文档文本内容
襄阳四中 2024 级高二上学期 12 月月考
数 学 试 题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设 ， ，若 ，则k=（ ）
A. 4 B. C. 17 D.
2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
.
A B.
C. D.
3. 经过点 作直线l，若直线l与连接 ， 两点 的线段总有公共点，设l的倾斜角为
，l的斜率为 k，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知圆 ： 关于直线 对称，圆 ：
，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
5. 、 分别为 与 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. 3 D. 6
第1页/共6页
学科网（北京）股份有限公司6. 已知动点 满足 ，则点 的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7. 设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ，若曲线 上存在点 满足 ，则曲线
的离心率等于
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8. 如图，过抛物线 的焦点 的直线 （斜率为正）交抛物线于点 两点（其中点
在第一象限），交其准线于点 ，若 ，则 到抛物线的准线的距离为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列命题错误的是（ ）
.
A 若事件 与事件 互斥，则
B. 若事件 与事件 相互独立，则事件 与事件 相互独立．
C. 事件 与事件 同时发生的概率一定比 与 中恰有一个发生的概率小．
D. 抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大．
10. 四棱锥 的底面为正方形， 平面 ， ， ，动点 在线段 上，
则（ ）
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司A. 四棱锥 的外接球表面积为
B. 的最小值为
C. 不存在点 ，使得
D. 点 到直线 的距离的最小值为
11. 已知椭圆 ， 是其左右焦点， 是椭圆 上任意一点，则下列说法正
确的是（ ）
的
A. 最大值是4
B. 的最大值是4
C. 取最小值时，点 的坐标为
D. 若 也在抛物线 上，则 到点 的最小距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 椭圆 的焦距为__________．
13. 教材 页第 题：在空间直角坐标系中，已知向量 ，点 ，点
第3页/共6页
学科网（北京）股份有限公司若直线 经过点 ，且以 为方向向量， 是直线 上的任意一点，求证：
； 若平面 经过点 ，且以 为法向量， 是平面 内的任意一点，求证：
利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面 的方程为
，直线 是平面 与 的交线，则直线 与平面 所成角的正弦
值为__________．
14. 已知 ，则 的最大值是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）若一条光线从点 射出，与 轴相交于点 ，经 轴反射，求入射光线和反射光线
所在直线的方程；
（2）若直线 经过点 ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线 的方程．
16. 如图，一个正八面体八个面分别标以数字 到 ，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面
上的数字，得到样本空间为 记事件 “得到的点数为偶数”，记事件 “得到的点数不大于 ”，记事
件 “得到的点数为质数”．
（1）请写出具体的样本空间；
（2）请证明： ；
（3）连续抛掷 次这个正八面体，记事件 为第 次抛掷这个正八面体事件 发生，求连续
第4页/共6页
学科网（北京）股份有限公司抛掷 次这个正八面体事件 只发生 次的概率．
17. 已知双曲线 的左顶点为 ，离心率为 ， 是 上的两点．
（1）求 的标准方程；
（2）若 （ 不在直线 上)，证明：直线 过定点．
18. 如图，已知平行六面体 的底面 是菱形，且 且为
锐角．
（1）求证： ；
（2）当 的值为多少时，能使 平面 ？请给出证明；
（3）若 在底面 的正投影为菱形 的对角线交点，且 ，
求平面 与平面 的夹角的余弦值．
19. 公元前 180 年，古希腊数学家狄俄克利斯（ Diocles）独立发明了蔓叶线，其方程为
,如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，
平面内给定圆 和直线 ,从坐标轴原点O引射线分别交圆C和直线 于点A、B,
在射线 上取一点M满足 .
第5页/共6页
学科网（北京）股份有限公司（1）求蔓叶线 的横坐标的取值范围；
（2）求证：点M在蔓叶线 上；
（3）已知：直线 与蔓叶线 交于三点 ,记直线 的斜率为 ,直
线 与圆C交于点 ,若 ,求 的值.
参 考 公 式 ： 若 是 一 元 三 次 方 程 的 三 个 根 ， 则 ,
, .
第6页/共6页
学科网（北京）股份有限公司
