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首都师大附中 2023-2024 学年第二学期 5 月练习
高三数学
2024.04
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别确定集合 ， ，根据并集的概念求 可得答案.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B
2. 在复平面内，点 对应的复数为 ，则实数 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算及复数对应点求参即可.
【详解】因为 对应点为 ,
所以 ,
即得 .
故选：D.
3. 下列函数既是奇函数，又在 上单调递增的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性先排除AB选项，再结合函数的单调性选择正确答案.
【详解】对A：因为函数 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，所以
为非奇非偶函数，故A错误；
对B： ，所以函数 为偶函数，故B错误；
对C：根据正切函数的性质可知，函数 在 不具有单调性，故C错误；
对D：函数的定义域为 ， ，故函数为奇函
数，
又 ，所以函数在(0,+∞)上单调递增.
故选：D
4. 设 为等比数列 的前 项和，已知 ，则公比 （ ）
A. 2 B. -2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列的前 项和与 的关系，两式相减，即可求解.
【详解】由已知， ，两式相减得，，即 ，即 .
故选：A
5. 下列命题中，真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】举反例即可判断ABC，根据基本不等式和指数运算即可判断D.
【详解】对A，当 时，则 ，故A错误；
对B，当 时，则 ，则 ，故B错误；
对C，当 时，根据对数函数单调性知 ，故C错误；
对D，若 ，则 ，
当且仅当 时取等号，故D正确.
故选：D.
6. 已知抛物线 的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若 ，则 的面
积为（ ）
A. 8 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定抛物线 焦点和准线，根据 得到 ，计算面积得到答案.
的【详解】
因为抛物线 的焦点为F(1,0)，准线方程为 ，
所以 ，故 ，
不妨设 在第一象限，故 ，
所以 .
故选：C.
7. 函数 的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把函数解析式化成 的形式，再结合函数的周期和值域求值.
【详解】因为 .
由函数图象可知： ；又 ，所以 ，又 .
故选：B
8. 已知直线 和圆 ，则“ ”是“存在唯一k使得直线l与
相切”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先由 ，点到直线距离公式列出方程，求出此时 ，充分性成立；求出
所过定点，再由存在唯一k使得直线l与 相切”，得到 或定点在圆上，得到
方程，求出相应的答案，必要性不成立.
【详解】 时， 到 的距离为 ，
故 ，解得 ，
满足存在唯一k使得直线l与 相切”，充分性成立，
经过定点M(1,1)，
若 ， ，若 ，此时直线 ，
直线 与 相切，另一条切线斜率不存在，
故满足存在唯一k使得直线l与 相切”，
当M(1,1)在 上，满足存在唯一k使得直线l与 相切，
故 ，又 ，解得 ，必要性不成立，
故“ ”是“存在唯一k使得直线l与 相切”的充分不必要条件.
故选：A
9. 十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视
为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图2），这两个三棱柱有一个公共侧面 ．在底面
中，若 ，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. 27 D.
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，该几何体可视为直三柱 与两个三棱锥 ， 拼接而成.
记直三棱柱 的底面 的面积为 ，高为 ，所求几何体的体积为 ，
则 ，
因为两个直三棱柱相同，故 ，
所以
.
