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1．一个充有空气的薄壁气球，气球内气体压强为p、体积为V。气球内空气可视为理想气
体。
（1）若将气球内气体等温膨胀至大气压强p0，求此时气体的体积V0（用p0、p 和V 表示）；
（2）小赞同学想测量该气球内气体体积V 的大小，但身边仅有一个电子天平。将气球置于
电子天平上，示数为m = 8.66 × 10−3kg（此时须考虑空气浮力对该示数的影响）。小赞同
学查阅资料发现，此时气球内气体压强p 和体积V 还满足：(p−p0)(V−VB0) = C，其中p0 =
1.0 × 105Pa 为大气压强，VB0 = 0.5 × 10−3m3为气球无张力时的最大容积，C = 18J 为常数。
已知该气球自身质量为m0 = 8.40 × 10−3kg，外界空气密度为ρ0 = 1.3kg/m3，求气球内气体
体积V 的大小。
2．如图甲所示，内壁光滑的绝热汽缸用活塞封闭一定质量的理想气体，初始时汽缸开口向
上放置，活塞处于静止状态，此时气体体积为V1。将汽缸缓慢转动90°，开口向右放置，
稳定时汽缸内气体的体积为V2（未知），如图乙所示。接着把汽缸悬挂起来，使汽缸倒置
开口向下，气体未溢出，稳定时汽缸内气体体积为V3（未知），如图丙所示。假设整个过
程中气体温度和外界大气压p0保持不变。已知活塞质量为m，横截面积为S，重力加速度
为g。求：
（1）汽缸开口向上放置时，汽缸内气体的压强p1；
（2）汽缸开口向右放置时，汽缸内气体的体积V2；
（3）汽缸开口向下放置时，汽缸内气体的体积V3。
3．如图，导热性能良好的气缸固定在倾角为
的斜面上，斜面底端有一固定挡板。距离
气缸底部
处有质量
，横截面积
的活塞，活塞与固定在挡板上的轻
质弹簧相连接，活塞与气缸之间无摩擦且不漏气，弹簧压缩量
，并被锁定，
1
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（缸内气体的压强
，弹簧劲度系数
，重力加速度g 取
，大气
压强
。求：
（1）解锁弹簧的瞬间。活塞的加速度大小；
（2）解锁弹簧待稳定后。气缸内的压强。
4．一热气球体积为V，内部充有温度为
的热空气，气球外冷空气的温度为
。已知空气
在1 个大气压、温度为
时的密度为
，该气球内、外的气压始终都为1 个大气压，重力
加速度大小为
。已知一定质量的气体的体积V 与温度T 成正比，即
(1)求该热气球所受浮力的大小；
(2)求该热气球内空气所受的重力；
(3)设充气前热气球的质量为
，求充气后它还能托起的最大质量。
5．如图是容积为
的气压式浇花喷水壶，现向喷水壶内装入一定质量的水，通过
打气使壶内气压达到
，浇花时打开喷嘴开关就有水雾喷出，当壶内气压降为
，
壶内的水刚好全部喷出，已知水的密度为
，细管和喷嘴的容积可忽略，求装
入壶内水的质量。
2
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6．一艘潜水艇位于水面下h=200m 处，艇上有一个容积V1=2m3的钢筒，筒内贮有压强
p1=200p0的压缩气体，其中p0为大气压，p0=1×105pa．已知海水的密度
=1×103kg/m3，重
力加速度g= 10kg/m2，设海水的温度不变．有一个与海水相通的装满海水的水箱，现在通
过细管道将钢筒中部分空气压入该水箱，再关闭管道，水箱中排出海水的体积为
V2=10m3，此时钢管内剩余空气的压强为多少？
7．气球是小朋友喜爱的玩具，张研同学吸气后，将一个大气压下且温度为27℃，体积为
6.4L 的气体吹入气球内并封住出气口（吹气前气球内部的空气可忽略不计）。假设吹气后
的气球可看作半径
的球体，气球中的气体温度与环境温度
相同。取
，
大气压强
，阿伏加德罗常数
，空气的平均相对分子质量
约为29，绝对零度为
，气球中的气体可视为理想气体。
（1）求气球内气体的压强。
（2）已知在标准状态下（
，
）
气体的体积
，求吹入
气球中的气体的质量和分子数（保留三位有效数字）。
8．系留气球作为一种高度可控并能够长期留空的平台，具有广泛用途，中国的“极目一
号”系留气球升空最大海拔高度达到9000 多米，创造了世界纪录。如图所示，某球形系留
气球主要由三部分组成：球体、缆绳以及锚泊车，缆绳一端固定于地面锚泊车上，另一端
与导热性能良好的球体连接。球体被软隔膜分为主气囊和副气囊两部分，主气囊为密闭装
置，内部充有一定质量的氦气，副气囊内部充有空气并设有排气和充气装置，主、副气囊
的体积可变但整个球体总体积不变，主、副气囊之间无气体交换且压强始终相等。为使气
球能够安全稳定工作，应使主副气囊内压强始终高于外界大气压，压强差始终为
。已知球体（包括内部气体）及载重总质量为
，体积为
，
3
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锚泊车所在位置处大气压强为
，温度为
，预设工作高度处的大气
压强为
，温度为
，重力加速度
。
（1）若气球工作时控制台显示缆绳中竖直向下的拉力大小为
