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第27 讲 四种“类碰撞”典型模型研究
目录
01 模拟基础练
【题型一】子弹打木块模型
【题型二】滑块木板模型
【题型三】滑块曲面模型
【题型四】滑块弹簧模型
02 重难创新练
【题型一】子弹打木块模型
1．如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹A、B 从木块两侧同时射入木块，最终都停在木
块内，这一过程中木块始终保持静止。若子弹A 射入的深度小于子弹B 射入的深度，则（ ）
A．子弹A 的质量一定比子弹B 的质量小
B．入射过程中子弹A 受到的阻力比子弹B 受到的阻力小
C．子弹A 在木块中运动的时间比子弹B 在木块中运动的时间短
D．子弹A 射入木块时的初动能一定比子弹B 射入木块时的初动能小
【答案】D
【详解】BC．因为木块始终静止，根据平衡条件，木块受到的两个子弹的摩擦力相等，摩擦力的作用时间
也相等，所以入射过程中子弹A 受到的阻力等于子弹B 受到的阻力，BC 错误；
D．根据动能定理得
初动能越大，射入木块越深，所以B 的初动能大，D 正确；
A．根据动量守恒定律得
1
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初动能小的质量大，所以子弹A 的质量一定比子弹B 的质量大，A 错误。
故选D。
2．如图所示，静止在光滑水平桌面上的物块A 和B 用一轻质弹簧栓接在一起，弹簧处于原长。一颗子弹
沿弹簧轴线方向射入物块A 并留在其中，射入时间极短。下列说法中正确的是（ ）
A．子弹射入物块A 的过程中，子弹和物块
的动量和机械能均守恒
B．子弹射入物块A 的过程中，子弹对物块
的力大小大于物块
对子弹的力
C．子弹射入物块A
后，两物块与子弹的动能之和等于射入物块
前子弹的动能
D．在运动过程中，弹簧最短时的系统（子弹和A、B）的机械能等于弹簧最长时系统的机械能
【答案】D
【详解】A．子弹射入物块A 的过程中，为完全非弹性碰撞动能损失最大，动能转化为内能，则子弹和物
块A 的机械能不守恒。故A 错误；
B．由牛顿第三定律可知，子弹射入物块A 的过程中，子弹对物块A 的力大小等于物块A 对子弹的力大小。
故B 错误；
C．子弹射入物块A 后，两物块与子弹的动能之和小于射入物块A 前子弹的动能，因为这过程有动能转化
为内能。故C 错误；
D．两物块运动过程中，弹簧最短时与弹簧最长时都是两物体具有共同速度时，有
弹簧最短时的系统（子弹和A、B）的机械能等于弹簧最长时系统的机械能，即
故D 正确。
故选D。
3．如图所示，劲度系数为k 的轻质弹簧一端固定，另一端连接一质量为m 的小木块放置在粗糙程度相同
的水平面上的O 点，此时弹簧长度为弹簧原长。一颗质量为
的子弹以水平速度
击中木块，木块和子
弹一起向左侧运动到A 点后向右运动，最远到达B 点，然后在O 点两侧往复运动。已知AO 之间的距离为
L，小木块与水平面的动摩擦因数为
，取重力加速度为g，下列选项正确的是（ ）
A．子弹打入小木块后，子弹和木块的共同速度为
B．小木块从开始运动到第一次回到O 点的过程中克服摩擦力做功为
2
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C．OB 间的距离为
D．小木块第一次从A 点运动到O 点的时间为
【答案】C
【详解】A．子弹打入小木块过程动量守恒，则
解得子弹和木块的共同速度为
选项A 错误；
B．小木块从开始运动到第一次回到O 点的过程中克服摩擦力做功为
选项B 错误；
C．从A 到B 由能量关系可知
解得OB 间的距离为
选项C 正确；
D．若物块与水平面之间无摩擦力，则小木块第一次从A 点运动到O 点的时间为
因物块与水平面之间存在摩擦力，则小木块第一次从A 点运动到O 点的时间不等于
，选项D 错
误。
故选C。
【题型二】滑块木板模型
4．如图所示，在光滑水平面上，有一质量为M=3kg 的薄板和质量为m=1kg 的物块，均以v=4m/s 的速度朝
相反方向运动，它们之间存在摩擦，薄板足够长，某时刻观察到物块正在做加速运动，则该时刻薄板的速
度可能是（ ）
3
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A．3.0m/s
B．2.8m/s
C．2.4m/s
D．1.8m/s
【答案】C
【详解】开始阶段，物块向右减速，薄板向左减速，系统的动量守恒，当物块的速度为零时，设此时薄板
的速度为v1。规定向左为正方向，根据动量守恒定律得
(M−m)v=Mv1
解得
v1=2.67m/s
此后物块将向左加速，薄板继续向左减速，当两者速度达到相同时，设共同速度为v2。规定向左为正方向，
由动量守恒定律得
(M−m)v=(M+m)v2
解得
v2=2m/s
两者相对静止后，一起向右做匀速直线运动。由此可知当薄板的速度满足
时，物块处于向左加速过程中。
故选C。
5．如图所示，长木板A 放在光滑的水平面上，质量为
的另一物体B 以水平速度
滑上原来
静止的长木板A 的表面。由于A、B 间存在摩擦，A、B 速度随时间的变化情况如下图所示，重力加速度
为g，则下列说法正确的是（ ）
A．木板获得的动能为2J
B．系统损失的机械能为2J
C．木板的最小长度为2m
D．A、B 间的动摩擦因数为0.2
【答案】B
