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压轴题09 磁场综合问题
一、考向分析
二、压轴题要领
一、磁场
1．力的角度——磁感应强度：把一段检验电流放在磁场中时，用它受到的最大安培力与其
电流强度和长度的乘积之比来描述该点的磁感应强度大小，即
。
2．“形”的角度——磁感线：磁感线的疏密反映磁场的强弱（磁感应强度的大小），切线
方向是磁场方向。
3．磁场的叠加：由于磁感应强度是矢量，故磁场叠加时合磁场的磁感应强度可以由平行四
边形定则计算。
二、安培定则和左手定则
使用手
使用范围
安培定则
右手
环形电流→磁场、直线电流→环形磁场
左手定则
左手
电（流）+磁→（安培）力
判断通电导线在磁场中的运动方向：
1．把弯曲导线分成很多直线电流元，先用左手定则判断各电流元受力方向，然后判断整段
导线所受合力的方向，从而确定导线的运动方向。
2．环形通电导线等效为小磁针，根据小磁针受到的磁力方向判断导线的受力和运动方向。
3．两平行直线电流间，同向电流互相吸引，反向电流相互排斥。
三、安培力
1．公式：FA=BILsin θ，安培力的大小取决于磁感应强度B、电流强度I、导体长度L 及直
导体与磁场方向间的夹角θ，该公式一般只适用于匀强电场。
2．涉及安培力的力学综合问题，一般采取以下步骤解题：
（1）选择适当的视角，将电流方向或磁场方向用“●”或“×”表示，使立体图转化为平面
图；
（2）进行受力分析，特别要根据磁场特定分析好安培力；
这类题型要求考生会分项多条通电导线周围磁场的叠加。往往结合平衡条件、牛顿
运动定律和电磁感应问题综合考查。特别是安培力作用下的平衡或运动问题，并且
常结合电磁感应问题综合考查。要求考生会用左手定则判断洛伦兹力的方向，知道
安培力是洛伦兹力的宏观表现。要求能熟练运用洛伦兹力公式，常结合带电粒子在
磁场中的运动综合考查。多涉及有界磁场，还会考查电、磁复合场，对考生各种能
力要求较高。复习时要注意多研究一些以最新科技成果为背景的题目，注意将实际
问题模型化能力的培养。
1
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（3）根据平衡条件、牛顿第二定律或功能关系列方程解答。
四、洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力
电场力
性质
磁场对在其中运动的电荷的作用
力
电场对放入其中电荷的作用力
产生条件
v≠0 且v 不与B 平行
电场中的电荷一定受到电场力作
用
大小
F=qvB（v⊥B）
F=qE
力方向与场方向的
关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电
性无关
正电荷受力与电场方向相同，负
电荷受力与电场方向相反
做功情况
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做
功
力为零时场的情况
F 为零，B 不一定为零
F 为零，E 一定为零
作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不
改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大
小，也可以改变电荷运动的方向
1．洛伦兹力与安培力的联系及区别
（1）安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
（2）洛伦兹力对电荷不做功；安培力对通电导线可做正功，可做负功，也可不做功。
2．带电粒子在匀强磁场中的运动
（1）如何确定“圆心”
①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨
迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的
垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如
图（a）所示。
②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将
这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。
③若只已知一个点及运动方向，也知另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的
点，如图（c）所示，此时要将其中一速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角
（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。
2
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（2）如何确定“半径”
方法一：由物理方程求，半径r= mv
qB
；
方法二：由几何方程求，一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。
（3）如何确定“圆心角与时间”
①速度的偏向角φ=圆弧所对应的圆心角（回旋角）θ=2 倍的弦切角α，如图（d）所示。
②时间的计算方法。
方法一：由圆心角求，
方法二：由弧长求，t= Rθ
v
3．带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形
直线边界（粒子进出磁场具有对称性）
平行边界（粒子运动存在临界条件）
圆形边界（粒子沿径向射入，再沿径向
