充到实数以后#/0!"节$! 每一个正实数必定有两个平方根5
数学!八年级上册
"
例3&用计算器求下列各数的算术平方根(
#/$ #"3' &&&&
#"$ 11!6/#精确到0!0/$!
说明&用计算器求一个正数的算术平方根! 只需直接按书写顺序按键
即可!&
解&#/$ 本小题的按键顺序是(
!
显示结果为"2! 所以#"3的算术平方根为
槡#"3 #"2!
#"$ 本小题的按键顺序是(
!
显示结果为7!731 0"4 /66! 要求精确到0!0/! 所以11!6/的算术平方根为
槡11!6/ $7!73!
练　
习　
&'完成下列表格(
被开方数
0
/
1
3
/7
"#
27
13
71
6/
/00
算术平方根
平方根
"'说出下列各数的平方根(
#/$ 7 100' &&& &
#"$ 0!"#' &&&&
#2$ 13
6/!
#
第"#章!数的开方
('用计算器计算(
#/$ 槡747 ' &&
#"$ 槡"4!646 1 ' &&#2$ 槡1!""# #精确到0!0/$!
)'下列说法正确吗" 为什么" 如果不正确! 请予以改正!
#/$ /7的平方根是1' &&&&&
#"$ 槡"# #%#!
2!立方根
问题&要做一只容积为"/7 $%
2 的正方体纸盒! 正方体的棱长是多少"
思考
&&这个实际问题! 在数学上可以转化成一个怎样的计算问题" 从中
可以抽象出一个什么数学概念"
上面所提出的问题! 实质上就是要求一个数! 这个数的立方等于"/7 !容
易发现! 7
2 #"/7! 而且任何不等于7的数的立方都不等于"/7! 所以正方体的棱
长是7 $%!
概括
&&如果一个数的立方等于"! 那么这个数叫做"的立方根#$)8,+--.$ !
试一试
/!"4的立方根是什么"
"!9"4的立方根是什么"
2!0的立方根是什么"
请你自己也编三道求立方根的题目! 并给出解答!
$
数学!八年级上册
概括
&&任何数的立方根如果存在的话!! 必定只有一个!正数的立方根
是正数! 负数的立方根是负数! 0的立方根是0 !
数"的立方根! 记作
2槡" ! 读作%三次根号"&!其中! "是被开方数! 2是根
指数!求一个数的立方根的运算! 叫做开立方!
"
例4&求下列各数的立方根(
可以借助立方
运算求立方根! 也
可以用立方运算检
验开立方是否正
确!&
#/$ 6
"4' &&&#"$ $/"#' &&&#2$ $0!006!
解&#/$ 因为
"
2( )
2
#6
"4! 所以
&&&&&&&&&&&
2 6
"4槡
#"
2 !
仿照前两道小
题的解答过程! 写
出小题#2$ 的解答!
&
#"$ 因为#$#$
2 #$/"#! 所以
&&&&&&&&&&&
2 $
槡/"# #$#!
#2$ &
&
!
&!
"
例5&用计算器求下列各数的立方根(
#/$ / 22/' &&&&&&&&
#"$ 3!"72#精确到0!0/$!
说明&用计算器求一个有理数的立方根! 只需直接按书写顺序按键即可!
解&#/$ 本小题的按键顺序是(
!
显示结果为//! 所以
2槡/ 22/ #//!
%
!! 数的范围从有理数扩充到实数以后#/0!"节$! 每一个实数的立方根必定存在5
第"#章!数的开方
#"$ 本小题的按键顺序是(
!
显示结果为"!/00 /#/ /7/! 要求精确到0!0/! 可得
2槡3!"72 $"!/0!
注意
&&#/$
是
键的第二功能! 启用第二功能! 需要先按
键!
#"$ 使用该功能时! 可先输入根指数! 再按
! 最后输入
被开方数' 也可先按
! 输入根指数! 然后按
! 最后输入被开方
数! 按
求解!
练　
习　
&'完成下列表格(
被开方数
$71
$"4
$6
$/
0
/
6
"4
71
立方根
"'求下列各数的立方根(
#/$ #/"' &&&&&#"$ $0!0"4' &&&&&#2$ $ 71
/"#!
('用计算器计算(
#/$
2槡7 6#3 ' &&
#"$
2槡/4!#47 ' &&
#2$
2槡#!73/ #精确到0!0/$!
习题10!1
&
组
&'下列说法正确吗" 为什么"
#/$ 0!03的平方根是0!2' &&&&&&&&&&&#"$ 槡/7 #%1'
#2$ 0没有立方根'
#1$ /的立方根是%/!
'
数学!八年级上册
"'求下列各数的平方根(
#/$ /7
6/' &&&&&&
#"$ 0!27' &&&&&&#2$ 2"1 !
('求下列各数的立方根(
#/$ /"#' &&
#"$ $"4
71' &&
#2$ 0!4"3 !
)'用计算器计算#精确到0!0/$(
#/$ 槡/7!63 ' &&
#"$
2槡7 63" !
#'#/$ 槡/0在哪两个相邻的整数之间"
#"$ 2!/ '槡/0 '2!"正确吗" 为什么"
#2$ 下列四个结论中! 正确的是#&&$!
:!2!/# '槡/0 '2!/7&&&&&&&&&&;!2!/7 '槡/0 '2!/4
<!2!/4 '槡/0 '2!/6&&
=!2!/6 '槡/0 '2!/3
(
组
*'已知(的一个平方根是$6! 求(的立方根!
#第4题$
+'如图! 在做浮力实验时! 小华用一根细线将一正方体铁块拴
住! 完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中! 并用一量筒量得溢出
的水的体积为10!# $%
2 !然后! 小华将铁块从烧杯中提起!
量得烧杯中的水位下降了0!7" $%!求烧杯内部的底面半径
和正方体铁块的棱长!#用计算器计算! 精确到0!/ $%$
10.2　实数
做一做
/!用计算器求槡" !
"!利用平方运算验算第/题中所得的结果!
)
第"#章!数的开方
&&用计算器求槡" ! 显示结果为/!1/1 "/2 #7"!再用计算器计算/!1/1 "/2 #7"
的平方! 结果是/!333 333 333! 并不是" !这是因为计算器求得的只是槡"的近
似值!
用计算机计算槡" ! 你可能会大吃一惊(
槡" #/!1/1"/2#7"24203#01660/7664"1"03736046#7374/64#247316042/477
4342433042"14617"/040266#0264#212"471/#4"42#0/2617"203/""340
"13"16270##6#0424"/"711/"/13403332#62/1/2"""77#3"4#0##3"4##4
333#0#0//#"46"070#4/140/03##334/70#340"41#21#3767"0/14"6#/41
/6710663/36703##"2"3"201612064/12"/1#062347"7027"433#"#/1043
63764"#2237#1722/6066"37107"07/#"#62#"23#0#141#4#0"644#337/4
"362##4#""0224#2/6#40//2#1241702106136614/702676333407330016
/#020#110"44302/71#1"146"207613"3273/67"/#60#46172///#377764
/20/20/#7/6#76364"24"2#"66#03"7167/"131344/#1"/6221"01"6#767
070/176"14"044/12#6#1641/##7#40737447#24"0""716#1140/#6#660/
7"04#61413""7#4""700"06##61177#"/1#62366323112403"7#3/6002//
266"17176/#406"720/00#316#6401002/6716021"/31634"46"3071/01#
04"72766/2/24236##"#7//42""010"1#03/""4400""731//"4#427"4"60
13#426/06374#010/62736762761#04"#4332714"307047"33731/26014#
7#16"24"6334/602"760"1411"07"3"73/"16#30#"/6/0011#361"/#0#3/
/"0"1311/21/4"6#2/146/0#60270224/044203/6"6732/14/0/4////762
3/7#6/4"76631/34#64/7#6"/#"/"!
在数学上已经证明! 没有一个有理数的平方等于"! 也就是说! 槡" 不是有
理数!
那么! 槡" 是怎样的数呢"
我们知道! 有理数包括整数和分数! 而任何一个分数写成小数的形式! 只
可能是有限小数或者无限循环小数! 例如(
/
1 #0!"#!
"
2 #0!7
* #0!777 777 777!!
*
数学!八年级上册
/
4 #0!/
*
1" 6#4
* #0!/1" 6#4 /1" 6#4 /1" 6#4!!
槡"不是一个有理数! 实际上! 它是一个无限不循环小数!
类似地!
2槡# ) 圆周率"等也都不是有理数! 它们都是无限不循环小数!
概括
&&无限不循环小数叫做无理数#>++*.>-?*@?)%8,+$ !上面所提到的
槡" )
2槡# ) "等都是无理数!
有理数和无理数统称为实数#+,*@?)%8,+$!
试一试
你能在数轴上找到表示槡" 的点吗"
图/0!"!/
如图/0!"!/! 将两个边长为/ 的正方形分别沿对
角线剪开! 得到四个等腰直角三角形! 即可拼成一个
大正方形!容易知道! 这个大正方形的面积是"! 所以
大正方形的边长为槡" !
图/0!"!"
这就是说! 边长为/的正方形的对角线长是槡" !利用这个
事实! 我们容易在数轴上找到表示槡" 的点! 如图/0!"!"
所示!&
能说% 有理数
和数轴上的点一一
对应& 吗" 为什么"
&
概括
&&在今后的学习中! 可以进一步得出!
数轴上的每一个点必定表示一个实数' 反
过来! 每一个实数#有理数或无理数$都可以用数轴
上的一个点来表示!换句话说! 实数与数轴上的点
一一对应!这是数集从有理数集扩充到实数集的一
大进步!&
+,
第"#章!数的开方
在七年级上学期学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念) 大小比较法
则) 运算法则以及运算律! 对于实数也适用!
从有理数扩充到实数以后! 正数总可以开平方) 开立方!在实数范围内!
任意一个正数有两个平方根! 它们互为相反数' 0 的平方根是0' 负数没有平方
根!任意一个实数有且只有一个立方根!
涉及无理数的大小比较和运算! 通常可以取它们的近似值来进行!
"
例1&试比较槡2 )槡" 与"的大小!
解&用计算器求得
槡2 )槡" $2!/17 "71 24!
而
"$2!/1/ #3" 7#1!
因此
槡2 )槡" &"!
取近似值进行
加减运算时! 中间
结果通常应比要求
的精确度多取一位!
&
"
例2&计算( "
" $ /
7 $槡" !#精确到0!0/$
解& /
7 $槡" $0!/74 $/!1/1 #$/!"14! 于是
&
/
7 $槡" $/!"14!
& "
" $ /
7 $槡"
$/!#4/ $/!"14
#0!2"1
$0!2"!
注意
&&我们也可以先将原式化简! 再计算!
由于/
7 '槡" ! 所以
++
数学!八年级上册
/
7 $槡" #槡" $/
7 !
原式#"
" $槡" $/
7
(
) #"
" $槡" )/
7 !
由此算式! 可直接将数据输入计算器进行计算!
练　
习　
&'下列说法是否正确" 为什么"
#/$ 两个整数相除! 如果永远除不尽! 那么结果一定是一个无理数'
#"$ 任意一个无理数的绝对值都是正数!
"'计算( "槡7 )2槡4 !#精确到0!0/$
('比较下列各对数的大小(
#/$ "槡2与2槡" ' &&&&&&&#"$ $槡4
" 与$"
2 !
阅读材料
为什么说槡" 不是有理数
我们可以用以下推理来说明槡" 不是有理数!
假设槡" 是有理数! 那么它可以表示为两个整数的商! 设槡" #*
+
#+)
*是互
质的正整数$!由槡" 的意义! 可知
*
+
( )
"
#"!
+!
第"#章!数的开方
即有
*
"
+
" #"!
于是&
*
" #"+
"!
显然! "+
"是偶数! 即*
"是偶数! 因此*是偶数!于是! 可设*#",#,是正整
数$!由上式! 得
#",$
" #"+
"!
从而&
",
" #+
"!
即+
" 是偶数! 因此+也是偶数! 这与假设+) *互质矛盾!
这个矛盾表明假设%槡" 是有理数& 不成立! 所以槡" 不是有理数!
槡#
的算法
你知道槡# 有多大吗" 它所对应的点究竟在数轴上哪个位置呢" 让我们一起
来找找看吧!
如图/! 将两个/ -"的长方形分别沿对角线剪开! 得到四个直角三角形! 它
们与一个/ -/的正方形可拼成一个大正方形!容易知道! 这个大正方形的面积
是#! 边长为槡# !因此! / -"的长方形的对角线长是槡# !由此! 我们容易在数轴
上找到表示槡#的点! 如图"所示!
图/
&&
^5
0
Y
图"
我们还可以通过尝试逼近的方法来寻找槡# 在数轴上的位置!由于
"
" '# '2
"! 可以肯定" '槡# '2! 也就是槡# 的位置应该在"与2之间!能不
能再精确一些呢" 再尝试一下! 你会发现"!"
" '# '"!2
"! 那么槡# 的位置就在
+"
数学!八年级上册
"!"与"!2之间!这样继续尝试下去! 有
"!"2
" '# '"!"1
"! 即得"!"2 '槡# '"!"1'
"!"27
" '# '"!"24
"! 即得"!"27 '槡# '"!"24'
++
你看! 离槡# 越来越近了!依据这样的想法! 我们可以求出槡#的近似值! 也
可以在数轴上找到表示槡#的点!
下面我们介绍一个求槡# 的近似值的算法!
记(#/! 代入#
()(
(
) ."! 得
#
/ )/
(
) ." #2!
再把算出的值2代入
#
()(
(
) ."! 得
#
2 )2
(
) ." #"!222+!
继续上述过程! 得
#
"!222 )"!222
(
) ." #"!"26+!
#
"!"26 )"!"26
(
) ." #"!"27+!
++
数学上可以证明! 计算步骤越多! 得到的数值就越接近槡# !
如果要求精确到0!00/! 那么就可得到槡# $"!"27!
使用计算器! 你不妨按照下面的按键顺序试试看(
++
后面的
键按的次数越多! 数值就越精确! 到一定时候! 由于计算器显示位数
的限制! 屏幕上显示的数值就不再发生变化了!
探索&试寻求一个算法! 计算槡4 的近似值!
+#
第"#章!数的开方
习题10!2
&
组
&'判断下列说法是否正确! 并说明理由(
#/$ 无理数的平方一定是正数'
#"$ 两个无理数的积仍为无理数!
"'下列各数中! 哪些是无理数"
"
"!
/!0
*/
*!
2槡6 !
2!/1!
"!020 020 002+!!
$槡2" !
/!0/0 0/0 00/!
2##
//2!
('完成下列表格(
实数
"
槡"
槡" $/
槡" $槡2
相反数
绝对值
)'比较下列各对数的大小(
#/$槡"与
2槡2 ' &&&&&&&
#"$ $
2槡1 与$
2槡2 !
#'计算(
"槡# $#槡"
) 1槡" $2槡2 !#精确到0!0/$
(
组
*'数轴上点/和点0对应的实数分别为槡" )/和槡" $/! 求/) 0两点间的距离!
+'对于无理数槡4 ! 试解答下列问题(
#/$ 槡4在数轴上位于哪两个相邻的整数之间"
#"$ 借助计算器找出有理数"和1! 使" '槡4 '1! 且1$" #0!00/!
+$
!! "!
020 020 002+的位数无限! 且相邻两个%2& 之间%0& 的个数依次增加/5
数学!八年级上册
数学活动
探寻纸张规格的秘密
我们经常会用到各种纸张! 如:1) ;#打印纸! 你知道它们的尺寸是多大吗"
根据国际标准化组织# A?.,+?*.>-?*@B+C*?>D*.>-? E-+F.*?G*+G>D*.>-?! 简称
AFB$制定的AFB"/7国际标准! 纸张的统一尺寸基本上可分为三个系列! 分别
用字母:) ;) <表示! 幅面大小的尺寸如下表所示!
,-.纸张尺寸
单位( %%
:系列
;系列
<系列
:0
61/ -//63
;0
/000 -/1/1
<0
3/4 -/"34
:/
#31 -61/
;/
404 -/000
</
716 -3/4
:"
1"0 -#31
;"
#00 -404
<"
1#6 -716
:2
"34 -1"0
;2
2#2 -#00
<2
2"1 -1#6
:1
"/0 -"34
;1
"#0 -2#2
<1
""3 -2"1
:#
/16 -"/0
;#
/47 -"#0
<#
/7" -""3
:7
/0# -/16
;7
/"# -/47
<7
//1 -/7"
:4
41 -/0#
;4
66 -/"#
<4
6/ -//1
:6
#" -41
;6
7" -66
<6
#4 -6/
:3
24 -#"
;3
11 -7"
<3
10 -#4
:/0
"7 -24
;/0
2/ -11
</0
"6 -10
&&这些纸张的尺寸之间蕴含着怎样的秘密#或规律$呢"
#/$ 你知道:) ;) <三个系列同一型号纸张的大小关系吗"
#"$ 你知道:) ;) <系列后面表示型号的数字0!/0有什么含义吗"
观察每个系列不同型号纸张的长与宽! 你能发现它们之间的关系吗" 它们
的面积之间是否也存在某种关系呢"
#2$ 三个系列的全张纸! 即:0) ;0) <0! 算算它们各自的面积! 相互比一
比! 看看有什么样的数量关系" 三个系列其他同一型号的纸张呢"
+%
第"#章!数的开方
小结
一) 知识结构
  
 ႏ 
 ႏ 
 ᭣ᬦᰃ
  
኿ 
   
኿  
ጉ    
二) 要点
/!掌握平方根) 算术平方根) 立方根的意义是学习本章的关键!在研究
时! 要抓住平方根#立方根$与平方#立方$之间的关系! 例如! 可以通过平方
#立方$运算来寻求平方根#立方根$! 并可以用来验证开平方#开立方$的正
确性!&
"!在实数范围内! 任意一个正数有两个平方根! 它们互为相反数' 0 的平
方根是0' 负数没有平方根!任意一个实数有且只有一个立方根! 正数的立方根
是正数! 0的立方根是0! 负数的立方根是负数!
2!有理数和无理数统称为实数!实数与数轴上的点之间有着一一对应关
系!这是数集从有理数集扩充到实数集的一大进步! 使数的知识更加完美!
+'
数学!八年级上册
复习题
&
组
&'下列说法是否正确" 为什么"
#/$ 1的平方根是"'
#"$ $6的立方根是$"'
#2$ 10的算术平方根是"0'
#1$ 负数没有立方根'
##$ 正数有两个立方根'
#7$ 0没有平方根!
"'根据表格中所给的信息! 完成下列表格(
被开方数
/
平&方&根
0
算术平方根
"
立&方&根
2
$1
('填空(
#/$ /7的平方根是&&&&! $"4的立方根是&&&&'
#"$ 平方根等于它本身的数是&&&&!
立方根等于它本身的数是&&&&' &
#2$ 一个正方形的面积是2 $%
"! 其边长是&&&&$%' 另一个正方形的面
积是这个正方形面积的2倍! 那么它的边长是&&&&$%!
)'将下列各数按从小到大的顺序排列! 并用%H& 号连接起来(
"槡" ! 槡# !
$"
" !
0!
$/!7!
#第7题$
#'计算(
2槡2" $槡6 !#精确到0!0/$
*'如图是一扇拱门! 上部分是半径为/ %的半圆! 下部分是边长
为" %的正方形! 则这扇拱门的面积是多少平方米" #精确到
0!/ %
"!
"取2!/1$
+)
第"#章!数的开方
(
组
+'计算(
2 $"槡
槡
" !#精确到0!0/$
/'观察如图所示的各方格图中阴影部分的图形#每一小方格的边长为/$! 如
果它们都可以剪开! 并拼成正方形! 那么所拼成的正方形的边长各为多
少" 这些正方形一样大吗" #如果你有兴趣! 可以试试如何剪拼成一个正
方形$
!
&&
#
&&
$
%
&&
&
&&
'
#第6题$
0'把棱长分别为"!/# $%和2!"1 $%的两个正方体铁块熔化! 制成一个大的正
方体铁块! 求这个大正方体铁块的棱长!#先用一个式子表示! 再用计算器
计算! 精确到0!/ $%$
#第/0题$
-
组
&1'意大利物理学家伽利略#I*@>,-I*@>@,>! /#71"/71"$曾在比萨
斜塔上做自由落体实验! 他将两个质量不同的铁球从相同的
高度2处同时扔下! 结果两个铁球的落地时间3几乎一样!已
知2#单位( %$与3#单位( '$满足关系式2 #/
" 43
"! 其中4 #
3!6 %J'
"!
2 ##0 %! 求铁球的落地时间3!#精确到0!/ '$
+*
数学!八年级上册
&&'#/$ 用计算器计算(
2
" )1
槡
" #&&&&&&&&&&'
22
" )11
槡
" #&&&&&&&&&&'
222
" )111
槡
" #&&&&&&&&&&'
2 222
" )1 111
槡
" #&&&&&&&&&&!
#"$ 观察小题#/$中各式的计算结果! 你能发现什么规律"
#2$ 试运用你所发现的规律猜想下式的值! 并通过计算器的计算验证你的
猜想(
22 222
" )11 111
槡
" #&&&&&&&&&&!
!,
第11 章　整式的乘除
!!植树造林! 功在千秋!将一块长""" 宽# "的长方形林地的长"
宽分别增加$" 和% " !用两种方法表示这块林地现在的面积! 可
得到#
$!"#%$$ "% &!$ "!%"#$ "#%'
上面的等式实际上给出了两个二项式相乘的运算法则!
!
本章将类比数的运算! 在七年级学习整式的加减的基础上! 继续学
习整式的乘除和因式分解! 它们是代数运算以及解决许多数学问题
的重要基础!
数学!八年级上册
11.1　幂的运算
1!同底数幂的乘法
试一试
根据幂的意义填空#
$"% #
$ (#
% &$# (# (#% ($# (# (# (#%
&#
$&&%&
$#% '
$ ('
% &
&
&'
$&&%&
$$% $
$!$
% &
&
&$
$&&% '
概括
&&
$
!!$
# &$$!$!"!$





!个
%$$!$!"!$





#个
%
&$!$!"!$





$!"#%个
&$
!"#'
利用这个法
则! 可直接求出同
底数幂的积'
可得
&&&&&&
""""""""""""""""#
#
""""""""""""""""
""
$
!!$
# &$
!"#$!"
#为正整数%'
这就是说! 同底数幂相乘! 底数不变! 指数
相加'&
!!
第""章!整式的乘除
$
例1&计算#
$"% "(
$ ("(
%& &&&&
$#% $!$
$& &&&&
$$% $!$
$!$
''
解&$"% "(
$ ("(
% &"(
$"% &"(
)'
$#% $!$
$ &$
""$ &$
%'
$$% $!$
$!$
' &$
""$"' &$
*'
练　
习　
#$判断下列计算是否正确! 并说明理由#
$"% $'$
# &$
#& &&&&&&&&& $#% $ "$
# &$
$&
$$% $
$'$
$ &$
*& &&
$%% $
$"$
$ &$
+'
%$计算#
$"% "(
# ("(
'& &&&&&
$#% $
$'$
)& &&&&&
$$% )')
'')
)'
2!幂的乘方
试一试
根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空#
$"% $#
$%
# &#
$ (#
$ &#
$&&%&
$#% $'
#%
$ &'
# ('
# ('
# &'
$&&%&
$$% $$
$%
% &$
$!$
$!$
$!$
$ &$
$&&% '
!"
数学!八年级上册
概括
&& $$
!%
# &$
!!$
!!"!$
!







#个
&$
!"!"""!
#个
&$
!#'
利用这个法
则! 可直接计算幂
的乘方'
可得
&&&&&&
""""""""""""""""#
#
""""""""""""""""
""
$$
!%
# &$
!#$!"
#为正整数%'
这就是说! 幂的乘方! 底数不变! 指数相乘'
$
例2&计算#
$"% $"(
$%
'& &&&&&
$#% $%
'%
%'
解&$"% $"(
$%
' &"(
$(' &"(
"''
$#% $%
'%
% &%
'(% &%
#('
练　
习　
#$判断下列计算是否正确! 并说明理由#
$"% $$
$%
' &$
,&
$#% $
$'$
' &$
"'&
$$% $$
#%
$'$
% &$
*'
%$计算#
$"% $#
#%
#& &&&&&&&&&&&
$#% $*
#%
'&
$$% $)
%%
$& &&&
$%% $*
$%
#'$*
#%
$'
!#
第""章!整式的乘除
3!积的乘方
试一试
根据乘方的意义和乘法运算律填空#
$"% $$%
# &$$%!$$%
&$$$%!$%%
&$
$&&%%
$&&%&
$#% $$%
$ &&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&$
$&&%%
$&&%&
$$% $$%
% &&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&
&$
$&&%%
$&&% '
概括
&&$$%
# &$$%!$$%!"!$$%











#个
&$$!$!"!$





#个
%!$%!%!"!%





#个
%
&$
#%
#'
利用这个法
则! 可直接计算积
的乘方'
可得
&&&&&&
""""""""""""""#
#
""""""""""""""
""
$$%
# &$
#%
#$#为正整数%'
这就是说! 积的乘方! 把积的每一个因式分别乘
方! 再把所得的幂相乘'
!$
数学!八年级上册
$
例3&计算#
$"% $#%
$& &&&&&&& $#%
#
$ $
$
(
)
#
&
$$% $+$%
$& &&
$%% $+$)%
%'
+$ 看成$+"%$'
解&$"% $#%
$ &#
$%
$ &,%
$'
$#%
#
$ $
$
(
)
#
& #
$
(
)
#
$$
$%
# &%
* $
+'
$$% $+$%
$ &$+"%
$$
$ &+$
$'
$%% $+$)%
% &$+$%
%)
% &,")
%'
练　
习　
#$判断下列计算是否正确! 并说明理由#
$"% $)*
$%
# &)*
+& &&&&&&& $#% $+#)%
$ &++)
$'
%$计算#
$"% $$$%
#& &&
$#% $+$$%
$&
$$% $$%
#%
#& &&
$%% $+# ("(
$%
$'
4!同底数幂的除法
我们已经知道同底数幂的乘法法则# $
!!$
# &$
!"#! 那么同底数幂怎么相
除呢(
试一试
用你熟悉的方法计算#
$"% #
' ,#
# &&&&&&
$#% "(
) ,"(
$ &&&&&&
$$% $
) ,$
$ &&&&&$$ % (%'
!%
第""章!整式的乘除
你能根据除法
的意义来说明这些
运算结果是怎么得
到的吗(
&&由上面的计算! 我们发现#
&&&&&&&&&&&&#
' ,#
# &#
$ &#
'+#&
"(
) ,"(
$ &"(
% &"(
)+$&
$
) ,$
$ &$
% &$
)+$'
概括
&&一般地! 设!" #为正整数! ! -#!
$ % (! 有&
""""""""#
#
""""""""
""
$
! ,$
# &$
!+#'
这就是说! 同底数幂相除! 底数不变! 指数相减'
以后! 如果没
有特别说明! 我们
总假设所给出的式
子是有意义的'如
本例中! 我们约定
$ % ('&
$
例4&计算#
$"% $
, ,$
$&
$#% $+$%
"( ,$+$%
$&
$$% $+#$%
) ,$#$%
%'
解&$"% $
, ,$
$ &$
,+$ &$
''
$#% $+$%
"( ,$+$%
$ &$+$%
"(+$ &$+$%
) &+$
)'
$$% $+#$%
) ,$#$%
% &$+"%
)$#$%
) ,$#$%
% &+$#$%
)+% &+$#$%
$ &+,$
$'
思考
&&你能用$$ "% 的幂表示$$ "%
% ,$$ "%
# 的结果吗(
练　
习　
#$填空#
$"% $
''$&&% &$
*& &&&&& $#% $&&%'$+%
# &$+%
)&
$$% )
+ ,$&&% &)& &&
$%% $&&% ,$+*%
$ &$+*%
)'
%$计算#
$"% $
"( ,$
#& &&
$#% $+)%
* ,$+)%
$&
$$% !
, ,!
#'!
$& &&
$%% $$
$%
# ,$
+'
!&
数学!八年级上册
读一读
根据除法的意义推导同底数幂的除法法则
前面我们通过一些计算! 归纳" 探索出同底数幂的除法法则'下面
我们根据除法的意义来推导同底数幂的除法法则'
因为除法是乘法的逆运算! 计算$
! ,$
# $!"
# 为正整数! 且
! -#!
$ % (% 实际上是要求一个式子! 使
$
#!$&&% &$
!'
假设这个式子是$
.$.为正整数! 待定%! 即应有
$
#!$
.&$
!!
即
$
#".&$
!!
所以
# ".&!!
得
.&!+#'
因此! 要求的式子应是$
!+#'
由同底数幂的乘法法则! 可知
$
#!$
!+# &$
#"$!+#% &$
!!
所以$
!+# 满足要求! 从而有
$
! ,$
# &$
!+#$!"
#为正整数! 且! -#!