【详解】A．A 和B 组成的系统动量守恒，以物体B 的初速度方向为正方向，由动量守恒定律
解得木板A 的质量
木板A 获得的动能为
A 错误；
B．系统损失的机械能
4
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B 正确；
C．0~1s 内B 的位移为
A 的位移为
则A 的最小长度为
C 错误；
Ｄ．B 的加速度大小
由牛顿第二定律
解得
D 错误。
故选B。
6．如图所示，质量为M 的小车置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m 的木块以初速度
水平地滑至车的上表面，若车表面足够长，则（ ）
A．由于车表面粗糙，小车和木块所组成的系统动量不守恒
B．车表面越粗糙，木块减少的动量越多
C．车表面越粗糙，小车增加的动量越少
D．木块的最终速度为
【答案】D
【详解】以小车和木块组成的系统为研究对象所受合外力为零，因此系统动量守恒，由于摩擦力的作用，
m 速度减小，M 速度增大，m 速度减小到最小时，M 速度达最大，最后m、M 以共同速度运动。以初速度
方向为正方向，根据动量守恒有
解得
5
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木块减少的动量为
与车表面粗糙程度无关，小车M 获得动量
与车面粗糙程度无关。
故选D。
7．如图，质量为m=1kg 的滑块（可视为质点），以初速度v0=6m/s 滑上静置于光滑水平面上质量为M=2kg
的长木板，已知滑块与长木板间的动摩擦因数μ=0.2，且滑块恰好不离开长木板，重力加速度为
g=10m/s2，关于滑块的运动下列说法正确的是（ ）
A．因存在摩擦力作用，滑块与长木板组成的系统动量不守恒
B．滑块和长木板共同速度大小为3m/s
C．长木板的长度为6m
D．滑块与长木板相对运动的时间为1.5s
【答案】C
【详解】A．因木板与地面之间不存在摩擦力作用，滑块与长木板组成的系统受合外力为零，则系统的动
量守恒，选项A 错误；
B．由动量守恒可知
解得滑块和长木板共同速度大小为
v=2m/s
选项B 错误；
C．由能量关系可知
解得长木板的长度为
l=6m
选项C 正确；
D．根据动量定理对木板
解得滑块与长木板相对运动的时间为
t=2s
选项D 错误。
故选C。
8.如图所示，质量
、上表面粗糙的长木板静止在光滑的水平面上，
时，质量m=3kg表面粗糙
的物块（可视为质点）以初速度
滑上长木板，经过时间
物块和长木板以共同速度匀速运动，
重力加速度大小为
，则（ ）
6
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A．长木板做匀加速运动的加速度大小为
B．物块与长木板之间动摩擦因数为0.1
C．长木板长度至少为6m
D．物块与长木板组成的系统损失机械能为10J
【答案】B
【详解】A．滑块与长木板系统动量守恒，则
解得共同速度
v=2m/s
长木板做匀加速运动的加速度大小为
选项A 错误；
B．对长木板有牛顿第二定律
解得物块与长木板之间动摩擦因数为
μ=0.1
选项B 正确；
C．长木板长度至少为
选项C 错误；
D．物块与长木板组成的系统损失机械能为
选项D 错误。
故选B。
【题型三】滑块曲面模型
9．如图，一带有四分之一光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上，一可视为质点、质量为m 的小球以
速度
从小车的左端水平滑上小车，与小车作用后从小车左端竖直掉下。已知圆弧轨道的半径足够大，重
力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
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A．小球和小车组成的系统动量守恒、机械能守恒
B．小车的最终速度大小为
C．小车对小球做的功为
D．小球在小车上能上升的最大高度为
【答案】D
【详解】A．小球和小车组成的系统机械能守恒，由于小球在运动过程中存在超重与失重过程，则系统的
动量不守恒，但系统水平方向的动量守恒，故A 错误；
B．由于小球与小车作用后从小车左端竖直掉下，表明小球落下时速度恰好为0，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
，
故B 错误；
C．对小球进行分析，根据动能定理有
表明小车对小球做的功为
，故C 错误；
D．小球上升到小车上的最高点时，两者速度相等，根据动量守恒定律有
根据系统机械能守恒有
结合上述解得
故D 正确。
8
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故选D。
10．如图所示，质量为m 的半圆形光滑凹槽静止放在光滑的水平面上，圆槽半径为R，一个质量为
小球
静止在凹槽的左端最高点A 处。现将小球释放，在小球第一次从A 开始经最低点B 运动到右侧最高点C 的
过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．在整个过程中，小球和凹槽组成的系统动量守恒
B．小球在从A 到B 的运动过程中一直处于失重状态
C．小球从A 到C 的过程中，凹槽先向左运动，后向右运动
D．当小球运动到C 点时，凹槽相对地面走过的路程为
【答案】D
