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10 电路及其应用
[-考点-06-] 闭合电路的功率及效率问题
1．电源的总功率
(1)任意电路：P 总＝IE＝IU 外＋IU 内＝P 出＋P 内．
(2)纯电阻电路：P 总＝I2(R＋r)＝.
2．电源内部消耗的功率
P 内＝I2r＝IU 内＝P 总－P 出．
3．电源的输出功率
(1)任意电路：P 出＝IU＝IE－I2r＝P 总－P 内．
(2)纯电阻电路：P 出＝I2R＝.
4．电源的效率
(1)任意电路：η＝×100%＝×100%.
(2)纯电阻电路：η＝×100%.
1．纯电阻电路中电源的最大输出功率(如图)
P 出＝UI＝I2R＝R＝＝
当R＝r 时，电源的输出功率最大，为Pm＝.
2．提高纯电阻电路效率的方法
η＝×100%＝×100%＝×100%，R 越大，η 越高．
3．等效电源
把含有电源、电阻的部分电路等效为新的“电源”，其“电动势”、“内阻”如下：
(1)两点间断路时的电压等效为电动势E′.
(2)两点短路时的电流为等效短路电流I 短′，等效内电阻r′＝.
常见电路等效电源如下：
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典例1 (P-I 图像)(多选)如图所示，曲线C1、C2分别是纯电阻电路中，内、外电路消耗的
电功率随电流变化的图线.由该图可知下列说法中正确的是( )
A.两条图线的交点表示内、外电路消耗的总功率为4 W
B.电源的内电阻为1 Ω
C.电源输出功率最大值为4 W
D.电源的效率最大可达50%
答案 BC
解析 根据题图可知，曲线C1、C2交点的位置处电路的内、外功率相等，由于内、外电路
的电流是相等的，所以此时电源的内阻和外电路总电阻大小是相等的，内、外电路消耗的
功率相等，总功率为8 W，即此时电源的输出功率是最大的，由题图可知电源输出功率最
大值为4 W，故A 错误，C 正确；根据P＝I2R＝I2r 可知，当输出功率最大时，P＝4 W，I
＝2 A，有R＝r＝1 Ω，故B 正确；电源的效率η＝×100%＝×100%＝×100%＝×100%＝
×100%，R 越大，电源的效率越大，只当r＝R 时，电源的效率才是50%，但不是效率的最
大值，故D 错误.
典例2 (P-R 图像) 将一电源与一电阻箱连接成闭合电路，测得电阻箱所消耗功率P 与电
阻箱读数R 变化的曲线如图所示，由此可知( )
A．电源最大输出功率可能大于45 W
B．电源内阻等于5 Ω
C．电源电动势为45 V
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D．电阻箱所消耗功率P 最大时，电源效率大于50%
答案 B
解析 由题可知将一电源与一电阻箱连接成闭合电路，电阻箱所消耗功率P 等于电源输出
功率，由题图可知，电阻箱所消耗功率P 最大为45 W，所以电源最大输出功率为45 W，
选项A 错误；由电源输出功率最大的条件可知，电源输出功率最大时，外电路电阻等于电
源内阻，所以电源内阻r＝5 Ω，选项B 正确；电阻箱所消耗功率P 最大值为45 W 时，电
阻箱读数为R＝5 Ω，则电流I＝＝3 A，电源电动势E＝I(R＋r)＝30 V，选项C 错误；电阻
箱所消耗功率P 最大时，电源效率为50%，选项D 错误．
典例3 (等效电源) 如图所示，已知电源电动势E＝6 V，内阻r＝1 Ω，保护电阻R0＝0.5
Ω.
(1)当电阻箱R 读数为多少时，保护电阻R0消耗的电功率最大，并求这个最大值；
(2)当电阻箱R 读数为多少时，电阻箱R 消耗的功率PR最大，并求这个最大值；
(3)求电源的最大输出功率．
答案 (1)0 8 W (2)1.5 Ω 6 W (3)9 W
解析 (1)保护电阻消耗的电功率为P0＝，因R0和r 是常量，而R 是变量，故R 最小时，P0
最大，即R＝0 时，P0max＝＝ W＝8 W.
