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石嘴山市第一中学2025-2026 学年第一学期高一年级12 月月考
数学试题
一、单选题：本题共40 分，每题5 分
1. 已知集合
，集合
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出集合
和集合
，然后根据集合交集的运算求解.
【详解】因为集合
，由
，得
，所以
.
因为集合
，由
，得
，所以
，
所以
.
故选：C
2. 命题“
”的否定是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.
【详解】命题“
”的否定是“
”.
故选：C.
3. 已知函数
，则
（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 10
【答案】B
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【解析】
【分析】利用分段函数式求函数值即可.
【详解】由
.
故选：B.
4. 下列函数中，在定义域上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】对选项A，利用复合函数的单调性即可判断A 错误，对选项B，根据指数函数的单调性即可判断
B 错误，对选项C，根据复合函数的单调性即可判断C 正确，对选项D，利用二次函数的单调性即可判断
D 错误.
【详解】对选项A，
，定义域
，
令
，则
在
为减函数，
为增函数，
所以
在
为减函数，故A 错误；
对选项B，
在R 上为减函数，故B 错误.
对选项C，
，定义域为
，
令
，则
在
为增函数，
为增函数，
所以
在
为增函数，故C 正确；
对选项D，
定义域为R，对称轴为
，
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在
为减函数，在
为增函数，故D 错误.
故选：C
5. “
”是“
且
”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.
【分析】令
，
，
，则满足
，但“
且
”不成立，
则“
”不是“
且
”的充分条件；
由
且
，得
，因此“
”是“
且
”的必要条件，
所以“
”是“
且
”的必要不充分条件.
故选：A
6. 设
为奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】由奇函数的性质得
，再代入计算即可.
【详解】由
时，
，得
,
又
为奇函数，
.
故选：D.
7. 从甲地到乙地的距离为
，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量
（单位：
）与速度
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（单位：
）
的关系式为
，从甲地到乙地
这辆车的总耗油最少时，其速度
为（ ）
A. 60
B. 80
C. 100
D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出函数关系，即可利用二次函数的性质求解.
【详解】由题意可得总耗油量为
,
由于
为开口向上的二次函数，对称轴为
故速度为80
时，总耗油量最小，
故选：B
8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻总量为
千克，且该湖泊中的蓝藻每天以
的增长率呈指数增长，经过
天后，该湖泊中的蓝藻总量不少于
千克，则
的最小值是（ ）（参考数据：
）
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】由题意列出不等式，两边取对数解不等式，求出答案.
【详解】由题意得
，即
，两边取对数得
，故
，
故
的最小值为15.
故选：B
二、多选题：本题共18 分，每题共6 分
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9. 下列命题正确的是（ ）
A. 命题“
”的否定是“
”
B.
与
是同一个函数
C. 方程
解集为
D. 已知函数
若
，则
的取值有2 个
【答案】AD
【解析】
【分析】利用全称量词的否定可判断A，根据函数三要素可判断B，利用对数函数的性质求解即可判断
C，根据分段函数，解方程可判断D.
【详解】对于A，命题“
，
”的否定是“
，
”，故A 正确；
对于B，函数
的定义域为
，函数
的定义域为
，
两个函数的定义域不一样，所以两个函数不是同一个函数，故B 错误；
对于C，由
，得：
，解得：
或
，当
时，真
数小于0，舍去，故原方程的解集为
，故C 错误；
对于D，令
，当
时，由
，解得
，当
时，由
，解得
，即
方程
有两解，故D 正确.
故选：AD
10. 已知正实数
满足
，则下列结论正确的是（ ）
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A.
的最小值为9
B.
的最大值为
C.
的最大值为
D.
的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用“乘1”法结合基本不等式即可判断；对于B，根据题设利用基本不等式即可判断；
对于C，取平方后利用
计算即可判断；对于D，利用对数运算性质，结合
即可判断.