【详解】A．小球和凹槽所组成的系统在水平方向上合外力为0，水平方向动量守恒。竖直方向合外力不为
0，竖直方向动量不守恒。故A 错误；
B．小球从A 到B 的运动过程中做圆周运动，有向心加速度，距离B 点越近，竖直向上的分加速度越大。
因此刚开始运动时处于失重状态，后处于超重状态。故B 错误；
C．小球从A 到C 的过程中，由于水平方向动量守恒，凹槽一直向左运动，在C 处运动到最左端。故C 错
误；
D．运动过程中假设小球相对地面走过的距离为
，凹槽走过距离为
，根据水平方向动量守恒，可得
由于凹槽半径为2R，则有
联立可得
故D 正确。
故选D。
11．如图所示，一个质量为M 的滑块放置在水平面上，滑块的一侧是一个四分之一圆弧
圆弧半径
。E 点与水平面相切。另有一个质量为m 的小球以v0=5 m/s的初速度水平向右从E 点冲上滑块，若
小球刚好没越过圆弧的上端，已知重力加速度大小
不计一切摩擦。则滑块与小球质量的比值
9
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为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【详解】根据题意，小球上升到滑块上端时，小球与滑块的速度相同，设为
，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
联立解得
故选C。
12．如下图所示，足够长的光滑水平面上静止一质量为3m 的弧槽，弧槽和水平面平滑连接，质量为
的
滑块（可视为质点），从距离水平面高度为
的A 点由静止沿弧槽滑下，之后被轻质弹簧反向弹出，不计
一切阻力及能量损失、重力加速的大小为g。以下的说法正确的是（ ）
A．滑块沿弧槽下滑过程中，二者组成的系统动量守恒，机械能也守恒
B．滑块滑下弧槽时的速度大小为
C．弹簧获得最大弹性势能为
D．滑块沿弧槽上升的最大高度等于h
【答案】C
【详解】A．滑块沿弧槽下滑过程中，二者组成的系统水平方向合外力为零，水平方向系统动量守恒，二
者组成的系统竖直方向合外力不为零，竖直方向系统动量不守恒，滑块沿弧槽下滑过程中，只有重力做功，
机械能守恒，故A 错误；
BC．以向右为正方向，根据系统水平方向动量守恒，有
根据系统机械能守恒有
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解得
，
弹簧获得最大弹性势能为
故B 错误，C 正确；
D．以向右为正方向，根据系统水平方向动量守恒，有
根据系统机械能守恒有
解得滑块沿弧槽上升的最大高度等于
故D 错误。
故选C。
【题型四】滑块弹簧模型
13．一水平轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B 相连接，并静止在光滑的水平面上。现使A
瞬时获得水平向右的速度3m/s，此后两物块的速度随时间变化的规律如图所示，从图像信息可得（ ）
A．在t1、t3时刻弹簧都是处于压缩状态
B．从t1到t3时刻弹簧由压缩状态恢复到原长
C．两物体的质量之比为m1:m2=1:3
D．在t2时刻A 与B 的动能之比为Ek1:Ek2=1:8
【答案】D
【详解】A．由图可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且此时系统动能最小，根据系统机械能守恒可
知，此时弹性势能最大，而t=0、t2、t4三个时刻弹簧处于原长状态，故t1弹簧处于压缩状态，t3时刻弹簧处
于伸长状态，故A 错误；
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B．结合图像，开始时m1减速，m2加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相等，系统动能最小，势能最大，
弹簧被压缩最短，然后弹簧逐渐恢复原长，m2依然加速，m1先减速为零，然后反向加速，t2时刻，弹簧恢
复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两木块均减速，当t3时刻，两木块
速度再次相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从t1到t3时刻，弹簧由压缩状态恢复原长再伸长，故B 错
误；
C．根据系统动量守恒，0~t1时刻有
，
可得
故C 错误；
D．在t2时刻A 的速度为
B 的速度为
所以，动能之比为
故D 正确。
故选D。
14．如图甲所示，质量分别为
、
的物块A 和B 静止在光滑的水平地面上，其中物块B 左端拴接一轻
弹簧，弹簧开始处于原长.给物块A 一向右的相速度
，物块A 与弹簧作用的过程中，物块A、B 的速度
，
的部分大小关系如图乙所示，弹簧始终在弹性限度内，已知
，结合图乙中的数据，下列说法
正确的是（ ）
A．物块A 的初速度
B．物块B 的质量
C．从物块A 碰到弹簧到弹簧压缩最短的过程中，弹簧给物块B 的冲量大小为0.36N·s
D．弹簧第一次恢复原长时，物块B 的速度大小为2m/s
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【答案】C
【详解】A．由图乙可得物块A 的初速度为
故A 错误；
B．根据系统动量守恒可得
由图乙可得，当
时，
，代入可得物块B 的质量为
故B 错误；
C．弹簧压缩最短时，物块A、B 速度相等，根据动量守恒可得