(2)把保护电阻R0看作电源内阻的一部分，当R＝R0＋r，即R＝0.5 Ω＋1 Ω＝1.5 Ω 时，电阻
箱R 消耗的功率最大，PRmax＝＝ W＝6 W.
(3)由P 出＝()2R 外＝可知，当R 外＝r 时，P 出最大，即R＝r－R0＝0.5 Ω 时，P 出max＝＝ W＝
9 W.
1.(2023·长沙·期中)如图所示，直线OAC 为某一直流电源的总功率随电流I 变化的图线，曲
线OBC 表示同一直流电源内部的热功率随电流I 变化的图线．若A、B 点的横坐标均为1
A，那么AB 线段表示的功率为( )
A．1 W
B．6 W
C．2 W
D．2.5 W
答案 C
解析 电源的总功率P＝EI，C 点表示I＝3 A，P＝9 W，则电源的电动势E＝3 V，由题图
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知，C 点表示外电路短路，电源内部热功率等于电源的总功率，则有P＝I2r，代入解得，r
＝1 Ω，所以AB 段表示的功率为PAB＝EI′－I′2r＝3×1 W－12×1 W＝2 W，故C 正确，
A、B、D 错误．
2.(多选)如图所示，R1为定值电阻，R2为可变电阻，E 为电源电动势，r 为电源内电阻，以
下说法中正确的是( )
A．当R2＝R1＋r 时，R2获得最大功率
B．当R1＝R2＋r 时，R1获得最大功率
C．当R2＝0 时，R1获得最大功率
D．当R2＝0 时，电源的输出功率最大
答案 AC
解析 在讨论R2的电功率时，可将R1视为电源内阻的一部分，即将原电路等效为外电阻R2
与电动势为E、内阻为R1＋r 的电源(等效电源)连成的闭合电路(如图所示)，
R2的电功率是等效电源的输出功率．显然当R2＝R1＋r 时，R2获得的电功率最大，A 项正确；
讨论R1的电功率时，由于R1为定值，根据P＝I2R 知，电路中电流越大，R1上的电功率就
越大(P1＝I2R1)，所以，当R2＝0 时，R1获得的电功率最大，故B 项错误，C 项正确；讨论
电源的输出功率时，R1＋R2为外电阻，内电阻r 恒定，由于题目没有给出R1和r 的具体数
值，所以当R2＝0 时，电源输出功率不一定最大，故D 项错误．
3.(多选)如图所示，一直流电动机与阻值R＝9 Ω 的电阻串联在电源上，电源的电动势E＝
30 V，内阻r＝1 Ω，闭合开关，用理想电压表测出电动机两端电压U＝10 V，已知电动机
线圈的电阻RM＝1 Ω，则下列说法中正确的是( )
A．通过电动机的电流为10 A
B．电动机的输入功率为20 W
C．电源的输出功率为4 W
D．电动机的输出功率为16 W
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答案 BD
解析 根据闭合电路欧姆定律得回路中电流I＝＝ A＝2 A，故A 错误；电动机的输入功率
为P 入＝UI＝10×2 W＝20 W，故B 正确；电源的输出功率P 出＝EI－I2r＝(30×2－22×1)
W＝56 W，故C 错误；电动机的输出功率P 出′＝UI－I2RM＝(10×2－22×1) W＝16 W，故D
正确．
4.(2023·四川·一诊)假设港珠澳大桥的照明电路可简化为如图所示电路，其中太阳能电池供
电系统可等效为电动势为E、内阻为r 的电源，电阻R1、R2分别视为隧道灯和桥梁路灯，
已知r 小于R1和R2，则下列说法正确的是( )
A.夜间，电流表示数为
B.夜间，开关S 闭合，电路中电流表、电压表示数均变小
C.夜间，由于用电器的增多，则太阳能电池供电系统损失的电功率增大
D.若电流表示数为I，则太阳能电池供电系统输出电功率为EI
答案 C
解析 夜间，桥梁需要照明，开关S 闭合，电阻R1、R2并联，根据闭合电路欧姆定律，电
流表示数I＝，故A 错误；夜间，开关S 闭合，总电阻减小，干路电流增大，电路中电流表
示数变大，故B 错误；根据能量守恒定律可知，夜间，由于用电器的增多，电流变大，则
太阳能电池供电系统损失的电功率增大，故C 正确；当电流表示数为I，则太阳能电池供
电系统总功率为EI，输出功率为EI－I2r，故D 错误.