射出）
4．带电粒子在有界磁场中的常用几何关系
（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点。
（2）三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2
倍。
5．求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法
由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，
其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几
3
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何关系，分析临界条件（①带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为
零；②射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切），然后应用数
学知识和相应物理规律分析求解。
（1）两种思路
一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、
讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；
二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。
（2）两种方法
一是物理方法：
①利用临界条件求极值；
②利用问题的边界条件求极值；
③利用矢量图求极值。
二是数学方法：
①利用三角函数求极值；
②利用二次方程的判别式求极值；
③利用不等式的性质求极值；
④利用图象法等。
（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、
“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词
语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。
三、压轴题速练
1.如图所示，在磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，两长直导线P 和Q 垂直于纸面固定放
置，二者之间的距离为l。在两导线中均通有方向垂直于纸面向里，大小相等的电流时，纸
面内与两导线距离为l 的a 点处的磁感应强度为零。若仅让P 中的电流反向，则a 点处磁感
应强度的大小为
A．2B0
B．
C．
D．B0
【参考答案】B
【详细解析】如图所示。
4
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设P 和Q 在a 点的磁感应强度大小为B，当P 和Q 的电流都垂直纸面向里时，根据右手螺
旋定则可知，P 在a 点的磁感应强度方向为水平向右偏下30°，Q 点在a 点的磁感应强度方
向为水平向右偏上30°，两者在a 点的合磁感应强度为
，方向水平向右，因a 点的磁
感应强度为零，故
。B0的方向水平向左。当P 中电流方向反向时，磁场如图所
示。
如图所示当P 的电流反向后，P 在a 点的磁感应强度方向为水平向左偏上30°，P 和Q 在a
点的合磁感应强度为B，方向竖直向上，则a 点的磁感应强度为
，故B 正确。
2．三根完全相同的长直导线互相平行，通以大小和方向都相同的电流。它们的截面处
于一个正方形abcd 的三个顶点a、b、c 处，如图所示。已知每根通电长直导线在其周围
产生的磁感应强度与该导线的距离成反比，通电导线b 在a 处产生的磁场磁感应强度大
小为B，则d 处的磁感应强度大小为
A．2B B．
B C．3B D．
B
【答案】B
【解析】设正方形的边长为L，通电导线b 在a 处产生的磁场磁感应强度大小为B，根
据通电导线在其周围产生的磁场的磁感应强度大小与距该导线的距离成反比，及几何关
5
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系可得，a 与c 在d 处产生的磁场的磁感应强度大小为B，b 在d 处产生的磁场的磁感应
强度大小为
B，方向如图所示，则d 点的磁感应强度大小为
，选B。
【名师点睛】根据安培定则确定磁场方向，结合几何关系由平行四边形定则合成磁感应
强度。
3．如图所示，A、B、C 是正三角形的三个顶点，O 是AB 的中点，两根互相平行的通
电长直导线垂直纸面固定在A、B 两处，导线中通入的电流大小相等、方向相反。已知
通电长直导线产生磁场的磁感应强度
，I 为通电长直导线的电流大小，r 为距通
电长直导线的垂直距离，k 为常量，O 点处的磁感应强度大小为B0，则C 点处的磁感应
强度大小为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设A、B 处的电流在O 点产生的磁感应强度大小为B1，方向如图所示，有
，即
，由
及
可知，A、B 处的电流在C 点产生的磁感应
强度大小为
，方向如图所示，由平行四边形定则及顶角C 为120°可知合磁
感应强度大小为
，C 正确。
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4.下列关于小磁针在磁场中静止时的指向，正确的是( )
【参考答案】C
【详细解析】根据在磁体外部同名磁极相互排斥可知选项A 错误；应用安培定则可知环形
电流中心线上的磁场方向由右向左，小磁针N 极受到的磁场力向左，选项B 错误；根据安