解得
由动量定理可得弹簧给物块B 的冲量大小为
故C 正确；
D．从接触弹簧到弹簧第一次恢复原长的过程，相当于弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒可得
，
解得
故D 错误。
故选C。
15．如图所示，物块A、B 静止于光滑水平面上，中间连接一轻弹簧，弹簧处于原长状态。B 上有一物块
C，两者可一起运动。三个物块A、B、C 的质量相同，且均可视为质点。现给A 水平向右的瞬时冲量，当
弹簧的弹性势能达到最大值时，其值为Ep；当弹簧第一次恢复原长时，立即取走C，当弹簧的弹性势能再
次达到最大值时，其值为
。则Ep和
的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设A 物体受到瞬时冲量后速度变为v，则弹簧弹性势能最大时，有
能量方面有
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当恢复原长时，有
能量方面有
当拿走C 后，到再次弹簧弹性势能最大，有
能量方面有
解得
故选B。
16．如图所示，光滑水平地面上的P、Q 两物体质量均为m，P 以速度v 向右运动，Q 静止且左端固定一轻
弹簧。当弹簧被压缩至最短时（ ）
A．P 的动量为0
B．Q 的动量达到最大值
C．P、Q 系统总动量小于mv
D．弹簧储存的弹性势能为
【答案】D
【详解】A．当弹簧被压缩至最短时，两物体速度相同，P、Q 系统所受外力为零，因此整个过程中动量守
恒
所以P 的动量为
故A 错误；
B．弹簧压缩至最短后，Q 的速度将继续变大，当弹簧恢复原长时，Q 的动量达到最大值，故B 错误；
C．P、Q 系统动量守恒，总动量为
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故C 错误；
D．根据动量守恒和能量守恒
，
解得
故D 正确。
故选D。
17．如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A 和B，放在光滑的水平面上，子弹以速度
沿水平方向击中物
体A，并嵌在其中。随后物体A（含子弹）与物体B 通过弹簧相互作用。已知子弹和物体A 的质量均为
m，物体B 的质量为2m。求：
（1）A 物体获得的最大速度；
（2）弹簧压缩量最大时B 物体的速度大小；
（3）弹簧压缩量最大时的弹性势能。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，子弹与物体
作用后，
的速度最大，根据动量守恒定律有
解得
（2）弹簧压缩量最大时，A、B 速度相等，根据动量守恒定律有
解得
（3）弹簧压缩量最大时，根据能量守恒定律有
解得
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1．一颗子弹水平射入静止在光滑水平地面上
的木块后不再穿出，木块的动能增加了8J，设子弹
射入木块的过程中子弹所受阻力恒定，下列说法正确的是（ ）
A．木块动量变化量的大小为
B．子弹对木块做的功与木块对子弹做功的代数和为0J
C．此过程产生的内能可能是10J
D．只增大木块质量，子弹射入木块后仍未穿出，则此过程中系统损失机械能不变
【答案】C
【详解】A．根据题意可得
解得木块的速度为
所以木块动量变化量的大小为
故A 错误；
B．设子弹射入木块中的深度为d，子弹水平射入木块后，未穿出，到子弹、木块相对静止，木块位移为
x，子弹所受阻力为f，则
所以
故B 错误；
C．子弹、木块运动的
图像如图所示
由于图线与横轴所围区域的面积表示物体发生的位移，由图可知
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所以
即此过程产生的内能大于8J，故C 正确；
D．只增大木块质量，子弹射入木块后仍未穿出，木块的加速度减小，
图像如图所示
由图可知，子弹射入木块的深度d 增大，产生的内能增大，系统损失的机械能增大，故D 错误。
故选C。
2．如图所示，质量均为m 的物块A、B 放在光滑的水平面上，中间用轻弹簧相连，弹簧处于原长，一颗质
量为
的子弹以水平速度
射入木块A 并留在物块中（时间极短），则下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入物块A 的过程中，子弹的动量变化量为
B．子弹射入物块A 的过程中，物块A 的动能增加量为
C．在弹簧第一次被压缩到最短的过程中，物块B 的动量大小最大值为
D．弹簧第一次压缩到最短的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为
【答案】C
【详解】A．子弹射入物块A 的过程中，子弹与物块A 组成的系统动量守恒，则有
求得
子弹动量的变化量
选项A 错误；
B．物块A 的动能增加量为
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选项B 错误；
C．当弹簧第一次压缩到最短时，物块B 的动量大小最大，则有子弹与物块A、B、弹簧组成的系统动量守
恒，则有
求得
物块B 的动量大小最大值为
选项C 正确；
D．弹簧第一次压缩到最短的过程中，弹簧具有的最大弹性势能为
选项D 错误。
故选C。
3．质量是
的子弹，以
的速度射入静止在光滑水平桌面上的木块，子弹和木块的
图像如图