，求气球所在高
度处空气的密度；
（2）若某次气球升空时由于故障导致副气囊无法和外界进行气体交换，求气球到达预设工
作高度时气球内气体的压强（气球体积不变）；
（3）某次实验中主副气囊均充入符合要求的气体，当从锚泊车释放时副气囊体积为
。判断气球上升到预设工作高度的过程中副气囊应当充入还是排出气体，并求
出此过程中副气囊充入或排出的气体与刚释放时副气囊内部气体的质量比。
9．高空气象探测要用热气球，热气球下端开口与大气相通，加热球内气体的加热源在开口
处。某次气象探测时，气球外面大气温度为
大气压强
，大气密
度和
。用加热源对球内气体缓慢加热直至气球开始上浮，加热过程中气球体
积恒为
。热气球的质量
，重力加速度g 取
。求热气球开始上浮时内
部气体的密度及温度。
10．一个下端开口的热气球充气前的质量为
，热气球充气后的体积为
，当热气球内的
气体温度加热到
（未知）时，热气球恰好升空。已知气球外的空气温度为
，密度为
，
该气球内、外的气压始终相等且恒定，重力加速度大小为
。求热气球恰好升空时：
4
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（1）热气球内空气的质量
；
（2）热气球内气体的温度
。
11．如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心O′、O 处各开有一小孔。以O
为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，
磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有一匀强电场，场强大小为E，
方向沿y 轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射电子，电子初速度方向均在
xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电
子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大
夹角为θ，求tanθ 的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
12．在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，在第I、II 象限内存在方向垂直xOy 平面的匀强
磁场，第IV 象限内存在有界匀强电场，方向沿y 轴负方向，下边界为
。在电场区域
下方放置探测板，电子到达板上时被吸收。一电子从坐标原点O 沿y 轴正方向射入磁场当
5
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入射电子的初速度大小为
时，电子恰好能到达探测板，并击中
点。已知电子质量
为
、电荷量为
。
（1）求磁感应强度B 和电场强度E 的大小；
（2）求电子在磁场、电场中运动的总时间。
13．半导体有着广泛的应用，人们通过离子注入的方式优化半导体以满足不同的需求。离
子注入系统的原理简化如图所示。质量为m、电荷量为q 的正离子经电场加速后从
中
点P 垂直OE 射入四分之一环形匀强磁场，环形磁场圆心为O，内环半径
，
外环半径
，磁场方向垂直纸面向里。当磁感应强度为
时，离子恰好垂直边
界从
中点Q 射出。不考虑离子重力以及离子间的相互作用。求：
（1）加速电场M、N 两板间的电压；
（2）为使离子能够到达
面，环形区域内磁场的取值范围。
6
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14．如图，在xOy 直角坐标系中，有一质量m＝1.0×10－12kg，带电量q＝2.0×10－10C 的带正
电的粒子（不计重力），垂直x 轴从A 点以v=200m/s 的初速度进入x 轴上方的匀强磁场中。
磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝1T。粒子经磁场偏转后又从B 点垂直x 轴进入第
四象限，第四象限中有平行于x 轴负方向的匀强电场E，粒子随后经过y 轴负半轴上的C
点，此时速度方向与y 轴负半轴成60°。已知OB＝OA。求：
（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r 和周期T；
（2）第四象限中场强E 的大小。
15．如图所示，在xOy 坐标系所在的平面内，第二象限内有一半径为R 的圆形匀强磁场区
域Ⅰ，磁场边界与x 轴和y 轴分别相切于A、C 两点，磁场方向垂直平面向里，磁感应强度
大小为B。在0≤x≤R 的区域有垂直纸面向外的匀强磁场Ⅱ，磁感应强度大小为
。在
R≤x≤2R 区域有与x 轴平行的匀强电场，电场强度大小为E，方向沿x 轴负方向，x＝2R 处
放置与x 轴垂直的荧光屏。沿x 轴移动的粒子发射器能持续稳定的沿平行y 轴正向发射速率