培定则可知通电螺线管内部磁场方向向右，内部小磁针N 极受到的磁场力向右，选项C 正
确；根据安培定则可知通电直导线右边磁场方向向里，小磁针N 极应向里，选项D 错误．
【名师点睛】牢记判断电流的磁场的方法→安培定则，并能熟练应用，建立磁场的立体分
布模型。
5．如图所示，均匀绕制的螺线管水平放置，在其正中心的上方附近用绝缘绳水平吊起
通电直导线A，A 与螺线管垂直，A 导线中的电流方向垂直纸面向里。开关S 闭合，A 受
到通电螺线管磁场的作用力方向是
A．水平向左 B．水平向右 C．竖直向上 D．竖直
向下
【答案】C
【解析】首先根据安培定则判断通电螺线管中心产生的磁场方向向右，所以在A 处产生的
磁场方向水平向左，根据左手定则判断可知，A 受到的安培力方向竖直向上，故选C。
【易错警示】注意使用安培定则和左手定则时不要用错手，明确定则涉及的物理量的因果
关系。
6．如图所示，ab、cd 是两根在同一竖直平面内的直导线，在两导线中央悬挂一个小磁
针，静止时在同一竖直平面内。当两导线中通以大小相等的电流时，小磁针N 极向纸
面内转动，则两导线中的电流方向
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A．一定都是向上 B．一定都是向下
C．ab 中电流向上，cd 中电流向下 D．ab 中电流向下，cd 中电流向上
【答案】C
【解析】若两导线中的电流方向均向上，根据安培定则判断可知，小磁针N 极静止不
动，与题意不符，故A 错误。若两导线中的电流方向均向下，根据安培定则判断可知，
小磁针N 极向纸外面转动，与题意不符。故B 错误。若ab 中电流向上，cd 中电流向下，
根据安培定则判断可知，小磁针N 极向纸里面转动，与题意相符。故C 正确。若ab 中
电流向下，cd 中电流向上，根据安培定则判断可知，小磁针N 极向纸外面转动，与题
意不符。故D 错误。
【点睛】由题，小磁针N 极向纸面里转动，小磁针S 极向纸面外转动，则小磁针N 极
所在磁场方向向里，小磁针S 极所在磁场方向向外，根据安培定则判断。
7.如图所示，三根通电长直导线a、b、c 平行水平放置，其横截面恰好位于等边三角形的
三个顶点，导线a、b 固定在同一竖直面内，导线a 中的电流方向垂直纸面向里，导线b 中
的电流方向垂直纸面向外，已知导线a、b 中的电流在导线c 处产生的磁场的磁感应强度大
小均为
；导线c 中的电流方向垂直纸面向里，电流大小为I，长度为L，质量为m，在粗
糙水平面上处于静止状态，重力加速度为g，下列说法正确的是
A．导线c 所受安培力的大小为
B．导线c 受到的静摩擦力方向向右
C．导线c 对水平面的压力大小为
D．若仅将导线b 中的电流反向，则导线c 所受安培力的大小为
【参考答案】C
【详细解析】由右手螺旋定则可知导线a、b 分别在导线c 处产生的磁场方向的夹角为
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120°，根据平行四边形定则可知合磁场的磁感应强度大小为
，方向水平向左，由左手定
则可知导线c 受到的安培力方向竖直向上，大小为
，根据平衡条件可知水平方向不受
静摩擦力，竖直方向上导线c 对水平面的压力大小为
，故选项A、B 错误，C 正
确；当导线b 中的电流反向时，导线b 在导线c 处产生的磁场方向反向，合磁场方向竖直
向下，大小为
，则导线c 受到的安培力大小为
，故选项D 错误。
8.如图，长为2L 的直导线折成边长相等的直角形状，并置于与其所在平面相垂直的匀强磁
场中，磁感应强度为B，当在该导线中通以电流I 时，该直角形通电导线受到的安培力大
小为（ ）
A．0
B．BIL
C．
D．2BIL
【答案】C
【解析】安培力中通电导线的长度为电流的有效长度，本题中为通电导线从初指向末的
长度，为
，因此安培力
，C 正确。
9.如图，两根间距为d 的平行光滑金属导轨间接有电源E，导轨平面与水平面间的夹角
θ=30°，金属杆ab 垂直导轨放置，导轨与金属杆接触良好，整个装置处于磁感应强度为
B 的匀强磁场中。当磁场方向垂直导轨平面向上时，金属杆ab 刚好处于静止状态。要
使金属杆能沿导轨向上运动，可以采取的措施是
A．增大磁感应强度B
B．调节滑动变阻器使电流增大
C．增大导轨平面与水平面间的夹角θ
D．将电源正负极对调使金属杆中的电流方向改变
【答案】AB
【解析】根据初始条件受力分析可知
，因此增大磁感应强度B，安培力
增大，金属杆能沿斜面向上运动，A 正确；若增大电流，则安培力
将增大，金
属杆将向上运动，B 正确；增大倾角θ，重力沿导轨向下的分力
，金属
杆将向下运动，C 错误；将电源正负极对调使金属杆中的电流方向改变，安培力将沿斜
9
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面向下，金属杆将向下运动，D 错误。
10.质量为
、电量为q 的带电粒子以速率
U 额
R0 垂直磁感线射入磁感应强度为
的匀强磁场中，
在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，带电粒子在圆周轨道上运动相当于一个环形电流，则
下列说法中正确的是
A．环形电流的电流强度跟q 成正比
B．环形电流的电流强度跟
U 额
R0 成正比
C．环形电流的电流强度跟
成正比
D．环形电流的电流强度跟
成反比
【参考答案】CD
【详细解析】设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，则由
，得T=2πr
v =2πm
qB ，环形电流：
，可见，I 与q 的平方成正比，
