文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
第26 讲 四种“类碰撞”典型模型研究
目录
01 考情解码•命题预警..........................................................................................................2
02 体系构建•思维可视..........................................................................................................3
03 核心突破•靶向攻坚..........................................................................................................5
考点一 “子弹打木块”模型 .................................................................................................5
知识点1 模型介绍及特点..........................................................................................................5
知识点2 两种情景......................................................................................................................5
知识点3 解题思路......................................................................................................................5
考向1 “子弹打木块”模型.....................................................................................................5
考点二 “滑块—木板”模型 .................................................................................................8
知识点1 模型介绍及特点..........................................................................................................8
知识点2 两种情况......................................................................................................................8
知识点3 求解方法......................................................................................................................8
考向1 “滑块—木板”模型
...........................................................................................9
考点三 “滑块—弹簧”模型 ..............................................................................................11
知识点1 模型介绍及特点.......................................................................................................11
知识点2 两个关键状态.........................................................................................................11
考向1 “滑块—弹簧”模型
..............................................................................................11
考点四 “滑块—斜(曲)面”模型 .......................................................................................13
知识点1 模型介绍及特点.......................................................................................................13
知识点2 两种情况....................................................................................................................13
考向1 “滑块—斜(曲)面”模型
...............................................................................14
04 真题溯源•考向感知.......................................................................................................16
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点
要求
考频
2025 年
2024 年