$ % (%'
!'
第""章!整式的乘除
习题11!1
(
组
#$计算$结果以幂的形式表示%#
$"% *
$ (*
'& &&&&&&&&&&&&&& $#% $
' (#)&
$$% $
)'$
,& &&
$%% )
#')
$')
%'
%$计算#
$"% $"(
$%
$& &&
$#% $$
$%
)&
$$% $)
#%
%& &&
$%% $$
#%
$'$
''
&$判断下列等式是否正确! 并说明理由#
$"% $
#'$
# &$#$%
#& &&
$#% $
#'%
# &$$%
%&
$$% $
"# &$$
#%
+ &$$
$%
% &$$
'%
)&
$%% $
+ ,$
# &$
$'
'$计算#
$"% $$ ("(
'%
#& &&
$#% $#)%
#&
$$% $+#)%
$& &&
$%% $
#'$$%
$&
$'% $$%
$'$$/%
%'
($计算#
$"% )
"# ,)
%& &&
$#% $+$%
+ ,$+$%
%&
$$% $0
$%
# ,0
'& &&
$%% $
"( ,$+$
#%
$'
)
组
)$判断下列计算是否正确! 如果不正确! 请予以改正#
$"% $$
#%
# &$
#%
#& &&&&&&&
$#% $$)*
#%
# &+)
#*
%&
$$% $+!%
) ,$+!%
# &!
''
*$计算#
$"% $$
$%
$ ,$$
%%
#& &&&&&&&&
$#% $)
#*%
' ,$)
#*%
$&
$$% )
#'$)
#%
$ ,)
'& &&
$%% $*
$%
$ ,*
$ ,$+*
#%
#'
+$用多少张边长为$的正方形硬纸卡片! 能拼出一个新的正方形( 试写出三个答案! 并用
两种方法表示新正方形的面积'从不同的表示方法中! 你能发现什么(
!*
数学!八年级上册
11.2　整式的乘法
1!单项式与单项式相乘
试一试
计算#
$"% $# ("(
$% ($' ("(
#%&
$#% #)
$!')
#'
$
例1&计算#
$"% $)
#*!$+#)*
$%&
$#% $+'$
#%
$%!$+%%
#/%'
解&$"%& $)
#*!$+#)*
$%
&)$!$+#%*!$)
#!)%!$*!*
$%
&++)
$*
%'
总结一下! 怎
样进行单项式的乘
法( &&
$#%& $+'$
#%
$%!$+%%
#/%
&)$+'%!$+%%*!$
#!$%
$!%
#%!/
&#($
#%
'/'
概括
&&单项式与单项式相乘! 只要将它们的系数" 相同字母的幂分别相
乘! 对于只在一个单项式中出现的字母! 连同它的指数一起作为积的
一个因式'
"+
第""章!整式的乘除
讨论
练　
习　
#$计算#
$"% $$
#'#$
$& &&&&&&&&&&&&& $#% $+*$
#%
$%',$%
#&
$$% $+$$
#%
$'$+#$
$%
#& &&
$%% $+$)*
#1%'$)
#*%
#'
%$光在真空及空气中的传播速度约为$ ("(
, -./! 太阳光射到地球上的时间约
为' ("(
# /! 地球与太阳的距离约为多少千米(
&$小明的步长为$ -! 他量得一间屋子长"' 步" 宽"% 步! 这间屋子的面积是
多少平方米(
2!单项式与多项式相乘
试一试
计算# #$
#!$$$
# +'%'
",
数学!八年级上册
$
例2&计算# $+#$
#%!$$$%
# +'$%
$%'
解&&$+#$
#%!$$$%
# +'$%
$%
&$+#$
#%!$$%
# "$+#$
#%!$+'$%
$%
&++$
$%
# ""($
$%
$'
概括
&&单项式与多项式相乘! 将单项式分别乘以多项式的每一项! 再将
所得的积相加'
练　
习　
#$计算#
$"% $)
$*'$#)*
# +$)*%& &&&&&&&
$#% #)'$$)
# +)*"*
#%'
%$化简# )$)
# +"% "#)
#$)""% +$)$#)+'%'
3!多项式与多项式相乘
我们再来看一看本章导图中的问题#
将一块长!-" 宽$ -的长方形林地的长" 宽分别增加# -和%-'用两种
方法表示这块林地现在的面积'
现在这块长方形林地的长为$!"#% -! 宽为$$ "% -! 因而它的面积为
$!"#%$$ "% -
#'
图""!#!"
也可以这样理解# 如图""!#!" 所示! 这块林地由四小块
组成! 它们的面积分别为!$ -
#" !%-
#" #$ -
# 和#%-
#! 故
这块林地的面积为$!$ "!%"#$ "#% -
#'
由于$!"#%$$ "%和$!$ "!%"#$ "#%表示同一块
林地的面积! 故有
$!"#%$$ "% &!$ "!%"#$ "#%'
"!
第""章!整式的乘除
实际上! 把$!"#% 看成一个整体! 有
$!"#%$$ "% &$!"#%$ "$!"#%%
&!$ "!%"#$ "#%'
如下式所示! 等式的右边可以看作左边用线相连的各项乘积的和#
概括
&&上述等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则#
多项式与多项式相乘! 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个
多项式的每一项! 再把所得的积相加'
$
例3&计算#
$"% $)"#%$)+$%&
$#% $#)"'*%$$)+#*%'
计算结果中的
+)是怎么得到的(
&
解&$"%& $)"#%$)+$%
&)
# +$)"#)++
&)
# +)++'
$#%& $#)"'*%$$)+#*%
&+)
# +%)*""'*)+"(*
#
&+)
# """)*+"(*
#'
$
例4&计算#
$"% $!+##%$!
# "!# +$#
#%&
$#% $$)
# +#)"#%$#)""%'
解&$"%& $!+##%$!
# "!# +$#
#%
&!!!
# "!!!# +!!$#
# +##!!
# +##!!# "##!$#
#
&!
$ "!
## +$!#
# +#!
## +#!#
# "+#
$
&!
$ +!
## +'!#
# "+#
$'
""
数学!八年级上册
&&$#%& $$)
# +#)"#%$#)""%
&+)
$ "$)
# +%)
# +#)"%)"#
&+)
$ +)
# "#)"#'
练　
习　计算#
$"% $)"'%$)+)%& &&&&&&&&&& $#% $)"'*%$)+)*%&
$$% $#!"$#%$#!+$#%& &&
$%% $#$ "$%
#'
习题11!2
(
组
#$计算#
$"% '$
$',$
#& &&&&&&&&&&&& $#% ""$
"#'$+"#$
""%&
$$% #)
#'$+$)%
%&
$%% $+,)*
#%' + "
# )
(
)
$
'
%$计算#
$"% $+$)%'$#)
# +)"%%& &&&&
$#% '
# )*' +)
$*
# " %
' )
#*
$
(
) '
&$计算#
$"% ) "
# )""
(
) +$) $
# )+#
(
) &
$#% *
#$*+"% "#*$*
# +#*"$%'
'$计算#
$"% $)"'%$)++%& &&
$#% $#)""%$#)"$%&
$$% $$)"%%$$)+%%& &&
$%% $*)"%*%
#'
($计算#
$"% $$)+"%$#)
# "$)+%%& &&
$#% $)"#*%$)
# +#)*"%*
#%'
"#
第""章!整式的乘除
)
组
$第+题%
)$世界上最大的金字塔+++胡夫金字塔高达"%+!+ -! 底边
长#$(!% -! 用了约#!$ ("(
+ 块大石块! 每块重约#!' (
"(
$ 01'问# 胡夫金字塔总重约为多少千克(
*$已知甲长方形相邻两边长相差+! 乙长方形相邻两边长相
差#! 甲" 乙两长方形的周长相等'问# 哪个长方形的面
积大( 大多少(
11.3　乘法公式
1!两数和乘以这两数的差
做一做
用多项式的乘法法则计算# $$ "%$$ +%'
$$ "%$$ +% &&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&'
利用这个公式!
可以直接计算两数
和乘以这两数的差'
&
这两个特殊的多项式相乘! 得到的结果特别
简洁#
&&&&&&
"""""""""""""#
#
"""""""""""""
""
$$ "%$$ +% &$
# +%
#'
这就是说! 两数和与这两数差的积! 等于这两数的平方差'
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式! 有时也简称为平方差公式'
"$
数学!八年级上册
试一试
图""!$!"
&&观察图""!$!"! 指出它包含哪些长方形和正方
形! 并用等式表示下图中图形面积的运算#
$
例1&计算#
$"% $$ "$%$$ +$%&
&&&&&&
$#% $#$ "$%$#$ +$%&
$$% $" "#/%$" +#/%& &&
$%% $+#)+*%$#)+*%'
解&$"%& $$ "$%$$ +$%
&$
# +$
#
&$
# +*'
$#%& $#$ "$%$#$ +$%
&$#$%
# +$$%
#
&%$
# +*%
#'
$$%& $" "#/%$" +#/%
&"
# +$#/%
#
&" +%/
#'
你还有其他解
法吗(
&&$%%& $+#)+*%$#)+*%
&$+*+#)%$+*"#)%
&$+*%
# +$#)%
#
&*
# +%)
#'
"%
第""章!整式的乘除
$
例2&计算# " **, (# ((#'
解&&" **, (# ((#&
&$# ((( +#% ($# ((( "#%
&# (((
# +#
#
&% ((( ((( +%
&$ *** **+'
图""!$!#
$
例3&如图""!$!#! 街心花园有一块边长为$ -的正方形草
坪$$ -#%! 经统一规划后! 南北向增加#-! 东西向减少#-'
改造后得到一块长方形草坪'求这块长方形草坪的面积'
解&$$ "#%$$ +#% &$
# +%'
答# 这块长方形草坪的面积为$$
# +%% -
#'
练　
习　
#$计算#
$"%
#)" "
#
(
)
#)+ "
#
(
) & &&&&&& $#% $+)"#%$+)+#%&
$$% $+#)"*%$#)"*%& &&
$%% $*+)%$+)+*%'
%$计算#
$"% %*, ('(#& &&
$#% *** (" (("'
2!两数和$ 差% 的平方
做一做
用多项式的乘法法则计算# $$ "%
#'
$$ "%
# &$$ "%$$ "% & &&&&&&&&&&&&&&&
& &&&&&&&&&&&&&&&'
"&
数学!八年级上册
我们又得到一个新的公式#
利用这个公
式! 可以直接计算
两数和的平方'
&&&&&
"""""""""""""#
#
"""""""""""""
""
$$ "%
# &$
# "#$%"%
#'
这就是说! 两数和的平方! 等于这两数的平方和
加上它们的积的#倍'
这个公式叫做两数和的平方公式'
试一试
观察图""!$!$! 指出它包含哪些长方形和正方形! 并用等式表示下图
中图形面积的运算#
图""!$!$
&& &&&&&&&&&
& "&&&&&& " &&&&'
$
例4&计算#
$"% $#)"$*%
#& &&&&&
$#%
#$ "%
#
(
)
#
'
把#)看作$!
$*看作%! 直接代
入公式'
解&$"%& $#)"$*%
#
&$#)%
# "# (#)($*"$$*%
#
&%)
# ""#)*"**
#'
"'
第""章!整式的乘除
&&$#%&
#$ "%
#
(
)
#
&$#$%
# "# (#$ (%
# " %
#( )
#
&%$
# "#$%"%
#
% '
试一试
推导两数差的平方公式'
我们可以根据多项式的乘法法则直接计算$$ +%
#'注意到$ +%&$ "$+%!
也可以利用两数和的平方公式来计算! 即
$$ +%
# &)$ "$+%*
#&&&&
&$
# "#$$+% "$+%
#
&$
# +#$%"%
#'
这样就得到了两数差的平方公式#
"""""""""""""#
#
"""""""""""""
""
$$ +%
# &$
# +#$%"%
#'
这就是说! 两数差的平方! 等于这两数的平方和减去它们的积的#倍'
思考
&&指出图""!$!%中包含哪些长方形和正方形! 你能用图中的面积关
系来解释两数差的平方公式吗(
图""!$!%
"*
数学!八年级上册
$
例5&计算#
$"% $$)+#*%
#& &&&&&&&&&$#%
+"
# !""
(
)
#
'
解&$"%& $$)+#*%
#
&$$)%
# +# ($)(#*"$#*%
#
&*)
# +"#)*"%*
#'
$#% 方法"&
+"
# !""
(
)
#
& +"
# !
(
)
#
"# ( +"
# !
(
) (" ""
#
&"
% !
# +!""'
方法#&
+"
# !""
(
)
#
你还有其他解
法吗(
& " +"
# !
(
)
#
&"
# +# (" ("
# !" "
# !
(
)
#
&" +!""
% !
#'
练　
习　
#$计算#
$"% $)"$%
#& &&&&&&&& $#% $#)"*%
#'
%$计算#
$"% $)+$%
#& &&
$#% $#!+$#%
#'
&$计算#
$"% $+#!"#%
#& &&
$#% $+#!+#%
#'
#+
第""章!整式的乘除
读一读
末位数字是( 的两位数平方的速算法则
你能很快算出)'
# 吗( 我们一起来探索一下! 末位数字是'的两位数
的平方有什么规律'请你用计算器计算下列算式#
"'
# &&&&&&
#'
# &&&&&&
$'
# &&&&&&
%'
# &&&&&&
''
# &&&&&&
+'
# &&&&&&
)'
# &&&&&&
,'
# &&&&&&
*'
# &&&&&'
从这些计算结果中! 你能发现什么(
我们发现了一个速算法则#
末位数字是'的两位数的平方! 可以先写出它的十位数字与比它大"
的自然数的乘积! 再在末尾接着写上#' '
例如! 计算)'
##
因为
) (, &'+!
所以
)'
# &' +#''
这是什么道理呢( 我们可以应用两数和的平方公式来说明#
设一个两位数的个位数字是'! 十位数字是#! 则这个两位数等于
"(# "'! 所以
$"(# "'%
# &"((#
# ""((# "#' &"((#$# ""% "#''
得到的这个等式对于任意的正整数# 都是成立的'如果# 是一个两
位数或者三位数! 那么"(# "'就是一个三位数或者四位数! 因此! 对于
个位数字是'的三位数" 四位数等! 这个速算法则同样适用'
例如! 计算"*'
##
因为
"* (#( &$,(!
所以
"*'
# &$, (#''
#,
数学!八年级上册
阅读材料
贾宪三角
贾宪三角$如图"%最初于""世纪被发现! 在我国北宋时期数学家贾宪$约""
世纪上半叶%的,黄帝九章算法细草-一书中! 其原名为.开方作法本源图/! 用
来作开方运算! 在数学史上占有领先地位'我国南宋时期数学家杨辉$"$ 世纪%
于"#+"年所著的,详解九章算法-一书中记载着这一图表'因此! 后人把这个图
表称作贾宪三角或杨辉三角'
图"
在欧洲! 贾宪三角则被称为.帕斯卡三角/! 这是因为法国数学家帕斯卡
$2!34/546! "+#$+"++#%于"+'%年发表了此.三角/! 这比我国迟了近+(( 年'
其实! 数学史上有不少人各自独立地绘制过类似图表! 如"%#) 年阿拉伯的阿
尔'卡西$ 76894/:;! 约"$,(+"%#*%" "'#) 年德国的阿皮亚纳斯$ 3!7<;4=>/!
"%*'+"''#%" "'%%年德国的施蒂费尔$?!@A;BC6! "%,)+"')+%等'
贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来! 有着不同的应用指向'贾宪将
#!
第""章!整式的乘除
它应用于开方运算! 注重增乘方法! 并把这种方法推向求高次方根& 帕斯卡关心
数字三角阵的性质探讨! 并把这种性质推广到组合数的性质上& 施蒂费尔则注重
二项展开式系数间的关系& 还有我国元代数学家朱世杰于"$ 世纪巧妙地利用贾
宪三角得出了一系列级数求和的重要公式! 并且利用这些公式求出许多更为复杂
的级数之和! 这在当时世界上处于领先水平'
与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律'如图#!
在贾宪三角中! 第三行的三个数$"" #" "%恰好对应着两数和的平方$$ "%
#的展
开式$
# "#$%"%
# 的系数'类似地! 通过计算可以发现# 第四行的四个数
$""
$"
$"
"% 恰好对应着两数和的立方$$ "%
$的展开式$
$ "$$
#%"$$%
# "%
$
的系数! 第五行的五个数$""
%"
+"
%"
"% 恰好对应着两数和的四次方$$ "
%
% 的展开式$
% "%$
$%"+$
#%
# "%$%
$ "%
%的系数! 等等'由此可见! 贾宪三角可
以看作对两数和的平方公式的推广'
$$ "%
(00000000000000''
$$ "%
"0000000000000
$$ "%
#00000000000''
$$ "%
$0000000000
$$ "%
%00000000''
$$ "%
'0000000
$$ "%
+00000''
"
" && "
" && # && "
" && $ && $ && "
" && % && + && % && "
" && ' &&"(&&"(&& ' && "
" && + &&"'&&#(&&"'&& + && "
图#
贾宪三角告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律! 你发现其中的字母及
字母指数的排列规律了吗( 请你试着写出$$ "%
'" $$ "%
+ 和$$ "%
) 的展
开式'&
#"
数学!八年级上册
习题11!3
(
组
#$计算#
$"% $$ "#%$$ +#%& &&&&&&&&& $#% $#$ "'%$#$ +'%&
$$% $)
# +"%$" ")
#%& &&
$%%
+ "
$ 2" "
# 3
(
)
"
$ 2" "
# 3
(
) '
%$计算#
$"% $$$ "%
#& &
$#%
#$ " "
$ %
(
)
#
&
$$% $#$ +%%
#& &&
$%%
"
# $ + "
$ %
(
)
#
'
&$计算#
$"% $+!
# +#!%
#& &&
$#% $+#)"*%$+#)+*%&
$$% $#$ ""%$+#$ +"%'
'$填空#
$"% $
# "+$ "&& &$$ "&&%
#& &&
$#% %)
# +#()"&& &$#)+&&%
#&
$$% $
# "%
# &$$ +%
# "&&& &&
$%% $)+*%
# "&& &$)"*%
#'
($用乘法公式计算# $$ +%""%$$ +%+"%'
)
组
)$两个连续奇数的平方差一定是,的倍数'为什么(
*$已知$ "%&%!
$%&$! 求下列各式的值#
$"% $
# "%
#& &&&&
$#% $$ +%
#'
+$用总长度为4的篱笆围成一个长方形区域! 相邻两边的长度相差5! 求篱笆所围成区域
的面积'
##
第""章!整式的乘除
11.4　整式的除法
1!单项式除以单项式
试一试
计算# "#$
'/
# ,$$
#!'
根据除法的意义! 上面的计算就是要求一个式子! 使它与$$
# 的乘积等于
"#$
'/
# '
因为
$%$
$/
#%!$$
# &"#$
'/
#!
所以
"#$
'/
# ,$$
# &%$
$/
#'
概括
&&单项式相除! 把系数" 同底数幂分别相除作为商的因式! 对于只
在被除式中出现的字母! 则连同它的指数一起作为商的一个因式'
$
例1&计算#
$"% #%$
$%
# ,$$%
#& &&
$#% +#"$
#%
$/,$$%&
注意#
%
# ,%
# &"'
$$% $+)*
#%
# ,$)*'
解&$"%& #%$
$%
# ,$$%
#
&$#% ,$%$$
$ ,$%$%
# ,%
#%
&,$
$+"!"
&,$
#'
#$
!
! 把这个算式中的两个单项式"#$
'/
# 和$$
# 分别看作一个整体! 这个算式就是$"#$
'/
#% D$$$
#% 的意思'
下同'
数学!八年级上册
$#%& +#"$
#%
$/,$$%
&$+#" ,$%$
#+"%
$+"/
&+)$%
#/'
$$%& $+)*
#%
# ,$)*
&$+)
#*
% ,$)*
&"#)*
$'
思考
&&你能用$$ +% 的幂表示$$ +%
' ,$$ +%
# 的结果吗(
练　
习　填表#
被除式
+)
$*
$
+%#)
$*
$
+%#)
$*
$
除&式
#)*
++)
#*
#
商
))
$
2!多项式除以单项式
试一试
计算#
$"% $$ )"%)% ,)&
$#% $!$ "!%"!/% ,!'
#%
第""章!整式的乘除
这里! 商式中
的项$" %和/是怎
样得到的( 你能总
结出多项式除以单
项式的法则吗(
&&根据除法的意义! 容易探索" 计算出结果'以小
题$#%为例! $!$ "!%"!/% ,!就是要求一个式子!
使它与!的积是!$ "!%"!/'
因为!$$ "%"/% &!$ "!%"!/! 所以
&&&&&&&&&$!$ "!%"!/% ,!&$ "%"/'
概括
&&多项式除以单项式! 先用这个多项式的每一项除以这个单项式!
再把所得的商相加'
$
例2&计算#
$"% $*)
% +"')
# "+)% ,$)&
$#% $#,$
$%
#/"$
#%
$ +"%$
#%
#% ,$+)$
#%'
解&$"%& $*)
% +"')
# "+)% ,$)
&*)
% ,$)+"')
# ,$)"+),$)
&$)
$ +')"#'
$#%& $#,$
$%
#/"$
#%
$ +"%$
#%
#% ,$+)$
#%
&#,$
$%
#/,$+)$
#% "$
#%
$ ,$+)$
#% +"%$
#%
# ,$+)$
#%
&+%$%/+"
) %
# "#%'
练　
习　
#$计算#
$"% $$$%+#$% ,$& &&&&&&&&&& $#% $'$ )
# ""')% ,')&
$$% $"#!
## ""'!#
#% ,+!#& &&
$%% $)
$ +#)
#*% ,$+)
#%'
%$计算#
$"% $%$
$%
$++$
#%
$/+#$%
'% ,$+#$%
#%&
$#%
)
#*
$+ "
# )
$*
#"#)
#*
#
(
) , "
# )*
#'
#&
数学!八年级上册
习题11!4
(
组
#$计算#
$"% $+#"$
#%
$% ,)$
#%& &&&&&&&&&
$#% )$
'%
#/
$ ,$+$$
$%&
$$%
+ "
# $
%)
%
(
) , + "
+ $
$)
#
(
) & &&
$%% $"+)
$ +,)
# "%)% ,$+#)%'
%$计算#
$"% $+$
$%+*$
#/% ,$$
#&
$#% $%$
$ ++$
# "*$% ,$+#$%&
$$% $+%!
% "#(!
$# +!
##
#% ,$+%!
#%&
$%%
)
#*+ "
# )*
# +#)*
(
) , "
# )*'
&$计算#
$"% $"#0
$6
% "#(0
$6
#7++0
%6
$% ,$+#06%
#&
$#% )%*$#)+*% +#)$#)+*%* ,$#)+*%'
'$先化简! 再求值# )$$ "#%$$ +#% +$$ +#%
#* ,#%! 其中$ &$!
%&#'
($先化简! 再求值# )$#$ "%$#$ +% +$#$ +%
#* ,$#$ +%! 其中$ % "!
%&#'
)
组
)$聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象# 他随便想一个非零的有理数! 把这
个数平方! 再加上这个数! 然后把结果除以这个数! 最后减去这个数! 所得结果总是"'
你能说明其中的道理吗(
*$已知多项式8与单项式')*的差! 除以)+#*! 所得的商是$)"*! 求8'
#'
第""章!整式的乘除
11.5　因式分解
回忆
&&运用前面所学的知识填空#
$"% !$$ "%"/% &&&&&&&&&
$#% $$ "%$$ +% &&&&&& &&&&
$$% $$ "%
# &&&&&&&& &&&&'
试一试
观察上面三个等式! 填空#
$"% !$ "!%"!/&$&&%$&&&&%&
$#% $
# +%
# &$&&&&%$&&&&%&
$$% $
# "#$%"%
# &$&&&&%
#'
概括
&& .回忆/ 中的三个等式是我们已熟悉的整式的乘法运算! 而.试
一试/ 中的三个等式! 其运算过程正好与整式的乘法相反! 它是把一
个多项式化为几个整式的积的形式'
还记得整数的
因数分解吗( 它与
乘法之间是什么关
系( &&
把一个多项式化为几个整式的积的形式! 叫做多
项式的因式分解$B45AEF;G4A;E=%'
多项式!$ "!%"!/中的每一项都含有一个相同
的因式!! 我们称之为公因式$5E--E= B45AEF%'把公
因式提出来! 多项式!$ "!%"!/就可以分解成两个
因式!和$$ "%"/% 的乘积了'像这种因式分解的方
法! 叫做提公因式法'
.试一试/ 中的小题$#%和小题$$%! 实际上是将乘法公式反过来用! 来进
行因式分解的'这种因式分解的方法称为公式法'
#*
数学!八年级上册
做一做
把下列多项式分解因式#
$"% $$ "$%&&&&&&&&&&&&&& &
$#% ')+'*"'1&&&&&&&&&&&
&
$$% )
# +%*
# &&&&&&&&&&&
&
$%% !
# "+!# "*#
# &&&&&&&&&&&'
$
例1&把下列多项式分解因式#
$"% +'$
# "#'$&
$#% $$
# +*$%&
$$% #')
# +"+*
#&
$%% )
# "%)*"%*
#'
解&$"%& +'$
# "#'$
&+'$$$ +'%'
$#%& $$
# +*$%
&$$$$ +$%'
$$%& #')
# +"+*
#
&$')%
# +$%*%
#
你知道如何检
验因式分解的正确
性吗(
&$')"%*%$')+%*%'
$%%& )
# "%)*"%*
#
&)
# "#!)!#*"$#*%
#
&$)"#*%
#'
$+
第!!章"整式的乘除
!
例2!把下列多项式分解因式!
""# #!
$"##!
%"
% $!"
$$
"%# $!
$ #"%!"
%%
先提公因式%
再运用公式%
解!""#! #!
$"##!
%"
% $!"
$
&!"#!
%##!"$"
%#
&!"%!#"#
%%
"%#! $!
$ #"%!"
%
&$!"!
% ##"
%#
&$!&!
% #"%"#
%'
&$!"!$%"#"!#%"#%
练　
习　
!"判断下列因式分解是否正确% 并说明理由%如果不正确% 请写出正确答案%
""# #'
% ##' $" &#'"' #"# $"$
"%# !
% ##"
% &"!$#"#"!##"#%
#"把下列多项式分解因式!
""# '
% $'$ !!!!!!!!!!!! "%# #'(#%'
%($
"$# &)
% #*
%$ !!
"## %')
% #''$
"(# %'
% $#'($%(
%%
习题11)5
!
组
!"把下列多项式分解因式!
""# $!$$"$ !!!!!!!!!!!!!! "%# #%#)
%!#"**
%!$
"#
数学"八年级上册
"$# !
% #"$ !!
"## "!"#
% #"$
"(# '
#!
% #'
#"
%$ !!
"*# $!
% $*!"$$"
%$
"+# "!#"#
% $#!"$ !!
"'# #'
% #$("#' #$(#%
#"把下列多项式分解因式!
""# "!#$#
% #"$
"%# "' $(#
% #%"' $(#+$+
%$
"$# "'($'# #"($"#%
$"先分解因式% 再求值! %!"' #%# #"% #'#% 其中' &,)(%
!&")(%
"&#%%
%"用简便方法计算!
""# && ,","$
"%# %
", #%
&$
"$# &&
%$
"## $$
% #** ,#& $#&
%%
&"在一块边长' &*)* -的正方形空地的四角均留出一块边长(&")+ -的正方形空地修建花
坛% 其余的地方种植草坪%问! 草坪的面积有多大(
a
b
b
a
"第(题#
$
组
'"已知二次三项式!
% $'!$#含有一个因式!#%% 求'的值%
("无论!为何实数% 二次三项式!
% $#!$(的值均不小于"%为什么(
"%
第!!章"整式的乘除
数学活动
面积与代数恒等式
在前面的学习中% 我们已经接触了很多代数恒等式% 知道可以用一些长方
形"或正方形#的硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式%
""# 观察图"和图%% 指出它们分别包含哪些长方形和正方形% 并分别说明
图"和图%可以解释什么代数恒等式%
图"
!!!!!!
图%
"%# 制作一些如图$所示的正方形和长方形的硬纸片%利用这些硬纸片拼
成一些长方形或正方形% 并用所拼成的图形面积来解释所学的乘法公式及某些
幂的运算公式%
图$
!!!!!