与v 无关，与B 成正比，与m 成反比，故AB 错误，CD 正确。
11．一个带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中，由于沿途空气电离而使粒子的动
能逐渐减小，轨迹如图所示。假设粒子的电荷量不变，下列有关粒子的运动方向和所带
电性的判断正确的是
A．粒子由a 向b 运动，带正电
B．粒子由b 向a 运动，带负电
C．粒子由b 向a 运动，带正电
D．粒子由a 向b 运动，带负电
【答案】B
【解析】由题意可知，带电粒子沿垂直于磁场方向射入匀强磁场，粒子的能量逐渐减小，
速度减小，则由公式
得知，粒子的半径应逐渐减小，由图看出，粒子的运动方
向是从b 到a。在b 处，粒子所受的洛伦兹力指向圆心，即斜向左上方，由左手定则判
断可知，该粒子带负电。故选B。
12．（多选）如图所示，两匀强磁场的方向相同，以虚线MN 为理想边界，磁感应强度
分别为B1、B2，今有一质量为m、电荷量为e 的电子从MN 上的P 点沿垂直于磁场方向
射入匀强磁场B1中，其运动轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的
是
10
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A．电子的运行轨迹为PDMCNEP
B．电子运行一周回到P 用时为
C．B1=2B2
D．B1=4B2
【答案】AC
【解析】根据左手定则可知：电子从P 点沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场B1时，受
到的洛伦兹力方向向上，所以电子的运行轨迹为PDMCNEP，故A 正确；电子在整个过
程中，在匀强磁场B1中运动两个半圆，即运动一个周期，在匀强磁场B2中运动半个周
期，所以
，故B 错误；由图象可知，电子在匀强磁场B1中运动半径是
匀强磁场B2中运动半径的一半，根据
可知，B1=2B2，故D 错误，C 正确。故选
AC。
【名师点睛】本题是带电粒子在磁场中运动的问题，要求同学们能根据左手定则判断洛
伦兹力的方向，能结合几何关系求解，知道半径公式及周期公式，难度适中。
13.在真空室中，有垂直于纸面向里的匀强磁场，三个质子1、2 和3 分别以大小相等、方向
如图所示的初速度v1、v2和v3经过平板MN 上的小孔O 射入匀强磁场，这三个质子打到平
板MN 上的位置到小孔O 的距离分别是s1、s2和s3，不计质子重力，则有
A．s1>s2>s3 B．s1<s2<s3
C．s1＝s3>s2
D．s1＝s3<s2
【参考答案】D
【详细解析】由已知条件可知三个质子运动轨迹的半径相等．由于初速度v1和v3的方
向与MN 的夹角相等，所以这两个质子的运动轨迹正好能组合成一个完整的圆，则这两
个质子打到平板MN 上的位置到小孔的距离是相等的，且小于轨迹圆的直径；而初速度
为v2的质子方向与MN 垂直，则它的运动轨迹正好是半圆，所以质子打到平板MN 上的
位置到小孔的距离恰好是圆的直径，即s1＝s3<s2，D 正确．
14.利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子。图中板MN 上方是磁感应强
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度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝
近端相距为L。一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直
于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是
A．粒子带正电
B．射出粒子的最大速度为
C．保持d 和L 不变，增大B，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
D．保持d 和B 不变，增大L，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大
【答案】BC
【解析】由左手定则可判断粒子带负电，故A 错误；由题意知：粒子的最大半径
、粒子的最小半径
，根据
，可得
、
，则
，故可知BC 正确，D 错误。
15.如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q 的粒
子在纸面内从O 点射入磁场。若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A 点。下列说法
正确的有
A．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v0
B．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v0
C．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v0–qBd/2m
D．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v0+qBd/2m
【答案】BD
【解析】粒子速度
垂直MN 边界进入磁场时到边界上的的落点最远，距离为
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，若粒子速度不与MN 垂直，落点在A 点左侧，如图示A 项错；
若粒子落在A 点的右侧，其半径一定大于
，速度一定大于
，B 项对，若粒子落
在A 点左侧d 处，设粒子的最小速度为