5.(多选)某同学将一直流电源的总功率PE、电源内部的发热功率Pr和输出功率PR随电流I
变化的图线画在了同一坐标系中，如图中的a、b、c 所示．以下判断正确的是( )
A．在a、b、c 三条图线上分别取横坐标相同的A、B、C 三点，这三点的纵坐标一定满足
关系PA＝PB＋PC
B．b、c 图线的交点与a、b 图线的交点的横坐标之比一定为1∶2，纵坐标之比一定为
1∶4
C．电源的最大输出功率Pm＝9 W
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D．电源的电动势E＝3 V，内电阻r＝1 Ω
答案 ABD
解析 在a、b、c 三条图线上分别取横坐标相同的A、B、C 三点，因为直流电源的总功率
PE等于输出功率PR和电源内部的发热功率Pr之和，所以这三点的纵坐标一定满足关系PA＝
PB＋PC，故A 正确；图线c 表示电路的输出功率与电流的关系图线，很显然，最大输出功
率小于3 W，故C 错误；当内电阻和外电阻相等时，即为b、c 图线的交点处电源输出的功
率最大，此时电流的大小为＝，输出功率的大小为，a、b 图线的交点表示电源的总功率PE
和电源内部的发热功率Pr相等，此时电源短路，所以此时电流的大小为，功率的大小为，
所以横坐标之比为1∶2，纵坐标之比为1∶4，故B 正确；当I＝3 A 时，PR＝0，说明外电
路短路，根据PE＝EI 知电源的电动势E＝3 V，内电阻r＝＝1 Ω，故D 正确．
6.如图所示的电路中，R1、R2、R3为阻值相同的电阻，C 为电容器，电源的电动势为E，内
阻为r.先将开关S 闭合，电路稳定后，流过电源的电流为I1，电源的效率为η1，电容器的带
电量为Q1；再将S 断开，电路稳定后，流过电源的电流为I2，电源的效率为η2.电容器的带
电量为Q2，则下列说法正确的是( )
A.I1<I2
B.η1>η2
C.Q1>Q2
D.S 断开后，通过电阻R3的电荷量为Q1＋Q2
答案 D
解析 开关S 闭合时，R1、R2串联后与R3并联，总电阻小于R1＋R2＋r，S 断开，电路稳定
后，R1、R2串联，总阻值等于R1＋R2＋r，根据闭合电路欧姆定律I＝知I1>I2，根据效率η＝
×100%知η1<η2，故A、B 错误；根据前面分析的电阻关系知，S 从闭合改为断开，路端电
压变大，且S 断开前后电容器两端电压均为路端电压的一半，又电容器带电量Q＝CU，所
以Q1<Q2，故C 错误；开关S 闭合时，电容器下极板带正电，S 断开电路稳定后，下极板带
负电，故S 断开后，通过电阻R3的电荷量为Q1＋Q2，故D 正确.
7.如图所示，电路中E＝3 V，r＝0.5 Ω，R0＝1.5 Ω，滑动变阻器的最大阻值为10 Ω.