所示，则（ ）
A．子弹射入木块的过程中子弹和木块系统机械能守恒
B．子弹射入木块的过程中子弹和木块系统动量不守恒
C．木块的质量为
D．木块的最短长度为
【答案】D
【详解】
A．子弹射入木块的过程中，系统克服摩擦做功，子弹和木块系统机械能不守恒，故A 错误；
B．子弹射入木块的过程中，系统合外力为零，子弹和木块系统动量守恒，故B 错误；
C．根据子弹和木块系统动量守恒
解得木块的质量为
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故C 错误；
D．
图像与坐标轴围成的面积表示位移，木块的最短长度为子弹和木块间的相对位移，即
故D 正确。
故选D。
4．如图所示，在光滑水平面上静止着两个完全相同的木块1 和木块2。一颗子弹水平射向木块1，先后射
穿两木块，子弹在木块中运动时所受阻力不变，两木块不发生碰撞。子弹射穿两木块后木块1 和木块2 的
速度大小分别为v1、v2，子弹穿过木块1 和木块2 所用的时间分别为t1、t2。不考虑子弹在竖直方向上的运
动，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】CD．设子弹的初速度为
，木块的宽度为的d，子弹做匀减速直线运动，所以子弹射穿木块1 的
速度大于木块2 的速度，根据
可知，初速度越小，减速相同距离所用的时间越长，所以
故C 正确，D 错误；
AB．子弹射穿木块1 的过程动量守恒
子弹射穿木块2 的过程动量守恒，则
解得
所以
故AB 错误。
故选C。
5．如图所示，质量为
的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数为
的轻
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弹簧，弹簧处于自然状态。质量为
的小物块以
的速度水平向右滑上木板左端，两者共速时木
板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹
簧始终处在弹性限度内，取重力加速度
。下列说法正确的是（ ）
A．木板接触弹簧前，物块与木板组成的系统机械能守恒
B．木板刚接触弹簧时的速度大小为
C．木板运动前右端距弹簧左端的距离为
D．木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量为
【答案】D
【详解】A．木板接触弹簧前，物块与木板组成的系统由于有摩擦生热，则机械能不守恒，选项A 错误；
B．由于地面光滑，则
、
组成的系统动量守恒，则有
代入数据有
选项B 错误；
C．对
受力分析有
则木板运动前右端距弹簧左端的距离有
v1
2=2a1 x1
代入数据解得
选项C 错误；
D．木板与弹簧接触以后，对
、
组成的系统有
物块的最大加速度大小为
当
时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量
x2=0.2m
选项D 正确。
故选D。
6．矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起，将其放在光滑水平面上，如图所示，质量为m 的子弹
20
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以速度v 水平射向滑块，若子弹击中上层，子弹刚好不穿出；若子弹击中下层，则子弹整个刚好嵌入，由
此可知（ ）
A．子弹射中上层时对滑块做功多
B．两次子弹对滑块做的功一样多
C．子弹射中上层系统产生热量多
D．子弹与上层之间的摩擦力较大
【答案】B
【详解】AB．根据动量守恒知道两次过程最后滑块获得的速度（最后滑块和子弹的共同速度）是相同的，
即滑块获得的动能是相同的；根据动能定理，滑块动能的增量是子弹对滑块做功的结果，所以两次子弹对
滑块做的功一样多，故A 错误、B 正确；
C．子弹嵌入下层或上层过程中，系统产生的热量都等于系统减少的动能，而减少的动能一样多（两次过
程子弹初速度相等，且滑块与子弹的末速度也相等），则系统减少的动能一样，故系统产生的热量一样多，
故C 错误；
D．根据摩擦力和相对位移的乘积等于系统动能的损失量，两次相对位移不一样，因此子弹所受阻力不一
样，子弹与下层之间相对位移比较小，所以摩擦力较大，故D 错误。
故选B。
7．如图所示，质量为m 的木块固定于轻杆的一端，轻杆的另一端固定在O 点的光滑转轴上，木块可在竖
直平面内绕O 点自由摆动。质量为m 的子弹以某一初速度从右侧水平击中静止于O 点正下方的木块且未穿
出，之后轻杆偏离竖直方向的最大偏角为
。以后的过程中，每当木块向左摆至最低点时，都有一颗同样
质量、同样速度的子弹射入木块并留在木块中。已知木块重心到O 点的距离为L，重力加速度大小为g。
若不计空气阻力及子弹射入木块的时间不考虑子弹射入后整体重心位置的改变，则当第n 颗子弹击中木块
后，n 颗子弹与木块产生的总热量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设子弹的初速度大小为
，对子弹射入木块后的上升过程，由机械能守恒定律得
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解得
由
可知
对所有子弹及木块，由动量守恒定律有
解得
由能量守恒定律可知
解得
故选B。
