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首都师大附中 2023-2024 学年第二学期 5 月练习
高三数学
2024.04
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，点 对应的复数为 ，则实数 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3. 下列函数既是奇函数，又在 上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比 （ ）
A. 2 B. -2 C. D.
5. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
.
C 若 ，则 D. 若 ，则
6. 已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若 ，则 的面
积为（ ）
A. 8 B. C. D.7. 函数 的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知直线 和圆 ，则“ ”是“存在唯一k使得直线l与
相切”的（ ）
.
A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视
为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ．在底面
中，若 ，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. 27 D.
10. 已知数列{a )的通项公式为 ，前n项和为 ，前n项积为 .则下列结论正确的个数为（
n
）① 既有最小值，又有最大值，
②满足 的n的值共有6个；
③使 取得最小值的n为7；
④ 有最小值，无最大值；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）
12. 已知双曲线C的焦点为 ，实轴长为2，则双曲线C的离心率为______，渐近线方程
为______．
13. 已知点 ， ，O为坐标原点，则 的取值范围是______．
14. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，
指数衰减的学习率模型为 ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，D表
示衰减系数，G表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）
所需的训练迭代轮数至少为______．（参考数据：（ ）
15. 设函数 （ 且 ）．给出下列四个结论：
①当 时，存 在，方程 有唯一解；
②当 时，存在 ，方程 有三个解；③对任意实数 （ 且 ）， 的值域为 ；
④存在实数 ，使得 在区间 上单调递增；
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中，已知 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯
一确定，求 的面积．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的周长是 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，在四棱锥 中，直线 平面PCD， ， ，
，平面 平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点．
（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 ．
18. 某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一
份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表：
编号 1 2 3 5 6 7 9 10
4号 8号
正确率 号 号 号 号 号 号 号 号
试讲讲座 65 60 100 65 75 90 80 60
0% 85%
前 % % % % % % % %
试讲讲座 90 85 80 85 85 95 100 85 90
95%
后 % % % % % % % % %
根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：
答卷正确率p
垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀
假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．
（1）正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概
率；
的
（2）正式讲座前，从该社区 全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良
好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’、的人数”，试估计X的分布列
和数学期望；
（3）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写
问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪
一知识水平的概率最大？（结论不要求证明）
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）求 的最小值；
（3）设 ，已知 ，求 的取值范围．
20. 已知椭圆 的左焦点为 ，且点 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；（2）已知 ，点P为椭圆C上一点．
（ⅰ）若点P在第一象限内， 延长线交y轴于点Q， 与 的面积之比为1∶2，求点P坐
标；
（ⅱ）设直线 与椭圆 C 的另一个交点为点 B，直线 与椭圆 C 的另一个交点为点 D．设
，求证：当点P在椭圆C上运动时， 为定值．
21. 已知有限数列 ，从数列 中选取第 项、第 项、 、第 项（ ），顺次排
列构成数列 ，其中 ， ，则称新数列 为 的长度为m的子列．规定：数列
的任意一项都是 的长度为1的子列，若数列 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列
为完全数列．设数列 满足 ， ．
（1）判断下面数列 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
（2）数列 的子列 长度为m，且 为完全数列，证明：m的最大值为6；
（3）数列 的子列 长度 ，且 为完全数列，求 的最大值．