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(1)滑动变阻器接入电路的阻值R 为多大时，定值电阻R0上消耗的功率最大？最大为多大？
(2)滑动变阻器接入电路的阻值R 为多大时，滑动变阻器上消耗的功率最大？最大为多大？
答案 (1)0 W (2)2 Ω W
解析 (1)定值电阻R0上消耗的功率：P＝I2R0，
R0不变，当电流最大时功率最大，此时应有电路中电阻最小，即当R＝0 时，R0上消耗的功
率最大：
P0m＝R0＝×1.5 W＝ W.
(2)将电阻R0和电源等效成新的电源，滑动变阻器上消耗的功率就是等效电源的输出功率．
当R＝r＋R0＝2 Ω 时，滑动变阻器上消耗的功率最大，为：
Pm＝＝ W＝ W.
8.如图所示，E＝8 V，r＝2 Ω，R1＝8 Ω，R2为变阻器接入电路中的有效阻值，问：
(1)要使变阻器获得的电功率最大，则R2的取值应是多大？这时R2的功率是多大？
(2)要使R1得到的电功率最大，则R2的取值应是多大？R1的最大功率是多少？这时电源的
效率是多大？
(3)调节R2的阻值，能否使电源以最大的功率输出？为什么？
答案 (1)10 Ω 1.6 W (2)0 5.12 W 80%
(3)不能 理由见解析
解析 (1)将R1和电源等效为一新电源，则新电源的电动势E′＝E＝8 V，内阻r′＝r＋R1
＝10 Ω，且为定值．利用电源的输出功率随外电阻变化的结论知，当R2＝r′＝10 Ω 时，
R2有最大功率，即P2max＝＝ W＝1.6 W.
(2)因R1是定值电阻，所以流过R1的电流越大，R1的功率就越大．当R2＝0 时，电路中有最
大电流，即Imax＝＝0.8 A，R1的最大功率P1max＝IR1＝5.12 W
这时电源的效率η＝×100%＝80%.
(3)不能．因为即使R2＝0，外电阻R1也大于r，不可能有的最大输出功率．
9.(2023·湖北·期末)如图所示的电路中，直流发电机的电动势E＝250 V，内阻r＝0.5 Ω，R1
＝R2＝1 Ω.电热器组中装有50 只完全相同的电热器，每只电热器的额定电压为200 V，额
定功率为1 000 W，其他电阻不计，也不计电热器电阻随温度的变化．问：
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(1)当接通几只电热器时，实际使用的电热器都能正常工作？
(2)当接通几只电热器时，被接通电热器的总消耗功率最大？
(3)当被接通电热器的总功率最大时，电阻R1、R2和内阻r 上消耗的功率分别为多少？
答案 (1)4 (2)16 (3)R1、R2上消耗的功率均为2 500 W 内阻r 上消耗的功率为1 250 W
解析 (1)设当接通n 只电热器时，实际使用的电热器都能正常工作，
有I(r＋R1＋R2)＝E－U
I＝n
解得n≈4
(2)设当接通n′只电热器时，被接通电热器的总消耗功率最大，被接通电热器并联后的总
电阻与r＋R1＋R2相等，所以有
r＋R1＋R2＝
解得n′＝16
(3)当被接通电热器的总消耗功率最大时，电阻R1上消耗的功率为P1＝I′2R1＝R1＝2 500 W
R2＝R1，R2上消耗的功率也为2 500 W
内阻r 上消耗的功率为Pr＝I′2r＝r＝1 250 W
10.如图所示电路中，电源的电动势E＝4 V，内电阻r＝1 Ω，电阻R1可调．现将R1调到3
Ω 后固定．已知R2＝6 Ω，R3＝3 Ω，问：
(1)开关S 断开和接通时，通过R1的电流分别为多大？
(2)为了使A、B 之间电路的电功率在开关S 接通时能达到最大值，应将R1的阻值调到多大？
这时A、B 间消耗的最大电功率是多少？
答案 (1)0.4 A 0.667 A (2)0 3.556 W