，则
，得
，若粒子落在A 点左侧d 的范围内，其速度不可能小于
。若
粒子落在A 点右侧d 处，设粒子的最小速度为
，则
，得
，若粒子落在A 点左侧d 的范围内，其速度不可能小于
，
D 项对，C 错。
【名师点睛】粒子从单边界磁场射入时，射入时速度的方向与磁场边界所夹的角度与射
出时速度的方向与磁场边界所夹的角度是相等的。
16.如图所示，平行线PQ、MN 之间有方向垂直纸面向里的匀强磁场，电子从P 沿平行于
PQ 且垂直于磁场方向射入磁场，其中速率为v1的电子与MN 成60°角，速率为v2的电子与
MN 成45°角射出磁场，v1：v2等于（ ）
A．（2—
）：1 B．（
—1）：1 C．
：1
D．
：
【参考答案】A
【详细解析】设带电粒子与MN 之间的夹角为θ，做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系
可知
，解得：
，带电粒子做匀速圆周运动半径
，联立
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可得：
，故A 正确。
17.如图所示，竖直平行线MN、PQ 间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场
（含边界PQ），磁感应强度为B，MN 上O 处的粒子源能沿不同方向释放比荷为q/m 的
带负电粒子，速度大小相等、方向均垂直磁场。粒子间的相互作用及重力不计。设粒子
速度方向与射线OM 夹角为θ，当粒子沿θ=60°射入时，恰好垂直PQ 射出。则
A．从PQ 边界射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B．沿θ=120°射入的粒子，在磁场中运动的时间最长
C．粒子的速率为
D．PQ 边界上有粒子射出的长度为
【答案】BD
【解析】粒子在磁场中运动过程中，洛伦兹力充当向心力，运动半径
因为所有
粒子
和速度都相同，故所有粒子的运动半径都一样，当粒子沿θ=60°射入时，恰好垂
直PQ 射出，可得
，故
，解得
，当粒子轨迹与PQ
边界相切时，轨迹最长，运动时间最长，此时根据几何知识可得θ=120°，此时是粒子
打在PQ 边界上的最低的点，故相对Q 的竖直位移为
，B 正确，C
错误；由于v 一定，则弧长最短时，时间最短，根据分析可知当粒子沿着边界MN 方向
向上射入时最短，此时圆心在MN 上，θ=30°，所以
，此时是粒
子打在边界PQ 的最上端，根据几何知识可得该点相对O 点竖直位移为
，故PQ 边界上有粒子射出的长度为
，A 错误，
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D 正确。
18.如图所示，以直角三角形AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，
∠A=60°， AO=L，在O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子.已知粒
子的比荷为q
m，发射速度大小都为v0=qBL
m 。设粒子发射方向与OC 边的夹角为θ，不计粒
子间相互作用及重力。对于粒子进入磁场后的运动，下列说法中正确的是
A．当θ=45°时，粒子将从AC 边射出
B．所有从OA 边射出的粒子在磁场中运动时间相等
C．随着θ 角的增大，粒子在磁场中运动的时间先变大后变小
D．在AC 边界上只有一半区域有粒子射出
【参考答案】AD
【详细解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：q v0 B =m v0
2
r
，已知
v0= qBL
m ，解得粒子的运动半径r=L，当θ=60°入射时，粒子恰好从A 点飞出，则当θ=45°
时，由几何关系可知，粒子将从AC 边射出，选项A 正确；所有从OA 边射出的粒子，θ 不
同，而轨迹圆心对应的圆心角等于2( π
2 -θ)= π -2θ，所用时间t = π -2θ
2π
T，T 一定，则
知粒子在磁场中时间不相等，选项B 错误；当θ=0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC
中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是T
6 ；当θ=60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好也
是T
6 ，是在磁场中运动时间最长，故θ 从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，当θ 从
60°到90°过程中，粒子从OA 边射出，此时在磁场中运动的时间逐渐减小，故C 错误；当
θ=0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC 中点飞出，因此在AC.边界上只有一半区域有粒
子射出，故D 正确。
【名师点睛】此题关键要根据磁场的界限来确定运动情况，并结合半径与周期公式来分析
讨论．θ 从0°到60°的过程中，粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆弧的弦长先减小后增大，
所以粒子在磁场中运动时间先减小后增大是该题的关键。
19.（多选）如图所示，等腰直角三角形abc 区域内（包含边界）有垂直纸面向外的匀
强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc 的中点O 处有一粒子源，可沿与ba 平行的方向
