文档文本内容
【数量关系】
专项理论串讲
内部资料
禁止外传
······································································· 1
································································· 3
································································· 5
································································· 7
································································· 9
······························································· 11
······························································· 13
······························································· 15
······························································· 17
······························································· 19
················································ 21
···························································· 23
························································· 25
···························································· 27
···························································· 29
第一讲 整除
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
学校给一批新入学的同学分宿舍，若每个房间住6 人，则有6 人没有床位；若每个
房间住8 人，则空出3 个房间，新同学人数是（ ）人。
A.84
B.88
C.92
D.96
三、强 化 训 练
1.哥哥和弟弟各有若干本书，如果哥哥给弟弟4 本，两人的书一样多；如果弟弟给
哥哥2 本，哥哥的书是弟弟的4 倍，哥哥和弟弟共有（ ）本书。
A.20
B.9
C.17
D.28
2.某校参加竞赛的男生与女生的人数比是4∶3。后来又增加了3 名女生，这时女生
人数是男生人数的4
5
。问原来参加竞赛的女生有多少名？
A.36
B.40
C.45
D.52
1
3.已知甲、乙两人共有260 本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是
专业书，问甲有多少本非专业书？
A.75
B.87
C.174
D.67
4.A 和B 两家企业2018 年共申请专利300 多项，其中A 企业申请的专利中27%是
发明专利，B 企业申请的专利中，发明专利和非发明专利之比为8∶13，已知B 企业申
请的专利数量少于A 企业，但申请的发明专利数量多于A 企业。问：两家企业总计最
少申请非发明专利多少项？
A.237
B.242
C.250
D.255
2
第二讲 比例计算
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
三种动物赛跑，已知狐狸的速度是兔子的2
3
，兔子的速度是松鼠的2 倍，松鼠比
狐狸每分钟少跑14 米，那么兔子比狐狸每分钟多跑（ ）米。
A.28
B.14
C.19
D.7
三、强 化 训 练
1.某中学高一至高三年级的学生参加某项社区服务。如果高三年级与高一年级、高
三年级与高二年级参加此活动的人数之比分别为5∶3、8∶5。则该中学高一至高三年
级最少共有（ ）人参加该项社区服务。
A.40
B.55
C.79
D.89
2.某企业在软件园区的分公司有甲、乙两个开发团队，先从乙团队调走25 人，此
时甲、乙团队人数比为4∶3，然后又从甲团队调走42 人，此时甲、乙团队人数比为2∶
5，则两次调动前甲、乙团队人数比为：
A.3∶4
B.6∶7
C.1∶2
D.2∶5
3
3.甲、乙、丙、丁四人共同做一批纸盒，甲做的纸盒数是另外三人做的总和的一半，
乙做的纸盒数是另外三人做的总和的1
3
，丙的纸盒数是另外三人做的总和的1
4
，丁一
共做了169 个，问甲一共做了多少个纸盒？
A.780 个
B.450 个
C.390 个
D.260 个
4.某影院有四个演播大厅，A 厅可容纳人数占影院可容纳总人数的
13
4 ，B 厅的容
量是A 厅的
6
5 。C 厅可容纳人数是A 厅、B 厅总和的
11
4 ，D 厅比C 厅可多容纳40 人。
按照规定，一部影片最多只能在三个演播厅同时上映。问这个影院每次最多有多少观众
能同时观看一部影片？
A.1080
B.1200
C.1240
D.1560
4
第三讲 等差数列
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