图#
"$# 根据图#% 利用某一图形的面积的不同表示方法写出一个代数恒等式%
"## 你能用图形的面积来解释代数恒等式"' $%(#"%' #(#&%'
% $$'(#%(
%
的正确性吗( 尝试再写出一个代数恒等式% 并用图形的面积来解释其正确性%
"&
数学"八年级上册
小结
一) 知识结构
 ᅨᥠጉ
a
mea
nᾺa
mᾨn
a
mpa
nᾺa
mᾪn
ᾥa
mᾦ
nᾺa
mn
ᾥabᾦ
nᾺa
nb
n
Ջᯨ ˲ΝՋᯨ 
Ջᯨ ˲Νޑᯨ 
۠ ӊឫ
 ѻ۠ ๠
ޑᯨ ᭲ΝՋᯨ 
ѻ ๠
ޑᯨ ˲Νޑᯨ 
Ջᯨ ᭲ΝՋᯨ 
ᾥaᾨbᾦᾥaᾪbᾦᾺa
2ᾪb
2
ᾥaᾨbᾦ
2Ὰa
2ᾨ2abᾨb
2
ᾥaᾪbᾦ
2Ὰa
2ᾪ2abᾨb
2
˲๠ѻ 
二) 要点
")本章主要研究整式的乘法和除法% 我们经历了对运算法则的探索) 推导
和应用的过程%
以整式的乘法为例% 首先研究了幂的运算% 接着逐步研究单项式乘以单项
式) 单项式乘以多项式和多项式乘以多项式% 由特殊到一般% 由已知到未知%
由简到繁% 层层深入% 逐步发展% 反映了人们对数学知识的认识和发展过程%
从运算来说% 核心思想是化归%多项式"单项式#乘以多项式% 归结为项与
项相乘% 即单项式乘以单项式%单项式乘以单项式归结为系数相乘和同底数幂
的乘法%幂的运算是它们的基础%探索和推导所有这些整式运算法则的依据%
从根本上说是沿用了数的运算律%
"'
第!!章"整式的乘除
%)有一些特殊形式的多项式乘法运算% 结果较为简洁% 在计算中可以作为
乘法公式直接运用%这些公式用图形的面积来解释% 直观明了% 反映了数与形
的美妙结合%乘法公式不仅可以使式的运算或变形更加简便% 为进一步学习其
他数学知识"如因式分解) 用配方法解二次方程) 研究二次函数等#奠定必要的
基础% 而且公式的简洁) 对称) 和谐给我们以数学美的享受%
$)多项式的因式分解与整数的因数分解相类似% 它与整式乘法的过程恰好
相反%我们可以用整式的乘法法则和乘法公式得到因式分解的方法% 也可以用
整式的乘法来检验因式分解的正确性%
整式与整数还有着许多类似之处%例如% 两个整数的和) 差) 积仍是整数%
但两个整数的商"除数不为零#却未必是整数% 从而需要引进分数$ 类似地% 两
个整式的和) 差) 积仍是整式% 但两个整式的商"除式不为零#未必是整式% 从
而需要引进新的代数式"分式#% 对此我们将在八年级下学期作进一步研究%本
章研究的整式的除法只涉及可整除的情形%
""
数学"八年级上册
复习题
!
组
!"计算!
!!!!!!!!!!!!!!!!!
""# '
",!'
'$ !!!!!!
"%# "!"#
%!"!"#
$$
"$# &"#!#
$'
%$ !!
"## &"#!#
%'
$$
"(# "#%)*
%#
$$ !!
"*# ""
$#
%!""
%#
#%
#"计算!
""# %'!$'
%$ !!
"%# "#$!"#!"##"-#$
"$# "#%'
%#
%!"#('
$#$ !!
"## "#$!#!"%!
% #!#"#$
"(# "!#%#"!#*#$ !!
"*# "%!#"#"$!$%#$
"+# ""#%#""
% $%"$##$ !!
"'# ".#*/#".
% $./$/
%#%
$"计算!
""# "!$%#"!#%#$ !!
"%# ")$*#")#*#$
"$# "#)#*#"#)$*#$ !!
"## "#)#*#")$*#$
"(# "#)$*#")#*#$ !!
"*#
%
$ !$$
# "
(
)
%
%
%"计算!
""# % ,%$
% #% ,%# ,% ,%%$
"%# "# ,",
## ,"% ,",
$# #"*)( ,",
$# ,"* ,",
$#$
"$# "%!$(#
% #"%!#(#
%$
"## %!! "
% !#"
(
) #$!! "
$ !$%
$
(
) $
"(# "#%!
%#!"#"# $$!"! " #"
$ !
(
) $
"*# "#*!
%#
% $"#$!#
$!!%
"(
第!!章"整式的乘除
&"计算!
""# '!'
# 0'
$$ !!
"%# "#!#
* 0"#!#
%!"#!#
$$
"$# %+!
' 0$!
#$ !!
"## "#"%)
$*
$# 0#)
%*
$$
"(# "*!
%"
$-
%#
% 0#!
$"
#$ !!
"*# "#*'
%(
(+# 0"#%'(
%#
%%
'"计算!
""# "*'
# ##'
$ #%'
%# 0"#%'
%#$ !
"%# "#!
$"$*!
%"
% #!"
$# 0%!"$
"$#
!
# $%!
$ #"
% !
%
(
) 0 #"
% !
(
)
%
$ !!
"## "%'(
% #(
$#
% 0%(
$%
("计算! &"!#%"#
% $"!#%"#"!$%"# #%!"%!#"#' 0%!%
)"把下列多项式分解因式!
""# !
% #%(!$ !!!!!!!!!
"%# %!
%"
% ##"
$-$
"$# ')#'* $'.$ !!
"## !
$ #%(!$
"(# " ##!
%$ !!
"*# %(!
% $%,!"$#"
%$
"+# !
$ ##!
% $#!%
*"先化简% 再求值!
""# $'"%'
% ##' $$# #%'
%"$' $##% 其中' &#%$
"%# " ' #$(#
% $"$' $(#
% #" ' $((#
% $" ' #((#
%% 其中' &#'%
(&#*%!
$
组
!+"求下列各式的值!
""# "$!
# #%!
$# 0"#!# #"!#!
%#!$!% 其中!&#"
% $
"%# &"'($"#"'(#%# #%'
%(
% $%' 0"#'(#% 其中' &$
% %
(&##
$ %
!!"已知"!$"#
% &"%
"!#"#
% &#&% 求!
% $"
% 和!"的值%
!#"已知' $(&$%
'(&%% 求'
% $(
% 的值%
!$"已知' #(&"%
'
% $(
% &%(% 求'(的值%
")
数学"八年级上册
!%"把下列多项式分解因式!
""# !"!$"# #"!$"#$ !!!
"%# "' $(#
% $%"' $(# $"$
"$# #!
# $#!
$ $!
%$ !!
"## !
% #"*' !$*#'
%$
"(# "!#"#"!#$# $"$ !!
"*# "'($'# $"($"#%
!&"""# 一个正方形的边长增加$ .-% 它的面积增加了#( .-
%% 求这个正方形原
来的边长%
"%# 一个正方形的边长减少$ .-% 它的面积减少了#( .-
%% 这个正方形原来
的边长是多少呢( 它和小题""#的答案相同吗(
*
组
!'"已知一个长方形% 若它的长增加#.-% 宽减少".-% 则面积保持不变$ 若它
的长减少% .-% 宽增加" .-% 则面积仍保持不变%求这个长方形的面积%
!("判断下列说法是否正确% 并说明理由!
""# 两个连续整数的平方差必是奇数$
"%# 若'为整数% 则'
$ #'能被*整除%
"+
第12 章　全等三角形
,,你玩过拼图游戏吗( 它是指用许多各种颜色的小拼板拼成一幅幅美
丽的图画!那些拼板有不少是形状相同) 大小一样的!它们相互之间有
什么关系呢( 运用你的智慧% 想想看*
"
本章将研究判定三角形全等的一些方法% 并利用这些判定方法证明
等腰三角形的性质和判定% 以及线段垂直平分线和角平分线的性质
定理及其逆定理% 从中丰富对三角形的认识% 进一步提高推理论证
能力!
数学"八年级上册
12.1　命题、定义、定理与证明
1)命题
我们已经学过一些图形的特性% 例如!
""# 三角形的内角和等于"',/$
"%# 如果两个角是对顶角% 那么这两个角相等$
"$# 两直线平行% 同位角相等$
"## 直角都相等%
它们都是判断某一件事情的语句% 像这样表示判断的语句叫做命题
"01202345426#%
许多命题是由条件和结论两部分组成的%条件是已知事项$ 结论是由已知
事项推出的事项%这样的命题通常可写成+如果""% 那么"", 的形式%用
+如果, 开始的部分就是条件% 用+那么, 开始的部分就是结论%
例如% 在上述命题"%#中% +两个角是对顶角, 是条件% +这两个角相等,
是结论%有的命题的条件和结论不十分明显% 若将它写成+如果""% 那
么"", 的形式% 则容易分清它的条件和结论%例如% 命题"##可写成+如果
两个角都是直角% 那么这两个角相等, %
!
例1!把命题+三个角都相等的三角形是等边三角形, 改写成+如果""%
那么"", 的形式% 并分别指出该命题的条件和结论%
解!这个命题可以写成+如果一个三角形的三个角都相等% 那么这个三角
形是等边三角形,%该命题的条件是+一个三角形的三个角都相等,% 结论是
+这个三角形是等边三角形,%
根据已学过的知识% 可以判断前面所列举的命题都是正确的% 也就是说%
如果条件成立% 那么结论一定成立%像这样的命题% 叫做真命题%
(,
第!#章"全等三角形
!!而有些命题% 例如% +如果两个角相等% 那么它们是对顶角, +一个锐角与
一个钝角的和等于一个平角, 等% 当条件成立时% 不能保证结论总是正确% 也
就是说结论不成立%像这样的命题% 叫做假命题%
要判断一个命题是真命题% 可以用演绎推理加以论证$ 而要判断一个
命题是假命题% 只要举出一个例子% 说明该命题不成立% 即只要举出一个
符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了%在数学中% 这种方
法称为+举反例,%
例如% 要说明命题+一个锐角与一个钝角的和等于一个平角, 是假命题%
只需举出一个反例"某一锐角与某一钝角的和不是"',/# %试试看% 对所列的假
命题举出反例!
!%
练　
习　
!"把下列命题改写成+如果--% 那么--, 的形式% 并分别指出它们的条件
和结论!
""# 全等三角形的对应边相等$
"%# 在同一平面内% 垂直于同一条直线的两条直线互相平行%
#"指出下列命题中的真命题和假命题!
""# 同位角相等% 两直线平行$
"%# 多边形的内角和等于"',/$
"$# 四边形的外角和等于$*,/$
"## 平行于同一条直线的两条直线互相平行%
$"指出下列命题中的真命题和假命题% 若是假命题% 请举出反例!
""# 两个锐角的和等于&,/$
"%# 当!1,时% !
% #!2,一定成立%
(#
数学"八年级上册
2)定义) 定理与证明
我们已经学过线段) 角) 平行线等许多名词%我们需要用不同的语句来说
!!
想想看% 你还
学过哪些定义(
明这些名词各自所包含的确切意义%例如% 我们用
+在同一平面内不相交的两条直线, 来说明+平行
线, 所包含的意义%这样的语句叫做这些名词的定义
"7484645426#%
通过七年级的学习% 我们已经知道如下各命题都是正确的% 即都是公认的
真命题!
两点确定一条直线$
两点之间线段最短$
同一平面内% 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直$
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行$
两条直线被第三条直线所截% 如果同位角相等% 那么这两条直线平行%
我们将这些命题视为基本事实% 它们是我们在继续学习过程中用来判断其
他命题真假的原始依据% 即出发点%
数学中% 有些命题可以从基本事实或其他真命题出发% 用逻辑推理的方法
判断它们是正确的% 并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据% 这样的真
命题叫做定理"59:21:-# %
定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性% 而且可以作为进一步
确认其他命题真假的依据%
思考
!!""# 一位同学在钻研数学题时发现!
% $" &$%
% ,$ $" &+%
% ,$ ,( $" &$"%
% ,$ ,( ,+ $" &%""%
计算一下% ,
$ ,( ,+ ,"" $"
和% ,$ ,( ,+ ,
"" ,"$ $"%
你发
现了什么(
于是% 他根据上面的结果并利用质数表得出结
论! 从质数% 开始% 排在前面的任意多个质数的积
加"一定也是质数%他的结论正确吗(
(%
第!#章"全等三角形
"%# 如图"%)")"% 一位同学在画图时发现! 三角形三条边的垂直平分线的
交点都在三角形的内部%于是他得出结论! 任何一个三角形三条边的垂直平分
线的交点都在三角形的内部%他的结论正确吗(
画一个钝角三
角形试试看%
图"%)")"
实际上% 这是
一个正确的结论%
"$# 我们曾经通过计算四边形) 五边形) 六边
形) 七边形等的内角和% 得到一个结论! * 边形的内
角和等于"* #%# ,"',/%这个结论正确吗( 是否有
一个多边形的内角和不满足这一结论(
上面几个例子说明! 通过特殊事例得到的结论可能正确% 也可能不正确%
因此% 通过这种方式得到的结论% 还需进一步加以证实%
根据条件) 定义及基本事实) 定理等% 经过演绎推理% 来判断一个命题是
否正确% 这样的推理过程叫做证明"01228#%
演绎推理是研究数学的一个重要方法%除了基本事实和已知的定理外% 等
式与不等式的有关性质以及等量代换也可以作为推理的依据%例如% 有了+两
条平行线被第三条直线所截% 同位角相等, 这条定理后% 我们可以证明命题!
两条平行线被第三条直线所截% 同旁内角互补%
已知! 如图"%)")%% 直线' # (% $"与$%是同旁内角%!
图"%)")%
求证! $" $$% &"',/%
证明! 我们将$"的同位角记为$$ %
; ' # ("已知#%
< $" &$$"两直线平行% 同位角相等#%
又; $$ $$% &"',/"邻补角的定义#%
< $" $$% &"',/"等量代换#%
(&
数学"八年级上册
由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论%例如+两条平行线
被第三条直线所截% 同旁内角互补, 是定理+两条平行线被第三条直线所截%
同位角相等, 的推论%推论和定理一样% 可以作为进一步证明的依据%
读一读
证明必须做到+言必有据,% 每步推理都要有依据% 它们可以是已知
条件% 也可以是定义) 基本事实) 已经学过的定理% 以及等量代换) 等
式的性质) 不等式的性质等%在开始学习书写证明的过程时% 要求把依
据写在每一步推理后面的括号内% 熟练后可以逐渐简化%
练　
习　
!"把下列定理改写成+如果--% 那么--, 的形式% 指出它们的条件和结
论% 并用演绎推理证明小题""#所示的定理!
""# 同旁内角互补% 两直线平行$
"%# 三角形的外角和等于$*,/%
#"判断命题+两条直线被第三条直线所截% 内错角相等, 是真命题还是假命
题% 并说明理由%
$"如图% 已知$3&(,/%
$4&+,/% 点5)
6分别在73)
34上% 且$756&
"%,/%求证! 56# 74%
E
D
C
B
A
"第$题#
对于上述问题% 请将下列证明过程补充完整%
证明!; $7$$3$$4&"',/"三角形的内角和等
于"',/#%
$3&(,/"已知#% $4&+,/"已知#%
< $7&*,/"等式的性质#%
!%!
!%!
!%
('
第!#章"全等三角形
阅读材料
图形中的+ 裂缝,
几何图形的割补问题曾给我们带来不少有意义的结果% 然而有时也会引发一
些需要深入思索的现象%下面的图形问题是出现在萨姆.劳埃德" =>- ?2@7%
"'#"/"&""#的0趣题大全1"4"+89.:;<' 9=>?--8:@#中的一道趣题! 将图"按所画粗
线条剪开% 再按图%拼合% 方格图的面积竟然增加了一个平方单位*
' ,' &*#
图"
!!!!!
"$ ,( &*(
图%
面积为什么增加了(
这是视觉上的错觉欺骗了我们%实际上% 当图"剪成四块拼成图%时% 中间
有一个如图$所示的平行四边形7345的缝隙% 它的面积正好为" %也就是说%
7) 3) 4三点及7) 5) 4三点都分别不在同一条直线上% 图形中出现了+裂缝,%
而图%中误以为它们都在同一条直线上%这就说明了证明的重要性%
图$
!!
图#
!!
图(
后来% 有人将图# 中的三角形区域按所画的粗线条剪开% 再按图( 重新拼
合% 结果在三角形的内部出现了一个+黑洞, %
你能对图#和图(中的现象作出解释吗(
("
数学"八年级上册
习题12)1
!
组
!"判断下列命题是真命题还是假命题% 若是假命题% 举一个反例加以说明!
""# 两个钝角的和大于平角$
"%# 两条直线被第三条直线所截% 同位角相等%
#"判断命题+当'是整数时% '
% % '一定成立, 是真命题还是假命题% 并说明理由%
$"把下列命题改写成+如果--% 那么--, 的形式!
""# 全等三角形的对应角相等$
"%# 有一个角等于*,/的等腰三角形是等边三角形%
"第#题#
%"如图% 已知73& AB%
45& AB% 垂足分别为点6)
C% 直线
>D分别交73)
45于点E)
F%求证! $7EF&$EF5%
对于上述问题% 请将下列证明过程补充完整%
证明!; 73& AB"已知#% 45& AB"已知#%
< 73# 45"同一平面内% 垂直于同一条直线的两条直线平行#%
!
!
!
"第(题#
&"如图% 已知直线') () )) *% $" &$$%求证! $% &$#%
请补充完整下列证明的理由%
证明!; $" &$$"!!!!!!!!!!!!#%
< ' # ("!!!!!!!!!!!!!!!!#%
< $% &$#"!!!!!!!!!!!!!!!!#%
$
组
'"如图% 已知$375$$546&"',/%
75# 34%求证! 73# 45%
"第*题#
((
第!#章"全等三角形
("如图% 已知$3&$4%
75# 34% 点6在37的延长线上%求证! $675&$475%
"第+题#
!!!!!!!
"第'题#
)"如图% 已知$3&$6%
73# 56%求证! 34# 76%
12.2　三角形全等的判定
在第&章中% 我们知道% 通过轴对称) 平移和旋转这些变换% 能够完全重
合的两个三角形是全等三角形% 并且全等三角形的对应边) 对应角分别相等%
我们还知道! 若两个三角形的三条边和三个角都分别相等% 那么这两个三角形
一定可以互相重合% 即全等%
本节中我们要探索的是% 能否减少一些条件% 找到更为简便的判定三角形
全等的方法%
1)全等三角形的判定条件
显然% 由于三角形的内角和等于"',/% 如果两个三角形的两个角分别相等%
那么第三个角必然也相等%这样% 若两个三角形的三条边) 两个角分别相等%
则这两个三角形仍然全等%
能否再减少一些条件( 对两个三角形来说% 六个元素"三条边) 三个角#中
至少要有几个元素分别相等% 这两个三角形才全等呢(
探索
!!如果两个三角形只有一组相等的元素% 那么会出现几种可能的情
况呢( 这两个三角形会全等吗(
()
数学"八年级上册
!!我们发现!
将你的发现填
入表中% 看看是否
与你同伴的发现一
致%!!
相等的元素
三角形是否全等
探索
!!如果两个三角形有两组分别相等的元素% 那么会出现几种可能的
情况呢( 这时% 这两个三角形会全等吗(
试一试
分别按照下面的条件% 用刻度尺或量角器画三角形% 并和周围的同
学比较一下% 所画的图形是否全等%
""# 三角形的两个内角分别为$,/和+,/%
"%# 三角形的两条边分别为$ .-和( .-%
"$# 三角形的一个内角为*,/% 一条边为$ .-%
! 这条长$ .-的边是*,/角的邻边$
" 这条长$ .-的边是*,/角的对边%
你一定会发现% 如果只知道两个三角形有两组分别相等的元素% 那么这两
个三角形是否全等的情况为!
将你的发现填
入表中% 看看是否
与你同伴的发现
一致%!
分别相
等的元素
三角形
是否全等
!!由以上的探索与发现% 我们知道两个三角形只有一组或两组分别相等的元
素"边或角#时% 是无法判定这两个三角形全等的%
(+
第!#章"全等三角形
思考
!!如果两个三角形有三组分别相等的元素"边或角#% 又会如何呢(
练　
习　
"第"题#
!"如图% 将!7G3绕点G旋转"',/% 得到!4G5%
这时!7G3" !! !!%这两个三角形的对应
边是! 7G与!!!!% G3与!!!!% 37与
!!!!$ 对应角是! $7G3与!!!!%
$G37与!!!!% $37G与!!!!%
#"如图% 75# 34%
75&34%
76& 34% 将!736沿75方向平移% 使点7与点
5重合% 此时点6平移至点C处% 则!736"!!!!%
$C&!!!!/%
"第%题#
!!!!!!!
"第$题#
$"如图% 点5是!734内一点% $374&&,/%
73&74% 将!735绕点7逆时
针旋转&,/% 点5旋转至点6处% 则!735 " !!!!!!%
75 &
!!!!!!%
35&!!!!!!%
2)边角边
探索
!!为了探索三角形全等的条件% 现在我们考虑两个三角形有三组分
别相等的元素% 那么此时会出现几种可能的情况呢(
将三角形的六个元素"三条边) 三个角#分类组合% 可能出现!
两边一角分别相等$
!
!!
!%
你认为在这些情况下% 两个三角形会全等吗(
(-
数学"八年级上册
我们发现% 可能出现下列四种情况!
两边一角分别相等$ 两角一边分别相等$ 三角分别相等$ 三边分别相等%
下面将对这四种情况分别进行讨论%
先让我们观察两个三角形有两条边和一个角分别相等的情况% 这时这两个
三角形一定全等吗(
如图"%)%)"所示% 此时我们发现主要有两种情况! 一种情况是角夹在两条
边的中间% 形成两边夹一角"边角边#$ 另一种情况是角不夹在两边的中间% 为
一组相等边的对角% 形成两边一对角"边边角#%
!! !!
图"%)%)"
如果两个三角形有两边及其夹角分别相等% 那么这两个三角形会全等吗(
为此我们以已知的两条线段和一个角为三角形的两边及其夹角% 作三角形% 看
看你和同伴作出的三角形是否全等%
做一做
如图"%)%)%% 已知线段() +和$!% 试作!734% 使73&+%
$7&
$!%
74&(%
α
b
c
图"%)%)%
),
第!#章"全等三角形
M
B
A
C
图"%)%)$
!!作法!
""# 作线段73% 使73&+$
"%# 作$37A&$!$
"$# 在射线7A上截取74&($
"## 连结34%
如图"%)%)$% !734即为所要求作的三角形%
把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较% 或剪下你作的三
角形% 放到其他同学作的三角形上% 看看是否完全重合%所作的三角形
都全等吗(
换两条线段和一个角% 试试看% 是否有同样的结论%
下面我们用叠合的方法% 看看你和同伴所作的两个三角形是否可以完全
重合%!
如图"%)%)#% 在!734和!7H3H4H中% 已知73&7H3H%
$7&$7H%
74&
7H4H%
B
A
C
!!!!
B'
A'
C'
图"%)%)#
由于73&7H3H% 我们可以移动!734% 使点7与点7H) 点3与点3H重合%
因为$7&$7H% 所以可以使$7的另一边74与$7H的边7H4H重叠在一起% 而
74&7H4H% 因此点4与点4H重合%于是!734与'7H3H4H重合% 这就说明这两
个三角形全等%
由此可得判定三角形全等的一个基本事实!
基本事实!两边及其夹角分别相等的两个三角形全等%
简写成+边角边, 或+=A=, %
)#
数学"八年级上册
!
例1!如图"%)%)(% 线段74) 35相交于点6% 76&56%
36&46%求证!
!736" !546%
图"%)%)(
证明!在!736和!546中%
; 76&56"已知#%
$763&$564"对顶角相等#%
36&46"已知#%
< !736" !546"=A=#%
图"%)%)*
!
例2!如图"%)%)*% 有一池塘%要测池塘两端7)
3间的距离% 可先在平地上取一个可以直接到达7和3
的点4% 连结74并延长到点5% 使45&47%连结34
并延长到点6% 使46&43%连结56% 那么56的长就
是7) 3间的距离%你知道其中的道理吗(
已知! 75与36相交于点4% 45&47% 46&43%
求证! 56&73%
分析!我们可以通过证明56和73所在的两个三
角形全等得出56&73%
证明!在!546和!743中%
; 45&47"已知#%
$% &$""对顶角相等#%
46&43"已知#%
<!!546" !743"=A=#%
< 56&73"全等三角形的对应边相等#%
如果两个三角形有两边及其中一边的对角分别相等% 那么这两个三角形全
等吗( 为此我们以已知的两条线段和一个角为三角形的两边及其中一边的对角%
作三角形% 看看你和同伴作出的三角形是否全等%
)%
第!#章"全等三角形
α
b
a
图"%)%)+
做一做
如图"%)%)+% 已知线段')
("(2'# 和
$!% 试作!734% 使74&(%
$7&$!%
34&'%!
把你作的三角形与其他同学作的三角形
进行比较% 所作的三角形都全等吗( 此时% 符合条件的三角形有多少种(
如图"%)%)'!% 我们可以发现% 此时符合条件的三角形可以有如图
"%)%)'"#两种% 因此% +边边角, 分别相等的两个三角形不一定全等%
B
B'
A
C
M
!
!!
B
A
C
"
!!
B'
A
C
#
图"%)%)'
练　
习　
!"根据下面的条件% 能否判断如图所示的两个三角形全等(
""# 如图!% 74&5C%
$4&$C%
34&6C$
"%# 如图"% 34&35%
$734&$735%
!
!!!
"
"第"题#
)&
数学"八年级上册
#"如图% 在'734中% 73&74% 在73)
74上分别截取相等的两条线段
75)
76% 并连结36)
45%求证! !754" !763%
"第%题#
!!!!!!!!
A
B
O
C
D
"第$题#
$"如图% 小明想设计一种测零件内径73的卡钳%在卡钳的设计中% 要使测出
的54的长度恰好为内径73的长度% 那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条
件呢( 请提出你的想法%!
3)角边角
前面我们已经讨论% 当两个三角形有两边一角分别相等时% 这两个三角形
是否全等的两种情况% 得到了全等三角形的一种判定方法! 两边及其夹角分别
相等的两个三角形全等%
现在% 我们讨论有两角一边分别相等的情况! 如果两个三角形有两个角)
一条边分别相等% 那么这两个三角形全等吗(
与有两边一角分别相等时类似% 我们也会发现主要有两种不同的情况! 如
图"%)%)&所示% 一种情况是两个角及这两个角的夹边分别相等$ 另一种情况是
两个角及其中一个角的对边分别相等%
图"%)%)&
)'
第!#章"全等三角形
如果两个三角形有两个角及其夹边分别相等% 那么这两个三角形会全等吗(
为此我们以已知的两个角和一条线段为三角形的两个角及其夹边% 作三角形%
看看你和同伴作出的三角形是否全等%
做一做
如图"%)%)",% 已知$!) $" 和线段+% 试作!734% 使$7&$!%
73&+%
$3&$"%
c
β
α
图"%)%)",
!!!!
N
M
C
B
A
图"%)%)""
作法!
""# 作线段73% 使73&+$
"%# 作$37A&$!% $73B&$"%
7A与3B交于点4%
如图"%)%)""% !734即为所要求作的三角形%
把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较% 或剪下你作的三
角形% 放到其他同学作的三角形上% 看看是否完全重合%所作的三角形
都全等吗(
换两个角和一条线段% 试试看% 是否有同样的结论(
C
B
A
C'
B'
A'
图"%)%)"%
下面我们用叠合的方法% 看看你和同伴所作的两个
三角形是否可以完全重合%!
如图"%)%)"%% 在!734和!7H3H4H中% 已知73&
7H3H%
$7&$7H%
$3&$3H%
由于73&7H3H% 我们可以移动!734% 使点7与
点7H) 点3与点3H重合% 且使点4与点4H均位于线段73
的同侧%因为$7&$7H% 因此可以使$7的另一边74
)"
数学"八年级上册
与$7H的边7H4H重叠在一起% 同样% 因为$3&$3H% 可以使$3的另一边34
与$3H的边3H4H重叠在一起%由于两条直线相交只有一个交点% 因此点4与
点4H重合%于是!734与!7H3H4H重合% 这就说明这两个三角形全等%由此可
得判定三角形全等的另一个基本事实!
基本事实!两角及其夹边分别相等的两个三角形全等%
简写成+角边角, 或+A=A, %
图"%)%)"$
!
例3!如图"%)%)"$% $734&$543%
$743&
$534%求证!
!734" !543%
73&54%
证明!在!734和!543中%
; $734&$543"已知#%
34&43"公共边#%
$743&$534"已知#%
<!!734" !543"A=A#%
< 73&54"全等三角形的对应边相等#%
图"%)%)"#
思考
!!如图"%)%)"#% 如果两个三角形有两个角分别
相等% 且其中一组相等的角的对边相等% 那么这两
个三角形是否一定全等(
分析!因为三角形的内角和等于"',/% 因此有两个角分
别相等% 那么第三个角必定相等% 于是由+角边角,% 便可
证得这两个三角形全等%
下面我们证明这个定理!