8．如图所示，质量为M 长为l 的长木板静止于粗糙水平面上，
时，质量为m 的物块（可视为质点）
以初速度
从左端滑到长木板上，在运动过程中物块刚好未从木板右端滑落，已知物块与木板间的摩擦因
数为
。下列说法正确的是（ ）
A．物块滑到木板最右端的速度为
B．小物块减少的动能等于木板增加的动能和木板与物块之间产生的内能之和
C．木板的动能一定小于
D．木板的动能一定大于
【答案】C
【详解】A．物块刚好未从木板右端滑落，则物块到木板右端时，恰好有共同速度，如果物块与木板组成
的系统动量守恒，则
解得
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由于水平面粗糙，木板受水平面的摩擦力，所以物块与木板组成的系统动量不守恒，故物块滑到木板最右
端的速度不为
，故A 错误；
BD．由能量守恒定律可知小物块减少的动能等于木板增加的动能、木板与物块之间产生的内能以及水平面
与木板之间产生的内能之和，木板与物块之间产生的内能
木板的动能一定小于
，故BD 错误；
C．设物块运动的位移大小
，木板运动的位移大小
，物块与木板共同速度
，物块与木板因摩擦产生
的热量
由于
故
对木板由动能定理得
则
故C 正确。
故选C。
9．如图所示为一款2023 年深受青年爱好者青睐的户外游戏的简化图，两等高的平台中间有一段长为x 的
光滑水平面，在光滑水平面上有长为d 的平板车紧靠左侧的平台，平板车的上表面与左、右平台在同一水
平线上。游戏参与者需要在左侧平台边缘给可视为质点的小木块一个初速度，让小木块滑上平板车，最后
小木块刚好滑上右侧平台，并静止在平台左边缘处视为胜利。已知小木块与平板车间的动摩擦因数为
，
平板车的质量是小木块的2 倍，当平板车碰到右侧平台时立即被锁定，重力加速度为g。要使游戏参与者
获得胜利，给小木块的初速度可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【详解】小木块滑上平板车，设小木块质量为
，初速度为
，由动量守恒定律得
小木块在平板车上达到共速小木块相对平板车滑行的距离为L，由能量守恒得
联立解得
木板碰到右侧平台侧壁停止运动，物体A 刚好减速运动停在右侧平台上，对小木块由动能定理得
联立解得
故选D。
10．如图所示，质量为3kg 的带圆弧槽的木板静置于足够大的光滑水平地面上，光滑轨道的BC 部分为半
径为R 的四分之一圆弧，CD 部分粗糙水平。质量为1kg 的小球（可视为质点）从圆弧轨道顶端B 正上方
的A 点由静止自由落下，与圆弧相切于B 点并从B 点进入圆弧。已知AB=CD=R=0.3m，取g 的大小为
10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．木板对小球先做负功再做正功
B．木板的最大速度为v=1m/s
C．两者分离时木板移动了0.45m
D．木板对地面的最大压力为40N
【答案】B
【详解】A．在弧面上，小球由于与木板之间的挤压，木板的机械能增加，小球的机械能减小，根据功能
原理，木板对小球做负功。在水平面CD 上，由于二者之间的摩擦，二者的机械能均减小，二者互相做负
功，故A 错误；
B．小球从A 到C 点的过程，对小球和木板组成的系统，由于水平方向不受外力，以向右方向为正，由水
平方向动量守恒得
由机械能守恒得
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联立解得
，
木板的最大速度为1m/s，方向向左，故B 正确；
D．在C 点，对小球根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律知，小球对木板的压力
对木板根据平衡条件有
根据牛顿第三定律有木板对地面的压力
联立代入数据得
故D 错误；
C．对整个过程，水平方向不受外力，则水平方向平均动量守恒，以向右方向为正有
又因为
联立解得
，
可知两者分离时木板移动了
，故C 错误。
故选B。
11．如图所示，在水平面上放置一个右侧面半径为
的
圆弧凹槽，凹槽质量为
，凹槽
点切线水平，
点为最高点.一个质量也为
的小球以速度
从
点冲上凹槽，重力加速度为
，不计一切摩擦，则下列
说法正确的是（ ）
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A．小球在凹槽内运动的全过程中，小球与凹槽的总动量守恒，且离开凹槽后做平抛运动
B．若
，小球恰好可到达凹槽的
点且离开凹槽后做自由落体运动
C．若
，小球最后一次离开凹槽的位置一定是
点，且离开凹糟后做自由落体运动
D．若
，小球最后一次离开凹槽的位置一定是
点，且离开凹槽后做竖直上抛运动
【答案】C
【详解】A．小球在凹槽内运动的全过程中，小球与凹槽的水平方向动量守恒，但总动量不守恒，故A 错
误；
B．若小球恰好到达
点时，由于水平方向动量守恒有
m v0=2mv
由机械能守恒
解得
故B 错误；
CD．当
时，小球从
点飞出后做斜抛运动，水平方向速度跟凹槽相同，再次返回时恰好能落到
点，故最后一次离开斜面的位置一定是
点，由水平方向动量守恒得
由机械能守恒得
解得
，
可知小球最后一次离开凹槽的位置一定是
点，且离开凹槽后做自由落体运动，故C 正确，D 错误。
故选C。
12．如图甲所示，小球A、B 的质量都是2kg，用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，球B 右侧与竖直