2023 年
“ 子弹打木
块”模型
综合
应用
低频
/
2024•湖北
/
“滑块—木
板”模型
综合
应用
高频
2025•浙江
2024•甘肃、2024•山东、
2024•浙江
2023•辽宁、2023•河北、
2023•山东、2023•海南
“滑块—弹
簧”模型
综合
应用
高频
2025•全国卷
2024•江苏、2024•辽宁、
2023•浙江
“滑块—斜
(曲)面”模型
综合
应用
高频
2025•浙江、
2025•全国卷
2024•山东
2023•海南
考情分析：
1.命题形式：选择题实验题计算题
2.命题分析：高考物理压轴题常将“子弹木块”“滑块木板”“弹簧滑块”“滑块曲（斜）面”四大模型
融合，形成多阶段运动过程，考查学生对运动阶段划分、物体运动状态变化的分析、临界条件判断及守恒
定律应用的能力，动量守恒与能量守恒是命题的核心工具。
3.备考建议：本讲内容备考时候，系统梳理四大模型的运动阶段、临界条件及守恒关系，强化模型建构能
力，总结共性（如“共速”是子弹木块、滑块木板的关键点；“形变量最大”是弹簧滑块核心），吃透核
心规律，拆解复杂情境为基本模块，方能以不变应万变。
4.命题情境：
①生活实践类：防弹材料测试、交通事故中车辆碰撞、车辆急刹车时货物移动；
②学习探究类：弹射装置设计、体育器材（如标枪投掷）的力学分析、货物运输中的防滑设计、滑雪
道设计、车辆下坡制动距离计算。
5.常用方法：整体法与隔离法、 守恒法、临界条件分析法、图像法、能量观点与功能关系法
复习目标：
1.会用动量观点和能量观点分析、计算子弹打木块模型和“滑块—木板”模型有关问题。
2.会用
量
点和能量
点分析
算
动
观
观
计
“滑块—弹簧”模型有关问题。
3.理解“滑块—斜(曲)面”模型与碰撞的相似性，并会用碰撞的相关知
解决
。
识
题
实际问
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点一 “子弹打木块”模型
知识点1 模型介绍及特点
1．模型图示
2．模型特点
1）子弹水平打进木块的过程中，地面光滑，系统的动量守恒。
2）系统的机械能有损失，一般应用能量守恒定律
知识点2 两种情景
1. 子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
1）系统动量守恒:mv0=(m+M)v
2）系统能量守恒:Q=Ffd=1
2mv0
2－1
2(M+m)v2
2. 子弹穿透木块，两者速度不相等，机械能有损失
1）系统动量守恒:mv0=mv1+Mv2
2）系统能量守恒:Q=FfL=1
2mv0
2－(
1
2 M v2
2+ 1
2 m v1
2)
知识点3 解题思路
三个角度求解子弹打木块过程中损失的机械能
1. 利用系统前、后的机械能之差求解。
2. 利用Q=Ffx 相对求解。
3. 利用打击过程中子弹克服阻力做的功与阻力对木块做的功的差值进行求解。
考向1 “子弹打木块”模型
例1 （2025·河南信阳·模拟预测）如图，在光滑水平面上静置一质量为M、长为L 的木块，质量为m 的子
弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力恒定，大小为
，改变子弹的初速度大小
，则
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（ ）
A．
越大，木块的末速度就越大
B．
越大，子弹与木块损失的总动能就越多
C．
越大，子弹与木块相对运动的时间就越短
D．无论
取何值，木块的末速度都不可能大于
【答案】D
【详解】A．若子弹能穿过木块，子弹的初速度
越大 ，子弹穿过木块的时间越短，规定向右为正方
向，对木块，由动量定理得
可知
越大，木块的末速度就越小，故A 错误；
B．若子弹能穿过木块，根据功能关系，可知子弹与木块损失的总动能为系统产生的热量，故子弹与木
块损失的总动能
故
越大，子弹与木块损失的总动能不变，故B 错误；
C．若子弹能不能穿过木块，由动量守恒有
解得
对木块，由动量定理得
解得
可知
越大，子弹与木块相对运动的时间就越长，故C 错误；
D．要使木块获得的速度最大，子弹与木块相对运动的时间要最长，此时子弹刚好要击穿木板，设二者
共同速度为v，由动量守恒有
能量守恒定律得
联立解得
，故D 正确。
故选D。
【变式训练1·变角度】
（2025·江西新余·模拟预测）三个完全相同的木块A、B、C 质量均为
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
m。三者从同一高度自由下落，但木块A 在开始下落的瞬间被水平飞行的子弹击中，木块B 在下落到一半
高度时被水平飞来的子弹击中，子弹均留在木块中。则三个木块下落时间
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】木块C 做自由落体，木块A 在开始下落的瞬间被子弹射中，并留在其中，木块A 与子弹一起
做平抛运动，A、C 在竖直方向上都做自由落体运动，且下落高度相同，由
可知二者下落的时间相同，即
木块B 下落到一半高度时被水平飞来的子弹水平射中，子弹射入时间极短，子弹和木块之间的相互作
用力远大于木块的重力，所以在竖直方向木块和子弹组成的系统动量守恒，设子弹的质量为m0，子弹
击中木块之前木块B 竖直方向的速度为vy，子弹击中木块后两者竖直方向的速度为
，取竖直向下为
正方向，则有
可得
所以子弹击中木块后，木块竖直方向的速度减小，木块落地时间延长，所以木块B 运动的时间
故选C。
【变式训练2·变角度】（2025·广西·模拟预测）如图，在有圆孔的水平支架上放置一物块，玩具子弹从圆
孔下方竖直向上击中物块中心并穿出，穿出后物块和子弹上升的最大高度分别为h 和8h。已知子弹的质量
为m，物块的质量为4m，重力加速度大小为g；在子弹和物块上升过程中，子弹所受阻力忽略不计，物块
所受阻力大小为自身重力的
。不计物块厚度的影响，则：
(1)若忽略子弹穿过物块的时间，求子弹击中物块前瞬间的速度大小；
(2)若忽略子弹穿过物块的时间，求子弹从击中物块到穿出过程中，系统损失的机械能；
(3)若子弹穿过物块时间
，求子弹对物块的平均作用力大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设子弹射穿物块后子弹和物块的速度分别为
和
，则
