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微专题十 微元法
目录
01 考情透视·目标导航................................................................................................................................................2
......................................................................................................................................................................................3
......................................................................................................................................................................................4
........................................................................................................................................................................................4
一、 微元法..................................................................................................................................................................4
二、微元法的解题步骤................................................................................................................................................4
........................................................................................................................................................................................4
........................................................................................................................................................................................7
考向一 静动力学中的微元法......................................................................................................................................7
考向二 变力做功中的微元法......................................................................................................................................8
考向三 柱状流体和离子模型中的微元法................................................................................................................10
考向四 均匀带电体电荷微元法................................................................................................................................12
考向五 电磁感应中棒类模型的微元法....................................................................................................................14
考向六 带电粒子在磁场中的微元法........................................................................................................................17
1
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命题统计
命题要点
2024 年
2023 年
2022 年
热
考
角
度
微元法
2024 湖南卷 T8
2024 全国甲卷T12
2024 海南卷T13
2023 全国甲卷T12
2023 江西卷T15
2022 山东卷 T3
2022 福建卷 T8、15
2022 辽宁卷 T15
命题规律
从近三年高考试题来看，试题以计算题为主，大多在电磁感应中考查单双
棒问题，在其中应用动量定理处理安培力冲量时多用到微元法。
考向预测
预计在2025 年高考中，还会多以考查电磁感应现象中的单双棒问题，从中
用微元法，解决安培力的冲量问题，这种类型的题目应多关注。
命题情景
多以典型的电磁感应中单双棒为命题背景
常用方法
微元法
带电粒子在磁场中的微元法
电磁感应中棒类模型的微元法
柱状流体和离子模型中的微元法
均匀带电体电荷微元法
变力做功中的微元法
静动力学中的微元法
微元法
2