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等%
简写成+角角边, 或+AA=, %
已知! 如图"%)%)"#% $7&$7H%
$3&$3H%
34&3H4H%
求证!!!734" !7H3H4H%
证明!; $7$$3$$4&"',/"三角形的内角和等于"',/#%
< $4&"',/#$7#$3"等式的性质#%
)(
第!#章"全等三角形
同理% $4H&"',/#$7H#$3H%
; $7&$7H"已知#% $3&$3H"已知#%
< $4&$4H"等量代换#%
在!734和!7H3H4H中%
请补充完整证
明过程%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!%
!!!!!!!!!!!!!!!!!!%
练　
习　
"第"题#
!"如图% $7&$3%
47&43%
!475和!436全等吗(
45和46相等吗( 试说明理由%
#"已知四边形7345% 对角线35将其分成两个三角形%
其中$735&$4%
$753&$534%此时这两个三角
形全等吗( 请作出图形% 并说说你的想法%
"第$题#
$"课间% 小明和小聪在操场上突然争论起来%
他们都说自己比对方长得高%这时数学老师
走过来% 笑着对他们说!
+你们不要争了%
其实你们一样高% 瞧瞧地上% 你俩的影子一
样长*, 你知道数学老师为什么能从他们的
影长相等就断定他们的身高相同吗( 你能运
用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗(
图"%)%)"(
!
例4!如图"%)%)"(% 在!734中% 5是边34的中点% 过点
4作直线46% 使46# 73% 交75的延长线于点6%求证!
75&65%!
证明!; 46# 73"已知#%
< $735&$645%
$375&$465"两直线平行% 内错角相等#%
在!735和!645中%
))
数学"八年级上册
; $735&$645"已证#%
$375&$465"已证#%
35&45"已知#%
< !735" !645"AA=#%
< 75&65"全等三角形的对应边相等#%
可以采用类似
的方法证明两个角
相等%
概括
!!要证明两条线段75) 65相等% 我们发
现它们分别属于!735和!645% 若能证明
这两个三角形全等% 便可利用全等三角形的对应边相
等得到要证明的结论%这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法%
!
例5!证明! 全等三角形对应边上的高相等%
已知! 如图"%)%)"*% !734" !7H3H4H%
75)
7H5H分别是!734的边34
和!7H3H4H的边3H4H上的高%
求证! 75&7H5H%
你发现
75)
7H5H分别是哪两个
三角形的边( 这两
个三角形全等吗(
图"%)%)"*
分析!从图"%)%)"*中可以看出% 75) 7H5H分别属于!735和!7H3H5H% 要
证75&7H5H% 只需证明这两个三角形全等即可%
证明!; !
!!734" !7H3H4H"已知#%
< 73&7H3H"全等三角形的对应边相等#%
$3&$3H"全等三角形的对应角相等#%
在!735和!7H3H5H中%
; $753&$7H5H3H&&,/"已知#%
$3&$3H"已证#%
73&7H3H"已证#%
< !
!!735" !7H3H5H"AA=#%
< 75&7H5H"全等三角形的对应边相等#%
)+
第!#章"全等三角形
全等三角形对
应边上的中线) 对
应角的平分线分别
相等%
思考
!!全等三角形对应边上的中线) 对应角
的平分线又有什么关系呢( 你能说明其中
的道理吗(
练　
习　
!"如图% $" &$%%
$4&$5%求证! 74&75%
"第"题#
!!
"第%题#
!!
A
B
C
D
E
"第$题#
#"如图% 73# 45%
76# 4C%
3C&56%试找出图中其他的相等关系% 并给出
证明%
$"如图% 点3) 5分别在线段74) 64上%$7&$6% 75&63%求证! 74&64%
4)边边边
我们已经讨论了两个三角形有两边一角% 以及两角一边分别相等时% 这两
个三角形能否全等的情况%
如图"%)%)"+% 我们很容易发现% 如果两个三角形有三个角分别相等% 那么
这两个三角形未必全等%
图"%)%)"+
)-
数学"八年级上册
最后% 如果两个三角形有三条边分别相等% 那么这两个三角形是否一定全
等呢( 为此我们以已知的三条线段为三角形的三边% 作三角形% 看看你和同伴
作出的三角形是否全等%
做一做
如图"%)%)"'% 已知线段') () +% 试作!734% 使34&'%
74&(%
73&+%!
想一想! 三条
线段需符合什么条
件% 才能作出一个
三角形(
c
b
a
图"%)%)"'
!!
C
B
A
图"%)%)"&
作法!
""# 作线段34% 使34&'$
"%# 以点3为圆心) 线段+的长为半径作圆弧% 以点4为圆心) 线
段(的长为半径作圆弧% 两弧相交于点7$
"$# 连结73) 74%
如图"%)%)"&% !734即为所要求作的三角形%
把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较% 或剪下你作的三
角形% 放到其他同学作的三角形上% 看看是否完全重合%所作的三角形
都全等吗(
换三条线段% 试试看% 是否有同样的结论(
由以上操作% 可以发现它们完全重合% 所作的三角形都全等%
于是可得判定三角形全等的又一个基本事实!
基本事实!三边分别相等的两个三角形全等-
简写成+边边边, 或+===, %
+,
第!#章"全等三角形
由于$3和$5
分别属于!734和
!457% 所以只需
证明这两个三角形
全等即可%
!
例6!如图"%)%)%,% 在四边形7345中% 75&
43%
73&45%求证! $3&$5%
图"%)%)%,
证明!在!734和!457中%
; 43&75"已知#%
73&45"已知#%
74&47"公共边#%
< !734" !457"===#%
< $3&$5"全等三角形的对应角相等#%
思考
!!如图"%)%)%"所示% 我们曾利用尺规作图作出一个角$7HGH3H等于
已知角$7G3% 现在你能证明这两个角确实相等吗(
图"%)%)%"
!
例7!按如图"%)%)%"所示的尺规作图的作法% 证明$7HGH3H&$7G3%
图"%)%)%%
证明!如图"%)%)%%% 连结45) 4H5H%在!4HGH5H和!4G5中%
; GH4H&G4"所作#%
+#
数学"八年级上册
GH5H&G5"所作#%
4H5H&45"所作#%
< !4HGH5H" !4G5"===#%
< $4HGH5H&$4G5"全等三角形的对应角相等#%
即$7HGH3H&$7G3%
图"%)%)%$
思考
!!如图"%)%)%$ 所示% 我们还曾利用尺规作图作
出已知角$7G3的平分线% 现在你能证明射线G>
确实是$7G3的平分线吗(
试写出整个证
明过程%
由作法% 可知GA&GB%
A>&B>%再借助线段
G>% 就可以证明!GA>和!GB>全等% 从而
$AG>&$BG>% 射线G>即是$7G3的平分线%
读一读
至此% 我们已经学习了关于全等三角形的三个基本事实% 这是进行
演绎推理的重要依据%它们是我们通过探索发现的判定方法% 其本质与
用变换给出的全等三角形定义是一致的% 即在这些条件下% 两个三角形
一定可以通过图形的基本变换"轴对称) 平移和旋转#而相互重合%!
概括
!!我们可以将前面在对全等三角形判定的探索中得到的结论归纳成
下表"请补充完整表格中的内容#!
分别相等
的元素
两!边!一!角
两!角!一!边
两边及
其夹角
两边及其中
一边的对角
两角及
其夹边
两角及其中
一角的对边
三角
三边
三角形是否
全等
一定
"=A=#
一定
"A=A#
+%
第!#章"全等三角形
练　
习　
!"根据题图及相应的条件% 能否判定下面分别给出的两个三角形全等(
""# 如图!% 线段75与34相交于点G% 7G&5G%
3G&4G%!73G和
!54G%!
"%# 如图"% 74&75%
34&35%!734和!735%
"$# 如图#%线段74与35相交于点G%
$7&$4%
$3&$5%!73G和
!45G%!
"## 如图$% $473&$537%
$" &$%)!734和!375%
!
!
"
!
#
!
$
"第"题#
#"如图% 点3) 6) 4) C在同一条直线上% 73&56%
74&5C%
36&4C%
""# 求证! $7&$5$
"%# 找出图中互相平行的线段% 说明你的理由%
"第%题#
!!!!!
A
B
C
D
E
F
I
G
H
"第$题#
$"如图% 点4) 5是线段73上的点% 75&34%
7C&36%
4C&56%求证!
!74C" !356%图中还有其他的全等三角形吗( 说明你的理由%
5)斜边直角边
我们已经知道% 对于两个三角形% 如果有+边边角, 分别相等% 那么不能
保证这两个三角形全等%
+&
数学"八年级上册
在两个直角三角形中% 当斜边和一条直角边分别相等时% 也属于+边边角,
相等的情况% 这时这两个直角三角形是否全等呢(
为此我们以已知两条线段为直角三角形的直角边和斜边% 作直角三角形%
看看你和同伴所作的直角三角形是否全等%
做一做
如图"%)%)%#% 已知线段')
("(2'#% 试作B5!734% 使$3&
&,/%
34&'%
74&(%
b
a
图"%)%)%#
!!!!!!!
M
A
B
C
图"%)%)%(
作法!
""# 作线段34% 使34&'$
"%# 作$43A&&,/$
"$# 以点4为圆心) 线段(的长为半径作圆弧% 交射线3A于点7$
"## 连结74%
如图"%)%)%(% !734即为所要求作的三角形%
把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形进行比较% 或剪下
你作的直角三角形% 放到其他同学作的直角三角形上% 看看是否完全重
合%所作的直角三角形都全等吗(
换两条线段% 试试看% 是否有同样的结论(
这是一个定
理% 以后会给出它
的证明%
由以上操作% 可以发现它们完全重合% 所作的直
角三角形都全等%于是可得!
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等-
简写成+斜边直角边, 或+C?, %
+'
第!#章"全等三角形
由于75和34
分别属于!375和
!734% 所以只需
证明这两个三角形
全等即可%
!
例8!如图"%)%)%*% 74&35% $4&$5&&,/%
求证! 34&75%
图"%)%)%*
证明!; $4&$5&&,/"已知#%
< !734和!375都是直角三角形"直角三角形的定义#%
在B5!734和B5!375中%
; 73&37"公共边#%
74&35"已知#%
< B5!734" B5!375"C?#%
< 34&75"全等三角形的对应边相等#%
练　
习　
!"如图% 在!734中% 点5为34的中点% 56& 73%
5C& 74% 点6)
C为垂
足% 56&5C%求证!
B5!365" B5!4C5%
"第"题#
!!!!!!!!
"第%题#
"第$题#
#"如图% 74&75%
$4&$5&&,/%求证!
34&35%
$"如图% 有两个长度相同的滑梯% 左边滑梯的
高度74与右边滑梯水平方向的跨度5C相
等% 这两个滑梯的倾斜角$437与$6C5
的大小有什么关系( 说说你的想法和理由%
+"
数学"八年级上册
阅读材料
由尺规作图产生的三大难题
我们曾经用过很多作图工具% 如刻度尺) 三角板) 量角器) 圆规等%我们也
曾利用尺规作图作一条线段等于已知线段) 作一个角等于已知角) 作已知线段的
垂直平分线) 作已知角的平分线) 过一点作已知直线的垂线%有了这些基本的作
图% 我们还可进一步作出许多几何图形%
古希腊人很早就开始利用尺规作图% 他们的主要目的在于训练智力) 培养逻
辑思维能力% 所以对作图工具有严格的限制%正是在这种严格的限制下% 产生了
种种难题%
相传神话中的一个国王对儿子给他建造的立方体坟墓不满意% 命令把坟墓的
体积扩大一倍% 但当时的工匠都不知如何解决%后来% 雅利安人为了摆脱某种瘟
疫% 遵照神谕% 必须把阿波罗的立方体祭坛的体积扩大一倍%这就是著名的倍立
方问题%除倍立方问题外% 还有三等分任意角) 化圆为方"作一个正方形% 使其
面积等于给定的圆的面积#这两个难题%
在数学史中% 很难找到像这样长期被人关注的问题%两千多年以来% 无数人
的聪明才智倾注于这三大难题而毫无结果%但对这三个问题的深入探索% 却促进
了几何学的发展% 引出了大量的发现% 如圆锥曲线) 许多二次和三次曲线以及几
种超越曲线等%后来又有关于有理域) 代数数) 超越数) 群论和方程论等数学理
论的发展%直到"&世纪% 即距第一次提出这三个问题两千年之后% 这三个问题
才被证实在所给的条件下是不可能解决的%
现在还有不少人创造了各种各样的辅助工具% 用来解决这些尺规作图无法解
决的问题%如下图所示的工具就可以用来解决三等分任意角的问题"这样的作图
就相当于用量角器三等分任意角% 已不属于尺规作图的范畴# %你能说出其中的
道理吗(
+(
第!#章"全等三角形
习题12)2
!
组
!"如图% 73&54%
74&53%求证!
!734" !543%
"第"题#
!!!!!!!!!
"第%题#
#"如图% $" &$%%
7G&3G%求证!
!7G>" !3G>%
$"要使题图中的各对三角形全等% 还需要增加什么条件(
""# 如图!% $7&$5%
$3&$C$
"%# 如图"%
$7&$5%
73&56%
!
!
"
"第$题#
+)
数学"八年级上册
%"如图% 73与45相交于点G% $7&$5%
4G&3G%求证!
!7G4" !5G3%
&"如图% $" &$%%
$$ &$#%求证! 73&74%
"第#题#
!!!!!!
"第(题#
!!!!!!
"第*题#
'"如图% 在!734中% 73&74%
75是边34上的高%
""# 求证! 35&45$
"%# 求证! $375&$475%
$
组
("一名工作人员不慎将一块如图所示的三角形模具打碎成了两块% 他是否可以只带其中一
块碎片到商店去% 就能配一块与原来一样的三角形模具呢( 他该带哪块去呢( 请用数学
知识解释你的结论%
"第+题#
!!!!!!
"第'题#
)"如图% 73&75%
$" &$%%
$4&$6%求证! 74&76%
*"如图% 点3) 6在线段75上% 73&56%
34# 6C%
34&6C%求证! 7C# 54%
"第&题#
++
第!#章"全等三角形
12.3　等腰三角形
在现实生活中%
你看到哪些物体的
表面具有等腰三角
形的形状(
1)等腰三角形的性质
我们知道% 有两条边相等的三角形叫做等腰三角
形"4323.:D:3514>6ED:#%如图"%)$)"% 73&74%
!734
就是等腰三角形%
指出!734的
腰) 底边) 顶角和
底角%!!
图"%)$)"
等腰三角形中% 相等的两边都叫做腰% 另一边叫做底边% 两腰的夹角叫做
顶角% 腰和底边的夹角叫做底角%
做一做
剪一张等腰三角形的半透明纸片% 每人所剪的等腰三角形的大小和
形状可以不一样% 如图"%)$)%% 把纸片对折% 让两腰73) 74重叠在一起%
折痕为75%你能发现什么现象吗(
图"%)$)%
+-
数学"八年级上册
可以发现% 折叠的两个部分是互相重合的% 所以等腰三角形是一个轴对称
图"%)$)$
图形% 折痕75所在的直线就是它的对称轴%我们还可以发现
$3&$4%
由此得到以下等腰三角形的性质!
等腰三角形的两个底角相等%
简写成+等边对等角, %
已知! 如图"%)$)$% 在!734中% 73&74%
求证! $3&$4%
图"%)$)#
分析!由上述操作可以得到启发% 即添加等腰三角形的顶角
平分线75%然后证明!735" !745%
证明!!如图"%)$)#% 作$374的平分线75%
在!735和!745中%
; 73&74%
$" &$%%
75&75%
<!!735" !745"=A=#%
< $3&$4"全等三角形的对应角相等#%
注意
!!在证明过程中% 为了需要% 在原来的图形上添加的线叫做辅助
线%辅助线通常作成虚线%例如% 上述证明中所添加的顶角平分线75%
!
例1!在!734中% 已知73&74% $3&',/%求$4和$7的度数%
解!; 73&74%
< $4&$3&',/"等边对等角#%
又; $7$$3$$4&"',/"三角形的内角和等于"',/#%
< $7&"',/#$3#$4
&"',/#',/#',/&%,/%
-,
!! 为简化推理格式% 今后只注明主要依据% 省略+已知, +等量代换, +等式的性质, 等依据F
第!#章"全等三角形
探索
!!由前面的+做一做,% 你还可以发现什么结论( 请写出你的发现!
!!!!!!!!!!!!!!!!%
!!!!!!!!!!!!!!!!%
!!!!!!!!!!!!!!!!%
回顾+ 等腰三
角形的底角相等,
的证明过程% 直接
推断这一结论成
立%!
我们发现% 75既是底边上的中线% 又是顶角的
平分线和底边上的高%由此可得!
等腰三角形底边上的高) 中线及顶角的平分线
重合%!
简写成+等腰三角形的三线合一, %
图"%)$)(
!
例2!如图"%)$)(% 在'734中% 73&74% 点5是边
34上的中点% $3&$,/%
""# 求$754的度数$
"%# 求$"的度数%
解!""# ; 73&74%
35&54%
+ 等腰三角形
的三线合一, 是经
常会用到的重要性
质%!!
< 75& 34"等腰三角形的三线合一#%
< $754&$753&&,/%
"%# ; $" $$3$$753&"',/"三角形的内角
和等于"',/#%
$3&$,/%
< $" &"',/#$3#$753
&"',/#$,/#&,/&*,/%
思考
图"%)$)*
!!如图"%)$)* 所示% 我们曾利用尺规作图作出一条
线段73的垂直平分线>D% 现在你能证明所得的直线
>D确实是已知线段73的垂直平分线吗(
!
例3!按如图"%)$)* 所示的尺规作图的作法% 证明直线>D
是已知线段73的垂直平分线%
-#
数学"八年级上册
证明!如图"%)$)+% 设73与>D相交于点G% 连结>7) >3) D7) D3%在
!7>D和!3>D中%
图"%)$)+
; 7>&3>%
7D&3D%
>D&>D%
< !7>D" !3>D"===#%
< $7>D&$3>D"全等三角形的对应角相等#%
又; 7>&3>%
< 7G&3G且>D& 73"等腰三角形的三线合一#%
因此直线>D是已知线段73的垂直平分线%
思考
!!如图"%)$)'所示% 我们还曾利用尺规作图过点4作出已知直线73
的垂线4>%当点4在直线73上时% 垂线4>即是平角743的平分线
所在的直线% 那么当点4在直线73外时% 你能证明所作的直线4>确实是直线
73的垂线吗(
点4在直线73上
!!!!
点4在直线73外
图"%)$)'
试写出整个证
明过程%
比较图"%)$)'的作法示意图与图"%)$)* 的垂直平
分线的作法示意图% 我们可以发现两者十分类似% 过直
线73外一点4作73的垂线% 就相当于作线段AB的垂
直平分线%那么类似于垂直平分线的证明% 自然就可以
证明过点4所作的直线4>确实是已知直线73的垂线%
图"%)$)&
三条边都相等的三角形叫做等边三角形" :GH4D>5:1>D
514>6ED:#%如图"%)$)&% 在等边三角形中% 每个角的度数是多
少呢(
-%
第!#章"全等三角形
显然% 73&74% 根据+等边对等角,% 可以得到
$3&$4%
同理可得
$7&$3%
所以!
$7&$3&$4%
而!
$7$$3$$4&"',/%
所以
$7&$3&$4&"',/
$
&*,/%
等边三角形也
是轴对称图形%它
有几条对称轴(
也就是说!
等边三角形的各个角都相等% 并且每一个角都等
于'+"-
等边三角形的三条边都相等% 三个角都相等% 也称为正三角形%
练　
习　
!"填空!
""# 如果等腰三角形的一个底角为(,/% 那么其余两个角的度数分别为
!!!和!!!$ !
"%# 如果等腰三角形的顶角为+,/% 那么它的一个底角的度数为!!!%
"第%题#
#"如图% 点6在34上% 76# 54%
73&76%求证!
$3&$4%
$"如图% 在!734中% 73&74%
35& 74%
46& 73%
垂足分别为点5) 6%求证! 35&46%
"第$题#
!!!!!!!
A
B
C
D
40&
50&
"第#题#
%"如图% 73&74%
$3&#,/% 点5在34上% 且$574&(,/%求证! 35&45%
-&
数学"八年级上册
2)等腰三角形的判定
对于一个三角形% 怎样判定它是不是等腰三角形呢( 我们已经知道的方法
是按定义% 看它是否有两条边相等%现在再看看能否找到其他的判定方法%
探索
!!我们知道% 等腰三角形的两个底角相等%反过来% 在一个三角形
中% 如果有两个角相等% 那么它是等腰三角形吗(
画画看% 你发现了什么(
我们可以发现% 如果一个三角形中有两个角相等% 那么它就是等腰三角形%即
有两个角相等的三角形是等腰三角形%
简写成+等角对等边, %
已知! 如图"%)$)",% 在!734中% $3&$4%
求证! 73&74%
图"%)$)",
!!!!!
图"%)$)""
分析!要证明73&74% 可设法构造两个全等三角形% 使73) 74分别是这
两个全等三角形的对应边% 于是想到作$374的平分线75%
证明!如图"%)$)""% 作$374的平分线75%
在!375和!475中%
想想看% 还可
以添加什么辅助线
证明这一结论(
; $3&$4%
$" &$%%
75&75%
<!!375" !475"AA=#%
< 73&74"全等三角形的对应边相等#%
-'
第!#章"全等三角形
图"%)$)"%
!
例4!如图"%)$)"%% 在!734中% 已知$7&#,/% $3&+,/%
求证! 73&74%!
证明! ; $7$$3$$4&"',/"三角形的内角和等于"',/#%
$7&#,/%
$3&+,/%
< $4&"',/#$7#$3
&"',/##,/#+,/&+,/%
< $4&$3%
< 73&74"等角对等边#%
你能证明这两
个定理吗(
由上述等腰三角形的判定定理% 我们还可以得到
等边三角形的两个判定定理!
三个角都相等的三角形是等边三角形$
有一个角等于'+/的等腰三角形是等边三角形%
图"%)$)"$
!
例5 ! 如图"%)$)"$% 73 # 45%
$" & $% % 求证!
73&74%
分析!要证73&74% 可以设法证明$3&$"% 而$" &
$%% 因此只要证明$3&$%%
证明!; 73# 45%
< $3&$%"两直线平行% 同位角相等#%
又; $" &$%%
< $3&$"%
< 73&74"等角对等边#%
图"%)$)"#
!
例6!如图"%)$)"#% 在B5!734和B5!7H3H4H中%
$743&$7H4H3HI&,/% 73&7H3H% 74&7H4H%
求证! B5!734" B5!7H3H4H%
证明!由于直角边74&7H4H% 我们通过平移和轴对称%
改变B5!734的位置% 使点7与点7H) 点4与点4H重合% 且
使点3与点3H分别位于7H4H的两侧% 如图"%)$)"(所示%
-"
数学"八年级上册
图"%)$)"(
!!; $7H4H3&$7H4H3H&&,/%
< $3H4H3&$7H4H3H$$7H4H3&"',/%
即点3H) 4H) 3在同一条直线上%
在!7H3H3中%
; 7H3H&73&7H3%
这样% 我们就
证明了前面已给出
的判定直角三角形
全等的C?判定定
理%!
< $3&$3H"等边对等角#%
在B5!734和B5!7H3H4H中%
; $3&$3H%
$743&$7H4H3H%
74&7H4H%
< B5!734" B5!7H3H4H"AA=#%
练　
习　
!"如图% $7&+%/%
$3&$*/%
45平分$743%试指出图中的哪些三角形是
等腰三角形% 并说明理由%
#"如图% 73&54%
$734&$543%
74)
35相交于点6%求证! 63&64%
"第"题#
! !!!
"第%题#
! !!!
"第$题#
$"如图% $7&$3%
46# 57%求证! 46&43%需再增加什么条件% 可使
!346成为等边三角形(
%"已知底边及底边上的高线作等腰三角形%即! 如图% 已知线段') I% 求作
!734% 使73&74%
34&'% 边34上的高75&I%
a
h
"第#题#
-(
第!#章"全等三角形
信息技术应用
探索三角形边) 角的关系
")我们已经知道% 等腰三角形的底角相等%如果三角形有两条边不相等%
那么这两条边所对的角相等吗(
如图"% 在!734中% 已知73(74% 我们利用动态几何软件作!734% 并测
量73) 74) $3和$4的值%如图%% 改变顶点7"或顶点3) 4#的位置% 可以发
现% 当73(74时% $3与$4不相等%
图"
!
图%
我们也可以用推理的方法% 证明如果三角形有两条边不相等% 那么这两条边
所对的角不相等! 假设$4&$3% 根据+等角对等边,% 就有73&74% 与已知
73( 74矛盾* 因此$4( $3% 即+如果三角形有两条边不相等% 那么这两条
边所对的角也不相等,%
同样% 我们也可以探索发现并证明! 如果三角形有两个角不相等% 那么这两
个角所对的边也不相等%
%)在!734中% 如果73 274% 那么$4与$3哪个大(
我们利用动态几何软件作!734% 并测量73) 74) $3和$4的值% 如图$
所示%我们发现不管如何改变顶点7"或顶点3) 4#的位置% 当73274时% 总有
$4 2$3%
我们将$7对折% 即将!754沿$374的平分线75翻折% 由于73 274%
点4必定落在边73上的点6处% 如图#所示%你能依据图中$765与$3) $4
的关系% 说明$4 2$3吗( 你还有其他证明方法吗(
-)
数学"八年级上册
图$
!
图#
同样% 我们也可探索发现并证明! 如果$4 2$3% 那么73 274%
$)如图(% 在!734中% 75是$374的平分线% 如果73 2 74% 那么
$753与$754哪个大( 35与45哪条线段长(
图(
!
图*
我们利用动态几何软件作!734及$374的平分线% 测量73) 74) 35) 45)
$753和$754的值% 如图* 所示%我们发现不管如何改变顶点7"或顶点3)
4#的位置%当73 274时% 总有$753 2$754%
35 245%
如图#那样% 将$7对折% 即将!754沿$374的平分线75翻折% 由于
73274% 点4必定落在边73上的点6处%连结56% 此时45&56%
$756&
$754% 从而得到$7532$754%依据$365与$754)
$3的关系% 你能说
明$365与$3的大小关系% 从而得到35 254的结论吗(
#)如图+% 在!734中% 如果73274% 你能说明75与74哪条线段长吗(
我们先就如图+那样的三角形看看可以得到什么结论%
-+
第!#章"全等三角形
图+
!
图'
图&
!
图",
!!
当73274% 且$4为锐角时% 我们拖动点5% 改变点5在边34上的位置%
发现当点5由点3出发% 逐渐向点4移动时% 一开始75大于74"图'#% 然后等
于74"图&#% 而后小于74"图",#%你能说明其中的原因吗(
当$4为钝角"或直角#时% 会有怎样的结论呢( 试用动态几何软件探索一
下% 并用推理的方法证明% 相信你一定会得到有意义的结论*
习题12)3
!
组
!"等腰三角形的周长为"*% 其中一条边的长是*% 求另两条边的长%
#"等腰三角形的底角比顶角大"(/% 求各个角的度数%
$"有两个三角形% 它们的三个角分别为! ! %,/% #,/% "%,/$ " %,/% *,/% ",,/%怎样把它
们分别分成两个等腰三角形( 画出图形试试看%!
--
数学"八年级上册
%"如图% 在!734中% 73&74%
5)
6是边34上的点% 且35&46%求证! $756&
$765%!
"第#题#
!!!!!!!!!!!
"第(题#
&"如图% 73) 45相交于点6% 67&64%
74# 35%求证! 63&65%
$
组
'"如图% 在等腰三角形734中% 两底角的平分线36) 45相交于点G%求证! G3&G4%
G5&G6%
("如图% 已知点5为34的中点% 56& 73%
5C& 74% 点6)
C为垂足% 且36&4C%
$356&$,/%求证! !734是等边三角形%
"第*题#
!!!!!!!!!!!
"第+题#
)"在如图所示的三角测平架中% 73&74% 在边34的中点5处挂一个重锤% 自然下垂%调
整架身% 使点7恰好在重锤线上%试问! 此时34是否正好处于水平位置( 为什么( !
"第'题#
#,,
第!"章#全等三角形
12.4　逆命题和逆定理
1!互逆命题和互逆定理
观察这两个命
题的条件和结论!
你发现了什么"
我们已经知道! 表示判断的语句叫做命题!例如
#两直线平行! 内错角相等$
#内错角相等! 两直线
平行$ 都是命题!
上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置!
在两个命题中! 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论! 而第一个命
题的结论是第二个命题的条件! 那么这两个命题叫做互逆命题!如果把其中一
个命题叫做原命题! 那么另一个命题就叫做它的逆命题!
命题#两直线平行! 内错角相等$ 的
条件为% """"""""""&
结论为% """"""""""!
因此它的逆命题为%
"""""""""""""""""""""!
你还能举出原
命题是真命题! 而
其逆命题是假命题
的例子吗"
每一个命题都有逆命题! 只要将原命题的条件改
成结论! 并将结论改成条件! 便可得到原命题的逆命
题!但是原命题正确! 它的逆命题未必正确!例如真
命题#对顶角相等$ 的逆命题为#相等的角是对顶
角$! 这个逆命题就是假命题!