相同的带负电粒子，该粒子的质量为m，电荷量大小为q．当粒子发射器在A 点时，带电
粒子恰好垂直y 轴通过C 点。带电粒子所受重力忽略不计。
（1）求粒子的速度大小；
（2）当粒子发射器在－2R＜x＜0 范围内发射，求匀强磁场Ⅱ右边界有粒子通过的区域所
对应纵坐标的范围；
（3）当粒子发射器在
范围内发射，求荧光屏上有粒子打到的区域的长度。
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16．某肿瘤治疗新技术是通过电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对肿瘤进行准确定
位，再进行治疗，其原理如图所示。圆形区域内充满垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为
B。水平放置的目标靶长为2l，靶左端M 与磁场圆心O 的水平距离为l、竖直距离为
。
从电子枪逸出的电子（质量为m、电荷量为e，初速度可以忽略）经匀强电场加速后，以
一定的速度沿PO 方向射入磁场，（PO 与水平方向夹角为60°），若匀强电场场强大小为
E 时，电子恰好击中M 点，已知两极板间的距离始终不变，求：
（1）圆形区域内匀强磁场的方向及电子恰好击中M 点时在磁场中运动的时间；
（2）若电子击中目标靶MN 的N 点，此时匀强电场场强E1的大小。
17．在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B、方向垂
直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点
A 处以速度v 沿
方向射入磁场，它恰好从磁场边界与
轴的交点
处沿
方向飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷
；
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为
，该粒子仍从A 处
以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了
角，求磁感
应强度
多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？
8
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18．如图所示，三维坐标系Oxyz 内存在着正四棱柱空间区域，正四棱柱的截面OPMN 水
平且与
的两个底面平行，其中A 点的坐标为
，C 点的坐标为
，正四棱柱
空间处于沿y 轴方向的匀强电场中，
空间处于沿y 轴负方向的匀强磁场中，质量为m、电荷量为
的粒子以速
度
从A 点沿AD 方向射出，经电场偏转后恰好从截面OPMN 的中心进入磁场区域，不计
粒子的重力。
（1）求匀强电场的电场强度；
（2）若粒子恰好未从四棱柱的侧面飞出，求匀强磁场的磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子最终从JH 连线上的一点射出磁场区域，此点到J 点的距离为
，求I 点的
y 轴坐标。
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19．如图所示，空间站上某种离子推进器主要由离子源和半径为R、长度为L 的直圆筒构
成，圆筒右侧面P 开放。以离子源出口O 为坐标原点建立如图所示的三维直角坐标系，其
中O 在圆筒左侧面上，z 轴与直圆筒的轴线重合。圆筒内存在方向沿z 轴正方向的匀强电场
和匀强磁场，电场强度E、磁感应强度B 的大小均可调节。已知离子源单位时间可发射出n
个速度大小为
、方向可调节的正离子，离子经直圆筒内的复合场后，最后从右侧面P 射
出，由于反冲使推进器获得推力。已知单个离子的质量为m、电荷量为q，忽略离子间的
相互作用，现在对静止在地面上的推进器进行测试。
（1）若圆筒内只存在电场，且离子源发出的离子初速度在
平面内，要使离子能从右侧
面P 离开，则所加匀强电场的电场强度至少多大；
（2）若圆筒内同时存在电场和磁场，要使初速度在
平面内的离子恰好能从z 轴与右侧
面的交点
射出，求B 应该满足的条件及E 和B 之间的关系；
（3）若圆筒内同时存在电场和磁场，且所加电场的电场强度E 已知，所发射离子速度均与
z 轴正方向成
且关于z 轴对称均匀分布，要使离子能够从右侧面P 射出，则磁感应强度
B 应满足什么条件，并求出此时推进器获得的推力F 大小。
20．2023 年4 月，中科院在世界首个全超导托卡马克核聚变实验装置中，成功实现了稳态
长脉冲等离子体运行403 秒，该装置是一种利用磁约束来实现受控核聚变的环形容器。将
该容器简化为如图甲所示的足够长的空心圆柱，
为空心圆柱的中心轴线，其半径为
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，内部以
为轴线、半径为
的圆筒界面分成两部分磁场，左视图如图乙所