墙壁接触但不黏连，球C 从高为5m 的平台以6m/s 的初速度水平抛出，落地时恰好与A 相撞，碰撞瞬间竖
直方向不反弹，且与A 粘在一起不再分开，小球A 的
图像如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
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A．C 的质量为1kg
B．前2s 时间内，弹簧对B 的冲量大小为0
C．B 离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能为13.5J
D．B 离开墙壁后的最大动能为16J
【答案】D
【详解】A．C 与A 碰撞前后瞬间，C 与A 组成的系统水平方向动量守恒，由动量守恒可得
其中
，
解得C 的质量为
故A 错误；
B．弹簧对A 与C 组成的系统与对B 的作用力始终大小相等方向相反，以A、C 组成的系统为研究对象，
取向右为正方向，则前2s 时间内弹簧的弹力对A、C 组成的系统的冲量为
可知在前2s 时间内，弹簧对物块B 的冲量大小为
，故B 错误；
C．物块B 离开墙壁前，弹簧被压缩至最短时其弹性势能最大，此时A、C 组成的系统的速度减为0，根据
能量守恒可得
故C 错误；
D．当物块B 离开墙壁后弹簧先被拉伸至最长，此后弹簧恢复原长，此时物块B 的速度最大，动能最大；
在B 离开墙壁后A、B、C 及弹簧组成的系统满足动量守恒，机械能守恒，以向左为正方向，则有
其中
联立解得
，
则B 离开墙壁后的最大动能为
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故D 正确。
故选D。
13．为测试一种弹簧缓冲装置的性能，研究人员进行了如下实验：将质量均为m 的两物块A、B 轻轻放置
在光滑水平面上，给B 一个大小为v0、方向正对A 的初速度，B 和A 发生完全非弹性碰撞，用高速摄像机
拍摄得到A、B 之间的相互作用时间为t。现给A 的右侧安装上弹簧（图中未画出），再次将B 以相同的初
速度滑向A，发生碰撞，用高速摄像机拍摄得到弹簧从开始压缩到恢复原长所用时间为5t。下列说法正确
的是（ ）
A．发生完全非弹性碰撞前后，A、B 组成的系统机械能守恒
B．装上弹簧后，弹簧在碰撞过程中的最大弹性势能为
C．发生完全非弹性碰撞后，A、B 的总动能减小至初始时的
D．装上弹簧后，A 在碰撞过程中所受的平均冲击力大小减小至未安装时的
【答案】B
【详解】A．发生完全非弹性碰撞时，A、B 组成的系统机械能有损失，则系统机械能不守恒，选项A 错误；
B．装上弹簧后，弹簧在碰撞过程中当两物块共速时弹簧具有弹性势能最大，此时由动量守恒
m v0=2mv
则弹簧的最大弹性势能为
选项B 正确；
CD．发生完全非弹性碰撞后，由动量守恒
m v0=2mv
A、B 的总动能减小至初始时的
此时对物块A 由动量定理
装上弹簧后，将B 以相同的初速度滑向A 发生碰撞，到弹簧从开始压缩到恢复原长的过程中
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解得碰后A 的速度
B 的速度
则碰撞过程对A 由动量定理
解得
装上弹簧后A 在碰撞过程中所受的平均冲击力大小减小至未安装时的
，选项CD 错误。
故选B。
14．如图甲所示，在光滑水平面上，小球A 以初动量
沿直线运动，与静止的带轻质弹簧的小球B 发生
正碰，此过程中，小球A 的动量p 随时间t 变化的部分图像如图乙所示，
时刻图线的切线斜率最大，此
时纵坐标为
，
时刻纵坐标为零。已知小球A、B 的直径相同，则（ ）
A．小球A、B 的质量之比为
B．
时刻弹簧的弹性势能最大
C．小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比为
D．0~
时间内，小球B 的动量变化量为
【答案】C
【详解】B．
时刻图线的切线斜率最大，则小球A 的动量变化率最大，根据
可知小球A 的速度变化率最大，即加速度最大，根据牛顿第二定律
可知此时弹簧弹力最大，由胡克定律可知，此时弹簧形变量最大，则此时弹簧的弹性势能最大，故B 错误；
A．
时刻两小球共速，设速度大小均为v，则小球A 的质量
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根据动量守恒有
则小球B 的质量
由此可知两小球的质量之比为
故A 错误；
C．根据机械能守恒有
小球A 的初动能和弹簧最大弹性势能之比
故C 正确；
D．0~t2时间内，小球B 的动量变化量
故D 错误。
故选C。
15．如图甲，一质量为m 的物块B 用一长度为
的轻绳悬挂于P 点处，初始时其与竖直方向的夹角
，P 点正下方
处有一钉子。另一物块A 与轻质小弹簧连接，静止于光滑水平面上。现自由释放
物块B，当其运动至P 点正下方时轻绳碰到钉子后立即断裂，之后物块B 将在光滑水平面上匀速直线运动，
直至接触弹簧（假定在物块B 触地过程中机械能没有损失，轻绳在断裂后不影响物块B 的后续运动）。记
物块B 第一次与弹簧接触的时刻为
，第一次与弹簧分离的时刻为
。第一次碰撞过程中，A、B 的
图像如图乙所示。A、B 分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B 再次碰撞。
斜面倾角
，高度