已知等差数列1，4，7，10，……，问
（1）31 应该是其中的第几项？
（2）数列前13 项的和为多少？
三、强 化 训 练
1.某剧院有33 排座位，后一排比前一排多3 个座位，最后一排有135 个座位。这
个剧院一共有（ ）个座位。
A.2784
B.2871
C.2820
D.2697
2.某成衣厂对9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分恰好成等差数列，9 人的平
均得分是86 分，前5 名工人的得分之和是460 分，那么前7 名工人的得分之和是多少分？
A.602
B.623
C.627
D.631
5
3.某志愿者小组外出进行志愿服务活动，小组成员排成一列进行报数点名，除小李
外，其他志愿者所报数字之和减去小李所报数字，恰好等于100。问小李是第几位，该
志愿者小组共有多少人？
A.10 位，16 人
B.10 位，15 人
C.12 位，15 人
D.12 位，16 人
4.某工厂11 月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续
派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240 人。如果月底统计总厂工
人的工作量是8070 个工作日（一人工作一天为1 个工作日），且无人缺勤，那么，这
月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？
A.2
B.60
C.240
D.298
6
第四讲 不定方程
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
例1.小明在商店买了若干块5 分钱的糖果和1 角3 分钱的糖果，如果他恰好用了
1 块钱，问他买了多少块5 分钱的糖果？
A.6
B.7
C.8
D.9
例2.到超市购买商品，如买7 件A 商品，3 件B 商品，1 件C 商品共需50 元，
如购买10 件A 商品，4 件B 商品，1 件C 商品共需69 元，若这三种商品各购买两件，
则所需的钱数是（ ）。
A.28 元
B.26 元
C.24 元
D.20 元
三、强 化 训 练
1.小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚
好等于900。问孩子出生在哪一个季度？
A.第一季度
B.第二季度
C.第三季度
D.第四季度
7
2.小王、小李、小张和小周4 人共为某希望小学捐赠了25 个书包，按照数量多少
的顺序分别是小王、小李、小张、小周。已知小王捐赠的书包数量是小李和小张捐赠书
包的数量之和；小李捐赠的书包数量是小张和小周捐赠的书包数量之和。问小王捐赠了
多少书包？
A.9
B.10
C.11
D.12
3.若买6 个订书机、4 个计算器和6 个文件夹共需504 元，买3 个订书机、1 个计
算器和3 个文件夹共需207 元，则购买订书机、计算器和文件夹各5 个所需的费用是：
A.465 元
B.475 元
C.485 元
D.495 元
8
第五讲 普通行程
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
例1.老张上山速度为60 米/分钟，原路返回的速度为100 米/分钟，问老张往返的
平均速度为多少？
A.85 米/分钟
B.80 米/分钟
C.75 米/分钟
D.70 米/分钟
例2.空军某部队运送救灾物资到灾区。原计划飞机每分钟飞行12 千米，由于灾
情严重，飞机速度提高到每分钟15 千米，结果比原计划提前30 分钟到达目的地。请
问机场到灾区的距离是（ ）千米。
A.1600
B.1800
C.2050
D.2250
9
三、强 化 训 练
1.A、B 两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60 千米。邮递员骑车从A 村到B
村，用了3.5 小时；再沿原路返回，用了4.5 小时。已知上坡时邮递员车速是12 千米/
小时，则下坡时邮递员的车速是（ ）。
A.10 千米/小时
B.12 千米/小时
C.14 千米/小时
D.20 千米/小时
2.学校早上8:00 开始上课，小刘走同一条线路由寝室去教室，正常走20 分钟就能
到教室，若小刘每分钟多走10 米，则可提前5 分钟到，有一天小刘有事耽误了，7:50
分才从寝室出发，若要不迟到，他每分钟需要比正常速度多走（ ）米。
A.20
B.25
C.30
D.35
3.甲、乙、丙分别骑摩托车、乘大巴、打的从A 地去B 地，甲的出发时间分别比
乙、丙早15 分钟、20 分钟，到达时间比乙、丙都晚5 分钟。已知甲、乙的速度之比是
2∶3，丙的速度是60 千米/时，则AB 两地间的距离是：
A.75 千米
B.60 千米
C.48 千米
D.35 千米
4.一辆车从甲地到乙地，如果把车速提高20%，那么可以比原定时间提前1 小时到
达；如果以原速行驶100 千米后，再将车速提高30%，那么也比原定时间提前1 小时
到达。问甲、乙两地的距离是（ ）千米。
A.180
B.270
C.360
D.450
10
第六讲 相遇追及
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
例1.甲、乙两人骑自行车从东西两地同时出发，相向而行，经过8 分钟相遇。如
果甲每分钟少行180 米，而乙每分钟多行230 米，经过7 分钟就能相遇，东西两地相
距多少米？
A.1240
B.1440
C.1840
D.2800