【详解】对于A，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为
，故A 正确；
对于B，由
，可得
，解得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最大值为
，故B 错误；
对于C，
，由B 选项的分析可知
，故
，
即
，故当且仅当
时，
取得最大值为
，故C 正确；
对于D，由
，可得
，则
，
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故当且仅当
时，
的最小值为
，故D 正确.
故选：ACD.
11. 定义域为
的函数
满足
，
，且
时，
，则（
）
A.
为奇函数
B.
在
单调递增
C.
D. 不等式
的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，令
，求出
，然后令
结合函数奇偶的定义判断，对于B，设
，则由题意可得
，再结合奇函数的性质进行判断，对于C，令
求
出
，再利用奇函数的定义可求得
，对于D，由题意可得
，将不等式转化为
，再利用其单调性求解即可.
【详解】对于A，由题，
，于是
，令
，则
，
即
，所以
为奇函数，A 正确；
对于B，设
，则有
，即
，
即有
，所以
在
上单调递增，
由于
，
为奇函数，可知
在
上单调递增，B 正确；
对于C，由
，得
，
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又
为奇函数，则
，C 错误；
对于D，由题意得，
，
则
等价于
，
则有
，即
，D 正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题是利用抽象函数作为探究创新情境，主要考查函数奇偶性、对称性等基础知识；
解题的关键是利用赋值法求解.
三、填空题：本题共15 分.
12. 设定义域为R 的函数
，则关于x 的函数
零点的个数为
______.
【答案】5
【解析】
【分析】令
解得
或
，作出
的简图，由数形结合判断即可.
【详解】令
，得
或
.
作出
的简图，
由图象得当
或
时，分别有3 个和2 个交点，
故关于
的函数
的零点的个数为5.
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故答案为：5.
13. 已知幂函数
的定义域是
，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的系数为，求出
的值，再结合幂函数的定义域进行检验即可.
【详解】因为函数
为幂函数，则
，即
，
解得
或
，
当
时，函数
的定义域为
，合乎题意；
当
时，函数
的定义域为
，舍去.
综上所述，
.
故答案为:
14. 已知函数
，若
，则
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设
，根据分段函数的解析式，求出
时，的取值范围，进而再分类讨论求出
的范围即可.
【详解】令
，则
，原不等式化为
，
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当
时，
，解得
，即
；
当
时，
，解得
，即
，
①
，
当
时，
，解得
；当
时，
，
无解，
因此
，
②
，
当
时，
，解得
；当
时，
，解得
，
因此
或
，
所以a 的取值范围是：
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：设
，分类讨论求出t 的范围是求解的关键.
四、解答题：本题共77 分.
15. （1）已知
，求
值．
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（2）已知角
终边上一点
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】（1）利用商数关系，化弦为切即可得；
（2）由三角函数定义、诱导公式即可求解。
【详解】（1）由
，
故
；
（2）由角
终边上一点
，得
，
故
16. 冕宁灵山寺是国家
级旅游景区，也是凉山州旅游人气最旺的景区之一．灵山寺有“天下第一灵”、
“川南第一山”、“攀西第一寺”之美誉，常年香火鼎盛．每年到灵山寺旅游的游客人数增长得越来越快，经
统计发现，灵山寺2021 年至2023 年的游客人数如下表所示：
年份
2020 年
2021 年
2022 年
年份代码x
1
2
3
年游客人数y（单位：万人）
12
18
27
根据上述数据，灵山寺的年游客人数y（万人）与年份代码x（注：记2020 年的年份代码为
，2021 年
的年份代码为
，依此类推）有两个函数模型可供选择：①
，②
（1）试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该函数模型的函数解析式；
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（2）问大约在哪一年，灵山寺的年游客量约是2021 年游客量的3 倍？（参考数据：
）
【答案】（1）函数模型①
更合适；
（2）大约在2024 年，灵山寺的年游客量约是2021 年的3 倍
【解析】
【分析】（1）根据增长速度越来越快，符合指数增长模型，得到函数模型①
，将
代入，求得
的值，即可求解；
（2）根据题意，得到
，结合对数的运算公式，即可求解.