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一、
微元法
微元法是一种处理物理问题的方法，它从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问
3
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题的目的。微元法的核心思想是“化整为零”，即先分析“微元”，再通过“微元”分析整体。这种方法
通过将问题分解为众多微小的“元过程”，每个“元过程”所遵循的规律是相同的，然后对“元过程”进
行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
二、
微元法的解题步骤
1.明确研究对象或研究过程，并对其进行合理的分割，选择适当的微元。微元的选取应尽量简单，便于分
析处理，可以是长度、时间、质量等基本物理量。
2.对微元进行分析，找出其满足的物理规律。可以使用基本的物理公式或定理，也可以根据具体情况建立
新的物理模型。
3.对微元进行数学处理，包括代数运算、微积分等。这一步是微元法的核心，需要熟练掌握数学工具。
4.将微元的结果进行累加或累乘，得到整体的结果。这一步需要注意物理量的方向、正负号等问题。
对整体结果进行讨论和解释，明确其物理意义和适用范围。需要注意的是，微元法虽然是一种有效的解题
方法，但并不是万能的。在应用微元法时，应充分考虑其适用范围和局限性，避免出现错误或遗漏。
1．（2022·山东·高考真题）半径为R 的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O 点，环上均匀分布着电量
为Q 的正电荷。点A、B、C 将圆环三等分，取走A、B 处两段弧长均为
的小圆弧上的电荷。将一点电
荷q 置于
延长线上距O 点为
的D 点，O 点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q 为（
）
A．正电荷，
B．正电荷，
C．负电荷，
D．负电荷，
【答案】C
【详解】取走A、B 处两段弧长均为
的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O 点产生的电场强度
为与A 在同一直径上的A1和与B 在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非
4
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常小，故可看成点电荷，则有
由图可知，两场强的夹角为
，则两者的合场强为
根据O 点的合场强为0，则放在D 点的点电荷带负电，大小为
根据
联立解得
故选C。
【技巧点拨】
（1）明确点电荷场强的计算公式；
（2）利用微元法结合场强矢量叠加原则，求解电荷量。
2．（多选）（2024·湖南·高考真题）某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面
内，导轨左端与一阻值为R 的定值电阻相连，导轨
段与
段粗糙，其余部分光滑，
右侧处于竖直
向下的匀强磁场中，一质量为m 的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度
沿导轨向右经过
进入
磁场，最终恰好停在
处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为
，
。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
5
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A．金属杆经过
的速度为
B．在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为
C．金属杆经过
与
区域，金属杆所受安培力的冲量相同
D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2 倍
【答案】CD
【详解】A．设平行金属导轨间距为L，金属杆在AA1B1B 区域向右运动的过程中切割磁感线有E = BLv，
金属杆在AA1B1B 区域运动的过程中根据动量定理有
则
由于
，则上面方程左右两边累计求和，可得
则
设金属杆在BB1C1C
区域运动的时间为t0，同理可得，则金属杆在BB1C1C 区域运动的过程中有
解得
综上有
则金属杆经过BB1的速度大于
，故A 错误；
B．在整个过程中，根据能量守恒有
则在整个过程中，定值电阻R 产生的热量为
6
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故B 错误；
C．金属杆经过AA1B1B 与BB1C1C 区域，金属杆所受安培力的冲量为
则金
属杆经过AA1B1B 与BB1C1C 区域滑行距离均为
，金属杆所受安培力的冲量相同，故C 正确；
D．根据A 选项可得，金属杆以初速度
在磁场中运动有
金属杆的初速度加倍，
设此时金属杆在BB1C1C 区域运动的时间为
，全过程对金属棒分析得
联立整理
得
分析可知当金属杆速度加倍后，金属杆通过BB1C1C 区域的速度比第一次大，
故
，可得
可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2 倍，故D
正确。故选CD。
【技巧点拨】
（1）根据动能定理，求解产生的热量多少；
（2）利用微元法和动量定理求解速度、冲量和距离。
考向一 静动力学中的微元法
3．（多选）（2024 高三·全国·模拟预测）从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m 的球，若运动过
程中球受到的空气阻力与其速率成正比，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t1时刻到达最高点，再
落回地面，落地时速率为v1，且落地前球已经做匀速直线运动。已知重力加速度为g，则（ ）
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A．球上升的时间等于下落的时间
B．球上升阶段阻力的冲量大于下落阶段阻力的冲量
C．球上升的最大高度
D．球抛出瞬间的加速度大小
【答案】C
【详解】A．由于上升过程与下落过程的位移大小相等，又有速度时间图像与时间轴所围面积表示位移