例2.甲、乙两人同地同向直线行走，其速度分别为7 千米/时、5 千米/时。乙先走
两小时后甲才开始走，则甲追上乙需（ ）。
A.4 小时
B.5 小时
C.6 小时
D.7 小时
三、强 化 训 练
1.东、西两镇相距240 千米，一辆客车上午8 时从东镇开往西镇，一辆货车上午9
时从西镇开往东镇，到中午12 时，两车恰好在两镇间的中点相遇。如果两车都从上午
8 时由两地相向开出，速度不变，到上午10 时，两车还相距多少千米？
A.80
B.110
C.90
D.100
11
2.快、中、慢三辆车同时从A 地沿同一公路开往B 地，途中有一骑车人也同方向
行进。这三辆车分别用7 分、8 分、14 分追上骑车人。已知快车每分行800 米，慢车每
分行600 米，则中车的速度为：
A.700 米/分
B.750 米/分
C.800 米/分
D.850 米/分
3.有一1500 米的环形跑道，甲，乙二人同时同地出发，若同方向跑，50 分钟后甲
比乙多跑一圈，若以反方向跑，2 分钟后二人相遇。问：乙的速度是多少米/分钟？
A.330
B.375
C.360
D.390
12
第七讲 多者合作
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
例1.有一个工程，甲队单独做24 天完成，乙队单独做30 天完成，甲乙两队同做8
天后，余下的由丙队单独做需要6 天完成。这个工程由丙队单独做要几天完成？
A.12 天
B.13 天
C.14 天
D.15 天
例2.甲、乙、丙三队共同完成一项工程，他们的工作效率之比是2∶3∶5。先由甲、
乙两队合做6 天，完成全部工作的60%。若剩下的工程由丙队单独完成，则丙所需要
的天数是：
A.2
B.4
C.5
D.7
三、强 化 训 练
1.一项工程如果交给甲乙两队共同施工，8 天能完成；如果交给甲丙两队共同施工，
10 天能完成；如果交给甲丁两队共同施工，15 天能完成；如果交给乙丙丁三队共同施
工，6 天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？
A.16
B.20
C.24
D.28
13
2.蓄水池有两个进水口，正常情况下，单独开甲进水口，5 小时可以将蓄水池注满；
单独开乙进水口，3 小时可以注满。现由于出水口出现渗水，同时开甲、乙两个进水口，
2 小时才能注满。假定渗水速度恒定，如果单独开甲进水口，需要多少分钟才能将蓄水
池注满？
A.300
B.360
C.400
D.480
3.某检修工作由李和王二人负责，两人如一同工作4 天，剩下工作量李需要6 天，
或王需要3天完成。现李和王共同工作了5天，则剩下的工作李单独检修还需几天完成？
A.2
B.3
C.4
D.5
4.甲工程队与乙工程队的效率之比为4∶5，一项工程由甲工程队先单独做6 天，再
由乙工程队单独做8 天，最后由甲、乙两个工程队合作4 天刚好完成，如果这项工程由
甲工程队或乙工程队单独完成，则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多多少天？
A.3
B.4
C.5
D.6
14
第八讲 利润问题
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
某商品定价为进价的1.5 倍，售价为定价的8 折，每件仍可以获利24 元，该商品
定价为多少？
A.180 元
B.160 元
C.144 元
D.120 元
三、强 化 训 练
1.某超市以每公斤7 元的价格购入水果200 公斤，并以每公斤10 元的价格售出150
公斤，剩下可出售的水果按8 折甩卖一空。经计算，销售本批水果共获利300 元。问这
批水果的折损率是多少？
A.12.5%
B.15%
C.7.5%
D.10%
2.某手机商从刚刚卖出去的一部手机中赚到了10%的利润，但如果他用比原来进价
低10%的价钱买进，而以赚20%利润的价格卖出，那么售价减少25 元。请问这部手机
卖了多少钱？
A.1250 元
B.1375 元
C.1550 元
D.1665 元
15
3.某新款手机上市时单价是2598 元，销售一段时间后，厂家采取降价促销策略，
手机单价直降300 元，于是每月销量提升为原来的2 倍，每月利润提升为原来的1.5 倍，
则该款手机的成本价是（ ）元。
A.1698
B.1598
C.1498
D.1398
4.商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率（利润/进货价）比
以前的下降了10 个百分点。问原来的毛利率是多少？
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
16
第九讲 排列组合
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
一次会议某单位邀请了10 名专家，该单位预定了10 个房间，其中一层5 间、二
层5 间。已知邀请专家中4 人要求住二层、3 人要求住一层、其余3 人住任一层均可。
那么要满足他们的住房要求且每人1 间，有多少种不同的安排方案？
A.75
B.450
C.7200
D.43200
三、强 化 训 练
1.志愿者协会要从小张、小赵、小李、小罗、小刘五名志愿者中选派四人分别从事
翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人
均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种。
A.48
B.12
C.18
D.36