【小问1 详解】
因为2020 年至2021 年游客人数增加了6 万人，2021 年至2022 年游客人数增加了9 万人，增长速度越来越
快，符合指数增长模型，
故函数模型①
更合适，
将
代入，可得
，解得
，
所以函数解析式为
.
小问2 详解】
2021 年的年游客量约为18 万人，当灵山寺的游客量约是2021 年的3 倍时，约是54 万人，则
，所以
，
所以
，
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故大约在2024 年，灵山寺的年游客量约是2021 年的3 倍．
17. 俄国数学家切比雪夫（
）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合
上的函数
，以及函数
，切比雪夫将函数
的最大值称为
的“偏差”.
（1）函数
，求
的“偏差”；
（2）函数
，若
的“偏差”为
，求
的值.
【答案】（1）8 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据题意得
，进而结合二次函数的性质求最值
即可得答案；
（2 ）令
，进而根据函数单调性与函数值的符号得到
，再根据“偏差”函数的概念解
即可.
【小问1 详解】
解：
，
因为
，
，
所以
，即
，
所以函数
与
的“偏差”为8.
【小问2 详解】
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解：令
，
∵
，
均为
上的单调递减函数，
∴
是
上的单调减函数，
令
得
，
，
又
，
，
所以
所以
，即
的“偏差”为
，
因为
的“偏差”为
，
所以
，解得
所以，当
的“偏差”为
，
.
18. 已知函数
.记：使函数
的定义域为
的实数a 的所有取值的集合为A，使
函数
的值域为
的实数a 的所有取值的集合为B，使函数
在
上单调递增的实数a 的所
有取值的集合为M，求
.
【答案】
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【解析】
【分析】若函数
的定义域为
，可得
对于
恒成立，进而求出
，
若函数
的值域为
，可得函数
的值域包含
，进而求出
，若函数
在
上单调递增，可得函数
在
上单调递增，且
对于
恒成立，进而求出
，再根据并集、补集、交集的定义求解即可.
【详解】若函数
的定义域为
，
则
对于
恒成立，
当
时，不等式为
不恒成立；
当
时，由
，解得
.
综上所述，
.
若函数
的值域为
，则函数
的值域包含
，
当
时，函数
的值域为
，包含
；
当
时，由
，解得
.
综上所述，
.
若函数
在
上单调递增，
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则函数
在
上单调递增，且
对于
恒成立，
当
时，函数
上单调递减，不符合题意；
当
时，由
，解得
.
综上所述，
.
而
，
，
则
.
19. 已知定义在
上的函数
满足
且
，
.
（1）求
的解析式；
（2）若不等式
恒成立，求实数
取值范围；
（3）设
，若对任意的
，存在
，使得
，求实数
取
值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
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【分析】（1）根据
列方程，求解即可；
（2）根据函数
的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可；
（3）由题意得
，先根据函数的单调性求得
，再求解使得
成立的实数
取值范围即可.
【小问1 详解】
由题意知，
，
即
，所以
，
故
【小问2 详解】
由（1）知，
，
所以
在
上单调递增，
所以不等式
恒成立等价于
恒成立，
即
恒成立.
设
，则
，
，当且仅当
，即
时，等号成立
所以
，
故实数
的取值范围是
【小问3 详解】
因为对任意的
，存在
，使得
，
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所以
在
上的最小值不小于
在
上的最小值，
因为
在
上单调递增，
所以当
时，
，
又
的对称轴为
，
，
当
时，
在
上单调递增，
，解得
，
所以
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，解得
，所以
；
当
时，
在
上单调递减，
，解得
，
所以
，
综上可知，实数
的取值范围是
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
，
，
.
（1）若
，
，有
成立，则
；
（2）若
，
，有
成立，则
；
（3）若
，
，有
成立，则
；
（4）若
，
，有
成立，则
的值域是
的值域的子集.
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