−
可知，上升过程中的平均速度大于下落过程中的平均速度，则小球在运动的全过程，上升的时间小于下落
的时间，故A 错误；
B．由题意可得，阻力与速率的关系为
故阻力的冲量大小为
其中
表示位移，因为
上升过程和下落过程位移相同，则上升和下降过程冲量大小相等，故B 错误；
C．设上升时加速度大小为a，由牛顿第二定律得
解得
取极短
时间，速度变化
有
，
上升全程，则有
则
空
气阻力与其速率成正比，最终以v1匀速下降，由平衡条件则有
联立解得
故C 正确；
D．小球抛出瞬间，由牛顿第二定律则有
其中
解得球抛出瞬间的加速度大小为
故D 错误。故选C。
4．（多选）（2024·全国·模拟预测）随着我国体育在国际体育产业地位的不断提高，2023 年多场大型高尔
夫球赛事落地中国。高尔夫球比赛过程中教练员可根据风力指示杆上飘带的形态提示运动员现场风力的情
况。若飘带可视为粗细一致，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。设飘带的总长度为
L，质量为m，宽度为d，风速为v，空气密度为
，可认为风与飘带相互作用后速度变为0。如图所示现
截取极小的一段
研究，设其与竖直方向的夹角为
，则下列说法正确的是（ ）
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A．风对该段飘带的水平作用力为
B．风对该段飘带的水平作用力为
C．整条飘带应呈一条向上弯曲的曲线形态
D．整条飘带应呈一条倾斜直线形态
【答案】BD
【详解】AB．长度为
的飘带质量为
风吹到长度为
的飘带上的有效面积
则在极
短时间
内撞击到有效面积的风的质量
根据动量定理
联立解得
根
据牛顿第三定律
故A 错误，B 正确；
CD．根据三力平衡的条件和几何关系可知
整理得
可见微元飘带与
竖直方向的夹角仅取决于空气密度、风速及飘带整体的相关性质，与所取得微元飘带本身并无关系，也就
是说，飘带的各部分与竖直方向的夹角都是相同的，因此飘带应呈一条倾斜的直线的形态，故C 错误，D
正确。故选BD。
考向二 变力做功中的微元法
5．（2022·贵州黔南·模拟预测）在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨
杆的平均拉力为
，半径为
，转动一周为
，则（ ）
A．驴转动一周拉力所做的功为0
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B．驴转动一周拉力所做的功为
C．驴转动一周拉力的平均功率为
D．磨盘边缘的线速度为
【答案】C
【详解】AB．驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过
程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作
用点沿圆周运动弧长的乘积，则磨转动一周，弧长
所以拉力所做的功
故AB 错误；
C．根据功率的定义得
故C 正确；
D．线速度为
故D 错误。
故选C。
6．（多选）（2023·山东青岛·模拟预测）冬天的北方，人们常用狗来拉雪橇。一条狗用水平拉力拉着质量
为80kg 的雪橇（包括内部物品），在水平雪面做半径为24m 的匀速圆周运动，速度大小为3m/s，雪橇与
地面间的动摩擦因数0.05，重力加速度取10m/s2，
。下列说法正确的是（ ）
A．雪橇受到狗的水平拉力大小为40N
B．狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向成37°
C．狗给雪橇的水平拉力功率为150W
D．狗拉着雪橇转过30°圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功160πJ
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【答案】BD
【详解】A．狗拉雪橇的水平拉力有两个作用效果，一个作用效果平衡雪橇做圆周运动时切向受到的摩擦
力，另一个作用效果使雪橇做圆周运动，根据雪橇做圆周运动，由牛顿第二定律有
在雪橇前进的方向上始终有
则可得雪橇受到狗的水平拉力大小
为
B．狗给雪橇的水平拉力方向与雪橇前进方向之间夹角的正切值为
可得夹角
故B 正确；
C．狗给雪橇的水平拉力功率为
故C 错误；
D．狗拉着雪橇转过30°圆弧的过程中，雪橇克服地面摩擦力做功
故D 正确。故
选BD。
考向三 柱状流体和离子模型中的微元法
7．（2024·安徽合肥·二模）我国是世界上第三个突破嵌套式霍尔电推进技术的国家。霍尔推进器的工作原
理简化如下图所示，放电通道的两极间存在一加速电场。工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，
经电场加速后以某一速度喷出，从而产生推力。某次实验中，加速电压为U，氙离子向外喷射形成的电流
强度为I．氙离子的电荷量与质量分别为q 和m，忽略离子的初速度及离子间的相互作用，则离子推进器产
生的推力为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】氙离子经电场加速，根据动能定理有
解得
设单位体积内离子数目为
，
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加速喷出时截面积为S，在
时间内，有质量为
的氙离子以速度喷射而出
形成电流为
：
由动量定理可得
联立可得
离子推进器产生的推力为
。故选D。
8．（多选）（2024·福建·三模）如图所示，消防员正在进行消防灭火演练，消防员用高压水枪喷出的强力
水柱冲击着火物，设水柱直径为D，以水平速度v 垂直射向着火物，水柱冲击着火物后速度变为零。高压
水枪的质量为M，消防员手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度忽略不计，水的密度为
，下列说法正
确的是（ ）
A．水枪的流量为
B．水枪的功率为
C．水柱对着火物的冲击力为
D．向前水平喷水时，消防员对水枪的作用力方向向前且斜向上方
【答案】BD
【详解】A．设
时间内，从水枪喷出的水的体积为
，质量为
，则
，
流量
，A 错误；
B．
时间内水枪喷出的水的动能为
知高压水枪在此期间对水做功为
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高压水枪的功率为