发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒
子都能从ab 边离开abc 区域，ab=2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这
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些粒子，下列说法正确的是
A．速度的最大值为
B．速度的最小值为
C．在磁场中运动的最短时间为1
3
D．在磁场中运动的最长时间为
【答案】ACD
【解析】粒子从ab 边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示：
由几何知识可知：
，
，解得：
。AB、
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
，
解得：
，故粒子的最大速度为q
m
，最小速度
√2 L ，故A 正确，B 错误。CD、由粒子从ab 边离开磁场区域的临界运
动轨迹可知，粒子转过的最大圆心角θmax=180°，最小圆心角：θmin=45°，粒子做圆周运
动的周期：
，则粒子在磁场中运动的最短时间
；最长时
间
，故C、D 均正确。故选ACD。
20.如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界
为一边长为L 的正三角形（边界上有磁场），A、B、C 为三角形的三个顶点。现有一质
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量为m、电荷量为+q 的粒子（不计重力），以速度
从AB 边上的某点P 既
垂直于AB 边又垂直于磁场的方向射入，然后从BC 边上某点Q 射出。若从P 点射入的
该粒子能从Q 点射出，则）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】带电粒子做匀速圆周运动轨迹的圆心必在AB 之上，画出运动轨迹如图所示，
由半径公式
及
可知，粒子做圆周运动的半径为
，当粒子
运动的轨迹圆心位于AB 中点O1时，粒子正好与AC、BC 边相切，由几何关系知，PB
满足
，A 正确；平行向右移动参考圆O1，与CB 交点最远时的Q 点到
AB 的距离为半径r，所以
，D 正确。
21.（多选）如图，半径为R 的圆形区域（纸面）内存在着匀强磁场，磁场方向垂直于纸面，
半径OA 与半径OC 夹角α=60°，CD 为直径。电子、质子均从A 点沿与OA 夹角θ=30°方向
垂直射入匀强磁场中，电子经磁场偏转后从C 点以速率v 射出磁场，质子从D 点垂直AO
方向射出磁场。已知电子与质子的质量之比为k，重力及粒子间的作用均不计，则
A．磁场方向垂直圆面向外
B．电子在磁场中运动的路程为
πR
C．质子在磁场中运动的速率为kv
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D．电子、质子通过磁场所用的时间之比为1:2
【参考答案】BC
【详细解析】电子、质子在磁场中运动的轨迹如图所示。电子在磁场中偏转通过C，根据
左手定则判断知磁感应强度方向垂直纸面向里，选项A 错误；由几何关系知：△AOC、
△AO1C 均为正三角形且全等，则电子做匀速圆周运动的半径r1=R=
，在磁场中运动的
路程L1=
2πr1=
πR，选项B 正确；电子在磁场中运动的时间t1=
，由几何
关系知：圆心O2在⊙O 的圆周上，四边形AODO2是边长为R 的菱形，∠AO2D=120°，质子
在磁场中运动的轨迹半径r2=R=
，得v2=
v=kv，选项C 正确；质子在磁场中运动的
时间t2=
，则
，选项D 错误。
22．圆形区域内有如图所示的匀强磁场,一束比荷相同的带电粒子对准圆心O 射入,分别
从a、b 两点射出,下列说法正确的是
A．b 点出射粒子速率较小
B．a 点出射粒子运动半径较大
C．b 点出射粒子磁场中的运动时间较短
D．a 点出射粒子速度偏转角较小
【答案】C
【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出粒子运动轨迹的示意图如图所示：
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由洛伦兹力提供向心力qvB =m v
2
r ，可得r = mv
qB ，结合几何运动径迹可知，从b 点射出
的粒子运动半径较大，结合荷质比相同，可得从a 点射出的粒子速率较小；故A，B 错
误。由运动周期公式得，T = 2πm
qB ，由于荷质比相同，周期与速率无关，粒子运动的时
间：t = θ
2π T可知运动的时间，仅由轨迹所对的圆心角θ 决定，故b 点射出的粒子运动
时间较短；故C 正确。利用对称性可知，粒子沿半径方向入射一定沿半径方向出射，
由图可以看出a 粒子速度方向偏转的角度大于b 粒子速度方向偏转的角度；故D 错误。
【名师点睛】本题考查带电粒子在有界磁场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程
图，运用洛伦兹力提供向心力求出半径公式，注意对称性的运用，粒子沿半径方向入射
一定沿半径方向出射，运用粒子在磁场中转过的圆心角，结合周期公式，求解粒子在磁
场中运动的时间．
23．（多选）如图所示是一个半径为R 的竖直圆形磁场区域，磁感应强度大小为B，磁
感应强度方向垂直纸面向内。有一个粒子源在圆上的A 点不停地发射出速率相同的带正
电的粒子，带电粒子的质量均为m，运动的半径为r，在磁场中的轨迹所对应的圆心角