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
其中
子弹射穿物块的过程，以
的方向为正方向，由动量守恒定律得
解得子弹击中物块前瞬间的速度大小
（2）子弹从击中物块到射穿的过程中，系统损失的机械能
解得
（3）子弹从击中物块到射穿的过程中，以向上为正方向，对子弹由动量定理得
解得
考点二 “滑块—木板”模型
知识点1 模型介绍及特点
1．模型图示：木板M 放在光滑的水平地面上，滑块m 以速度v0滑上木板，两者间的摩擦力大小为f。
2．模型特点
1）系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能，即摩
擦生成的热量．
2）若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位移最大．
知识点2 两种情况
1. 若滑块未滑离木板，则类似于子弹打木块模型中子弹未穿出的情况。
1）系统动量守恒：mv0＝（M＋m）v；
2）系统能量守恒：Q＝f·x＝1
2mv0
2－1
2（M＋m）v2。
2. 若滑块滑离木板，则类似于子弹穿出的情况。
1）系统动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
2）系统能量守恒：Q＝fl＝1
2mv0
2－(
1
2 m v1
2＋1
2 M v2
2)。
知识点3 求解方法
1. 求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2. 求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体；
3. 求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q=Ff Δx 或Q=E初−E末，研究对象为一个系统．
考向1 “滑块—木板”模型
例2（2025·河北保定·二模）如图所示，光滑水平面上静置一长度未知的木板B，一质量与木板相同的物块
A（可视为质点）从左端以大小为v 的速度冲上木板，经过时间t 运动到木板右端且恰好不从木板上滑离。
下列说法正确的是（ ）
A．物块A 运动到木板右端时的速度大小为
B．在此过程中，物块A 运动的距离为
C．A 动量的减少量大于B 动量的增加量
D．木板B 的长度为
【答案】A
【详解】A．设物块和木板的质量均为m，物块运动到木板右端恰好未从木板上滑落，系统动量守恒，
选取滑块初速度的方向为正方向，则有
解得
即物块A 运动到木板右端时的速度大小为
，A 正确；
B．根据匀变速运动规律可知，物块A 运动的位移
，B 错误；
C．A 动量的减少量
B 动量的增加量
则A 动量的减少量等于B 动量的增加量，C 错误；
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
D．由题可知，时间木板B 的位移为
结合上述分析可得，木板B 的长度为
，D 错误。
故选A。
【变式训练3·变载体】（2025·浙江杭州·一模）如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和
滑块C，滑块B 置于A 的左端，质量分别为
。开始时C 静止，A、B 一起以
的速度匀速向右运动，A 与C 发生碰撞（时间极短）后C 向右运动，经过一段时间，A、B 再次
达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 碰撞。A、B 间动摩擦因数为0.5，则下列判断错误的是（
）
A．A 与C 碰撞后的瞬间A 的速度大小是2m/s
B．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为15J
C．碰撞后到三者相对静止，B 相对长板滑动的距离为0.6m
D．碰撞后到三者相对静止，需要时间为0.4s
【答案】B
【详解】A．因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰撞后瞬间A 的速度大小为vA，C 的速度
大小为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0=mAvA+mCvC
A 与B 在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得mAvA+mBv0=（mA+mB） vAB
A、B 达到共同速度后恰好不再与C 碰撞，应满足vAB=vC
联立解得vA=2m/s，vAB=3m/s，A 正确；
B．运动过程中因摩擦而产生的热量等于A、B 相互作用的过程中损失的机械能，即
代入数据解得Q=3J，B 错误；
C．根据
解得x=0.6m
即碰撞后到三者相对静止，B 相对长板滑动的距离为0.6m，C 正确；
D．对B 由动量定理
解得∆t=0.4s，D 正确。
此题选择错误选项，故选B。
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
考点三 “滑块—弹簧”模型
知识点1 模型介绍及特点
1．模型图示：水平地面光滑，m1、m2与轻弹簧（开始处于原长）相连，m1以初速度v0运动。
2．模型特点
1）动量守恒:两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。
2）机械能守恒:系统所受的外力为零或除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。
知识点2 两个关键状态
1. 弹簧处于最长
( 或最短
) 状态
时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰
撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)
1）系统动量守恒：m1v0＝（m1＋m2）v 共；
2）系统机械能守恒：1
2m1v0
2＝1
2（m1＋m2）v共
2＋Epm。
2. 弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能无损失(相当于刚完成弹性碰撞)
1）系统动量守恒：m1v0＝m1v1＋m2v2；
2）系统机械能守恒：1
2m1v0
2＝1
2m1v1
2＋1