，B 正确；
C．考虑一个极短时间
，在此时间内喷到着火物上水的质量为m，设着火物对水柱的作用力为F，由动
量定理得
时间内冲到着火物上水的质量为
解得
由牛顿第三定律
可知，水柱对着火物的平均冲力为
，C 错误；
D．当高压水枪水平向前喷出高压水流时，水流对高压水枪的作用力水平向后，由于高压水枪有重力，根
据平衡条件，手对高压水枪的作用力方向斜向前上方，D 正确。故选BD。
考向四 均匀带电体电荷微元法
9．（2023·河北·模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，
内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为
，半径为r 的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建
立
轴，其中A 点为壳内一点，B 点坐标为
，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．将
的试探电荷由壳内A 点移到O 点，试探电荷的电势能减小
B．在圆心O 处放一个电量为
的点电荷，球壳外表面带电量仍为
C．在
处取走极小的一块面积
，O 点场强大小为
D．在圆心O 正上方处取走极小一块面积
，B 点场强大小为
【答案】C
【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A 错误；
B．在圆心O 处放一个电量为
的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出
的电荷，则球壳外表
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面的电荷量为
，B 错误；
C．在
处取走极小一块面积
，根据对称性，在
处极小一块面积的电荷产生的电场
，
C 正确；
D．整个球壳在B 点的电场
水平向右，在圆心O 正上方处取走极小一块面积
在B 点的场强为
方向斜向右下，
与
矢量作差即为B 点电场强度，D 错误。故选C。
10．（24-25 高三上·河北·开学考试）如图，一均匀带正电荷的圆环，其半径为R，圆心为O，AB 和CD 为
圆环的直径，AB 与CD 垂直，P 点为圆弧AC 的二等分点，四分之一圆环AC 部分的全部正电荷在圆心O
处产生的电场强度大小为
，关于圆环各部分电荷在圆心O 处产生的电场强度，说法正确的是（ ）
A．整个圆环全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为
B．四分之三圆环ACBD 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为
C．半圆环ACB 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为
D．八分之一圆环AP 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为
【答案】D
【详解】AB．圆环上取一微元电荷q，可视为点电荷，根据真空中点电荷电场强度计算公式，微元电荷q
在圆心O 处产生的电场强度大小
圆环上电荷到圆心O 的距离相同，都为R，则每个微元电荷q 在
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圆心O 处产生的电场强度大小都相等，方向从微元电荷指向圆心O，根据对称性和叠加原理可知整个圆环
全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为0；同理，根据对称性和叠加原理可知圆环AC 和BD 部分全
部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为0，则四分之三圆环ACBD 部分的全部正电荷在圆心O 处产生
的电场强度大小相当于四分之一圆环BC 部分在圆心O 处产生的电场强度，四分之一圆环BC 部分在圆心O
处产生的电场强度大小与四分之一圆环AC 部分在圆心O 处产生的电场强度大小相等，即为
，故AB 错
误；
C．根据对称性可知四分之一圆环AC 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为
，方向沿PO
方向，圆环BC 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小也为
，方向垂直于PO 方向，根据叠
加原理和平行四边形定则可知半圆环ACB 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为
，
故C 错误；
D．设八分之一圆环AP 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小为
，根据对称性可知八分之
一圆环CP 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强度大小也为
，根据对称性和叠加原理可知两电场
强度方向夹角为45°，两电场强度矢量和即为四分之一圆环AC 部分的全部正电荷在圆心O 处产生的电场强
度，所以有
解得
故D 正确。故选D。
考向五 电磁感应中棒类模型的微元法
11．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，金属导轨平行且水平放置，导轨间距为L，导轨光滑无摩擦。定值
电阻大小为R，其余电阻忽略不计，电容大小为C。在运动过程中，金属棒始终与导轨保持垂直。整个装
置处于竖直方向且磁感应强度为B 的匀强磁场中。
(1)开关S 闭合时，对金属棒施加以水平向右的恒力，金属棒能达到的最大速度为v0。当外力功率为定值电
阻功率的两倍时，求金属棒速度v 的大小。
(2)当金属棒速度为v 时，断开开关S，改变水平外力并使金属棒匀速运动。当外力功率为定值电阻功率的
两倍时，求电容器两端的电压以及从开关断开到此刻外力所做的功。
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【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）开关S 闭合后，当外力与安培力相等时，金属棒的速度最大，则
由闭合电路欧姆定律