故选：C.10. 已知数列{a )的通项公式为 ，前n项和为 ，前n项积为 .则下列结论正确的个数为（
n
）
① 既有最小值，又有最大值，
②满足 的n的值共有6个；
③使 取得最小值的n为7；
④ 有最小值，无最大值；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】化简为 ，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，由数列{a )的通项公式为 ，
n
可得，当 时，数列{a )的各项小于1，且{a )是单调递减数列；
n n
当 时，数列{a )的各项大于1，且{a )是单调递减数列，
n n
所以，数列{a )的最小项为 ，最大项为 ，所以①正确；
n
对于②中，当 时，满足 ；
当 时，满足 ；当 时， ，
所以，满足 时， ，共有4个值，所以②不正确；对于③中，当 时， ， 随着 的增大而增大，且 ；
当 时， ， 随着n的增大而减小，
且 ，
当 时， 为正数，所以 ，
综上所述，使得 取得最小值的 为7，所以③正确；
对于④中，由上述中的讨论，可得在 中，只有 为负数，且 ，
所以 存在最小值 或 ，
从第8项开始， 为正数，结合 ，可知 随着 的增大而增大，所以 无最大值，
所以④正确.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中，常数项为___________.（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】求出二项式展开式的通项，再令 ，求出 ，再代入计算可得；
【详解】解：二项式的展开式通项公式为 ．
令 ，解得 ，
的
故展开式 常数项为 ，
故答案为： ．12. 已知双曲线C的焦点为 ，实轴长为2，则双曲线C的离心率为______，渐近线方程
为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先求出双曲线的基本量，故可求离心率和渐近线方程.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，由题设可得 且焦点在 轴上，
故可设双曲线方程为： ，则 即 ，
故 即 ，故离心率为 ，渐近线方程为 ，
故答案为： ； .
13. 已知点 ， ，O为坐标原点，则 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先设点的坐标，再结合向量数量积的坐标运算，最后应用辅助角公式计算范围.
【详解】设点 , ,
所以 ,即 ,
所以 ,
因为 ，
所以 .
故答案为：14. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，
指数衰减的学习率模型为 ，其中L表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，D表
示衰减系数，G表示训练迭代轮数， 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）
所需的训练迭代轮数至少为______．（参考数据：（ ）
【答案】74
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得 ，再由 ，结合指对数关系和对数函数的性质求
解即可．
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
则 ，
由 ，
所以，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故答案为：74.
15. 设函数 （ 且 ）．给出下列四个结论：
①当 时，存在 ，方程 有唯一解；②当 时，存在 ，方程 有三个解；
③对任意实数 （ 且 ）， 的值域为 ；
④存在实数 ，使得 在区间 上单调递增；
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】分情况，做出函数图象，数形结合，可得问题答案.
【
详解】当 时，可得函数图象如下：
由 ； ， ，结合图象：
当 时，函数单调递减，且 ；
当 ，函数单调递增， .
所以当 时，方程 有唯一解.故①正确；
当 时，函数图象如下：
由 ；由图象可知，
当 时，函数单调递减， ；
当 时，函数单调递增， ；当 时，函数单调递增， .
因为 ，因为 ，所以 ，即 .
所以，当 时，方程 有三个解.故②正确；
如图：
由 ，再由 ，
此时 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
所以此时函数的值域不是 .故③错误；
由①可得，当 时，函数 在 上单调递增.
即：存在实数 ，使得 在区间 上单调递增.故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】方法点睛：本题可以画出分段函数的草图，数形结合，可以比较轻松的解答.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中，已知 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯
一确定，求 的面积．
条件①： ；
条件②： ；条件③： 的周长是 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理边化角即可结果；
（2）利用正弦定理可得 .若选条件①：根据题意可得 ，进而分析
其唯一性即可；若选条件②：利用余弦定理可得 ， ，进而求 ，进而可得面积；若选
条件③：根据周长可得 ，利用余弦定理并分析其唯一性.
【小问1详解】
因为 ，即 ，
可得 ，
且 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ， ，由正弦定理可得 ，
可得 .
若选条件①：因为 ， ，即 ，可得 ，可知满足条件的角A有两个，不唯一，不合题意；
若选条件②：因为 ，
由正弦定理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，
则 ， ，
因为两角和两边均已确定，根据三角形全等可知三角形存在且唯一，
又因为 ，
所以 的面积 ；
若选条件③：因为 的周长是 ，
则 ，即 ，
由余弦定理可得 ，即 ，
整理可得 ，且 ，
可知方程 有2个不相等的实根 ，
且 ，可知方程 有2个不相等的正实根，
即边a不唯一，不合题意.