2m2v2
2。
考向1 “滑块—弹簧”模型
例3（2025·湖北武汉·模拟预测）光滑水平桌面上放置两个质量均为
的小球
、
，用轻弹簧连接，小
球
紧靠挡板
，如图所示，初始时弹簧处于原长。小球
以
水平向左运动并压缩弹簧，弹簧始终在弹
性限度内，在小球
开始向左运动到弹簧第二次恢复原长的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．
、
及弹簧组成的系统机械能和动量均守恒
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
B．挡板
对小球
做的功为
C．挡板
对小球
的冲量大小为
D．小球
离开挡板后，系统弹性势能最大值为
【答案】D
【详解】A．小球运动过程中系统中只有弹簧弹力做功，系统机械能守恒；由于挡板P 的弹力对小球A
有向右的冲量，因此系统动量不守恒，故A 错误；
B．从初始到小球A 将要离开挡板，小球A 一直静止，则挡板P 对小球A 不做功，小球A 离开挡板后，
挡板对小球A 的弹力为零，也不做功，所以整个过程中，挡板P 对小球A 不做功，故B 错误；
C．小球B 的动能
小球A 将要离开挡板P 时弹簧处于原长，由机械能守恒定律知此时小球B 的动能Ek=Ek0
此时小球B 的速度大小为v0，方向向右，由动量定理知挡板P 对小球A 的冲量等于系统动量的改变量，
规定向左为正方向，则
故C 错误；
D．小球A 离开挡板后，弹簧压缩至最短或拉伸到最长时系统弹性势能最大，此时A、B 速度相等，规
定向右为正方向，根据动量守恒定律有mv0=2mv
解得
对系统，由机械能守恒定律得
代入数据联立解得弹性势能的最大值为
故D 正确。
故选D。
【变式训练4·变考法】（2025·河北邯郸·二模）如图所示，质量均为m 的物块A、B 中间用一根原长为L0
的轻弹簧相连，放在光滑水平面上，开始时两物块均静止，弹簧处于原长。用一小锤敲击物块A 给其一个
水平向右的速度v0，此后A、B 向右运动，弹簧始终处于弹性限度内。下列关于弹簧的弹性势能Ep与弹簧
的长度L、形变量x 之间的关系图像可能正确的是（ ）
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】AC．A、B 和弹簧组成的系统满足动量守恒，A、B 共速时有
对A、B 及弹簧整体，由机械能守恒定律得
联立可得
故AC 错误；
BD．弹簧处于原长时弹性势能为0，故B 错误，D 正确。
故选D。
考点四 “滑块—斜(曲)面”模型
知识点1 模型介绍及特点
1．模型图示：光滑的曲面体开始时静止在水平地面上，滑块以速度v0滑上曲面体
2．模型特点
1）系统水平方向动量守恒；
2）系统的机械能守恒。
知识点2 两种情况
1. 上升到最大高度：滑块m 与斜(曲)面M 具有共同水平速度
v 共，此时滑块m 的竖直速度vy=0。
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
1）系统水平方向动量守恒：mv0＝（M＋m）v 共；
2）系统机械能守恒：1
2mv0
2＝1
2（M＋m）v共
2＋mgh，其中h 为滑块上升的最大高度，不一定等于圆
弧轨道的高度。
2. 返回最低点：滑块m 与斜(曲)面M 分离点。
1）系统水平方向动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2；
2）系统机械能守恒：1
2mv0
2＝1
2mv1
2＋1
2Mv2
2。
考向1 “滑块—斜(曲)面”模型
例4（2025·广西百色·模拟预测）如图甲所示，一质量为M 的小车静止在光滑水平地面上，其左端P 点与
平台平滑连接。小车上表面PQ 是以O 为圆心、半径为R 的四分之一圆弧轨道。质量为m 的光滑小球，以
某一水平速度冲上小车的圆弧面。若测得在水平方向上小球与小车的速度大小分别为v1、v2，画出图像如
图乙所示。已知OP 竖直，OQ 水平，水平台面高
，小球可视为质点，重力加速度为g，不计一切摩
擦。求：
(1)小球运动过程中离平台的最大高度为多少？
(2)小球在Q 点速度方向与水平方向夹角的正切值
为多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，小球和小车组成的系统在水平方向动量守恒，由图乙可知，当
时
得分速记
：
相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块m 的重力势能
得分速记
：
相当于弹性碰撞
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
，当
时
，根据系统在水平方向动量守恒有
解得
设小球在Q 点的速度为vQ，小球在Q 点时，在水平方向与小车共速，根据动量守恒定律有
解得
小球由P 点运动到最高点时，由机械能守恒定律可得
联立解得
（2）小球由P 点运动到Q 点时，由机械能守恒定律可得
联立解得
则小球此时的竖直分速度为
小球在Q 点速度方向与水平方向夹角的正切值为
【变式训练5·变角度】（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示，水平面上放置着半径为
、圆心角为
的
圆弧轨道，一个可视为质点的小球以初速度
冲上圆弧轨道。已知圆弧轨道质量
，小球质量
，重力加速度大小为
，不计一切摩擦和空气阻力，小球从圆弧轨道飞出时，速度方向恰好跟水平
方向成
角，求：
(1)圆弧的半径；
(2)小球飞出圆弧轨道时，小球和圆弧轨道的速度；
(3)若小球从圆弧轨道飞出时，圆弧向右运动的距离为
，小球在轨道上运动时间。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
【详解】（1）小球以初速度v0滑上圆弧轨道，小球与圆弧轨道产生相互作用，因此小球从滑上圆弧到
飞离圆弧的运动中，小球与圆弧轨道组成的系统在水平方向动量守恒，机械能守恒，因此小球有两个分
速度，其中v1 是相对轨道的速度，与圆弧相切，v2是随轨道运动的速度，方向水平，如图所示
由几何关系，可知
与v2成60°角，v 与v2成30°角，则
与v 成30°角，所以四边形是菱形，则有
，
由水平方向动量守恒可得
由系统机械能守恒可得
联立解得圆弧半径为
（2）由水平方向动量守恒可得
可得小球飞出时圆弧轨道的速度为