2.单位安排甲、乙、丙、丁、戊五个人从周一到周五轮流值班，每人一天，要求甲
乙两人值班日期相邻，问共有多少种排班方案？
A.120
B.60
C.48
D.24
17
3.将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有
多少种不同的方法？
A.8
B.10
C.15
D.20
4.三行三列间距相等共有九盏灯，任意亮起其中的三盏组成一个三角形，持续5 秒
钟后换另一个三角形。那么如此持续亮，亮完所有的三角形组合至少需要多少秒？
A.380
B.390
C.410
D.420
5.现有6 辆不同款式的汽车停入停车库，其中两辆为红色，其余依次为白色、黄色、
绿色和蓝色，要求红色车必须分开，黄色和绿色车必须相邻，且白色车不能停在最左侧，
问共有多少种不同的停车方式？
A.36
B.60
C.120
D.144
18
第十讲 古典概率
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
学校演讲社团有男生5 名，女生3 名，现从中随机抽取2 名参加校演讲比赛，那
么抽取一位男生一位女生的概率为：
A. 28
15
B. 56
15
C. 64
15
D. 2
1
三、强 化 训 练
1.某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成4 队，每队2 人。那么，小
王和小李恰好被分在同一队的概率是：
A. 7
1
B.14
1
C. 21
1
D. 28
1
2.两个不透明的布袋A 和B 里面各放着6 个球，其中，布袋A 中的球有3 个标为数
字1，2 个标为数字2，1 个标为数字3；而布袋B 中的球分别标为1、2、3、4、5、6，
若某人分别从布袋A 和B 里取一个球，问这两个球的数字之和不大于3 的概率是多少？
A. 9
2
B. 6
1
C. 9
1
D. 3
1
19
3.小王和小张各加工了10 个零件，分别有1 个和2 个次品。若从两人加工的零件
里各随机选取2 个，则选出的4 个零件中正好有1 个次品的概率为：
A.小于25%
B.25%~35%
C.35%~45%
D.45%以上
4.一个办公室有2 男3 女共5 个职员，从中随机挑选出2 个人参加培训，那么至少
有一个男职员参加培训的可能性有多大？
A.60%
B.70%
C.75%
D.80%
20
第十一讲 多次独立重复试验
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
三天小长假期间，高速公路某路段每天发生堵车的概率均为60%，问三天中有两
天发生堵车的概率为多少？
A.0.432
B.0.456
C.0.560
D.0.582
三、强 化 训 练
1.某次考试共有5 道题，小明每道题做对的概率均为
3
1 ，已知至少做对3 道题才能
及格，问小明及格的概率是多少？
A. 243
34
B. 243
50
C. 81
17
D. 81
23
21
2.乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员每局获胜的概率分别是60%和
40%。在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的胜率：
A.为60%
B.在81%~85%之间
C.在86%~90%之间
D.在91%以上
3.甲和乙进行打靶比赛，各打两发子弹，中靶数量多的人获胜。甲每发子弹中靶的
概率是60%，而乙每发子弹中靶的概率是30%。则比赛中乙战胜甲的可能性：
A.小于5%
B.在5%~10%之间
C.在10%~15%之间
D.大于15%
22
第十二讲 和定最值
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
例1.现有21 朵鲜花分给5 人，若每个人都分到鲜花且分得的鲜花数各不相同，
则分得鲜花最多的人至多分得（ ）朵鲜花。
A.7
B.8
C.9
D.11
例2.若干人一起玩一项游戏，已知该游戏共分5 个级别，进入每一级别的人数各
不相同，平均每个级别有59 人。则玩家最少的一级最多有多少人？
A.55
B.56
C.57
D.58
例3.三人参加某次考试的成绩总和为243 分，且三人各自得分为互不相同的正整
数，求第二名最多考多少分？
A.120
B.121
C.122
D.123
23
三、强 化 训 练
1.8 名学生参加某项考试，共得183 分。已知每人得分是互不相同的整数，且最高
是27 分，则最低分最低是多少分？
A.12
B.14
C.15
D.16
2.某市进行灾后重建，共筹集物资100 箱，现把这些物资分给9 个县，9 个县因为
受创程度不同分得的物资箱数互不相同，则分得物资箱数最多的县至少分得（ ）箱
物资。
A.15
B.16
C.17
D.18
3.有10 个人参加某项考试，10 个人的得分均为整数且各不相同，现已知最高分为
90 分，没有人的得分低于60 分。若平均分为72 分，那么第四名的得分不会高于（ ）
分。
A.82
B.83
C.84
D.85
4.某社区共6 人参加跳绳比赛，平均每人跳了126 下，且跳的最多的人比跳的最少
的人多跳了76 下，如果6 个人跳的数量互不相等，问跳的第三多的人最少跳了多少下？
A.120
B.116
C.110
D.103
24
第十三讲 最不利原则
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
在一个口袋中有11 个黑球、7 个白球、4 个红球，则：