如果一个定理的逆命题也是定理! 那么这两个定理叫做互逆定理! 其中的
一个定理叫做另一个定理的逆定理!
我们已经知道命题#两直线平行! 内错角相等$ 和它的逆命题#内错角相
等! 两直线平行$ 都是定理! 因此它们就是互逆定理!
一个假命题的逆命题可以是真命题! 甚至可以是定理!例如#相等的角是
对顶角$ 是假命题! 但它的逆命题#对顶角相等$ 是真命题! 且是定理!
!"!
数学#八年级上册
练　
习　
!"先指出下列各命题的条件和结论! 再写出它们的逆命题! 并判断其真假%
'#( 如果一个三角形是直角三角形! 那么它的两个锐角互余&
'$( 等边三角形的每个角都等于%&'&
'(( 全等三角形的对应角相等&
')( 如果" #$! 那么"
( #$
(!
#"举例说明下列命题的逆命题是假命题%
'#( 如果一个整数的个位数字是*! 那么这个整数能被*整除&
'$( 如果两个角都是直角! 那么这两个角相等!
$"在你所学过的知识内容中! 有没有原命题与它的逆命题都正确的例子" 试举
出几对!"
2!线段垂直平分线
图#$!)!#
我们已经知道线段是轴对称图形! 线段的垂直平分线是线
段的对称轴!如图#$!)!#! 直线%&是线段'(的垂直平分线!
点)是%&上任意一点! 连结)') )(!将线段'(沿直线%&
对折! 我们发现)'与)(完全重合!于是有%
线段垂直平分线的性质定理%线段垂直平分线上的点到线
段两端的距离相等&
已知% 如图#$!)!#! %&! '(! 垂足为点*! '*#(*! 点)
是直线%&上的任意一点!
求证% )'#)(!
请写出完整的
证明过程!
分析"图中有+,!')*和+,!()*! 只要证明这
两个三角形全等! 便可证得)'#)(!
探索
""这一定理描述了线段垂直平分线的性质! 那么反过来会有什么结
果呢"
!"#
第!"章#全等三角形
写出该性质定
理与它的逆命题的
条件和结论! 想想
看! 其逆命题是否
是一个真命题"
条件
结论
性质定理
逆命题"
""
图#$!)!$
你一定发现到线段两端距离相等的点的确在该线段的垂直
平分线上!我们可以通过#证明$ 说明这一结论正确!
""已知% 如图#$!)!$! +'#+(!
求证% 点+在线段'(的垂直平分线上!
分析"为了证明点+在线段'(的垂直平分线上! 可以先过
点+作线段'(的垂线! 然后利用#等腰三角形的三线合一$!
证明该垂线平分线段'(& 也可以先平分线段'(! 设线段'(的中点为*! 同样
利用#等腰三角形的三线合一$! 证明+*垂直于线段'(!
证明"如图#$!)!(! 过点+作%&! '(! 垂足为点*!
你能根据分析
中后一种添加辅助
线的方法! 写出它
的证明过程吗"
图#$!)!(
- +'#+(!
+*! '(!
. '*#*('等腰三角形的三线合一(!
. 点+在线段'(的垂直平分线上!
于是就有定理%
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上&
!"$
数学#八年级上册
上述两条定理互为逆定理! 根据上述两条定理! 我们就能证明% 三角形三
边的垂直平分线交于一点!
图#$!)!)
试一试
从图#$!)!)中可以看出! 要证明三角形三边的垂
直平分线交于一点! 只需证明其中两条边的垂直平分
线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了!
其思路可表示如下%
""""""""
,是'(的垂直平分线
"
-'#-(
!
.是(*的垂直平分线
"
-(#-*
!
"
-'#-*
" 点-在'*的垂直
" 平分线/上
试试看! 现在你会证明了吗"
练　
习　
!"如图! 已知点') (和直线,! 在直线,上求作一点)! 使)'#)(!
#"如图! (0! '*! 垂足为点1!
'1#*1!求证%
'(2*0#'02*(!
'第#题(
"""
'第$题(
"""
'第(题(
$"如图! 在!'(*中! 已知点0在边(*上! 且(02'0#(*!求证% 点0在
边'*的垂直平分线上!
!"%
第!"章#全等三角形
3!角平分线
我们已经知道角是轴对称图形! 角平分线所在的直线是角的对称轴!
如图#$!)!*! -*是#'-(的平分线! 点)是-*上任意一点! 作)0! -'!
)1! -(! 垂足分别为点0和点1!将#'-(沿-*对折! 我们发现)0与)1
完全重合!于是有%
图#$!)!*
角平分线的性质定理%角平分线上的点到角两边的距
离相等&
已知% 如图#$!)!*! -*是#'-(的平分线! 点)是
-*上的任意一点! )0! -'!
)1! -(! 垂足分别为点0
和点1!
请写出完整的
证明过程!
求证% )0#)1!
分析"图中有+,!)0-和+,!)1-! 只要证明
这两个三角形全等! 便可证得)0#)1!
探索
""这一定理描述了角平分线的性质! 那么反过来会有什么结果呢"
写出该性质定
理与它的逆命题的
条件和结论! 想想
看! 其逆命题是否
是一个真命题" "
"
条件
结论
性质定理"
逆命题"
""你一定发现角的内部到角两边距离相等的点的确在该角的平分线上!我们
可以通过#证明$ 说明这一结论正确!
已知% 如图#$!)!%! +0! -'! +1! -(! 垂足分别为点0和点1! +0#+1!
求证% 点+在#'-(的平分线上!
!"&
数学#八年级上册
图#$!)!%
分析"为了证明点+在#'-(的平分线上! 可以作
射线-+! 然后证明+,!+0-" +,!+1-! 从而得到
#'-+##(-+!
证明"如图#$!)!/! 过点-) +作射线-+!
- +0! -'!
+1! -(!
图#$!)!/
. #+0-##+1-#0&'!
在+,!+0-和+,!+1-中!
- -+#-+!
+0#+1!
. +,!+0-" +,!+1-'12(!
. #0-+##1-+'全等三角形的对应角相等(!"
. 点+在#'-(的平分线上!
于是就有定理%
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上&
上述两条定理互为逆定理! 根据上述两条定理! 我们就能证明% 三角形的
三条角平分线交于一点!
图#$!)!3
试一试
从图#$!)!3 中可以看出! 要证明三角形的三条角
平分线交于一点! 只需证明其中两条角平分线的交点一
定在第三条角平分线上就可以了!其思路可表示如下%
'-是#('*的平分线
-3! '(!
-4! '*
" -3#-4 *
(-是#'(*的平分线
-3! ('!
-5! (*
" -3#-5 *
"
"
"
-4#-5
*
-4! *'!
-5! *(*
" 点-在#(*'
的平分线上
试试看! 现在你会证明了吗"
!"'
第!"章#全等三角形
练　
习　
!"如图! 在#'-(的内部找出一点)! 使得点)在直线,上! 且点)到该角两
边'即射线-'与-((的距离相等!
#"如图! !'(*的外角#*(0和#(*1的平分线相交于点6!求证% 点6在
#0'1的平分线上!
'第#题(
"""
'第$题(
"""
A
B
C
D
E
'第(题(
$"如图! #'(0##*(0!
0'! ('!
0*! (*!求证% #0'*##0*'!
阅读材料
+ 几何原本,
我们的前人将只研究图形形状和大小的学科称为几何学!几何学始于古巴比
伦人和古埃及人所处的时代!相传古埃及尼罗河每年泛滥! 河水冲毁耕地! 每次
""
欧几里得
泛滥后都需要重新丈量土地! 从而推动了几何学的产生
与发展!在希腊文和拉丁文中!
#几何学$ '45675,89(
一词的原意就是#测量土地$ !公元前六百年左右! 古
希腊开始形成了较为系统的几何学知识! 当时人们作了
大量的几何猜想! 并用逻辑推理的方法证实了许多发
现!在其后的三百年中! 用演绎推理证实数学猜想的方
法发展得越来越完善!公元前三百年左右! 古希腊数学
家欧几里得':;<=>?! 约公元前((&*公元前$/*(总结了
前人的经验! 将前人的成果和自己的发现写成了一本叫
!"(
数学#八年级上册
做1,7.7/89的书!这是一部经典的数学名著!从印刷技术发明到#0 世纪末! 用
各种文字发行的1,7.7/89已达一千版以上!这是一部划时代的名著! 是最早用公
理法建立数学演绎体系的典范!在这部数学名著中! 欧几里得从当时人们认为的
不言而喻的几条基本事实出发! 运用演绎推理的方法! 使一个接一个的几何发现
'定理(得到证明! 如同滚雪球一般! 使得这个体系中精确无误的几何事实越积
越多! 从而推演出了内容丰富多彩的几何学!
在明朝万历年间'#%&/(! 我国科学家徐光启'#*%$*#%(((和意大利传教士
利玛窦'@!+><<>! #**$*#%#&(共同将欧几里得原著的拉丁文本的前% 卷翻译成
了中文! 取名为+几何原本, !徐光启巧妙地将#45675,89$ 翻译成#几何$! 既
含有#多少$ 的意思! 又考虑到了#456$ 的发音!该名词一直沿用到现在!
将1,7.7/89翻译成中文以后! 极大地影响了中国原有的数学学习和研究的习
惯! 因而! 成了中国数学史上的一件大事!徐光启充分认识到几何学的重要意
义! 他说% #窃意百年之后! 必人人习之!$ 清朝末年废科举) 兴学堂之后! 几
何学成为学校中必修科目之一!这时出现了徐光启所预料的#必人人习之$ 的
情况!
上海徐家汇是徐光启的故乡! 徐家汇本名法华汇! 为了纪念徐光启而改名为
徐家汇! 徐光启的石像至今还矗立在上海市徐家汇的光启公园中!园内还有徐光
启纪念馆!
利玛窦'左(和徐光启'右(""
徐光启翻译的+几何原本,页面
在清朝咸丰年间'#3*/(! 我国数学家李善兰'#3##*#33$(和英国传教士伟
烈亚力'A!B9=>5! #3#**#33/(共同将欧几里得原著的英文本的后0 卷翻译成了
中文!至此! 对欧几里得的1,7.7/89的翻译工作宣告全部完成!
!")
第!"章#全等三角形
"
李善兰和他翻译的+几何原本,页面
欧几里得的1,7.7/89对几何学的发展和几何学的教学起了巨大作用!人们为
了纪念欧几里得! 一直把这种体系的几何学称为欧几里得几何学!
习题12!4
*
组
!"写出下列命题的逆命题! 并判断它们是真命题还是假命题%
'#( 如果:#;! 那么:
$ #;
$&
'$( 如果一个三角形有一个角是钝角! 那么它的另外两个角是锐角!
#"如图! 在!'(*中! '(#'*!
#'#*&'!
01垂直平分'(!求#0(*的度数!
'第$题(
"""""""""""
'第(题(
$"如图! 在!'(*中! #'#(&'!
#*#0&'! (0是#'(*的平分线! 交'*于点0!求
证% 点0在'(的垂直平分线上!
!"+
数学#八年级上册
'"如图! *'! 0'!
*(! 0(! 垂足分别为点'和点(!
#*'(##*('!求证% 点*在
#'0(的平分线上!
'第)题(
""""""""
'第*题(
("如图! 已知#'01##'06! 01! '(! 06! '*! 垂足分别为点1和点6! (1#*6!
求证% '(#'*!
,
组
)"如图! (0! '*!
*1! '(! 垂足分别为点0和点1!
(0与*1相交于点6!
(6#*6!
求证% 点6在#('*的平分线上!
'第%题(
""""""""
'第/题(
*"如图! 已知点1是#'-(的平分线上一点! 1*! -'!
10! -(! 垂足分别为点*和
点0!求证% 直线-1是线段*0的垂直平分线!
+"如图! 在+,!'(*中! #*#0&'! 斜边'(的垂直平分线分别交边'()
(*于点0)
1!
10#1*!求证% #'#$#(! 并求出#'和#(的度数!
'第3题(
!!"
第!"章#全等三角形
数学活动
三角形全等的判断
我们已经知道判断两个三角形是否全等的方法有% CAC) ACA'AAC() CCC&
对于两个直角三角形! 还有特殊的判断方法% 12!直角三角形之所以有这样特
殊的判断方法! 在于它们之间已经存在一个相等关系!!!直角都相等!
那么对于另外一些特殊的三角形! 是否也存在一些特殊的判断方法呢"
例如等腰三角形!显然对于两个等腰三角形! 只有#一条腰相等$ 肯定不
够! 那么再加上什么条件! 才能保证它们全等呢"
想想看! 有哪些特殊的三角形! 满足什么条件! 才能判断它们全等!
将你的思考与新的发现填入下列表格中! 与同伴交流! 看看是否正确!
三角形的类型
判断全等的条件
说明
""对于两个四边形! 它们的边与角需要满足什么条件! 才能判断它们全等呢"
全等三角形有#边边边$ ' CCC(! 那么全等四边形是否也有#边边边边$
'CCCC(呢" 或许还要添加一个角相等" 或许""
写下你的探索! 利用尺规作图! 看看你的探索发现是否合理!
判断全等的条件
说明
四边形
!!!
数学#八年级上册
小结
一) 知识结构
ዬᓧʼឦ 
ᦂׯᰃˁᦂ
 ႏ
 ᥖᆎឦᥖᾥHLᾦ
ᥖឦᥖᾥSASᾦ
ឦᥖឦᾥASAᾦ
ឦឦᥖᾥAASᾦ
ᥖᥖᥖᾥSSSᾦ
ʼឦ ѹዬ
ᅨӚ 
ׯᰃˁ ႏ
ѹ
ዬ
ʼ
ឦ
 
ዬᓧʼឦ ᅨː˔ ឦᆏዬ
 ʷ˔ឦ 60°ᅨዬᓧʼឦ  ዬᥖʼឦ 
ዬᓧʼឦ  ᥖʽᅨᲒnj˗᎑ցᯥឦᅨ ӊ᎑ᨶ֪
 ː˔ឦᆏዬᅨʼឦ  ዬᓧʼឦ 
ʼ˔ឦ᧮ᆏዬᅨʼឦ  ዬᥖʼឦ 
ឦ ӊ᎑ʽᅨྠӠឦːᥖᅨᣎቭᆏዬ
᎑ ܥᆎ ӊ᎑ʽᅨྠӠ᎑ ːዉᅨᣎቭᆏዬ
ዬᥖʼឦ ᅨ֨ឦ᧮ዬ̆60°
Ӡ᎑ ːዉᣎቭᆏዬᅨྠ۸᎑ ᅨܥᆎ ӊ᎑ʽ
ឦᅨҍ᧨Ӡឦːᥖᣎቭᆏዬᅨྠ۸ឦᅨ ӊ᎑ʽ
!!#
第!"章#全等三角形
二) 要点
#!本章研究了命题) 定理的条件和结论! 以及原命题与它的逆命题) 定理
与它的逆定理之间的关系! 这些术语在今后的学习中会经常遇到!
$!本章研究的主要内容是三角形全等的判定方法!判定三角形全等的三个
基本事实是我们进行演绎推理的重要依据! 它们是从静态的角度探索发现的依
据三角形的基本元素判定三角形全等的方法!实质上它们和动态的全等三角形
定义是一致的! 我们完全可以说明! 在这些条件下的两个三角形一定可以通过
图形的基本变换'轴对称) 平移和旋转(而相互重合!
(!在本章中! 我们体会了证明的必要性! 知道了经过合情推理探索发现的
数学结论还需要经过演绎推理加以确认!我们还学习了一些基本的证明方法!
)!本章对于一些几何图形'等腰三角形) 线段垂直平分线) 角平分线(的研
究! 都经历了#探索发现!演绎证明$ 的过程! 先通过几何直观) 实验操作!
探索发现某些结论! 再通过演绎推理验证其正确与否! 体现了合情推理与演绎
推理是两种相辅相成的推理方式!
*!我们已经知道利用尺规作图可以作一条线段等于已知线段) 作一个角等
于已知角) 作已知角的平分线) 经过一已知点作已知直线的垂线) 作已知线段
的垂直平分线!本章通过逻辑推理的方法! 完成了对这些基本的尺规作图方法
的正确性的论证!尺规作图方法是十分有效) 十分有趣的! 在今后的学习中!
我们还会继续不断地进行探索!
!!$
数学#八年级上册
复习题
*
组
!"判断下列命题是真命题还是假命题! 若是假命题! 请举出反例说明%
'#( 两直线平行! 同旁内角互补&
'$( 同一平面内! 垂直于同一条直线的两条直线平行&
'(( 相等的角是内错角&
')( 有一个角是%&'的三角形是等边三角形&
'*( 若") $) <都是有理数! 且" =$! 则"<=$<!
#"判断题'对的在括号内填#$$! 错的在括号内填#D$(
'#( 每个命题都有逆命题!'""(
'$( 每个定理都有逆定理!'""(
'(( 真命题的逆命题都是真命题!'""(
')( 假命题的逆命题都是假命题!'""(
$"如图! '(#01!
'*% 06!
(*% 16!求证%
!'(*" !016!
'第(题(
""""""""
'第)题(
'"如图! '1#0(!
(*#16!
(*% 16!求证%
!'(*" !016!
("如图! '*#(0!
(*#'0!求证%
!'(*" !('0!
'第*题(
!!%
第!"章#全等三角形
)"如图! ## ##$! #(##0!求证%
!'(*" !'0*!
'第%题(
""""""""""
'第/题(
*"如图! 在!'(*中! '(#'*!
0(#0*!
'0的延长线交(*于点1!求证%
#('1##*'1!
(1#*1!
+"如图! 在!'(*中! #(0'##*1'!
'1#'0!求证%
'(#'*!
'第3题(
"""""""
'第0题(
,"如图! 在!'(*中! #'*(#0&'!
'*#'0!
01! '(!求证% #1*0#
#10*!
!-"如图! 要测量河岸相对的两点') (间的距离! 先在'(的垂线(6上取两点
*) 0! 使(*#*0! 再作出(6的垂线01! 使点') *) 1在同一条直线上!
测得的01的长就是'(的长! 为什么"
""
'第#&题(
!!&
数学#八年级上册
,
组
!!"如图! 在!'(*中! #'##$&'! '(#'*! 点0是边(*的中点! 01!'(!
06! '*! 垂足分别为点1和点6!求证%
!016是等边三角形!
'第##题(
""""""
'第#$题(
!#"如图! 在!'(*中! #*#0&'!
#'#(%'! 01是线段'(的垂直平分线! 交
'(于点0! 交'*于点1!求证%
#1(*##3'!
!$"如图! '(#'0!
'*#'1!
#('1##0'*!求证%
#*##1!
'第#(题(
""""""""
'第#)题(
!'"如图! (1! '*!
*6! '(! 垂足分别为点1和点6!
(6#*1!
(1与*6
相交于点0!求证%
'0平分#('*!
!("如图! '0#(*!
#'0*##(*0!求证%
#('*##'(0!
'第#*题(
""""""""
'第#%题(
!)"如图! 已知!'(*! 求作点)! 使')#*)! 且点)到边(') (*的距离
相等!
!!'
第!"章#全等三角形
-
组
!*"两个直角三角形有两个角及一条边分别相等! 这两个直角三角形会全等吗"
试列出各种情况! 并一一加以说明!
'第#3题(
!+"如图! +,!'(*" +,!'01!
#'(*##'01#
0&'! (*与01相交于点6! 连结*0) 1(!
'#( 请找出图中其他的全等三角形&
'$( 试证明*6#16!
'第#0题(
!,"如图! 在!'(*和!('0中! '0与(*相交于点
-! ## ##$! 请你添加一个条件'不再添加其他线
段! 不再标注或使用其他字母(! 使'*#(0! 并
给出证明!
你添加的条件是% """"""""!
!!(
第13 章　勾股定理
%%你知道#--# 年在北京召开的国际数学家大会'./0 #--#(吗" 在这
次大会上! 可以看到一个简洁优美) 远看像旋转的纸风车的图案! 它就
是大会的会徽!%
会徽的原型即是! *-- 多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定
理的弦图!
&
本章将探讨并证明勾股定理及其逆定理! 并用以解决各种有趣的问
题! 进一步加深对直角三角形的认识!
第!$章#勾股定理
13.1　勾股定理及其逆定理
我们知道直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系% 一个角为直角!
另外两个锐角互余!那么! 直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关
系呢"
1!直角三角形三边的关系
本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙关系! 让我们首
先观察正方形瓷砖铺成的地面!
图#(!#!#
图#(!#!#是正方形瓷砖铺成的地面! 观察图中着色的三个
正方形! 显然! 两个小正方形)) +的面积之和等于大正方形
>的面积!即
"""""""" '*
$ 2(*
$ #'(
$!
这说明! 在等腰直角三角形'(*中! 两直角边的平方和等于
斜边的平方!那么在一般的直角三角形中! 两直角边的平方和是否等于斜边的
平方呢"
试一试
观察图#(!#!$! 如果每一小方格表示# <7
$! 那么可以得到%
正方形)的面积#""""<7
$&
正方形+的面积#""""<7
$&
正方形>的面积#""""<7
$!
我们发现! 正方形)) +) >的面积之间的关系是
"!
!!+
数学#八年级上册
""由此! 我们得出+,!'(*的三边长之间存在的关系是""""""
"""""""""!
图#(!#!$
做一做
作出两条直角边分别为* <7) #$ <7的直角三角形! 然后用刻度尺量
出斜边的长! 并验证上述关系式对于这个直角三角形是否成立!
对于任意一个直角三角形! 它的三边长之间是否都有这样的关系呢"
让我们回到导入语中所提到的$&&$年国际数学家大会的会标'图#(!#!((中
的那个像旋转的风车的会徽'图#(!#!)(!
图#(!#!(
"""""
图#(!#!)
!#"
第!$章#勾股定理
""它是由)个全等的直角三角形和# 个小正方形组成的图案'图#(!#!)( !记
直角三角形的两条直角边长分别为") $'$="(! 斜边长为<!
于是图#(!#!)中各个部分的面积之间有如下的等式%
) ?#
$ "$2'$@"(
$ #<
$!
化简! 可得
"
$ 2$
$ #<
$!
概括
""由上面的探索与验证! 可以发现% 对于任意的直角三角形! 如果
它的两条直角边分别为") $! 斜边为<! 那么一定有
"
$ 2$
$ #<
$!
这就是我国古
代所发现的勾股定
理!""
这种关系! 我们称之为勾股定理!
勾股定理"直角三角形两直角边的平方和等于斜
边的平方!
读一读
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系!
我国古代! 人们把直角三角形中较短的直角边称为#勾$! 较长的直
角边称为#股$! 斜边称为#弦$ !
#弦图$ 最早是由三国时期的数学家赵爽在为+周髀算经,作注时给
出的! 它标志着中国古代伟大的数学成就!$&&$ 年在北京召开的国际数
学家大会'EF@$&&$(的会徽! 其图案正是由#弦图$ 演变而来!
!#!
数学#八年级上册
应用勾股定
理! 由直角三角形
任意两边的长! 可
以求出第三边
的长!"
""
'
例1"在+,!'(*中! #( #0&'!
'( #%!
(*#3!求'*的长!
解"根据勾股定理! 可得
'(
$ 2(*
$ #'*
$!
所以'*# '(
$ 2(*
槡
$ # %
$ 23
槡
$ ##&!
练　
习　
!"在+,!'(*中! '(#<!
(*#"!
'*#$!
#*#0&'!
'#( 若" #%!
<##&! 求$& """'$( 若" #$)!
<#$*! 求$!
#"如果一个直角三角形的两条边长分别是( <7和) <7! 那么这个三角形的周长
是多少厘米" '精确到&!# <7(
""
图#(!#!*
'
例2"如图#(!#!*! +,!'(*的斜边'*比直角边'(长$ <7!
另一条直角边(*的长为% <7!求'*的长!"
解"由已知'(#'*@$!
(*#% <7! 根据勾股定理! 可得
'(
$ 2(*
$ #''*@$(
$ 2%
$ #'*
$!
解得
'*##& <7!
图#(!#!%
'
例3"如图#(!#!%! 为了求出位于湖两岸的点') (
之间的距离! 一名观测者在点*处设桩! 使!'(*恰
好为直角三角形!通过测量! 得到'*的长为#%& 7!
(*的长为#$3 7!问% 从点'穿过湖到点(有多远"
解"如图#(!#!%! 在+,!'(*中!
'*##%& 7!
(*##$3 7!
根据勾股定理! 可得
!##
第!$章#勾股定理
'(# '*
$ @(*
槡
$
# #%&
$ @#$3
槡
$
#0%'7(!
答% 从点'穿过湖到点(有0% 7!
练　
习　
!"如图! 小方格都是边长为# 的正方形!求四边形'(*0的面积和周长!'均
精确到&!#(
'第#题(
"""""""
'第$题(
#"假期中! 王强和同学到某海岛上去探宝旅游!如图! 按照探宝图! 他们在点
'处登陆后先往东走3 G7! 又往北走$ G7! 遇到障碍后又往西走( G7! 再折
向北走到% G7处往东一拐! 仅走# G7就找到了宝藏!问% 登陆点'到宝藏
埋藏点(的直线距离是多少千米"
2!直角三角形的判定
如何判定一个三角形是直角三角形"
我们已经知道! 如果#'2#(#0&'! 那么!'(*就是一个直角三角形!
""
由勾股定理!
你能猜想是什么特
殊关系吗"
#*为直角!即有如下的直角三角形的判定方法%
有两个角互余的三角形是直角三角形!
根据三角形三边之间的某种特殊关系! 我们同样
可以找到判定直角三角形的方法!
!#$
数学#八年级上册
图#(!#!/
古埃及人曾经用下面的方法画直角%
将一根长绳打上等距离的#( 个结! 然后如
图#(!#!/那样钉成一个三角形! 他们认为其中一个角
便是直角!
你知道这是什么道理吗"
试一试
试作出三边长分别为如下数据的三角形! 看看它们是一些什么样的
三角形%
'#( " #(!
$#)!
<#*&
'$( " #)!
$#%!
<#3&
'(( " #%!
$#3!
<##&!
你作的三角形
如何"
可以发现! 按'#( '((所作的三角形都是直角三
角形! 最长边所对的角是直角& 按'$(所作的三角形
不是直角三角形!
在这三组数据中! '#( '((两组数据恰好都满足
"
$ 2$
$ #<
$!对于直角三角形的判定! 有一般的结论%
勾股定理的逆定理%如果三角形的三边长") #) $有关系"
# %#
# &$
#! 那么
这个三角形是直角三角形! 且边$所对的角为直角!
已知% 如图#(!#!3!! 在!'(*中! '( # <!
(* # "!
'* # $!
"
$ 2$
$ #<
$!
求证% #*#0&'!
!
"
"
图#(!#!3
证明"如图#(!#!3"! 作!'A(A*A! 使#*A#0&'!
'A*A#$!
(A*A#"! 则'A(A
$ #"
$ 2$
$ #<
$! 即'A(A#<!
!#%
第!$章#勾股定理
""在!'(*和!'A(A*A中!
- (*#" #(A*A!
'*#$#'A*A!
'(#<#'A(A!
. !'(*" !'A(A*A!
. #*##*A#0&'!
'
例4"在!'(*中! '(# /
$ @#!
(*# $/!
'*# /
$ 2# '/为大于#的
整数(!问% !'(*是直角三角形吗" 若是! 哪一条边所对的角是直角" 请说明
理由!
想一想! 为什
么选择'(
$ 2(*
$"
'()
(*)
*'的大
小关系是怎样的"
解"- '(
$ 2(*
$ #'/
$ @#(
$ 2'$/(
$
#/
) @$/
$ 2# 2)/
$
#/
) 2$/
$ 2#
#'/
$ 2#(
$
#'*
$!
. !'(*是直角三角形! 边'*所对的角是直角!
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数! 称为勾股数!例如% () )) *!
%) 3) #&! /
$ @#)
$/)
/
$ 2#'/为大于#的整数(! 等等! 都是勾股数!
练　
习　
!"设三角形的三边长分别等于下列各组数! 试判断各三角形是不是直角三角形!
若是! 指出哪一条边所对的角是直角!
'#( #$! #%! $&& """"""'$( #!*! $! $!* !
#"若一个三角形的三条边长") $) <满足
"
<@$#<2$
"
! 则这个三角形是直角
三角形吗"
$"想一想! 你现在有多少种方法可以判定一个三角形是直角三角形!
!#&
数学#八年级上册
3!反证法
我们已经知道! 当一个三角形的三边长")
$)
<'" ( $( <( 满足关系
"
$ 2$
$ #<
$时! 这个三角形一定是直角三角形!如果此时"
$ 2$
$ ) <
$! 那么这个
三角形是否一定不是直角三角形呢"
做一做
作出以如下各组数为边长的三角形! 算算较短的两边长的平方和是
否等于最长边的平方! 再观察它们的图形! 你发现了什么"
'#( " ##!&!
$#$!)!
<#$!%&
'$( " #$!
$#(!
<#)&
'(( " #$!