根据矢量三角形可得小球飞出圆弧轨道时速度大小为
（3）根据题意可知，小球与圆弧轨道水平方向动量守恒，则有
设小球在轨道上运动时间为t，则有
整理可得
解得
1．（2024·湖北·高考真题）（多选）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L 的木块，质
量为m 的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f 与射入初速度大小
成正比，即
（k 为已知常数）。改变子弹的初速度大小
，若木块获得的速度最大，则（ ）
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．子弹的初速度大小为
B．子弹在木块中运动的时间为
C．木块和子弹损失的总动能为
D．木块在加速过程中运动的距离为
【答案】AD
【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别
为
，则有
子弹和木块相互作用过程中合力都为
，因此子弹和物块的加速度分别为
由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为
联立上式可得
因此木块的速度最大即
取极值即可，该函数在
到无穷单调递减，
因此当
木块的速度最大，A 正确；
B．则子弹穿过木块时木块的速度为
由运动学公式
可得
故B 错误；
C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
故C 错误；
D．木块加速过程运动的距离为
故D 正确。
故选AD。
2．（2025·浙江·高考真题）如图所示，光滑水平地面上放置完全相同的两长板A 和B，滑块C（可视为质
点）置于B 的右端，三者质量均为
。A 以
的速度向右运动，B 和C 一起以
的速度向左运动，
A 和B 发生碰撞后粘在一起不再分开。已知A 和B 的长度均为0.75m，C 与A、B 间动摩擦因数均为0.5，
则（ ）
A．碰撞瞬间C 相对地面静止
B．碰撞后到三者相对静止，经历的时间为0.2s
C．碰撞后到三者相对静止，摩擦产生的热量为
D．碰撞后到三者相对静止，C 相对长板滑动的距离为0.6m
【答案】D
【详解】A．碰撞瞬间C 相对地面向左运动，选项A 错误；
B．向右为正方向，则AB 碰撞过程由动量守恒
解得v1=1m/s
方向向右；当三者共速时
可知v=0
即最终三者一起静止，可知经历的时间
选项B 错误；
C．碰撞到三者相对静止摩擦产生的热量
选项C 错误；
D．碰撞到三者相对静止由能量关系可知
可得
选项D 正确。
故选D。
3．（2024·江苏·高考真题）如图所示，物块B 分别通过轻弹簧、细线与水平面上的物体A 左右端相连，整
个系统保持静止。已知所有接触面均光滑，弹簧处于伸长状态。剪断细线后（ ）
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．弹簧恢复原长时，A 的动能达到最大
B．弹簧压缩最大时，A 的动量达到最大
C．弹簧恢复原长过程中，系统的动量增加
D．弹簧恢复原长过程中，系统的机械能增加
【答案】A
【详解】对整个系统分析可知合外力为0，A 和B 组成的系统动量守恒，得
设弹簧的初始弹性势能为
，整个系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒，当弹簧恢复原长时得
联立得
故可知弹簧恢复原长时物体A 速度最大，此时物体A 的动量最大，动能最大。对于系统来说动量一直
为零，系统机械能不变。
故选A。
4．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P 固定在水平面上，其上表面有半径为R 的
圆弧轨道。P 右端
与薄板Q 连在一起，圆弧轨道与Q 上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q 上，另一端自由。质量为m
的小球自圆弧顶端A 点上方的B 点自由下落，落到A 点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减
小至刚接触时的
时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P 和Q 的连接，Q 从静止开始向右滑动。g 为重力
加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q 的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。
(1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功；
(2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A 两点间的距离；
(3)欲使P 和Q 断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q 的质量应为多大？
(4)欲使P 和Q 断开后，Q 的最终动能最大，Q 的质量应为多大？
【答案】(1)
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(2)
，
(3)
(4)
【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为
（2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知
，其中
同时有
联立解得
，
（3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q 共速，设Q 的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定
律有
，
，其中
联立解得
（4）对Q 和小球整体根据机械能守恒可知要使Q 的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此
时弹簧刚好恢复原长；设此时Q 的质量为M′，Q 的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有
，
解得
20