（1）至少从中取出多少个球才能保证其中有白球？
（2）至少从中取出多少个球才能保证其中有2 个球的颜色相同？
（3）至少从中取出多少个球才能保证其中有3 个球的颜色相同？
（4）至少从中取出多少个球才能保证其中有6 个球的颜色相同？
（5）至少从中取出多少个球才能保证取出两种颜色的球？
三、强 化 训 练
1.有17 个完全一样的信封，其中7 个分别装了1 元钱，8 个分别装了10 元钱，2
个是空的，问最少需要从中随机取出几个信封，才能保证支付一笔12 元的款项而无需
找零？
A.4
B.7
C.10
D.12
25
2.有软件设计专业学生90 人、市场营销专业学生80 人、财务管理专业学生20 人
及人力资源管理专业学生16 人参加求职招聘会，问至少有多少人找到工作就一定保证
有30 名找到工作的人专业相同？
A.59
B.75
C.79
D.95
3.现有一个袋子，里面装有8 种不同颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球各有50 个，
则至少要取出多少个玻璃球，才能保证取出的球至少有三种颜色，且这三种颜色的球都
至少有10 个？
A.108
B.155
C.158
D.169
4.调研人员在一次市场调查活动中收回了435 份调查问卷，其中80%的调查问卷上
填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查问卷中随机抽多少份，
才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？
A.101
B.175
C.188
D.200
26
第十四讲 容斥问题
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
例1.某班有38 名学生，一次数学测验共有两道题，答对第一题的有26 人，答对
第二题的有24 人，两题都答对的有17 人，则两题都答错的人数是：
A.3
B.5
C.6
D.7
例2.某校共有三个兴趣小组，分别为体育、书法和美术。已知参加这三个兴趣小
组的学生分别是25 人、24 人、30 人。同时参加体育、书法兴趣小组的有5 人，同时
参加体育、美术兴趣小组的有2 人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4 人，有1 人
同时参加这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组？
A.74
B.72
C.70
D.69
三、强 化 训 练
1.在1 至1000 的1000 个自然数中，既不是4 的倍数，也不是5 的倍数的数共有多
少个？
A.600
B.550
C.500
D.450
27
2.某公司100 名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意的人数占全体参
加评议员工的3
5
，对乙满意的人数比甲的人数多6 人，对甲、乙都不满意的占都满意
人数的1
3
多2 人，则对甲、乙都满意的人数是多少人？
A.36
B.26
C.48
D.42
3.联欢会上，有24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃水果，其中既吃冰激凌又吃
蛋糕的有12 人，既吃冰激凌又吃水果的有16 人，既吃蛋糕又吃水果的有18 人，三样
都吃的有6 人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少？
A.12
B.18
C.24
D.32
4.某次考试有一道多项选择题，共有A，B，C 三个选项。参加考试的人中，共有
20 人选了A，15 人选了B，10 人选了C。其中选了两个选项的有5 人，选了三个选项
的有3 人，还有2 人未答此题。问有多少人参加考试？
A.30
B.34
C.36
D.40
5.某出版社新招了10 名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英文又会日
文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这10 人中，会法文的比会英文的多4 人，
是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？
A.3
B.1
C.2
D.0
28
第十五讲 相似图形
一、知 识 回 顾
二、典 型 例 题
如图，DE 平行BC，若AD∶DB=2∶3，那么三角形ADE 与三角形ABC 的面积
之比是多少？
A.2∶3
B.2∶5
C.4∶25
D.4∶9
A
B
C
D
E
29
三、强 化 训 练
1.已知平行四边形ABCD 中，AE∶EB=1∶2，若
S AEF =6cm 2 ，则
S CDF =（ ）。
A.40 cm 2
B.45cm 2
C.54cm 2
D.65cm 2
2.如图所示，梯形ABCD 的两条对角线AD、BC 相交于O，EF 平行于两条边且过
O 点。现已知AB=6，CD=18。问EF 的长度为多少？
A.8.5
B.9
C.9.5
D.10
3.如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E、F 分别为PB、PC 的中点，且
△PEF 的面积为2，问△PCD 和△PAB 的面积之和为多少？
A.4
B.6
C.7
D.8
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
P
E
F
30