$#$!*!
<#(!
我们可以发现! 第一组恰好满足"
$ 2$
$ #<
$! 由勾股定理的逆定理可知!
组成的三角形是直角三角形! 与所作图形一致!而另外两个三角形较短的两边
长的平方和都不等于最长边的平方! 所作图形都不是直角三角形!由此! 可以
猜想% 当一个三角形的三边长") $) <'"($(<( 存在关系"
$ 2$
$ )<
$时! 这
个三角形不是直角三角形!
注意") $) <的
大小关系%
" " ( $( <!
然而! 想从已知条件"
$ 2$
$ ) <
$'" ( $( <( 出
发! 直接经过推理得出结论! 十分困难!我们可以换
一种思维方式! 用如下方法证明这个结论%
'#( 假设它是直角三角形&
'$( 根据勾股定理! 一定有"
$ 2$
$ #<
$! 与已知条件"
$ 2$
$ ) <
$ 矛盾&
'(( 因此假设不成立! 即它不是直角三角形!
回想一下! 以前
用过类似的方法吗"
这种证明方法叫做#反证法$ !其步骤为%
先假设结论的反面是正确的& 然后通过演绎推理!
推出与基本事实) 已证的定理) 定义或已知条件等相
矛盾& 从而说明假设不成立! 进而得出原结论正确!
!#'
第!$章#勾股定理
读一读
反证法是数学证明的一种重要方法! 历史上许多著名的命题都是用
反证法证明的!一个命题! 当从正面证明有困难或者不可能时! 就可以
尝试运用反证法! 有时问题竟能轻易地被解决! 此即所谓#正难! 则
反$ !因此! 牛顿就说过% #反证法是数学家最精良的武器之一!$ 用反
证法不是直接证明结论! 而是间接地去否定与结论相反的一面! 从而得
出事物真实的一面!反证法是一种间接的证明方法!在数与代数中关于
#槡$不是有理数$ 的证明所采用的正是反证法!今后还会多次用到这个有
效的方法!
我们在七年级上学期证明#两直线平行! 同位角相等$ 这一结论时! 其实
使用的就是反证法!
思考
""现在再回到勾股定理% 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方!即#在!'(*中! 如果'(#<!
(*#"!
*'#$! 且#*#
0&'! 那么"
$ 2$
$ #<
$$是一个真命题!对于一般的非直角三角形! 情况又会如何
呢" 即#在!'(*中! 如果'(#<!
(*#"!
*'#$! 且#*) 0&'! 那么"
$ 2
$
$ ) <
$$ 是真命题吗" "
先思考作什么
假设! 再用反证法
写出推理过程!
我们同样可以用反证法证明它是一个真命题!
'
例5"证明% 两条直线相交只有一个交点!
已知% 两条相交直线,
# 与,
$ !
求证% ,
# 与,
$ 只有一个交点!
分析"想从已知条件#两条相交直线,
# 与,
$$ 出发! 经过推理! 得出结论
#,
# 与,
$ 只有一个交点$ 是很困难的! 因此可以考虑用反证法!
!#(
数学#八年级上册
""证明"假设两条相交直线,
# 与,
$ 不止一个交点! 不妨假设,
# 与,
$ 有两个交
点'和(!
这样过点'和点(就有两条直线,
# 和,
$ !这与#两点确定一条直线$! 即
#经过点'和点(的直线只有一条$ 这个基本事实矛盾!
所以假设不成立! 因此两条直线相交只有一个交点!
'
例6"证明% 在一个三角形中! 至少有一个内角小于或等于%&'!
已知% !'(*!
求证% !'(*中至少有一个内角小于或等于%&'!
证明"假设!'(*中没有一个内角小于或等于%&'! 即
#'=%&'!
#(=%&'!
#*=%&'!
于是
#'2#(2#*=%&'2%&'2%&'##3&'!
这与#三角形的内角和等于#3&'$ 这个定理矛盾!
所以!'(*中至少有一个内角小于或等于%&'!
练　
习　
!"求证% 在一个三角形中! 如果有两条边不相等! 那么它们所对的角也不相等!
#"求证% 两条直线被第三条直线所截! 如果内错角不相等! 那么这两条直线不
平行!"
$"求证% 如果整数.的平方是一个偶数! 那么.必为偶数!
!#)
第!$章#勾股定理
阅读材料
勾股定理史话
勾股定理是人类最早发现) 最基本的! 也是应用最为广泛的一条定理!勾股
定理从发现到现在已有五千多年的历史! 曾先后在不同地区或国家! 被不同民族
所发现! 并成为这些地区或国家文明史中一个重要的标志性的文化事件!
我国古代有不少关于勾股定理的记载! 让我们先从我们已认识的#赵爽弦
图$ 说起!
图#
赵爽'约#3$*约$*&(! 东汉末至三国时代人! 中国古
代伟大的数学家! 曾为现存最早的古代中国数学著作+周髀
算经,撰序作注! 他根据该著作的文字内容画了一组画! 即
#勾股圆方图$ !其中第一幅即#弦图$% 由四个红色三角形
'图#中表示#朱实$ 的部分(拼成的一个大正方形! 中间围
着一个黄色的小正方形'图#中表示#黄实$ 的部分(!
赵爽在#勾股圆方图$ 之后! 给出注文#勾股圆方图
说$% #勾股个自乘! 并之为弦实! 开方除之! 即弦$ !若
以") $) <分别表示勾) 股和弦! 此即勾股定理的一般形式# "
$ 2$
$ #<
$$ 或
#
"
$ 2$
槡
$ #<$!
赵爽对他的#弦图$ 作了这样的解释%
#案弦图! 又可以勾股相乘为朱实
二! 倍之为朱实四! 以勾股之差自相乘! 为中黄实! 加差实亦成弦实!$ 用代数
式表示! 即
$"$2'$@"(
$ #) ? #
$ "$2'$@"(
$ #<
$!
化简! 即证得勾股定理"
$ 2$
$ #<
$!
图$
那么赵爽是如何证明的呢" 传说赵爽是通过面积移补的方
法来证明的!如图$所示! 由以勾为边的正方形与以股为边的
正方形合并的图形! 将左) 右下角的两个直角三角形分别移补
到所示位置就得到以弦为边的正方形!
!#+
数学#八年级上册
""赵爽的这一证明! 美国数学史家) 哈佛大学教授库利奇' H!2!F66=>?45!
#3/(*#0*)(称其为#最省力的证明$& 而西方希腊数学史权威学者希思' I!2!
15J,K! #3%#*#0)&(则指出这一证明与希腊几何学的思想方式有着#完全不同的
色彩$ !
现在让我们回到前面提到的+周髀算经,!
+周髀算经,大约成书于公元前$ 世纪的西汉时期! 其涉及的数学) 天文知
识! 有些可以追溯至公元前## 世纪的西周年间!它从数学上讨论了宇宙的#盖
天$ 模型! 反映了中国古代数学与天文学的密切关系! 其中最突出的数学成就为
勾股定理及其在天文测量中的应用!该书中! 既有勾股定理的特例! 也包含了一
般形式的勾股定理的陈述!
图(
+周髀算经,中有公元前## 世纪商高就勾股测量答周
公的一段对话! 以举例形式向统治者周公介绍了一条数学
定理! 即勾股定理% #勾广三) 股修四) 径隅五!$
在该书的另一处更进一步叙述了周公后人) 贵族荣方
与学者陈子的对话! 其中最关键之处是这样的一句话%
#勾股各自乘! 并而开方除之! 得邪至日!$
荣方和陈子生活于公元前/ 世纪至公元前% 世纪! 大
约与古希腊发现勾股定理的毕达哥拉斯同时代!他们的对
话与前面提到的赵爽#勾股圆方图说$ 中的叙述一致! 是
一般的勾股定理!它是以天文测量总结出来的普遍规律的
形式!
人们对于勾股定理的认识! 经历过一个从特殊到一般
的过程! 是人类文明的共同语言!
勾股定理曾引起很多人的兴趣! 历史上不同时代) 不同国别的不同人士曾先
后给出过四百多种勾股定理的证明! 充分显示出它的灿烂光华!
!$"
第!$章#勾股定理
信息技术应用
美丽的勾股树
图#
图$
你可能去过森林公园! 看到过许许多多千姿百态的
植物!可是你是否见过如图#和图$所示的勾股树呢"
我们可以利用动态几何软件作出图# 和图$ 中美
丽的勾股树!
首先作一个正方形! 以其一条边为斜边作一个直
角三角形! 在这个直角三角形的两条直角边上再分别
作正方形! 如图(所示!
然后在这两个小正方形的边上! 如前面同样的操
作! 分别作直角三角形! 且使得所作的直角三角形左
边的锐角与图(中直角三角形左边的锐角相等! 接着
在得到的两个小直角三角形的各条直角边上再作正方
形! 这样就可以得到如图)所示的图形!
接着在这)个小正方形的边上! 按照上面的操作
程序! 继续作出直角三角形! 再在各自的直角边上作
正方形! 得到如图*所示的图形!
继续不断地重复这个操作程序! 就可得到如图#所示的勾股树!你能想象出如
图$所示的另一种勾股树的作法吗" 利用动态几何软件的迭代功能! 可以又快又
方便地完成这个重复过程! 这样我们就可以快速地得到美丽的勾股树了!
n = 1
图(
""
n = 2
图)
""
n = 3
图*
!$!
数学#八年级上册
习题13!1
*
组
!"把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状! 使点') 1) 0在同一条直线上!利用此
图的面积表示式证明勾股定理!
#"在!'(*中! #(#0&'!
'*##( <7!
(*#* <7!求'(的长!
$"如图! 分别以直角三角形的三边为边向外作正方形! 然后分别以三个正方形的中心为圆
心) 正方形边长的一半为半径作圆!试探索这三个圆的面积之间的关系!"
'第#题(
""""
'第(题(
""""
'第)题(
'"如图! 已知+,!'(*的三边长分别为%) 3) #&! 分别以它的三边为直径向上作三个半
圆!求图中着色部分的面积!
("试判断下列各组以") $) <为三边长的三角形是不是直角三角形!如果是! 那么哪一条
边所对的角是直角"
'#( " #$*!
$#$&!
<##*& """"'$( " ##!
$#$!
<#槡( &
'(( " #)&!
$#0!
<#)&& "
')( " L$L<#* L#$ L#(!
,
组
)"用反证法证明% 在一个三角形中! 如果两个角不相等! 那么它们所对的边也不相等!
*"人们习惯上以>M!来计量电视机的大小! 通常电视机的大小是以屏幕的对角线长度来衡量
'第3题(
的! 比如我们所说的)( >M) %* >M 等指的就是这个指标!如果
# >M *$!*) <7! 请你量一下家中电视机屏幕的长和宽! 计算出
电视机屏幕的对角线长! 看看家中电视机是多少英寸的!
+"如图! 长方形'(*0沿直线(0折叠! 使点*落在同一平面内的
点*A处! (*A与'0交于点1! '0# 3!
'(# )!求01的长!
!$#
!! >M是单位#英寸$ 的符号N
第!$章#勾股定理
13.2　勾股定理的应用
勾股定理能解决直角三角形的许多问题! 因此在现实生活和数学中有着广
泛的应用!
图#(!$!#
'
例1"如图#(!$!#! 一个圆柱体的底面周长为
$& <7! 高'(为) <7! (*是上底面的直径!一只蚂蚁
从点'出发! 沿着圆柱的侧面爬行到点*!求这只蚂蚁
爬行的最短路程!'精确到&!&# <7(
图#(!$!$
分析"蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行! 如
果将这半个侧面展开'如图#(!$!$(! 得到长方形
'(*0! 根据#两点之间线段最短$! 所求的爬行的最短
路程就是这一展开图!!!长方形'(*0的对角线'*
的长!"
解"如图#(!$!$! 在+,!'(*中! (*#圆柱体底面周长的一半##& <7!由
勾股定理! 可得
'*# '(
$ 2(*
槡
$
# )
$ 2#&
槡
$
#槡##% *#&!//'<7(!
答% 这只蚂蚁爬行的最短路程约为#&!// <7!
图#(!$!(
'
例2"一辆装满货物的卡车! 其外形高$!* 7! 宽#!% 7!
要开进厂门形状如图#(!$!(所示的某工厂!问% 这辆卡车能
否通过该工厂的厂门" '厂门上部分为半圆形拱门(
分析"由于车宽#!% 7! 所以这辆卡车能否通过该工厂
的厂门! 只要比较距厂门中线&!3 7处的高度与车高即可!
如图#(!$!(所示! 点0在离厂门中线&!3 7处! 且*0! '(!
与地面相交于点4!
!$$
数学#八年级上册
解"在+,!-*0中! 由勾股定理! 可得
*0# -*
$ @-0
槡
$ # #
$ @&!3
槡
$ #&!%!
*4#*0204#&!% 2$!( #$!0 =$!*!
可见高度上有&!) 7的余量! 因此这辆卡车能通过该工厂的厂门!
A
B
C
E
F
M
N
O
图#(!$!)
做一做
如图#(!$!)! 以+,!'(*的三边为边分别向外作正
方形!在以(*为边所作的正方形中! 点-是正方形对角
线的交点! 过点-作'(的平行线! 交正方形于%) &两
点! 过点-作%&的垂线! 交正方形于1) 6两点! 这样
把正方形划分成四个形状和大小都一样的四边形!试将
图中*个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中! 填
满整个大正方形!
练　
习　
'第#题(
!"为了加固电线杆! 往往需要给它拉上
一条固定于地面的钢缆!如图! 从电
线杆离地面* 7处向地面拉一条/ 7
长的钢缆!求钢缆在地面上的固定点
'到电线杆底部(的距离!'精确到
&!# 7(
#"轮船'以#% GM!的速度离开港口-向东北方向航行! 轮船(在同时同地以
#$ GM的速度向西北方向航行!求') (两船离开港口-#!* K后的距离!
!$%
!! GM是单位#海里O时$ 的符号N
第!$章#勾股定理
图#(!$!*
'
例3"如图#(!$!*! 在( ?(的方格图中! 每个小方格的边长
都为#! 请在给定网格中按下列要求画出图形%
'#( 画出所有从点'出发! 另一个端点在格点'即小正方形
的顶点(上! 且长度为槡*的线段&
'$( 画出所有以小题'#(中所画线段为腰的等腰三角形!
图#(!$!%
分析"只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段
满足要求!
解"'#( 如图#(!$!%! '() '*) '1) '0的长度均为槡* !"
'$( 如图#(!$!%!
!'(*)
!'(1)
!'(0)
!'*1)
!'*0) !'10就是所要画的等腰三角形!
'
例4"如图#(!$!/! 已知*0#% 7!
'0#37!
#'0*#0&'!
(*#$)7!
图#(!$!/
'(#$% 7!求图中着色部分的面积!"
解"在+,!'0*中!
- '*
$ #'0
$ 2*0
$
#3
$ 2%
$ ##&&'勾股定理(!
. '*##&!
- '*
$ 2(*
$ ##&
$ 2$)
$ #%/% #$%
$ #'(
$!
. !'*(为直角三角形'勾股定理的逆定理(!
. B着色部分#B+'*( @B+'*0
##
$ ?#& ?$) @#
$ ?% ?3
#0%'7
$(!
练　
习　
!"形状为直角三角形的一块铁板的三边长分别为$ 7) ) 7) :7! 试求出:的所
有可能值!'精确到&!&# 7(
#"利用勾股定理! 分别作出长度为槡( <7和槡* <7的线段!
!$&
数学#八年级上册
习题13!2
*
组
!"现有一张等腰直角三角形卡片! 其斜边长为$ <7!求它的直角边长和斜边上的高!'均
精确到&!# <7(
#"如图所示的图形由)个等腰直角三角形组成! 其中直角三角形!的腰长为# <7!求直角
三角形#的斜边的长!
'第$题(
$"如图! 为了加固一个高$ 7) 宽( 7的大门! 需在相对角的顶点间加一根木条!求木条
的长度!'精确到&!# 7(
'第(题(
'"已知三角形的三边长分别是/ 2#)
/ 2$)
/ 2(!当/为多少时! 该三角形是一个直
角三角形"
("如图! '0! *0!
'(##(!
(*##$!
*0#)!
'0#(!
#*'(#!!求#(的度数!
'用!表示(
'第*题(
!$'
第!$章#勾股定理
,
组
)"如图! 长方体的底面边长分别为# <7和( <7! 高为% <7!如果用一根细线从顶点'开
始经过)个侧面缠绕一圈到达顶点(! 那么所用细线最短需要多少厘米" 如果从顶点'
开始经过)个侧面缠绕$圈到达顶点(! 那么所用细线最短又需要多少厘米" 绕(圈呢"
绕/圈呢" '保留根号(
'第%题(
*"如图! 某地一条公路旁有两个居民点*) 0! 它们各自到公路的垂直距离*') 0(分别为
#& G7) #* G7! 公路上的') (两地相距$* G7!现准备在公路上修建一所医院1! 因两
地居民需求基本一致! 考虑选择合适的地点建造! 使得两地到医院的距离相等!试在图
上确定医院1的建造位置! 并求出该医院离'地的距离!
'第/题(
+"如图! 在长(& <7) 宽*& <7) 高)& <7的长方体上! 有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从
顶点'处爬到相对的顶点5处!试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线! 使其爬行的路程最短!
'第3题(
!$(
数学#八年级上册
数学活动
探索勾股定理的无字证明
在勾股定理的学习过程中! 我们已经学会了运用图#! 利用各个图形之间的
面积关系! 验证著名的勾股定理!我们还可以如图$所示直接将图形适当割补!
不用任何文字! 验证勾股定理!
图#
""""""""
图$
这种根据图形直观推论! 验证数学规律和公式的方法! 简称为#无字证明$!
对于勾股定理! 我们还可以找到一些用于#无字证明$ 的图形! 如图( 和
图) !你会用这些图形验证勾股定理吗"
图(
""""""""
图)
现在请你和大家一起! 查阅教科书和其他相关书籍! 或上网查询各种相关
的资料!相信你一定会找到更多有趣的图形来验证勾股定理!
#无字证明$ 可以用于验证数与代数) 图形与几何等领域中的许多数学公式
和规律! #无字证明$ 通过可视化思维体现了数形结合的思想方法!
若有更多兴趣! 或许还可以发现更多的数学上的#无字证明$! 感悟数学美
的魅力-
!$)
第!$章#勾股定理
小结
一) 知识结构
ᆎឦʼឦ 
ԥᒅ ႏ
 თ
ԥᒅ ႏᅨᦂ ႏ
ք៛๠
二) 要点
#!本章研究了揭示直角三角形三边之间关系的勾股定理和勾股定理的逆定
理!勾股定理是一个著名的几何定理! 在西方也被称为毕达哥拉斯定理! 早在
几千年前! 我国古代劳动人民就已经发现并开始应用勾股定理了!勾股定理有
几百种证明方法! 本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法! 这种方
法利用了直角三角形面积与正方形面积的关系! 数形结合! 直观) 简洁! 体现
了我国古代几何学的思想方法!
$!如果知道了直角三角形任意两边的长! 那么应用勾股定理可以计算出第
三边的长& 如果知道了一个三角形三边的长! 也可以利用勾股定理的逆定理判
断这个三角形是不是直角三角形!勾股定理可以解决直角三角形中的许多问题!
在现实生活中有许多重要应用!
(!反证法是从反面的角度着手的间接证明方法! 即肯定条件而否定结论!
从而得出矛盾! 使命题获得证明!反证法是数学中常用的证明方法!当命题从
正面不容易或不能得到证明时! 就可以考虑运用反证法!
!$+
数学#八年级上册
复习题
*
组
!"求下列各图形着色部分的面积%
'#( 如图!! 着色部分是正方形&
'$( 如图"! 着色部分是长方形&
'(( 如图$! 着色部分是半圆'保留%(!
!
"""
"
"""
$
'第#题(
#"如图! 以+,!'(*的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形! 试探索
这三个等腰直角三角形的面积之间的关系!
$"试判断由下列三边围成的三角形是不是直角三角形%
'#( 三边长分别为.
$ 2/
$)
./)
.
$ @/
$ '. =/ =&(&
'$( 三边长之比为# L# L槡$ !
'第$题(
""""""""
'第)题(
'"一架$!* 7长的梯子靠在墙壁上! 梯子的底部离墙&!/ 7! 如果梯子的顶部
滑下&!) 7! 梯子的底部向外滑出多远"
!%"
第!$章#勾股定理
'第*题(
("在如图所示的图形中! 所有的四边形都是正方形!
所有的三角形都是直角三角形! 其中最大正方形的
边长为/ <7!求正方形') () *) 0的面积和!
)"在!'(*中! '(#'*##&!
(0是'*边上的高!
0*#$!求(0的长!
*"已知直角三角形的周长为(& <7! 斜边长为#( <7!
求这个三角形的面积!
,
组
'第3题(
+"如图! 有一块四边形地'(*0! #( #0&'!
'(#) 7!
(*#( 7!
*0##$ 7!
0'##( 7!
求这块四边形地的面积!
,"我们已经知道! () )) *! %) 3) #& 等都是一些勾
股数!请你再写出其他*组勾股数!
!-"试证明一个五边形不可能有)个内角为锐角!
!!"如图! 在四边形'(*0中! '(#(*#$!
*0#(!
0'##! 且#(#0&'!
求#0'(的度数!
'第##题(
!#"如图! 在五边形'(*01中! #(##1#0&'!
'(#* <7!
!'(*的面积为
(& <7
$!
!'*0与!'10关于'0所在的直线成轴对称!求'1的长!
'第#$题(
!%!
数学#八年级上册
-
组
!$"已知!'(*的三边长") $) <满足条件% "
) @$
) 2$
$<
$ @"
$<
$ #&!试判断
!'(*的形状!
!'"试着用反证法证明勾股定理的逆定理!
!("欧几里得在+几何原本,中给出了勾股定理的一个证明! 其思路是把直角三
角形斜边所构成的正方形分割成两个长方形! 然后证明每个长方形的面积
分别与两个由直角边所构成的正方形的面积相等!如图! 在+,!'(*中!
#*#0&'! 由+,!'(*的三边分别向外作正方形! 过点*作'(的垂线!
分别交'() 10于点C和点D! 这样就把正方形'(01分成两个长方形'CD1
和(0DC!连结5() *1!请试着利用该图形证明勾股定理!
'第#*题(
'第#%题(
!)"折竹抵地'源自+九章算术,(%
今有竹高一丈! 末折抵地! 去本三尺!问折者高
几何"
意即%
一根竹子! 原高一丈! 虫伤有病! 一阵风将竹子折
断! 其竹梢恰好抵地! 抵地处离竹子底部( 尺远!求
折断后竹子离地面的高度!
!%#
第14 章　数据的收集与表示
%%长时间看屏幕对眼睛不好! 那么通常来说! 大家每天看屏幕的时间
是多少呢" 看屏幕多长时间会安排休息呢" 一些手机自带# 护眼模
式$! 是否开启它就没事了" 国家卫生健康委员会对儿童青少年科学)
规范) 合理地使用电子产品有什么建议"
&
本章将在通过统计活动解决问题的过程中! 学习收集数据的一些基
本方法! 并在此基础上继续学习制作和应用统计图表直观形象地描
述数据! 从中发现数据蕴含的信息!
数学#八年级上册
14.1　数据的收集
1!数据有用吗
问题1"你喜欢看球赛吗" 有没有注意过解
说员是怎样点评一场球赛的"
解说员常常在比赛间隙对双方的表现进行
评价! 比如! 领先的队为什么能取得优势! 落
后的队问题出在哪里! 教练是否应该调整比赛
策略! 等等!
通常! 在比赛开始之前! 解说员会准备一些双方球队的数据资料! 比如!
每位队员的身高) 体重) 年龄以及球队以往的战绩等& 另外! 还会准备一份用
于记录本场比赛攻守情况的统计表格!
$&$$年中国女足时隔#%年重夺亚洲杯冠军- 表#)!#!# 是$&$$ 女足亚洲杯
决赛双方技术统计表!图#)!#!#是$&$$女足亚洲杯决赛实时赛况!
表!'"!"!%#-##女足亚洲杯决赛双方技术统计表
中国
韩国
最终得分
(
$
控球率
*0!0!
)&!#!
射门次数
#)
##
射正球门
%
*
角球
#
*
黄牌
(
&
红牌
&
&
!%%
第!%章#数据的收集与表示
""
分析图表中的
数据! 思考中国队
最终为什么能够战
胜韩国队!
""""
图#)!#!#"$&$$女足亚洲杯决赛实时赛况
从整场比赛来看! 中国队的控球率和射门次数都高于对方!这些良好的技
术指标! 来自中国女足的奋力拼搏- 面对先失两球的逆境! #铿锵玫瑰$ 依然敢
拼敢赢! 实现反超! 最终夺得冠军-
问题2"表#)!#!$ 汇总了最近四次全国人口普查所获得的我国各省市
自治区'不含港澳台地区(关于家庭户人口变化的一些数据!所谓#家庭
户$ ! 是指#以家庭成员关系为主) 居住一处共同生活的人组成的户$ !回
望过去三十余年! 说说你从该表中读出了哪些信息" 这样的数据信息有
用吗"
表!'"!"#%最近四次全国人口普查关于家庭户人口数据一览表
次序
'年份(
第四次
'#00&(
第五次
'$&&&(
第六次
'$&#&(
第七次
'$&$&(
家庭户数
$/% 0)/ 0%$
() 3(/万
)&# *#/ ((&
)0) #*/ )$(
平均每个家庭户的人口数
(!0%
(!))
(!#&
$!%$
'数据来源% 国家统计局网站(
很明显! 在过去三十余年中! 我国家庭户的数量一直在增加! 但是平均每
个家庭户的人口数却在一路下滑! 从#00&年的(!0%人降为$&$& 年的$!%$ 人!
!%&
数学#八年级上册
我们看到! 每年春运潮都会如期而至! 那么多人赶去与家人团聚过年! 感受其
乐融融大家庭的温暖& 我们还看到! 哪怕与父母同在一个城市生活! 不少年轻
人工作或者结婚后也会从父母家搬出来! 自己另立门户!
全国人口普查得到的数据能够让我们感受到家庭户增多) 家庭规模缩小
这一社会现象! 从数量上更好地认识基本国情! 从而把握社会变迁的趋势!
便于国家民政部门科学地管理) 解决诸如#空巢老人$
#单身社会$
#少子
化$ 等现实问题! 同时! 相关的数据信息也会为众多行业的生产与发展提供
指导!
像全国人口普查这样为特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查!
但是其工作量极大! 我国一般每十年进行一次!据报道! 为完成$&$&年的人口
普查工作! 全国省) 市) 县) 乡) 村共组建了%/!0 万个普查机构! 选聘了/&&
多万名普查人员!
为特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查!我国一般每五年进
行一次全国#!人口的抽样调查! 它是指从全国总人口中抽取#!! 然后对这部
分人进行调查!
我们把所要考察的对象的全体叫做总体'P6P;=J,>6M(! 把组成总体的每一个
考察对象叫做个体'>M?>Q>?;J=( !从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一
个样本'RJ7P=5(!一个样本包含的个体的数量叫做样本容量'RJ7P=5R>S5(!
例如人口普查中! 当考察我国人口年龄构成时! 总体就是所有具有中华人
民共和国国籍并在中华人民共和国境内常住人口的年龄! 个体就是符合这一条
件的每一个公民的年龄! 符合这一条件的所有北京市公民的年龄就是一个
样本!"
请举出一些需
要抽样调查的例子!
"
普查和抽样调查分别是通过调查总体和样本的方
式来收集数据的! 当调查会给考察对象带来损伤或破
坏时! 当人力) 物力) 时间等条件受限时! 抽样调查
都是更好的选择!
与普查相比! 抽样调查的工作量减少很多! 但是如果样本选择不合适! 那
就会影响调查结果的质量!
!%'
第!%章#数据的收集与表示
'
例1"老师布置给每个小组一个任务% 用抽样调查的方法估计全班学生的平
均身高!坐在教室最后排的小亮为了争速度! 立即就近对他周围的( 位同学作
调查! 计算出他们)个人的平均身高后! 就举手向老师示意已经完成任务了!
他这样选择样本合适吗"
你调查的对象
在总体中必须要有
代表性!
分析"因为小亮他们) 个人坐在教室靠后面的
位置! 所以他们身高的平均数就很可能会大于整个
班级学生身高的平均数! 这样! 样本就不具有代表
性了!"
'
例2"在投掷正方体骰子时! 同学甲说% #%! %! %""啊- 真的是%- 你只
要一直想某个数! 就会掷出那个数!$
同学乙说% #不对! 我发现我越是想要某个数就越得不到那个数! 倒是不想
它反而会掷出那个数!$
这两位同学的说法正确吗"
你的样本容量
要足够大!
分析"这两位同学的说法都不正确!因为几次经
验说明不了什么问题!
'
例3"小强想了解所在地区每个家庭使用智能语
音控制家电的情况!为此! 他和同学一起! 调查了全校每个学生所在家庭使用
的智能语音控制家电的数量!