综上，只有选条件 符合题意
② .
17. 如图，在四棱锥 中，直线 平面PCD， ， ，，平面 平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点．
（1）证明： ；
（2）证明： ；
（3）当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为 ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）2
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的性质定理即可证明；
（2）过 作 ，垂足为 ，分析可知 为等边三角形，可得 ，结合面面垂直
的性质可得 平面ABCD，即可得结果；
（3）取线段 的中点 ，连接 ，建系，设 ，求平面PAD的法向量，利用空间
向量处理线面夹角的问题.
【小问1详解】
因为直线 平面 平面 ，
且平面 平面 ，所以 ；
【小问2详解】
过 作 ，垂足为 ，
由题意知： 为矩形，可得 ，
由 ，则 为等边三角形，且F为线段BC的中点，则 ，
又因为平面 平面ABCD，平面 平面 ， 平面 ，可得 平面ABCD，且 平面 ，
所以 .
【小问3详解】
由（1）可知： 平面ABCD，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ， ，
又因为 ，可知 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
因为E为线段PF上一点，设 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意可得： ，
整理得 ，解得 ，
所以当 ，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
18. 某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一
份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表：
编号 1 2 3 5 6 7 9 10
4号 8号
正确率 号 号 号 号 号 号 号 号
试讲讲 65 60 100 65 75 90 80 60
0% 85%
座前 % % % % % % % %
试讲讲 90 85 80 85 85 95 100 85 90
95%
座后 % % % % % % % % %
根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：
答卷正确率p
垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀
假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．
（1）正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概
率；
（2）正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、
“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’、的人数”，试估计X的分布列和数学
期望；
（3）在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写
问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪
一知识水平的概率最大？（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大.
【解析】
【分析】（1）先根据给出的数据，求出居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率，可估计相关的概率.
（2）先明确正式讲座前，垃圾分类水平为“一般”和 “良好”的人在试讲讲座后达到“优秀”的概率，
再求对应的概率，可得 的分布列，并求其期望.
（3）利用条件概率求解判断.
【小问1详解】
正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为： ，
所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为： .
【小问2详解】
由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率
估计为： ；
正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为： .
由题意， 的值可以为：0,1,2,3
且： ，
.
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
【小问3详解】
从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件 ，则 ，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为 ；
从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件 ，则 ，讲座后，知识水
平为“良好”的概率估计为 ；
从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件 ，则 ，讲座后，知识水
平为“良好”的概率估计为 ；
从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件 ，则 .
因为 ， ， .
所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大.
.
19 已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）求 的最小值；
（3）设 ，已知 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【分析】（1）求出 、 后可求切线方程；
（2）根据导数的符号判断单调性后可求函数的最小值；
（3） 等价于 或 或 ，对于前两者，可设
， 利 用 导 数 判 断 其 单 调 性 后 可 得 不 等 式 组 的 解 ， 对 于 后 者 ， 可 设
，利用导数讨论其单调性后可得对应不等组的解，故可得原不等式的解.
【小问1详解】
由题设有 ，故 ，
而 ，故曲线 在 处的切线方程为 ，
故所求的切线方程为 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 .
【小问3详解】
由题设有 ，
故 等价于 或 或 ，设 ，其中 ，故 ，
当 时， 均在 上为增函数，
故 在 上为增函数，故 ，故 在 上为增函数，
故 ，故 无解；
当 时， 均在 上为增函数，
故 在 上为增函数，故 ，故 在 上为减函数，
故 ，故 的解为 ，
当 时， 即为 ，
设 ，故 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，而 ，
且 时， ，故 在 上恒成立，
故 在 上为减函数，故 ，故 无解即 无解，
综上， 的解为 .
【点睛】关键点点睛：导数背景下函数不等式的解，可根据函数的形式合理分解，从而把复杂函数不等式
的解转化为简单函数不等式的解，后者可以利用导数进行分析求解.