为α。下列说法正确的是
A．若r=2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若r=2R，粒子沿着与半径方向成45°角斜向下射入磁场，则有关系
成立
C．若r=R，粒子沿着磁场的半径方向射入，则粒子在磁场中的运动时间为
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D．若r=R，粒子沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，则圆心角α 为150°
【答案】BD
【解析】若r=2R，粒子在磁场中时间最长时，磁场区域的直径是轨迹的一条弦，作出
轨迹如图1 所示，因为r=2R，圆心角θ=60°，粒子在磁场中运动的最长时间
，故A 错误。若r=2R，如图2 所示，粒子沿着与半径
方向成45°角斜向下射入磁场，根据几何关系，有
，故B
正确。若r=R，粒子沿着磁场的半径方向射入，粒子运动轨迹如图3 所示，圆心角
90°，粒子在磁场中运动的时间
，故C 错误。若r=R，粒子
沿着与半径方向成60°角斜向下射入磁场，轨迹如图4 所示，图中轨迹圆心与磁场圆心
以及入射点和出射点构成菱形，圆心角150°，故D 正确。
图1 图2 图3 图4
24.如图所示，正方形abcd 内存在匀强磁场，方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外。a 处有
一粒子(重力不计)发射源，先后向磁场内沿与ab 边成30°角方向发射两个比荷不同、速度
相同的粒子，若该两粒子分别从b、d 点射出，则从b、d 两点射出的粒子在磁场中运动的
时间之比为
A．1：
B．
：2
C．
：1
D．2：
【参考答案】B
【详细解析】设正方形的边长为2L，由几何关系知，从b 点射出的粒子在磁场中运动的轨
道半径
，从d 点射出的粒子在磁场中运动的轨道半径
，由几何关系知，
从b 点射出的粒子在磁场中轨迹所对应圆心角为60°，则：
，由几何关系
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知，从d 点射出的粒子在磁场中轨迹所对应圆心角为120°，则：
，所以：
，故B 正确。
25.如图所示，abcd 为边长为L 的正方形，在四分之一圆abd 区域内有垂直正方形平面
向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B。一个质量为m、电荷量为q 的带电粒子从b
点沿ba 方向射入磁场，结果粒子恰好能通过c 点，不计粒子的重力，则粒子的速度大
小为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】粒子沿半径方向射入磁场，则出射速度的反向延长线一定经过圆心，由于粒子
能经过c 点，因此粒子出磁场时一定沿ac 方向，轨迹如图：
由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为
，根据牛顿第二
定律得：
解得：
，故C 正确。
26.如图所示，在一个边长为
的正六边形区域内存在磁感应强度为
，方向垂直于纸
面向里的匀强磁场。三个相同的带电粒子，比荷大小均为
，先后从
点沿
方向
以大小不等的速度射人匀强磁场区域，粒子在运动过程中只受磁场力作用。已知编号
为
的粒子恰好从
点飞出磁场区域，编号为
的粒子恰好从
点飞出磁场区城，编
号为
的粒子从
边上的某点垂直边界飞出磁场区城。则
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A．三个带电粒子均带正电
B．编号为
的粒子进人磁场区城的初速度大小为
C．编号为
的粒子在磁场区城内运动的时间为
D．编号为
的粒子在
边上飞出的位置与
点的距离为
【答案】ABD
【解析】由于三个粒子的偏转方向均向上，根据左手定则可知，三个粒子带同种正电荷，
故A 正确；根据题意作出三个粒子的运动轨迹，如图所示：
设编号为
的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为
，初速度大小为
，
由几何关系得：
，根据
，解得：
，故B 正
确；设编号为
的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为
，初速度大小为
，周期为
，由几何关系可得，粒子在正六边形区域磁场运动过程中，转过
的圆心角为
，则粒子在磁场中运动的时间
，故C 错误；设编号为
的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为
，在磁场中转了
，由几何关系
可得：
，
，
，则
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，故D 正确；故选ABD。
【名师点睛】分析各粒子的运动情况，由几何关系求出各自的半径，再由洛伦兹力充当
向心力即可求得速度大小；再根据几何关系求出圆心角，再根据时间与周期间的关系即
可明确时间大小。
27.如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界。一质量为m、电荷量为q 的粒子
在纸面内从O 点射入磁场. 若粒子速度为v0，最远能落在边界上的A 点。下列说法正确的
有
A.若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v0
B.若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v0