示，外环有垂直纸面向外磁感应强度大小为B 的匀强磁场；内环有逆时针的环形磁场，磁
感应强度大小处处相等且大小也为B。以O 为原点建立三维直角坐标系
，其中x 轴
与空心圆柱的中心轴重合。在坐标为
的D 点放置一发射装置，可发射电荷量为
q、质量为m 的氚核，发射方向如图乙所示沿半径向外，忽略粒子间的相互作用，不计粒
子重力。
（1）若氚核运动时恰好不与容器相碰，求氚核发射的速度
；
（2）若氚核发射速度
，求粒子第一次到达xOy 所在平面的时间；
（3）若氚核发射速度仍为
，氚核第三次与发射速度相同时恰好到达E 点（图
中未标出），求E 点位置坐标；
（4）在第（3）问的条件下，求氚核由D 点运动到E 点的平均速度的大小。
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参考答案：
1．（1）
；（2）
【详解】（1）理想气体做等温变化，根据玻意耳定律有
解得
（2）设气球内气体质量为
，则
对气球进行受力分析如图所示
根据气球的受力分析有
结合题中p 和V 满足的关系为
解得
2．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对活塞受力分析可知
p1S=p0S+mg
解得
1
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（2）整个过程中温度不变
p1V1=p0V2
解得
（3）设汽缸开口向下放置时压强为p3，对活塞受力分析可知
p0S=p3S+mg
解得
根据
p1V1=p3V3
解得
3．（1）45m/s2；（2）
【详解】（1）解锁弹簧的瞬间，对活塞进行受力分析如图所示
根据牛顿第二定律，有
其中
解得
a=45m/s2
2
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（2）解锁弹簧，设气缸内的压强为
，稳定后活塞处于平衡状态，则有
根据玻意耳定律，有
解得
p'=1.2×105Pa
4．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设1 个大气压下质量为m 的空气在温度为
时的体积为
，密度为
设温度为T 的体积为
，密度为
；
由盖-吕萨克定律得：
；
联立可得
；
气球受到的浮力为：
；
联立可得：
即该热气球所受浮力的大小为
。
3
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（2）根据
可得
气球内空气的重力为
即该热气球内空气所受的重力为
。
（3）气球要漂浮在空气中，则气球总重力等于冷空气的浮力，假如还能托起的最大质量为
m，则
所以
即能托起的最大质量为
。
5．0.98kg
【详解】设水壶体积为V，装入壶内水的质量为m，则喷水前打入的空气体积
根据理想气体状态方程
解得
6．9.5×106Pa
【详解】钢筒中空气初始状态：p1=200p0，V1=2m3
与海水相通的水箱中的压强：p2=p0+
gh=21p0 ①
设钢筒内剩余空气的压强为p3，钢筒中排出的气体在压强为p3时的体积为V3，
4
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则：p3V3=p2V2 ②
对钢筒中所有的气体有：p1V1=p3(V1+V3) ③
解得：p3=9.5×106Pa ④
7．（1）1.6×105Pa；（2）7.54g，1.56×1023个
【详解】（1）将气体吹入气球内，气体做等温变化，由玻意耳定律有
其中
解得气球内气体的压强
（2）气体变化为标准状态，气体做等压变化，根据盖-吕萨克定律有
其中
，
可得
故吹入气球中的气体的物质的量
吹入气球中的气体的质量
吹入气球中的气体的分子数
个
8．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）对气体进行分析有
5
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解得
（2）根据题意可知，在地面时，气囊内压强
气球的体积不变，设气球到达预设工作高度时气球内气体的压强为
，根据
解得
（3）根据题意可知，主副气囊内压强始终高于外界大气压，压强差始终为
，则
有
解得
在锚泊车所在位置处有
从锚泊车释放时主气囊体积为
气球上升到预设工作高度，根据理想气体状态方程有
解得
即气球上升到预设工作高度的过程中副气囊应当排出气体，根据
6
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则副气囊排出的气体与刚释放时副气囊内部气体的质量比等于副气囊排出的气体与刚释放
时副气囊内部气体的体积比为
9．
，
【详解】设开始上浮时球内气体密度为
，竖直方向受力平衡有
解得
①
热气球底部开口，则加热过程中球内原有气体外溢，取全部气体为研究对象，压强不变。
初态：温度
体积
；开始上浮时状态：温度T，体积
由盖—吕萨克定律得
②