解析 (1)开关S 断开时，
I1＝＝ A＝0.4 A
开关S 接通时，R2、R3并联的总电阻R23＝＝2 Ω
I1′＝＝ A≈0.667 A．
(2)开关S 接通时，A、B 之间的总电阻R23＝2 Ω 为定值，所以，只有当R1′＝0 时，总电流
最大，A、B 之间电路的电功率才最大．
I＝＝ A＝ A
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PAB＝I2R23＝( )2×2 W≈3.556 W．
11.(2023·湖南·月考)如图甲所示的电路，其中电源电动势E＝6 V，内阻r＝2 Ω，定值电阻
R＝4 Ω，已知滑动变阻器消耗的功率P 与其接入电路的阻值RP的关系如图乙所示．则下列
说法中正确的是( )
A．图乙中滑动变阻器的最大功率P2＝2 W
B．图乙中R1＝6 Ω，R2＝12 Ω
C．滑动变阻器消耗功率P 最大时，定值电阻R 消耗的功率也最大
D．调整滑动变阻器RP的阻值，可以使电源的输出电流达到2 A
答案 B
解析 由闭合电路欧姆定律的推论可知，当电路外电阻等于内阻r 时，输出功率最大，最
大值为Pm＝，把定值电阻看成电源内阻的一部分，由题图乙可知，当RP＝R1＝R＋r＝6 Ω
时，滑动变阻器消耗的功率最大，最大功率为P2＝＝1.5 W，A 错误；滑动变阻器的阻值为
3 Ω 时与阻值为R2时消耗的功率相等，有()2×3 Ω＝()2R2，解得R2＝12 Ω，B 正确；当回路
中电流最大时，即RP＝0 时定值电阻R 消耗的功率最大，C 错误；当滑动变阻器RP的阻值
为0 时，电路中电流最大，最大值为Im＝＝ A＝1 A，则调整滑动变阻器RP的阻值，不可
能使电源的输出电流达到2 A，D 错误．
12.如图所示，电源电动势E＝2 V，内阻r＝1 Ω，电阻R0＝2 Ω，滑动变阻器的阻值范围为
0～10 Ω.求滑动变阻器的阻值为多大时，R 上消耗的功率最大，最大值为多少？
答案 Ω W
解析 方法一 由公式PR＝，根据闭合电路的欧姆定律，路端电压U＝E·＝，所以PR＝，
代入数据整理得PR＝ W，当R＝ Ω 时，R 上消耗的功率最大，PRmax＝ W.
方法二 采用等效电源法分析，把电阻R0等效到电源的内部，即把电源和电阻R0看作等效
电源，即电动势为E′＝E、内阻为r′＝的电源，当R＝r′＝时，电源对外电路R 的输出
功率最大，为PRmax＝.把数值代入各式得E′＝E＝ V，r′＝＝ Ω，所以R＝ Ω，PRmax＝
＝ W.
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13.(多选)如图，三个电阻R1、R2、R3的阻值均为R，电源的内阻r<R，c 为滑动变阻器的中
点．闭合开关后，将滑动变阻器的滑片由c 点向a 端滑动，下列说法正确的是( )
A．R2消耗的功率变小
B．R3消耗的功率变大
C．电源输出的功率变大
D．电源内阻消耗的功率变大
答案 CD
解析 把等效电路画出，如下
设Rca＝Rx，Rcb＝R 滑－Rx，则R 外＝R＋，当Rx＝时，R 外有最大值，当滑动变阻器的滑片由
c 点向a 端滑动时，Rca减小，Rcb增大，易得R 外减小，R 总＝R 外＋r 减小，I1＝增大，故电
源内阻消耗的功率Pr＝I1
2r 增大，故D 正确；UR3＋Rcb＝UR2＋Rca＝E－I1(r＋R1)减小，I3＝减小，
故PR3＝I3
2R3减小，故B 错误；而I2＝I1－I3增大，故PR2＝I2
2R2增大，故A 错误；根据电源
输出功率与R 外的关系图可知，当R 外>r 时，R 外减小，电源输出功率增大，故C 正确．
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