仅仅增加调查
人数不一定能够提
高调查质量!
分析"这样抽样调查是不合适的!虽然他们调查
的人数很多! 但是因为排除了他们所在地区那些没有
中学生的家庭! 所以调查结果不能推广到所在地区的
所有家庭!
这道例题提醒我们! 在开展调查之前! 要仔细检查总体中的每一个个体是
否都有可能成为调查对象!
要使样本具有代表性! 不偏向总体中的某些个体! 有一个对每个个体都公
平的办法! 那就是用抽签的办法决定哪些个体进入样本!统计学家称这种理想
的抽样方法为简单随机抽样'R>7P=58JM?67RJ7P=>M4(!
!%(
数学#八年级上册
练　
习　
!"下列调查中哪些是用普查方式! 哪些是用抽样调查方式来收集数据的"
'#( 为了解你们班的每位同学所穿鞋子的尺码情况! 对全班同学作调查&
'$( 为了解你们学校八年级同学所穿鞋子的尺码情况! 对你们班的全体同学
作调查&
'(( 为了解你们班的同学每天的睡眠时间! 在班上每个小组中各选取$ 位同
学作调查&
')( 为了解你们班的同学每天的睡眠时间! 选取班上学号为偶数的所有同学
作调查!
#"判断下面两个抽样调查选取样本的方法是否合适! 并说明理由%
'#( 某手表厂想要了解%!##岁少年儿童戴手表的比例! 周末来到一家业余
艺术学校! 对在那里学习的$&&名学生进行调查&
'$( 为调查某省的环境污染情况! 调查该省省会城市的环境污染情况!
日常生活中! 我们还会碰到各种各样的问题! 如%
'#( 家庭教育是儿童青少年健康发展的起点和基础!家长对孩子的期望会
从他们对孩子某些方面的关注体现出来!那么! 同学们认为家长最关注我们什
么" 我们最希望家长关注我们什么" 我们的家长又认为他们最关注我们什么"
这些期望与需求之间互相匹配吗"
'$( #同月同日生$ 这样的缘分应该很难得吧! 你们班有同月同日出生的同
学吗"
'(( 许多人认为鹌鹑蛋比鸡蛋更有营养! 实际是这样吗"
')( 在我国! 哪种癌症是目前最常见的癌症" 它是目前死亡人数最多的癌
症吗" 从全球来看呢"
'*( 一些手机自带#护眼模式$! 大家对它的护眼作用是怎么看的"
'%( 豌豆荚里的豆子粒数不确定! 那么豆子粒数有规律吗"
'/( 媒体报道说! 上海于$&$#年国内生产总值'T86RRU675R,><V86?;<,! 简
称TUV(超越伦敦和巴黎! 历史性首次进入世界城市前五强!如果以省市自治
区'不含港澳台地区(为统计单位! 那么! 我国各地人均TUV的整体情况如何"
!%)
第!%章#数据的收集与表示
各地差异大吗"
请从上述问题中挑选一个! 进行调查! 并记录调查中收集到的数据!
要解决以上问题! 与研究女足比赛和人口问题一样! 离不开调查中得
到的数据!数据有助于我们发现一些有趣的现象和事实! 进而作出合理的
判断!"
收集数据有两种基本方法% 一是经过亲自调查获取一手数据! 如通过调查
周围的人! 询问他们认为开启手机#护眼模式$ 前后! 各打算多久安排一次眼
睛的间歇休息等问题来回答上述问题'*(& 二是经过查阅文献等从现有) 可用的
数据资料中检索需要的二手数据! 如通过访问国家统计局网站! 获取我国(# 个
省市自治区'不含港澳台地区(的人均TUV数据来回答上述问题'/(!"
2!亲自调查获取一手数据
以调查手机#护眼模式$ 的作用效果为例! 让我们回顾一下通过调查收集
数据的过程!
第一步% 明确调查问题!!!大家对手机#护眼模式$ 的认识与使用情况!
对#护眼模式$ 作用的认识!
第二步% 确定调查对象!!!周围的人! 如同学) 家长) 邻居等!
第三步% 选择调查方法!!!如直接询问调查对象对调查问题的看法! 即访
谈调查法& 或者事先确定若干要求调查对象回答的问题! 组成一份问卷请调查
对象作答! 待调查对象答完后再收回问卷! 即问卷调查法!
第四步% 展开调查!!!以采用访谈调查法为例! 可向调查对象说明调查目
的! 征得对方同意& 询问) 听取并记录调查对象对所提问题的回答!如% '#(向
调查对象简单介绍一下什么是手机的#护眼模式$! 征得对方同意后开始提问!
'$(收集调查对象的基本信息!'((询问调查对象了解与使用#护眼模式$ 的情
况!')(询问调查对象认为开启#护眼模式$ 后! 持续看屏幕多长时间需要安
排一次休息& 如果不开启#护眼模式$! 多长时间需要安排一次休息!可以将数
据记录在类似表#)!#!(这样的表格中!
!%+
数学#八年级上册
表!'"!"$%调查数据记录表
序号性别
年龄段
了解与使用#护眼模式$ 情况
多久安排间歇休息
不满
#3岁
#3岁
以上不知道也
没用过
知道
但不用有时用总是用开启后不开启
""第五步% 分析数据!!!汇总全班同学收集到的数据! 围绕调查问题! 整理)
分析数据!我们用频数'W85X;5M<9(这个词来表示每个对象出现的次数! 用频率
'85=J,>Q5W85X;5M<9(这个词来表示每个对象出现的次数与各对象出现的总次数的
比值'或者百分比(!很明显! 频数和频率都能反映每个对象出现的频繁程度!
例如! 我们可以统计#知道但不用.护眼模式/ $ 的人数'统计频数(! 计算
#知道但不用.护眼模式/ $ 的人占比多少'计算频率(! 以及那些认为开启
#护眼模式$ 后! 持续看屏幕的时间可以至少增加一倍的人占比多少! 等等!
第六步% 得出结论!!!如! 调查对象了解与使用#护眼模式$ 的情况如何!
不同年龄段的调查对象对#护眼模式$ 的使用习惯是否差不多! 他们对手机
#护眼模式$ 作用效果的看法可以分为哪几类! 持不同看法的人占比各是多少!
等等!
思考
""频数和频率都能反映每个对象出现的频繁程度! 请举例说明两者
在使用上的异同点!
读一读
我们知道! %是一个无限不循环小数!$&$# 年! 据媒体报道! 利用
现有的超级计算机! 计算一百多天后! 人类可以将%的计算精确到小数
点后六十万亿位! 而且这一世界记录还在持续受到挑战!
!&"
第!"章#数据的收集与表示
!!从实用的角度说! 利用计算机所得到的圆周率值并没有什么意义!
但这个计算是对计算机性能的挑战!也有人试图在圆周率值中寻找某种
规律! 从而对圆周率! 进而对无理数的认识有所启迪!下面两张表"表
"#$"$#和表"#$"$%#就给同学们一些这样的体验!
表!"#!#"$圆周率小数部分中各数字出现的频数
数字
"!"&
'
"!"&
(
"!"&
)
"!"&
*
&
** *%*
*** ##&
* *** *++
** **, *#+
"
** (%)
*** ,,,
"& &&+ #(%
** **( ,,#
+
"&& &+'
" &&& ,&'
"& &&" &*+
"&& &&+ #"&!
,
"&& ++*
*** *'#
* **) ##+
** *)' *""
#
"&& +,&
" &&" &*,
"& &&, )',
"&& &"" *%)
%
"&& ,%*
" &&& #''
* **, #()
** **) ))%
'
** %#)
*** ,,(
* *** #"(
"&& &"& ,)(
(
** )&&
" &&& +&(
* *** '"&
** **' &'"
)
** *)%
*** )"#
"& &&+ ")&
"&& &&" ),*
*
"&& "&'
" &&& &#&
* *** %+"
"&& &&& +(,
"注$ 表中第+ 行第+ 列的数%** *%*& 表示在!的小数点后"&
' 位当中! 数字%&& 出现了
** *%*次! 其他数的含义以此类推#
表!"#!#%$圆周率小数部分中特殊数字串首次出现的位置
特殊数字串
出现位置
特殊数字串
出现位置
""""""
第+%% *#%位
++++++
第*', &+#位
,,,,,,
第("& "&&位
######
第)+) #**位
%%%%%%
第+## #%,位
''''''
第+%+ #**位
((((((
第,** %(*位
))))))
第+++ +**位
******
第('+位
"+,#%'
第+ #%) ))%位
!"!
数学#八年级上册
3$检索文献获取二手数据
国内生产总值"-./#是国民经济核算的核心指标之一! 也常被用来衡量一
个国家或地区的经济状况和发展水平!假如我们想知道+&+" 年我国," 个省市
自治区"不含港澳台地区#人均-./的整体情况! 那么我们需要借助国家统计局
网站! 获取二手数据来解决问题!
打开国家统计局网站首页! 进入%数据查询& 部分的%中国统计年鉴&!
选择+&+"年! 在左侧目录中选取%,
*地区生产总值"+&+"年#&! 即可查询到
我国,"个省市自治区"不含港澳台地区#+&+" 年相应的人均-./数据!按人均
-./数据大小进行排序! 将相关数据制成表"#$"$'!
表!"#!#&$'('!年我国)!个省市自治区"不含港澳台地区#的人均*+,
地区序号
人均-./"元
地区序号
人均-./"元
地区序号
人均-./"元
"
"), *)&
+
"(, ',&
,
",( &,*
#
""' *,*
%
"", (,+
'
"", &,+
(
*) +)%
)
)' )(*
*
)' #"'
"&
)% #++
""
)" (+(
"+
(% ,'&
",
(& ,+"
"#
'* ##&
"%
'% %'&
"'
'% &+'
"(
'# )+"
")
'# ,+'
"*
', (&(
+&
'+ %#*
+"
'" (+%
++
%* #"&
+,
%( ')'
+#
%' ),"
+%
%' ,*)
+'
%% #%&
+(
%# "(+
+)
%& )&)
+*
#* +&'
,&
#( +''
,"
#" &#'
数据表明! +&+"年! 位于全国,"个省市自治区"不含港澳台地区#之首的两
个地区的人均-./均超过了"(万元!我国各地经济发展水平差距较大! 处于末
位的地区+&+"年人均-./约为#$"万元!总的来说! 人均-./在'万元以下的
地区较多! 占比近三分之一!人均-./在( 万元以下的地区有") 个! 占比达
!"#
第!"章#数据的收集与表示
!"!! 但人均#$%为&'万元至&(万元是一段空白! 表明这是一个比较高的台阶!
由于各地的自然资源不均衡! 造成它们的经济发展水平存在较大的差距!
尽管如此! 随着改革开放的深入! 各地都在不断发展!据中国政府网)*)) 年&
月报道! 经初步测算! )*)& 年世界人均#$%是&+)& 万美元左右! 而我国是
&+)!万美元左右! 已超过世界人均#$%水平!
阅读材料
谁是" 红楼梦# 的作者
我国有一部古典文学名著"红楼梦#!
虽然书的封面上通常印有曹雪芹$约&,&!%
约&,(-&和高鹗$约&,-"%约&"&!&两位作
家的名字! 但是它的作者究竟是谁! 现在
还是一个谜!
一些研究者试图通过统计和分析小说
前"*回和后'*回的遣词造句! 看前后两部分在写作手法上是否相似来推断"红
楼梦#的作者!例如! )* 世纪(* 年代! 有学者选定一些动词和副词短语! 编制
成索引! 结果发现前后两部分用法迥然相异的例子远比相同的例子多! 加上其他
佐证! 于是认为小说前后两部分不会出自同一作者的手笔!
计算机的广泛应用使这样的分析得以全面而深入地开展!&."* 年! 有学者
按章回顺序将"红楼梦#的&)*回分成/' 0' 1三组! 并将"儿女英雄传#作为$
组! 用随机抽样的方法对每组的用词进行统计分析! 结果发现前三组用词接近!
而第四组差异明显! 从而得出后'*回也出自曹雪芹之笔的结论!&.", 年! 又有
学者从小说版本的选取' 统计范围' 考察项目的数量上对上述研究加以改进! 最
终得出后'*回并非曹雪芹所作! 但其中前半部分含有曹雪芹少量残稿的结论!
同年! 另一位学者打破陈规! 不对小说作者进行任何假定! 把全书各章回作为
&)*个不同对象进行统计分析! 提出了不能笼统地认为前"* 回为一人所写' 后
!"#
数学#八年级上册
&%回为另一不相干的人所写等全新的看法!
使用数学方法来研究文学作品的著作权问题有趣又有用% 但由于*红楼梦+
流传至今有许多不同的版本% 在传承过程中还存在残缺& 抄录错误& 改写等问
题% 因此选用哪个版本进行比较& 比较什么& 怎样比较% 最终都会影响到统计的
精确性和结论的科学性% 这也是至今对'谁是*红楼梦+的作者( 仍没有定论的
原因!
习题14/1
*
组
$"下列调查中哪些是用普查方式% 哪些是用抽样调查方式来收集数据的$ 请指出其中抽样
调查的总体和样本!
"!# 为了解你们班的每位同学星期五& 星期六晚上的睡眠时间% 对全班同学作
调查,
""# 为了解世界上一些国家的学生解决现实问题的能力% 经济合作与发展组织"012-#
牵头% 定期对参与评估项目的国家或地区的部分!( 岁学生实施'国际学生评估项
目( ".345#测试,
"## 为了解某商品促销广告中所称中奖率的真实性% 某人买了!%%件该商品% 调查其中
奖率!
&"请指出下列哪些调查不适合作普查而适合作抽样调查!
"!# 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况,
""# 审查书稿中有哪些科学性错误,
"## 研究父母与孩子交流的时间量与孩子性格之间是否有联系,
"&# 了解一个打字训练班学员的训练成绩是否都达到了预定训练目标!
'"一天% 家里来了一位陌生客人% 平时活泼好动的小丽在客人面前却表现得特别安静!小
丽这一天的表现有代表性吗$ 如果这位客人以小丽这天的表现来评价小丽的性格的话%
是否合理$
"(+
第!"章#数据的收集与表示
!"设计一张记录全班同学身高& 体重的统计表格% 并向班上每位同学收集数据% 填入所设
计的表格中!"注意保存好数据以备用#
#"挑选一个你感兴趣的城市% 调查一下它这两个月来每天的最高"或最低#气温% 其中最高
"或最低#的温度是多少度$ 这两个月中有几天达到这个温度$ 这两个月每天的最高"或
最低#气温中哪个温度出现得最多"频数最大#$ 有几天达到这个温度$ 它出现的频率是
多少$
("查询最近"%年我国的,-.数据% 并用统计图表描述这一历史变化过程% 说说你从数据
中获得的信息!
!
组
)"下表是某年265总决赛某场赛后公布的统计结果!从表中的数据看% 你认为78队最终
为什么能够战胜,-队$ 请再举出一个可以用数据说话的例子!
78
,-
最终得分
!!$
$(
二分球
#% &&*
"" &#*
二分球命中率
'&!
()!
三分球
!! &"&
$ &#"
三分球命中率
&'!
"(!
罚篮
"( &")
!* &"'
罚篮命中率
$'!
'(!
进攻篮板
!&
"%
防守篮板
!'
!(
快攻
# &#
& &&
扣篮
"
#
盖帽
#
#
助攻
!*
$
失误
!$
""
"((
数学#八年级上册
*"下面是从*中华人民共和国"%"!年国民经济和社会发展统计公报+中摘录的一张比较复
杂的统计表% 显示的是我国"%"!年末人口数及其构成!请说明表中被圈起来的数字分
别表示什么意思!
年末人口数&万人
比重&!
全国人口
!&! "'%
!%%/%
++其中! 城镇
)! &"(
'&/*
++++ 乡村
&) $#(
#(/#
++其中! 男性
*" #!!
(!/"
++++ 女性
'$ )&)
&$/$
++其中! %!!(岁"含不满!'周岁#
"' #%"
!$/'
++++
!'!()岁"含不满'%周岁#
$$ """
'"/(
++++
'%周岁及以上
"' *#'
!$/)
++++++ +其中! '(周岁及以上
"% %('
!&/"
+"请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性!
"!# 在大学生中调查我国青年业余时间娱乐的主要方式,
""# 在公园里调查老年人的健康状况,
"## 调查一个班级里学号为#的倍数的学生% 以了解该班学生对班主任老师某项新举措
的意见和建议,
"&# 某环保网站对'支持商店使用环保购物袋的程度( 进行在线调查!
$%"将一张纸裁成&张完全相同的小纸片% 依次给它们标上!& "& #& & 这四个号码% 折叠
好% 放入一个盒中摇匀!闭上眼睛取出一张% 记录下它的号码% 折叠好% 重新放回盒
中摇匀后再取!这样重复取"%次% 将你得到的结果填入下表!
号+码
!
"
#
&
频+数
频+率
根据表中的数据% 请尽可能多地列出你的发现和猜测!如果有兴趣% 还可以再重复取
"%次% 甚至&%次% 检验一下你猜想的结论是否总是正确的!
"(#
第!"章#数据的收集与表示
14.2　数据的表示
我们在小学阶段已经学过一些统计知识! 也曾见到过类似如图"#$+$" 所示
的统计图!
中国健儿在两届奥运会上获得的奖牌数
小文"!'岁身高变化
六年级学生最喜欢的文艺节目
图"#$+$"!各类统计图
上图包括条形统计图"9:;<=:;>#* 折线统计图"9;?@AB CDBAE;:F=#和扇形统
计图"FDA<=:;>#!
条形统计图是用宽度相同的条形的高低或长短来表示数据特征的统计图!
它可以直观地反映出数据的数量特征!如果有两个研究对象! 常常把它们相应
的数据并列表示在同一幅条形统计图中!
折线统计图是用折线表示数量变化规律的统计图!如果关注的是某种现象
随时间变化而发生的变化! 常常以时间为水平放置的数轴! 以折线的起伏直观
地反映出数量随时间所发生的相应变化!
扇形统计图是用整个圆代表所研究的总体! 用圆中各个扇形代表组成总体
!")
数学#八年级上册
的各个部分的统计图!它可以清晰地呈现总体中各部分所占百分比的多少!
现在让我们进一步认识统计图! 直观地描述数据!我们先学习频数分布直
方图! 再学习制作扇形统计图! 最后辨识一些容易误导读者的统计图!
1$频数分布直方图
问题1!+&位同学的立定投篮比赛成绩记录如图"#$+$+所示!
图"#$+$+!+&位同学立定投篮命中次数
请从图中读取以下信息$
""# (号选手命中几个球+
"+# 谁命中的次数最多! 谁命中的次数最少+
",# 谁与"#号选手的投篮成绩一样+
"## 有几个人命中了'个球+
如果学校有%个篮球架! 要按投篮成绩把这+& 位同学分成% 组分别训练!
分组方案如表"#$+$" 的第一行所示! 读懂了图"#$+$+! 我们不难完成表"#$+$"
的第二行和图"#$+$,!
表!"#'#!$分组方案及各组人数
命中次数#
& " #$+
+ " #$#
# " #$'
' " #$)
) " #$"&
各组人数"频数#
+
%
+
)
,
!"*
第!"章#数据的收集与表示
+& 位同学的整
体投篮水平分布情
况一目了然!
图"#$+$,!按命中次数分组后的各组人数"
!!!
!!!
思考
!!图"#$+$+和图"#$+$,描述的是同样的数据! 它们是为便于回答不
同类型的问题而设计的! 请针对图"#$+$, 也提出几个问题来考考你的
同伴!
为了解这+& 位同学的整体投篮水平! 像表"#$+$" 那样! 把这+& 位同学
投篮的命中次数#分为相连的等长的% 段! 再清点命中次数落在各段上的人数
"即频数#! 这样得到的统计表被称为频数分布表"G;AHIAB<JKDL>;D9I>D?B >:9CA#!
相应的统计图被称为频数分布直方图"G;AHIAB<JKDL>;D9I>D?B =DL>?E;:M#! 它们可
以直观地显示数据的分布情况! 比如哪一段上人数"频数#最多或最少! 数据
集中于哪里! 分布是否对称! 等等!与条形统计图不同! 画频数分布直方图
之前先要将统计数据等距地分成相连的若干组! 所以直方图的长条之间是没
有空隙的!!
问题2!表"#$"$'显示了+&+" 年我国," 个省市自治区"不含港澳台地区#
人均-./的数据!试据此设计一张频数分布表和相应的频数分布直方图来考察
+&+"年我国,"个省市自治区"不含港澳台地区#人均-./的整体情况及差异!
解!第一步! 先准备好表"#$"$'! 求出各地区人均-./的最大值与最小值
之差! 即
"), *)&N#" &#'O"#+ *,#"元#!
!"+
"" 本教科书中! 在不作说明的情况下! 每组的起点值属于本组! 每组的终点值属于下一组P
数学#八年级上册
第二步! 决定组数和组距!
通常情况下! 我们可以将数据分为%!"+ 组!这里! 各地区人均-./的差
距较大! 超过"#万元! 所以我们考虑多分几组! 比如分"& 组!组距是每组两
个端点值的差! 即
"#+ *,#
"&
O"# +*,$#"元#!
为方便计算! 这里不妨取整! 将组距定为"$%万元!
第三步! 确定分点! 列出频数分布表!
分组必须涵盖所有的值! 所以第一组的左端点要比最小值略小一点! 比如
可以定为#$"万元! 最后一组的右端点则要比最大值略大一点!表"#$+$+ 中!
#$" " #$%$'表示第一组包括所有人均-./大于或等于#$"万元但小于%$'万元
的省市自治区! 其他组的含义可类推!数出各组所含的地区个数"频数#! 即可
完成频数分布表"#$+$+ !
表!"#'#'$'('!年我国)!个省市自治区"不含港澳台地区#
人均*+,的频数分布表
人均-./#"万元
频数
人均-./#"万元
频数
#$" " #$%$'
'
%$' " #$($"
",
($" " #$)$'
,
)$' " #$"&$"
,
"&$" " #$""$'
+
""$' " #$",$"
"
",$" " #$"#$'
"
"#$' " #$"'$"
&
"'$" " #$"($'
"
"($' " #$"*$"
"
!!第四步! 画频数分布直方图!
横轴是人均-./! 纵轴是每组的频数!这样就得到了直观形象的频数分布
直方图"#$+$# !
!(,
第!"章#数据的收集与表示
因为不是从&
开始的! 所以前面
画了一段折线! 表
示&!#$
" 万元这一
段被折叠了!
!
图"#$+$#!+&+"年我国,"个省市自治区"不含港澳台地区#
人均-./的频数分布直方图
思考
!!根据上述频数分布直方图! 回答以下问题$
" 哪一组含有的地区数最多+ 该组人均-./范围是什么+
# 哪一组频数最小+ 该组人均-./的范围是什么+
$ 人均-./小于($"万元的地区有多少个+ 它们占总体的百分数是多少+
% +&+"年,"个省市自治区"不含港澳台地区#人均-./整体上是如何分布
的+ 对称吗+ 集中在哪个范围内+
& 如果等距分组的方案"是分"&组! 方案+是只分%组! 那么这两种分组
方案所画出的频数分布直方图! 其外观会改变吗+ 画一画! 体会一下增* 减组
数对了解分布的整体形态的影响!
我们发现! 频数分布直方图能够直观* 形象地反映大量数据整体的分布
形态! 如数据是否集中* 分布是否对称等!画直方图的关键步骤是确定组数
和组距! 它们与数据的分散程度* 问题情境* 数据分析对精度的要求等因素
有关! 没有统一的答案!可以进行尝试! 找出满意的分组方案!因为是等距
分组! 所以直方图中每个小长方形的宽度都相等! 是一个距离单位! 高度则
是频数!
!(!
数学#八年级上册
练　
习　
+&+"年! 中国科学院新增院士'%位"不含外籍院士#! 他们当年的年龄统计如下$
%*! #)! '&! %*! %'! !%)! %'! %*! %'! ',!
%"! %(! %'! ',! '#! !'+! %'! %(! '&! %,!
%,! %(! %)! '%! #*! !%(! #'! %)! ',! %(!
%%! '+! %)! ',! %'! !'+! %)! #%! %'! %,!
%%! %)! %"! %,! %*! !%)! ')! %'! %*! %%!
%'! '"! %*! %'! %(! !%%! %)! %'! %+! ',!
'+! %'! '(! %'! '# !
请根据以上数据绘制相应的频数分布表和频数分布直方图!
2$扇形统计图
问题3!就长时间持续看屏幕后感觉最不舒服的一个症状! 一些同学在汇
报他们的调查结果时! 画了下面这张海报! 如图"#$+$%所示!
图"#$+$%!长时间持续看屏幕后感觉最不舒服的症状
!(#
第!"章#数据的收集与表示
图中各个扇形分别代表什么+ 人们长时间持续看屏幕后感觉最不舒服的症
状是什么+ 对于不同年龄的人群! 情况有没有不同+
图"显示长时间持续看屏幕后感觉眼睛疲倦的占#)!! 而图#显示占%'!!
这是否意味着图#中感觉眼睛疲倦的人数一定大于图"中感觉眼睛疲倦的人
数呢+
图中各个扇形统计图给我们提供了不少与长时间持续看屏幕后不适感受相
关的信息!
以%眼睛疲倦& 为例! 从图"相应的扇形可以看出! 被调查者中感觉眼睛
疲倦的人在全体被调查人群中所占比例为#)!!图#和图$则进一步说明$ 在
不满")岁的人群中! 这一比例高达%'!, 而在") 岁以上的人群中! 这一比例
为,*!!
在全体被调查人群以及不同年龄段的人群中! %眼睛疲倦& 都是人们长时间
持续看屏幕后感觉最不舒服的症状!
需要注意的是! 不同的两个扇形统计图! 如果它们的总体数量不相等! 那
么占比大的那个部分的数量并不一定也大! 例如图#中那%'!的人数就一定少
于图"中那#)!的人数! 因为图"中#)!的人是所有感觉眼睛疲倦的人! 而图
#中%'!的人则只是其中那些不满") 岁的人! 部分的数量一定少于全体的
数量!!
图"#$+$'
思考
!!图"#$+$% 所示的每个圆中所有扇形表
示的百分比之和为多少+ 图"#$+$' 呈现了
图"#$+$%中的一个圆心角! 请量出图"#$+$% 中所有
*个圆心角的度数!
同一个扇形统计图中各扇形圆心角的大小与该
扇形上所标的相应百分比之间有什么关系+ 如果不
用量角器测量! 你能根据百分比计算各个圆心角的
度数吗+
!($
数学#八年级上册
我们知道! 扇形统计图中! 整个圆表示所研究的总体! 圆内各个扇形表示
组成总体的各个部分! 扇形圆心角的大小反映出各个组成部分的数量占总体数
量的百分比!
这样整个圆就是"&&!! 即,'&Q相当于"&&!!如果知道某一扇形的圆心角
的度数! 那么按比例! 就可以求出该圆心角所对应的这一部分应占全体的百分
比大小, 反之! 由百分比的大小也可以求出所对应的扇形圆心角的度数!
问题4!国家统计局在+&"&年和+&+&年对全国人口进行了普查! 不同年龄
段的人口数如表"#$+$,所示!完成该表! 并制作两张扇形统计图来分别描述这
两年各年龄段的人口数占总人口数的百分比! 再说说制作扇形统计图的步骤!
表!"#'#)$全国人口年龄结构表
年龄段
+&"&年
+&+&年
人口数"
万人
占比
扇形圆心角
的度数
人口数"
万人
占比
扇形圆心角
的度数
&!"#岁
++ +%*
"'$'!
+% +((
"%!'#岁
** )*)
*' )("
'%岁及以上
"" *,#
"* &'#
总计
",# &*"
"#" +"+
"数据来源$ 国家统计局网站#
求百分比!
为制作+&"& 年人口年龄结构扇形统计图! 先计
算各年龄段的人口数占总人口数的百分比!如&!"#
岁的人口数占总人口数的百分比为
++ +%* %",# &*" #"'$'!!
算圆心角!
再计算各扇形圆心角的度数! 如&!"# 岁这个扇形的
圆心角的度数为
,'&Q&"'$'! # '&Q!
!(&
第!"章#数据的收集与表示
!!在如图"#$+$(所示的扇形统计图中依次画出了三个扇形! 试着标记其中两
个空白扇形对应的名称和百分比! 完成该扇形统计图的制作!
画扇形* 作标
记!!
图"#$+$(!+&"&年全国人口年龄结构的扇形统计图
如果条件允许! 请学习本章的%信息技术应用& 栏目! 尝试用计算机中的
电子表格软件制作扇形统计图! 看看是不是又快又方便!
练　
习　根据下表! 你能用扇形统计图把各大洲的面积占世界陆地总面积的百分比表示
出来吗+ 有条件的话! 请尝试用计算机中的电子表格软件画图!"精确到&$"!#
七大洲的面积
洲!名
亚洲非洲欧洲北美洲南美洲大洋洲南极洲
土地面积"
万平方千米
# #&&
, &+&
" &"'
+ #++$)
" ()%
)*(
" #&&
3$容易误导读者的统计图
简洁的统计表和形象的统计图可以在决策过程中帮助我们得到很多有用
的信息! 比如! 最小值和最大值是多少! 发展变化的趋势和快慢程度如何!