金属棒切割磁感线产生的感应电动势为
联立可得，恒定的外力为
在加速阶段，外力的功率为
定值电阻的功率为
若
时，即
化简可得金属棒速度v 的大小为
（2）断开开关S，电容器充电，则电容器与定值电阻串联，则有
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当金属棒匀速运动时，电容器不断充电，电荷量q 不断增大，电路中电流不断减小，则金属棒所受安培力
不断减小，而拉力的功率
定值电阻功率
当
时有
可得
根据
可得此时电容器两端电压为
从开关断开到此刻外力所做的功为
其中
联立可得
12．（2025·全国·模拟预测）如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面上平放一闭合正方形导线框
，其阻值
，边长
，边界平行的有界磁场的宽度为L，磁感应强度大小
、方向竖直向下。
线框以大小为
的初速度水平向右沿与磁场边界垂直的方向运动，当
边与磁场左边界间的距
离为L 时线框受到一水平向右的恒定拉力F 作用，
边运动到磁场左边界时立即撤去力F，线框加速度随
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位移的变化关系如图乙所示。求：
(1)线框进入磁场的过程通过线框某一横截面的电荷量；
(2)
时线框的速度大小；
(3)力F 的大小。
【答案】(1)0.4C(2)0.4m/s(3)0.04N
【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律有
根据欧姆定律可得
又因为
联立解得
（2）
图像中图线与
轴围成的面积可表示为
，0.4∼1.2m 位移内，结合图乙可得
，
解得
（3）线框刚进入磁场时产生的感应电动势
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根据闭合电路欧姆定律有
由牛顿第二定律可得
由图乙可知，线框刚进入磁场时的加速度大小
解得
0∼0.4m 位移内，根据牛顿第二定律有
0∼0.4m 位移内，线框做匀加速直线运动，则有
联立解得
考向六 带电粒子在磁场中的微元法
13．（2025·云南昆明·一模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 的第三象限内，区域Ⅰ（
）内有方
向垂直xOy 平面向外的匀强磁场；区域Ⅱ（
）内有一平行纸面且大小、方向均未知的匀强电场
（图中未画出）。一质量为m、电荷量为q（
）的粒子从点a（
，
）沿y 轴正方向、以大小为
的初速度开始运动，从点b（
，
）沿x 轴正方向进入区域Ⅱ，粒子在电场中运动时间
后，从坐
标原点进入第一象限，第一象限内存在垂直xOy 平面向里的磁场，该磁场内各点的磁感应强度大小
与横
坐标x 满足
（k 为大于0 的常量）。不计粒子重力，求：
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(1)区域Ⅰ内匀强磁场磁感应强度
的大小；
(2)区域Ⅱ内匀强电场场强E 的大小；
(3)该粒子在第一象限内运动过程中与y 轴的最大距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示
由几何关系得粒子在区域Ⅰ中运动的轨迹半径为
由牛顿第二定律得
解得
（2）设匀强电场的水平分量为
，竖直分量为
，由牛顿第二定律得
，
粒子沿x 轴、
y 轴的分运动均为匀变速直线运动，沿x 轴方向有
沿y 轴方向有
解得
20
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，
区域Ⅱ内匀强电场场强E 的大小为
（3）粒子经过坐标原点O 瞬间，沿x 轴方向的分速度大小为
沿y 轴方向的分速度大小为
粒子经过O 点瞬间的速度大小为
粒子在第一象限内运动过程中，当粒子与y 轴距离最大时，粒子沿x 轴方向的分速度为0，沿y 轴方向的分
速度大小为
在y 轴方向由动量定理得
，
解得
14．（2024·福建厦门·二模）如图所示，直角坐标系xOy 平面内，第一、二象限分别存在垂直纸面向里的
匀强磁场B 和沿y 轴正方向的匀强电场E，E、B 大小均未知。质量为m、电荷量为－q（q > 0）的粒子从
x 轴负半轴M 点与x 轴正方向成60°射入电场，经电场偏转后以速度v0从点P（0，d）垂直y 轴进入磁场，
最后从N 点与x 轴正方向成60°射出磁场，不计粒子重力。
（1）求粒子进入电场时的速度大小；
（2）求磁感应强度B 的大小；
（3）若粒子在磁场中受到与速度大小成正比的阻力f = kv（k 为已知常量），粒子恰好从Q 点（图中未标
出）垂直x 轴射出磁场，求Q 点的坐标；
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（4）在第（3）问的情况下，求粒子从P 点运动到Q 点的轨迹长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）（
）；（4）
【详解】（1）粒子进入电场后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做类竖直上抛运动，则
有
解得
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示
根据几何关系可得粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为
解得
由洛伦兹力充当向心力有
解得
（3）对粒子受力分析可知，速度的
轴的分量会产生
轴的阻力与
轴负方向的洛伦兹力；速度
轴的分
量，会产生
轴的阻力与
轴负方向的洛伦兹力，其受力分析如图所示
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在x 轴上，由动量定理有
由微元法累加后可得
其中
解得
则Q 点的坐标为（
）。
（4）同理在
轴上有
微元法叠加后可得
解得
，方向沿轨迹切线方向
阻力使得粒子速度减小，在切线方向有
由于沿着轨迹切线方向列动量定理，可得速度的变化量
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微元叠加后可得
解得轨迹的长度为
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