C.若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v0－qBd/2m
D.若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v0+qBd/2m
【答案】BC
【解析】粒子速度v0垂直MN 边界进入磁场时到边界上的的落点最远，距离为
，
若粒子速度不与MN 垂直，落点在A 点左侧，如图示A 项错，
若粒子落在A 点的右侧，其半径一定大于
，速度一定大于v0， B 项对，若粒子落在
A 点左侧d 处，设粒子的最小速度为v1，则
，得
，若粒子落在A 点左侧d 的范围内，其速度不可能小于
。，若
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粒子落在A 点右侧d 处，设粒子的最小速度为v2，则
，得
，若粒子落在A 点左侧d 的范围内，其速度不可能小于
，D
项错。
【考点定位】本题考查带电粒子在磁场中的运动及其相关知识
28.如图为某磁谱仪部分构件的示意图。图中，永磁铁提供匀强磁场，硅微条径迹探测器可
以探测粒子在其中运动的轨迹。宇宙射线中有大量的电子、正电子和质子。当这些粒子从
上部垂直进入磁场时，下列说法正确的是
A.电子与正电子的偏转方向一定不同
B.电子和正电子在磁场中的运动轨迹一定相同
C.仅依据粒子的运动轨迹无法判断此粒子是质子还是正电子
D.粒子的动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越小
【答案】AC
【解析】由于电子和正电子电荷性质相反，当入射速度方向相同时，受洛仑兹力方向相反，
则偏转方向相反，故A 正确。由于电子与正电子速度大小未知，根据带电粒子的偏转半径
公式可知，运动半径不一定相同，故B 错误。由于质子与正电子的速度未知，半径不一定
相同，则根据轨迹无法判断粒子的性质，C 正确。由
，则
可
知粒子动能越大，它在磁场中运动轨迹的半径越大，故D 错误。
【考点定位】带电粒子在匀强磁场中的运动。
29.有两个运强磁场区域I和II，I中的磁感应强度是II中的k 倍，两个速率相同的电子分别在
两磁场区域做圆周运动。与I中运动的电子相比，II中的电子
A.运动轨迹的半径是I中的k 倍
B.加速度的大小是I中的k 倍
C.做圆周运动的周期是I中的k 倍
D.做圆周运动的角速度是I中的k 倍
【答案】AC
【解析】电子在磁场中做匀速圆周运动时，向心力由洛伦兹力提供：
r
mv
qvB
2
，解得：
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v= c
n ，因为I 中的磁感应强度是II 中的k 倍，所以，II 中的电子运动轨迹的半径是I 中
的k 倍，故A 正确；加速度
，加速度大小是I 中的1/k 倍，故B 错误；由周期公
式：
，得II 中的电子做圆周运动的周期是I 中的k 倍，故C 正确；角速度
，II 中的电子做圆周运动的角速度是I 中的1/k 倍，D 错误。
【考点定位】带电粒子在磁场中的运动；圆周运动
30.如图所示，S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN 垂直于纸面，在
纸面内的长度L=9.1cm，中点O 与S 间的距离d＝4.55cm，MN 与SO 直线的夹角为θ，板
所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－
4T，电子质量m＝9.1×10－31kg，电荷量e＝－1.6×10－19C，不计电子重力。电子源发射速度
v＝1.6×106m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则
A.θ＝90°时，l＝9.1cm B.θ＝60°时，l＝9.1cm
C.θ＝45°时，l＝4.55cm D.θ＝30°时，l＝4.55cm
【答案】AD
【解析】电子在磁场中受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，根据洛伦兹力大小计算公式和向
心力公式有：evB＝
r
v
m
2
，解得电子圆周运动的轨道半径为：r＝
mgR=
1
2
mv
B
2
−0
＝ρ=1.5Ω⋅m m
＝4.55×10－2m＝4.55cm，恰好有：r＝d＝L/2，由于电子源S，可向纸面内任意方向发射电
子，因此电子的运动轨迹将是过S 点的一系列半径为r 的等大圆，能够打到板MN 上的区
域范围如下图所示，实线SN 表示电子刚好经过板N 端时的轨迹，实线SA 表示电子轨迹刚
好与板相切于A 点时的轨迹，因此电子打在板上可能位置的区域的长度为：l＝NA，
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又由题设选项可知，MN 与SO 直线的夹角θ 不定，但要使电子轨迹与MN 板相切，根据图
中几何关系可知，此时电子的轨迹圆心C 一定落在与MN 距离为r 的平行线上，如下图所
示，当l＝4.55cm 时，即A 点与板O 点重合，作出电子轨迹如下图中实线S1A1，由图中几
何关系可知，此时S1O 与MN 的夹角θ＝30°，故选项C 错误；选项D 正确；当l＝9.1cm 时，
即A 点与板M 端重合，作出电子轨迹如下图中实线S2A2，由图中几何关系可知，此时S2O
与MN 的夹角θ＝90°，故选项A 正确；选项B 错误。
【考点定位】带电粒子在有界磁场中的运动。
(
(
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