球内原有全部气体质量不变，有
③
解①②③式得
10．（1）
；（2）
【详解】（1）.热气球升空时，浮力与重力相等，则
，
解得
7
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（2）设空气中大气压下质量为m，在空气温度为 T0，体积为V0，密度
在温度为T，体积为V，密度为
根据
则
则气球内空气重力
则
11．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面
内的匀速圆周运动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为
，由电子在x 轴方向做匀速直
线运动得
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且
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由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有
联立得
当
时，B 有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示
有
当
有最大值时，
最大，R 最大，此时
，又
，
联立可得
，
（3）当
最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移
，根据匀变速直线运
动规律有
由牛顿第二定律知
9
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又
联立得
12．（1）
，
；（2）
【详解】（1）设电子在磁场中做圆周运动的半径为R，则
根据几何关系可得
联立可得
电子在电场中运动，根据动能定理得
解得
（2）电子在磁场中运动轨迹为半圆，所用时间
电子在电场中做匀变速直线运动
电子运动的总时间
10
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13．（1）
；（2）
【详解】（1）当磁感应强度为
时，离子恰好垂直边界从
中点Q 射出，根据几何关
系可知，圆周运动半径
且
解得
电场中
解得
（2）若磁感应强度为B1时，粒子恰好能打在G1位置，轨迹半径为r1，根据几何关系
解得
且
解得
若磁感应强度为B2时，粒子恰好能打在G 位置，轨迹半径为r2，根据几何关系
解得
11
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同理解得
为使离子能够到达
面，环形区域内磁场的取值范围
14．（1）1m，
；（2）300V/m
【详解】（1）粒子运动轨迹如图所示
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得
代入数据解得
r=1m
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
（2）设粒子运动到C 点时，沿x 轴负向的分速度大小为v1，则有
由牛顿第二定律得
qE=ma
由匀变速直线运动的速度位移公式得
v1
2=2a•xOB
12
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因粒子是垂直于磁场边界进入的，所以从该边界射出时，仍垂直于边界，所以有
xOB=r
代入数据得
E=300V/m
15．（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由A 点射入的粒子恰好垂直轴通过C 点，可知圆周运动的圆心在坐标原点处，
圆周运动的半径为R，洛伦兹力提供向心力，有
解得粒子的速度为
（2）当粒子在－2R＜x＜0 范围内发射时，由于轨迹圆半径等于磁场圆半径，粒子的射入
点、磁场圆圆心、轨迹圆圆心、粒子的射出点组成菱形，则射出点在磁场圆圆心水平右侧
R 处，即所有的粒子均从C 点离开匀强磁场区域Ⅰ，与y 轴正向夹角在0~180°范围内均有
粒子射出粒子射入磁场Ⅱ区域做匀速圆周运动，由向心力公式得
解得
r＝2R
由C 点沿y 轴负方向射入磁场Ⅱ的粒子，从磁场Ⅱ右边界时的位置最靠下为D 点，运动轨
迹如图所示，由几何关系得
粒子的运动轨迹与磁场Ⅱ右边界相切时，切点F 为从右边界射出的最上方的位置，运动轨
迹如图所示
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由几何关系得
匀强磁场Ⅱ右边界有粒子通过的区域所对应纵坐标的范围是
（3）当粒子在
范围内发射时，运动轨迹如图所示
由几何关系可知
处射入的粒子在Ⅰ区偏转120°由C 点进入Ⅱ区，在Ⅱ区偏转30°
垂直右边界由G 点射出
进入电场后做匀加速直线运动打到荧光屏上M 点；
处射入的粒子在Ⅰ区偏转60°由C 点与Ⅱ区左边界成60°进入Ⅱ区，在Ⅱ区偏转
60°后在H 点沿y 轴正向进入电场．
进入电场后做类平抛运动打到荧光屏上K 点，x 轴方向