等等!
不过! 形象的统计图如果画得不规范也会给人留下不真实的印象!这里!
我们提醒大家注意几种容易误导读者的统计图!
!("
数学#八年级上册
问题5!一则广告说$ 据调查! 使用本厂牙膏可以较大地降低蛀牙率! 并
以图"#$+$)示意其调查得到的数据!
图"#$+$)
你觉得这样的统计图会给人留下怎样的印象+
分析!我们注意到该条形图的纵轴是从,&!开始的! 这样左边条形的高度
就为右边条形高度的两倍! 从而容易给人错误的印象$ 使用该厂牙膏会使蛀牙
率减少一半!
问题6!有许多人认为鹌鹑蛋比鸡蛋更有营养!
是不是这样呢+
检测发现! 每"&& E鹌鹑蛋和鸡蛋的可食部分中各
种维生素6的含量分别为$ 维生素6" 约&$") ME和
&$"% ME, 维生素6+ 约&$(* ME和&$," ME, 维生素6'
约&$&+ ME和&$"+ ME!
厂商甲用两幅条形图比较两种蛋的各种维生素6的含量! 如图"#$+$*所示!
图"#$+$*
!!!!!!!!
鸡蛋的各种维
生素6的含量比鹌
鹑蛋高吗+
!((
第!"章#数据的收集与表示
!!厂商乙用一幅条形图比较两种蛋的各种维生素6的含量! 如图"#$+$"&所示!
哪种图示效果
好+ 好在哪里+
!!!!!
图"#$+$"&
分析!厂商甲的两幅图纵轴上的单位长度不同! 容易引起误解, 厂商乙的
统计图是恰当的!
其实! 除了比较维生素6的含量外! 还需比较其他营养成分!据检测! 在
人体所需的氨基酸的含量上! 鹌鹑蛋所含的赖氨酸比鸡蛋高! 而鸡蛋所含的异
亮氨酸* 亮氨酸* 蛋氨酸* 苯丙氨酸* 苏氨酸等则比鹌鹑蛋高!鹌鹑蛋和鸡蛋
的营养价值在总体上是相当的!
问题7!小文是集邮爱好者! +&+& 年她收藏了"&& 张邮票, +&+" 年她收藏
了+&&张邮票!她用图"#$+$""来表示自己的收藏成果! 这样的描述合适吗+
图"#$+$""!小文的邮票数量
分析!从高度上看! 图"#$+$"" 中第二个正方体确实是第一个正方体的+
倍, 但从体积上看! 却是+
, 倍!这样就会使读者产生错误的印象! 以为+&+"年
小文收藏的邮票比+&+&年多了很多!因此这样的统计图不合适!你能帮小文画
一幅合适的统计图吗+
!()
数学#八年级上册
习题14$2
%
组
!#一份关于%中国儿童青少年食物营养现状及对策& 的研究报告指出$ %儿童青少年脂肪
来源于食用油* 动物性食物和植物性食物的比例分别为#,$*!* ,'$'!* "*$'!!& 你
认为作者在展示这组百分比数据时忽略了一个什么问题+
'#国家体育总局组织了%+&+"年全国体育场地统计调查&! 发现篮球场地* 全民健身路径
和乒乓球场地这三种场地目前在全国数量最多! 具体数量如下表所示$
数量"万个
占比"!
篮球场地
"&%$,'
全民健身路径
*+$*,
乒乓球场地
))$#)
羽毛球场地
++$%*
其他场地"如田径* 足球等场地#
)($()
总计
据此信息! 完成表中的%总计& 与%占比&! 再用扇形统计图描述各类体育场地数量占
总场地数量的百分比!建议使用新技术来计算和画图!
)#某班学生数学考试成绩"成绩取整数#的频数分布直方图如图所示"图中每组的起点值属
于本组! 每组的终点值属于下一组! 最后一组中包含"&&#!
"第,题#
!(*
第!"章#数据的收集与表示
请回答!
"!# 组数与组距分别是多少$
""# 该班级共有多少学生$
"## 成绩优良"分数不低于$%分#的学生占多少百分比$
"&# 此次成绩分布对称吗$ 学生成绩落在哪个组的人数最多$ 你估计此次考试对同学们
来说是简单了% 还是难了$ 说说你的理由!
!
组
!"据新华社记者"%""年'月报道% 自"%"%年以来% 四川省文物考古研究院等单位组成的
联合考古队% 在三星堆!& "号'祭祀坑( 旁边% 又发现& 发掘了距今约# %%%年的#号
至$号共六个'祭祀坑(% 目前共出土编号文物近!# %%%件% 其中相对完整的文物# !((
件!这# !((件中的! ")# 件出自# 号坑% 包括铜器*'& 件& 金器!%& 件& 玉器"%* 件&
石器$$件& 陶器!!件& 象牙!%&件及其他!(件!请用扇形统计图描述#号坑内各类出
土器物所占的百分比!
#"我国自然资源部通报% "%""年!月至(月% 全国共发生地质灾害(("起!按灾情类型制
作了扇形统计图"如图所示#% 请据此得出各类地质灾害发生的起数% 并体会扇形统计图
中的百分数常常为近似值% 基于近似值的计算结果可能与实际数量有些许误差!
"%""年!月至(月全国地质
灾害发生情况的扇形统计图
"第(题#
"#$
数学#八年级上册
信息技术应用
计算机帮我们画统计图
利用计算机可以很方便地画出统计图!如果你有兴趣的话! 不妨试一试用电
子表格软件来画统计图!
打开电子表格软件! 会出现一张画满格子的表!画图之前! 我们需要先将数
据填入电子表格!然后按下鼠标左键并拖动鼠标! 选中你填好的数据! 在工具栏
%插入& ) %图表& 中! 选择你要画的统计图类型! 比如条形图"柱形图#* 直方
图* 扇形图"饼图#或折线图等!
如果我们要根据立定投篮的命中次数画出条形统计图! 那么先如图"左上方
选中数据! 再在工具栏%插入& ) %图表& 中选中柱形图类型后! 点击%确
定&! 就会得到图"中所选中的结果了!
图"
如果样例中没有我们想要的! 你画出的是同时出现学号和命中次数的双柱
"如图+左侧#! 没关系! 可以右键单击任何一个条形! 然后点击%选择数据&!
在弹出的%选择数据源& 对话框中! 去掉左栏中勾选的学号系列! 点击右栏中
!!
!),
第!"章#数据的收集与表示
图+
的%编辑&! 选择学号所在的+& 个单元格! 于是右栏类别就变为从" 到+& 了!
点击%确定& 即可完成!
画频数分布直方图的基本步骤与画条形图相同! 但还需要右键单击条形区
域! 通过%设置数据系列格式&! 在%系列选项& 中将条形的%间隙宽度& 或
%分类间距& 调整为&!!
如果我们要画出图"#$+$"中%六年级学生最喜欢的文艺节目& 扇形统计图!
那么先如图, 左侧选中数据! 再在工具栏%插入& ) %图表& 中选中%饼图&
类型后! 点击%确定&! 就会得到图,中所选中的结果了!如果还希望看到相应
的百分比! 可以右键单击扇形图区域! 然后点击%添加数据标签& !若想增加
百分比的小数位数! 可以在%标签& 下的%数字& 里设置!如果检查发现各百
分比之和不是"! 可以手动微调某个百分比!
图,
!)!
数学#八年级上册
!!如果我们要画出图"#$+$"中%小文"!'岁身高变化& 折线统计图! 那么先
如图#左侧选中数据! 再在工具栏%插入& ) %图表& 中选中%折线图& 类型
后! 点击%确定&! 就会得到图#中所选中的结果了!如果还希望调整纵轴刻度
的最小值和最大值! 或是希望增加坐标轴箭头等! 可以右键点击选中的坐标轴区
域! 然后%设置坐标轴格式&! 在%坐标轴选项& 中可以设置最大值和最小值!
在%线条& 中可以选择箭头的样式等!
图#
需要说明的是! 电子表格软件画的折线图的横轴是类别! 它通常是事先按
"* +* ,--均匀地设定好的! 与我们习惯使用的平面直角坐标系不一样! 所以!
当我们想要在横轴上呈现非等距的类别时! 比如想要呈现"*)** +&&&* +&&)*
+&+&这四个年份时! 可以在图表类型中选择%散点图&! 如果需要呈现数据点之
间的连线! 就选择%带直线的散点图& !!
!)#
第!"章#数据的收集与表示
数学活动
守护我们的健康
据中国营养学会网站介绍! 自+&"%年起! 每年% 月的第三周为我国的%全
民营养周& !它倡导民众学习营养知识* 改善膳食行为* 注意吃动平衡* 合理
预防疾病!青少年是祖国的未来! 身体正处于快速生长发育期! 对营养* 热量
有特殊的需求!据报道! 当前中国'!"( 岁儿童青少年的膳食现状表现出以下
问题! 值得注意$
""# 青少年膳食质量在改善! 但蔬菜水果* 蛋类* 奶类和豆类摄入量还需
提高,
"+# 青少年人群中! 烹调油和烹调盐摄入高过推荐量的现象值得关注,
",# 儿童青少年能量的供给基本充足! 部分微量营养素缺乏需要重视,
"## 儿童青少年的超重肥胖趋势呈现增长态势,
"%# 儿童青少年中还存在饮水不足* 饮料消费较多* 身体活动不足和屏幕
使用时间较长的问题!
请学习中国营养学会关于平衡膳食的建议! 提出一个你们感兴趣的问题"如
吃早餐的习惯* 膳食的质量* 喝饮料的频次和数量* 观看电子屏幕的时间* 运
动的频次和运动量! 等等#! 对你们身边的朋友在合理饮食或适量运动方面开展
调查研究! 收集数据! 并就你们所提的问题! 写出调查报告!
!)$
数学#八年级上册
小结
一* 知识结构
利用数据! 分析并解决简单实际问题的过程$
 Ӂᬦᰃ
 ᮕ  
 ႏ׵ ᥶  
ӊ   
۞ዳᬦᰃ
Ꮀើ
ۭᝉ
᯾ 
  
᠚ 
ጃՋᮂ
   
ᑄ᚛  ᅨ
 ᨸnjΛᝉ 
  
᯾ၩ
二* 要点
"$通过解决一些简单的实际问题! 我们了解到$ 在现实生活中! 有许多问
题应当先做调查研究! 收集数据! 再通过分析给出回答!
+$当我们所要考察的对象数不胜数的时候! 当我们的考察会给考察对象带
来损伤或破坏的时候! 当我们的考察经费和时间都非常有限的时候! 抽样调查
就发挥出其独特的作用了!简单随机抽样是一种很重要的抽样方法! 它使每个
个体都有相等的机会被选入样本!
,$频数用来表示每个对象出现的次数! 频率则表示每个对象出现的次数在
总次数中所占的比值"或者百分比# !频数和频率都能够反映每个对象出现的频
繁程度!但在总次数不相等时! 应比较频率而不是频数!
#$数据中蕴含着丰富的信息! 我们可以运用数据分析的方法! 借助统计图
表读取或传递有用的信息! 用数据说话!同时! 我们还了解到有些不够规范的
统计图容易误导读者!
!)&
第!"章#数据的收集与表示
复习题
%
组
!#下面哪些考察适合用普查方式! 哪些适合用抽样调查方式+
""# 考察一片试验田里某种大麦的穗长情况,
"+# 考察一个班级中的学生对建立班级生物角的看法,
",# 考察人们保护海洋的意识!
'#一厂家在某城市几家经销本厂产品的大商场进行调查! 得知本厂产品的销
售量占这几个大商场同类产品销售量的%&!!据此! 该厂家在广告中宣传
说! 他们的产品在国内同类产品的销售量中占%&!!请你根据所学的统计
知识! 判断该宣传中的数据是否可靠! 为什么+
)#下表记录了某班同学投掷一枚普通的正方体骰子出现的情况以及一些计算
结果! 请完成表中余下的计算!
投掷结果
甲"&次
乙"&次
甲* 乙合计+&次
全班合计#&&次
频数
频数
频数
频率
频数
频率
出现"点
&
&
''
出现+点
,
&
'+
出现,点
&
+
((
出现#点
+
"
(#
出现%点
,
%
'&
出现'点
+
+
'"
"#一位同学在调查%&位同班同学的出生月份时! 记录的数据如下$
+!
%! ""! (! *!
,! "+!
"! )! "&! "+!
(!
)! +! ""! "&!
+!
*!
'! #! *! ""!
%! "+! ,!
)!
#! "&! "+! (!
)!
'! "!
)! ""!
(! %! ,!
*! ""!
#! +!
*!
'!
%!
)! ,!
)! "+! "!
!)"
数学#八年级上册
""# 请为他设计一张统计表! 使每个月出生人数的情况一目了然! 别忘了
写表标题哦!
"+# 将上面的数据用条形统计图表示! 体会使用统计图表示数据的好处!
%#教育部基础教育质量监测中心+&")年完成的%义务教育数学学习质量监测
结果报告& 显示! 四年级学生数学学习焦虑程度低* 较低* 较高和高的占
比依次为+($+!* #)$&!* +"$"!和,$(!! 八年级学生的相应占比则依次为
"&$,!* #)$)!* ,%$&!和%$*!!
""# 根据这些调查数据! 画两张扇形统计图的草图! 来分别描述这两个年
级学生不同数学学习焦虑程度分布的情况,
"+# 根据这些调查数据! 制作两张扇形统计图! 再与你前面画的草图对照
一下! 看看草图中各个扇形的圆心角的大小是否大致合适,
",# 尽可能多地写下你从这两张统计图中读到的信息!
&#中华人民共和国生态环境部公布的'+&+"中国生态环境状况公报(中有如图
所示的一幅描述我国七大流域和浙闽片河流* 西北诸河* 西南诸河水质状
况的统计图!'!(类为水质良好至轻度污染! 适用于作为饮用水水源*
渔业水域等, )!*类为重度污染和严重污染! 主要适用于一般工业* 农
业用水及景观水域! 不能作为饮用水水源, 劣*类水质比*类更差!读图
后! 请按水质状况把这些河流分为水质优* 良好和急需治理三大类! 并说
明理由!
+&+"年我国七大流域和浙闽片河流* 西北诸河* 西南诸河水质状况
"第'题#
!)(
第!"章#数据的收集与表示
'
组
-#某市民服务热线某日收到的诉求分类占比如图所示!若已知求助类诉求为
"& '(#件! 占比,%$",!! 求占比+*$#+!的咨询类诉求的数量!
某市民服务热线某日收到的诉求分类占比
"第(题#
.#据报告! +&+&年我国品牌汽车销量前五名的企业集团销量如下表所示$
品牌
5
6
2
.
1
销量"万辆
+%,$"
"%&$#
",+$"
"",$#
"""$+
将表中%个数据相加! 可以知道! 五个品牌在该年的总销量为('&$+万辆!
有人据此画出如图所示的+&+& 年我国汽车市场品牌占有率的扇形统计图!
称5品牌的市场占有率为,,!!你同意吗+ 为什么+
+&+&年我国汽车市场品牌占有率
"第)题#
/#利用图"#提供的某公司的一些信息! 回答下列问题$
""# 下半年管理费支出的金额是多少+ 保险费支出的金额是多少+
"+# 下半年的总支出比上半年增加多少+ 增加百分之几+
!))
数学#八年级上册
! 上半年和下半年的总支出
+
" 下半年总支出的分配情况
"第)题#
%
组
$%"下面这张统计图直观地展现了我国汽车工业在这"%年中的快速发展历程!
"!# 指出该图存在的问题!
""# 图中汽车销量数据是读左边的坐标轴% 还是右边的坐标轴$
"## 图中汽车销量增长率的起伏是用许多直线段连成的折线描述的% 请问!
介于相邻两年之间的线段是否表示某种意思$ 连线是为了显示什么$
"&# 某年份的增长率下降% 是否意味着该年份汽车销量也下降$
"%%!)"%"%年中国汽车销量及增长率
"注! 历史年度数据为当年发布数据#
"第!%题#
"&'
第!"章#数据的收集与表示
!!#人们有时也会使用如图所示的堆积条形图来描述各部分在总体中所占的比
例!请根据此堆积条形图中的数据! 尝试回答下列关于+&+& 年度我国城镇
和农村居民人均主要食品消费量的几个问题$
""# 城镇和农村居民消费最多的食品各是什么+ 该项人均消费量在城镇和
农村各是多少+ 各自约占多少百分比+
"+# 该年度城镇和农村居民人均主要食品消费的总量各是多少+
",# 城镇和农村居民在人均主要食品消费量方面有哪些相同点和不同点+
+&+&年我国城镇* 农村居民人均主要食品消费量及其占比"单位$ @E!!#
"数据来源$ 国家统计局网站公布的'中国统计年鉴+&+"(#
"第""题#
!'#小明认为可以用如图所示的这张由中国营养学会+&++ 年推出的平衡膳食宝
塔作为一个例子! 说明统计表有时可以比统计图更好地显示数据信息!你
同意吗+ 说说你的理由!
!)+
数学#八年级上册
"#!"(岁青少年平衡膳食宝塔
"第"+题#
!)#某公司为了说明其劳资双方的利益呈现同步增长的趋势! 画出了如图所示
的统计图!说说你看了这幅图后有什么想法!如果已知该公司共有% 位股
东和"&&名员工! 你会如何分析劳资双方的收入+
股东* 员工收入比较
"第",题#
!*,
项目学习$#几何的妙用
项目学习"
几何的妙用
几何学的发展历史悠长! 贯穿人类文明的发展史中! 对生产与生
活产生了深远影响!纵向视之! 几何与代数* 数论等有着千丝万缕的
联系, 横向观之! 几何在艺术* 工程* 科技等领域有着举足轻重的作
用!有人制作道具或描绘图形! 用于论证数学的巧妙, 有人在简单的工
具上赋予数学智慧! 用以丈量土地与高山, 还有人结合数学之美! 设计
出独具匠心的艺术作品!让我们走进几何世界! 一起洞察几何之美.
所需数学知识或技能$ 全等三角形* 勾股定理* 黄金分割比等几
何知识, 尺规作图等基本技能!
所需跨学科知识$ 纸笔作图* 手工制作等美术知识, 电脑制图等
信息技术知识!
所需材料$ 硬纸板* 剪刀* 胶水等手工工具, 直尺* 圆规等作图
工具!
活动形式$ 收集资料* 绘制与设计* 制作与实验等!
成果形式$ 艺术作品* 电子产品* 自制工具等!
任务一!巧妙的几何证明
数学历史上有许多巧妙又直观的几何证明! 譬如勾股定理便有诸
多%无字证明& 的方法! 如赵爽弦图法* 青朱出入图法等!毕达哥拉
斯学派也经常用%形数& 思想证明一些代数性质!此外! 许多代数恒
等式也可以用几何方法直观地证明!请你选择某些公式或定理! 从几
何的角度寻求证明思路! 并为其设计和制作动态呈现的工具!
活动流程建议：
""# 厚积薄发!查阅相关书籍或网页资料! 了解巧妙直观的几何
!*!
数学#八年级上册
证明案例及数学史知识! 尝试学习其中的原理!感受这些证明方法中
所蕴含的数学思想方法!
"+# 动态呈现!你见过%注水法& 的勾股定理演示吗+ !!!直角
三角形上两个小正方形容器里的水经过旋转后恰好能注满大正方形容
器!这样的数学实验甚是巧妙! 却多用于%验证&! 而非%证明& !你
能否创新地设计一款产品"实体或数字产品均可#! 生动地演示某一证
明过程呢+ 例如! 你可以制作合适的积木拼图玩具演示青朱出入图法
的证明! 也可以利用软件制作动画进行演示!
",# 归纳反思!你的产品还有什么创新玩法吗+ 对于其他类似的
证明是否也能制作类似的产品呢+ 请进一步反思活动中的收获与不足!
以更多元的形式展示你的小组成果!
任务二!绝妙的几何设计
几何图形是对世界万物的高度概括! 是简洁* 直观又富有美感的表
达方式!许多商标* 旗帜* 标识等正是借助了尺规作图! 才更具设计感!
且简洁易复刻!你能否用数学方法标准地画出我国国旗五星红旗以及中
国共产党党旗等+ 请你学习用几何手段复刻一些作品"旗帜或商标等#!
在充分实践之后! 利用几何知识创作出一件独特的标识或美术作品!
活动流程建议：
""# 数学眼光!有哪些商标* 旗帜* 标识* 艺术作品等的设计中
蕴含了几何设计+ 这些图形中的线段比例* 角度等几何要素具有哪些
特点+ 请查阅相关资料! 用数学的眼光发现其中的几何美!
"+# 动手复刻!从你收集的设计作品中选择若干项进行复刻!利
用其中的数学原理! 尽可能使用严谨的几何作图方法进行纸笔作图"如
尺规作图等#!你也可以使用计算机软件作图!复刻作品的过程中尽量
保留作图痕迹或补充步骤说明! 体现作图的过程!
",# 创意发挥!请你借助几何知识"多边形* 全等* 尺规作图等#
创造性地为自己* 班级或某个活动设计和制作一个标识"或徽章* 旗帜
等#!不断反思与优化你的作品! 更好地呈现你的小组设计成果!
!*#
项目学习%#采集一手数据
项目学习(
采集一手数据
人类已经迈入大数据时代! 有效地收集和整理数据! 并对其进行
分析以获取有价值的信息! 已经成为这个时代的潮流!然而! 所收集
数据的真实性与代表性直接影响了最终结论的准确性与有效性!因
此! 如何更好地收集数据便是我们需要学习和掌握的技能!那么! 怎
么确定研究对象并有效地将其数据化呢+ 如何通过统计调查或科学试
验"测量#直接获取第一手统计数据呢+ 让我们在调查研究中一探究
竟吧.
所需数学知识或技能$ 随机抽样* 数据分析等统计知识!
所需跨学科知识$ 叶子特征等生物学知识, 反应速度等物理与体
育知识, 统计图表制作* 软件使用等信息技术知识!
所需材料$ 叶子* 尺子* 秒表* 问卷等!
活动形式$ 提出问题* 收集数据* 处理数据* 分析数据* 生成结
论等!
成果形式$ 调查报告* 宣传海报* 建议书或倡议书等!
任务一!叶子特征的调查
大自然中的植物千姿百态!德国著名哲学家* 数学家莱布尼茨
"RAD9BDS! "'#'!"("'#说过! 世界上没有两片完全相同的叶子!不过!
如果你细心观察就会发现$ 虽然叶子的形状各不相同! 但同一种植物
的叶子却有着许多类似的特征! 而不同植物的叶子通常有着不同的特
征!比如! 夹竹桃的叶子又细又长! 银杏树的叶子像把小扇子! 黄杨
树的叶子接近于椭圆形""请你选择一种或多种植物! 提出关于叶子
的数学问题! 并基于对叶子特征的调查回答问题!
!*$
数学#八年级上册
活动流程建议：
""# 提出问题!请你选定一种植物! 查阅与其相关的资料! 了解
它的习性与叶子形状!观察其叶子的特征! 提出你的研究问题与猜想
"例如叶子长与宽的关系* 叶子不同部位宽度的关系等# !你也可以选
定多种不同的植物作为研究对象! 比较它们叶子的差异! 尝试利用数
学知识加以区分!
"+# 收集数据!到大自然中去收集足够多且丰富多样的叶子! 根
据你的研究问题! 测量不同时期* 不同植株* 不同大小的叶子! 收集
真实的一手数据"关注所收集数据的准确性与代表性#!
",# 解决问题!借助表格* 统计图等数学工具记录数据! 进一步
分析数据特征! 回答研究问题! 提炼研究结论!反思活动过程! 总结
活动经验并提出更多的思考! 完成调查报告或制作宣传海报!
任务二!反应速度的调查
+&+"年)月"日! 在东京奥运会男子"&& M跑半决赛中! 中国运动
员以*秒),的好成绩打破了亚洲纪录! 创造了历史. 一声枪响! 中国
运动员的起跑反应速度仅为&$"#+秒! 优秀的起跑为好成绩奠定了基
础!反应速度体现了人体对各种信号刺激"声* 光* 触等#快速应答的
能力!对运动员而言! 优秀的反应速度对运动水平的发挥有着重要的
影响, 而对于普通人而言! 良好的反应速度可以让人们在发生某种危
急情况时及时采取相应措施以避免危险!请你查阅资料并加以学习!
设计出测量反应速度的有效方法! 并用以调查某类人群的反应速度!
活动流程建议：
""# 提出问题!请你查阅相关资料! 了解反应速度的相关概念!
学习其测量的方法并明确其基本范围!结合生活经验! 提出特定群体
内与反应速度相关的研究问题!
"+# 收集数据!测量反应速度的方法有哪些+ 请你分析不同测量
方法的优缺点! 根据你的研究问题选择合适的方法! 并设计测量反应
速度的方案!例如! 你可以用尺子并给合自由落体运动的相关知识进
!*&
项目学习%#采集一手数据
行测量! 也可以用秒表和示意工具"如小灯泡* 铃铛等#进行测量!然
后选择特定的群体"如某班级学生* 某学校体育特长生* 某类工作人员
等#进行测量! 收集足够的一手数据"过程中要注意样本的代表性及数
据的合理性#!!
",# 解决问题!借助表格* 统计图等数学工具记录数据!进一步
分析数据特征! 回答研究问题! 提炼研究结论!你还可以尝试探究反
应速度是否与某些因素"如年龄* 性别等#有关!反思活动过程! 总结
活动经验并提出更多的思考! 完成调查报告或制作宣传海报!
任务三!评价标准的调查
我们在生活中会遇到各种考核或评价! 也会参与到对他人或各种
事物的评价工作中! 例如评价哪些产品是优质的! 哪些人员是优秀的!
等等!每个人的主观认知都有一定的参考价值! 但又有所差异! 因此!
制定一套公平的评价体系便显得尤为重要!请你选择一个评价问题!
设计问卷调查不同人心目中的评价标准! 并基于收集的数据制定出一
套相对公平的评价标准!例如$ 学生眼中什么样的老师是一位好老师+
什么样的学生才算好学生+ 现在的中学生幸福吗+ 等等!
活动流程建议：
""# 设计问卷!请选择你感兴趣的领域! 提出一个你想制定的评
价标准问题!通过查阅相关资料! 或访谈相关人员! 了解该评价标准
可能需要涉及的主要指标有哪些! 进而设计并制作调查问卷!
"+# 收集问卷!选择合适的样本! 发放问卷! 收集真实* 有代表
性* 有效的数据!将数据记录在表格或计算机软件中! 用数学方法处
理数据"如生成统计图表* 计算基本统计量等#!
",# 制定标准!进一步分析数据! 提炼结论! 生成评价标准!在
现实背景下寻找一些个例! 尝试运用该评价标准! 反思其优缺点! 并
完成调查报告或面向特定群体写一封倡议书!
!*"
后记
后! 记
本套教科书于+&&"年初获教育部批准立项! 并于当年,月依据'全日
制义务教育数学课程标准"实验稿#(正式开始编写!七年级上册于+&&"年
'月通过教育部审查! 并于当年秋季在全国七个国家级实验区投入使用!
'义务教育数学课程标准"+&"" 年版#(于+&"" 年"+ 月由教育部正式颁
布! 根据教育部的统一安排! 本套教科书进行了修订送审! 并在顺利通过
教育部审查后继续在相关省市使用至今!在首届全国教材建设奖评选中!
本套教科书"七年级上册* 七年级下册#荣获%全国优秀教材二等奖&!
+&++年#月! '义务教育数学课程标准"+&++ 年版#(正式颁布! 根
据教育部的统一部署! 义务教育教科书新一轮修订工作正式启动!为
了确保本套教科书修订工作的顺利进行! 我们提前于+&") 年初至+&+&
年底! 在本套教科书使用地区进行了大规模的抽样问卷调查和测试!
获得了改进教科书质量的第一手材料!广大师生反馈的许多共性问题!
为我们进行新一轮教科书修订提供了明确的思路和启示!
按照教育部的要求! 本套教科书修订稿于+&+,年""月+%日至"+月
"%日在全国九个省市开展了试教试用和一线教师审读工作!在此期间!
几十位一线教师为我们进一步完善修订教科书提出了数百条意见和建议!
在此! 我们对+&多年来给予本套教科书关心的广大教科书使用地
区师生表示衷心的感谢!
除已经列出的编写人员外! 程靖* 黄健参加了本册教科书的有关
编写工作!
尽管我们对修订工作倾注了大量心血! 但是现在呈现在广大师生面
前的修订教科书肯定还存在有待进一步完善的地方!我们真诚希望广大
师生继续关心我们的教科书! 对我们的教科书不断提出新的宝贵意见!
联系电话$ "&+"#'&)+"('"! '&)+"((&!
电子邮箱$ FDBEFDBETA<BIF;ALL$<?M$<B !
!*)