20. 已知椭圆 的左焦点为 ，且点 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知 ，点P为椭圆C上一点．
（ⅰ）若点P在第一象限内， 延长线交y轴于点Q， 与 的面积之比为1∶2，求点P坐
标；
（ⅱ）设直线 与椭圆 C 的另一个交点为点 B，直线 与椭圆 C 的另一个交点为点 D．设
，求证：当点P在椭圆C上运动时， 为定值．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据椭圆的几何性质，列方程组求解即可；
(2) (i)设其方程为y=k(x−1)，根据已知条件可知 ，利用已知条件可推出点 是 的中点，可表
达出点 坐标，将其带入到椭圆方程中，求出 ，即可得到点 ；
(ii) 设P(x ,y )， 分别联立直线 ， 和椭圆的方程，结合韦达定理与平面向
0 0
量的坐标运算，化简即可得解.
【小问1详解】由题意知， ，则 ①，
又因点 在 上，
所以 ②，联立①、②式可得 ，
解之可得 ， ，所以椭圆方程为 .
【小问2详解】
(i)由题意知，直线 的斜率一定存在，
设其方程为y=k(x−1)，根据题意可知 ，如图所示，
令 ，则 ，即 点坐标为 ，
设点 到直线 的距离为 ，
又因 是 的中点，所以点 到直线 为 ，
又因 与 的面积之比为1∶2，
所以 ，所以 ，
即点 是 的中点，所以可得 点坐标为 ，又因点 在椭圆 上，所以 ，
解之可得 ，所以 点坐标为 ；
(ii)设P(x ,y )， ，直线 的方程为 ，
0 0
其中 ，则 ，
联立 ，可得 ，
根据韦达定理可知 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
，
设直线 的方程为 ，其中 ，
同理可得 ，
所以
，
所以 为定值.21. 已知有限数列 ，从数列 中选取第 项、第 项、 、第 项（ ），顺次排
列构成数列 ，其中 ， ，则称新数列 为 的长度为m的子列．规定：数列
的任意一项都是 的长度为1的子列，若数列 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列
为完全数列．设数列 满足 ， ．
（1）判断下面数列 的两个子列是否为完全数列，并说明由；
数列①：3，5，7，9，11；数列②：2，4，8，16．
（2）数列 的子列 长度为m，且 为完全数列，证明：m的最大值为6；
（3）数列 的子列 长度 ，且 为完全数列，求 的最大值．
【答案】（1）数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意逐项分析判断即可；
（2）根据题意利用反证法结合等差数列求和分析说明；
（3）根据题意转化为求 的各项最小值，结合题意分析运算即可.
【小问1详解】
数列①不是完全数列，数列②是完全数列，理由如下：
数列①：因为 ，所以数列①不是完全数列；数列②：因为 ，
，
即每一子列的所有项的和都不相同，所以数列②是完全数列.
【小问2详解】
假设存在完全数列 ，其长度为 ，则 ，
则长度为 的数列 的每一子列的所有项的和有 个，
设其所有项的和的最小值为 ，最大值为 ，
则 ，
可得 ，
整理得 ，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 ，则 ， ，
所以 ；
综上所述：当 时，不存在 ，使得 成立.
所以假设不成立，则 ，且 ，符合题意，
所以m的最大值为6.
【小问3详解】
因为 长度 ，且 为完全数列，且 ，可知 的最小值为1， 的最小值为2，取 ；
因为 ，则 的最小值为4，取 ；
因为 ，则 的最小值为8，取 ；
因为 ，
，
则 的最小值为16，取 ；
此时 均取到对应的最小值，则 均取到对应的最大值，
则 ，
所以 的最大值为 .
【点睛】关键点睛：1.对于数列新定义问题，要充分理解题意，根据题意分析运算；
2.对于直接证明比较困难，可以采用反证法，适当放缩运算求解.