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y 轴方向
荧光屏上有粒子打到的区域的长度
解得
16．（1）垂直纸面向里，
；（2）3E
【详解】（1）由左手定则，可知匀强磁场的方向为垂直纸面向里；
设电子从P 点进入磁场的速度为
，在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力得
周期为
联立可得
设OM 与竖直方向夹角为
，则有
可得
由图中几何关系可知，电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
，则电子在磁场中运动
时间为
（2）在磁场中运动时，由洛伦兹力提供向心力得
解得
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设匀强磁场区域半径，当电子击中M 点时，有
当电子击中N 点时，电子在磁场中的偏转半径为
，设ON 与竖直方向夹角为
，则有
解得
由几何关系知电子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为
，则电子击中N 点时偏转半径为
联立解得
粒子穿过匀强电场过程，由动能定理得
联立解得
17．（1）负电，
；（2）
，
【详解】（1）由粒子的运动轨迹，根据左手定则可知粒子带负电荷；
粒子从A 处射入，从
处射出，可知粒子速度方向改变了90°，由几何关系可知粒子轨迹
半径为
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根据洛伦兹力提供向心力
可得比荷为
（2）粒子从
处射出磁场，速度方向改变了
，故
弧所对圆心角为
，粒子做圆周
运动的半径
根据洛伦兹力提供向心力
可得磁感应强度为
粒子在磁场中飞行时间
18．（1）
，沿y 轴负方向；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，沿AD 方向有
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沿y 轴方向有
沿y 轴方向的加速度
解得匀强电场的电场强度大小为
方向沿y 轴负方向。
（2）粒子到达OPMN 的中心，如图甲所示，平行于正四棱柱底面的分速度大小始终为
，
带电粒子在平行于正四棱柱底面的方向上做匀速圆周运动，恰好不从四棱柱的侧面飞出，
做出圆轨迹如图乙所示
由几何关系可得粒子做圆周运动的半径
由洛伦兹力提供圆周运动的向心力，可得
解得
（3）若带电粒子最终从JH 连线上的一点射出，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径
为
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时间对应半个周期的奇数倍，即
如图甲所示，到达截面OPMN 中心的带电粒子沿y 轴负方向的速度大小
I 点的y 轴坐标
代入数据可得
19．（1）
；（2）
（n=1，2，3…）；（3）
；
（n=1，2，3…）
【详解】（1）在电场作用下，离子做类平抛运动，要能从端面P 射出，则在垂直z 轴方向
做匀速直线运动的最长时间t，有
沿z 轴方向做与加速直线运动，有
计算得
（2）离子在
平面内做圆周运动，临界情况是轨迹刚好与简壁相切，即
解得
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要使离子从z 轴上射出则应满足离子在筒内运动时间刚好是圆周运动周期的整数倍，有
解得
（n=1，2，3…）
（3）可知离子垂直于z 轴的速度为
由于
解得
根据对称关系可知离子射出时在垂直z 轴方向上的速度大小相等，方向均匀分布，所以在
垂直z 轴方向对推进器的作用力为零，z 轴方向上有
由z 轴方向动量定理
解得
有牛顿第三定律可知推力大小为
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20．（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）设氚核做圆周运动的半径为
，由几何关系得
对氚核在外环运动过程中，由牛顿第二定律得
解得
（2）设在两磁场中，氚核做圆周运动的半径为
，周期为T。由牛顿第二定律得
解得
由几何关系可得
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解得
周期为
总时间为
解得
（3）经分析知，氚核第三次与发射速度相同时。x 方向坐标为
y 方向坐标为
z 方向坐标为
所以E 点坐标为
（4）DE 间距离为
D 点到E 点总时间为
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所以平均速度为
解得
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