，与水平面光滑连接。已知弹簧始终处于弹性限度内，且弹力大小F 与弹簧
形变量x 的关系如图丙所示，其中
、
为已知量，重力加速度记为g，
。求
（1）轻绳即将断裂时的张力T；
（2）A 的质量
；
30
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（3）B 第一次与弹簧作用过程中，弹簧的最大形变量x（用符号m、
、
、
表示）；
（4）物块A 与斜面间的动摩擦因数
的取值范围。（可用分数表示）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）设B 摆至最低点的速度为
，根据动能定理有
解得
轻绳即将断裂时，对B 受力分析有
又
解得
（2）设B 与弹簧分离时A、B 的速度分别为
、
，B 第一次与弹簧作用过程，由动量守恒得
由能量守恒得
又由图得
，联立解得
，
（3）
时弹簧具有最大弹性势能，设A、B 的速度为v，由动量守恒可得
由能量守恒可得
由丙图得
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弹簧力F 与形变量x 成线性关系，有
联立可得
（4）A 若要与B 发生二次碰撞，其不能越过斜面。若A 在斜面顶端的速度恰为0，由动能定理得
解得
所以要满足
；A 若要与B 发生二次碰撞，其除了不能越过斜面之外，其返回至水平面时速度大小必
须比B 的大。设此时A 在斜面上的最大高度为
，则
返回水平面时的速度恰为
，根据动能定理得
解得
所以要满足
；最后，A 能够从斜面上滑下必须满足条件
解得
综上可得A 与斜面间的动摩擦因数应满足
16．如图所示，细线的一端固定在
点，另一端系着质量
的小球A，
点到光滑水平面的距离
。小物
块B 位于
点正下方，小物块C 左端固定一轻质弹簧，初始时B 和C 均静止于足够长的光滑的水平面上，
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弹簧处于原长。现向左拉动小球A 使细线水平伸直，将小球A 由静止释放，当小球运动到最低点时与小物
块B 发生弹性正碰（碰撞时间极短），A、B 和C 均可视为质点，B 和C 的质量分别为
，重力加速
度为
，A、B 和C 在同一竖直面内运动，不计空气阻力。求：
（1）小球A 反弹后上升到最高点时离水平面的高度；
（2）C 的最大速度大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球A 下落过程中，根据机械能守恒得
解得
小球A 和物块B 碰撞过程中，动量守恒，动能守恒
解得
，
则碰后小球A，机械能守恒
解得
（2）当弹簧恢复原长时，物块C 达到最大速度，根据物块B、C 组成的系统动量守恒，动能守恒得
解得
17．为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD 和水平传送带平滑无缝
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连接，两半径均为
的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF 与轨道CD 和足够长的水平直轨道
FG 平滑相切连接。质量为3m 的滑块b 与质量为2m 的滑块c 用劲度系数
的轻质弹簧连接，静
置于轨道FG 上。现有质量
的滑块a 以初速度
从A 处进入，经传送带和DEF 管道后，
与FG 上的滑块b 碰撞（时间极短）。已知传送带长
，以
的速率顺时针转动，滑块a 与传
送带间的动摩擦因数
，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，重力加速度
，弹
簧的弹性势能
（x 为形变量）。求：
（1）物块a 到达D 点的速度；
（2）物块a 刚到达与
等高的E 点时对轨道的压力的大小；
（3）若a、b 两物块碰后粘在一起，则在接下来的运动中弹簧的最大压缩量。
【答案】（1）3m/s；（2）5.1N；（3）0.05m
【详解】（1）设物块a 滑上传送带后一直减速运动，根据牛顿第二定律可得
由运动学公式可得
解得
假设成立，所以物块a 到达D 点的速度为
（2）物块a 由D 到E 过程，根据动能定理可得
在E 点，有
联立解得
根据牛顿第三定律可知，物块a 刚到达与
等高的E 点时对轨道的压力的大小5.1N。
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（3）物块a 由D 到F 过程，根据动能定理可得
物块a、b 相碰，根据动量守恒可得
物块a、b、c 相互作用至弹簧压缩最大时，根据动量守恒可得
根据系统机械能守恒可得
联立解得弹簧的最大压缩量为
18．如图所示，光滑水平面上静止放置着质量为
物块，物块右侧放置一个不固定的光滑弧形滑块
（足够高），弧形滑块质量
，弧形滑块的弧面与水平面相切。水平面左侧的光滑水平地面上停着
一质量为
、长
的小车，小车上表面与水平面等高。滑块以某一初速度向右滑动冲上弧形滑块，
可达到的最大高度
。物块与小车之间的动摩擦因数
，小车质量
满足
，重
力加速度
取
。求：
（1）物块的初速度的大小；
（2）物块刚滑上小车时速度的大小；
（3）物块在小车上滑动过程中产生的热量（计算结果可含有
）。
【答案】（1）6m/s；（2）2m/s；（3）见解析
【详解】（1）物块冲上弧形滑块
根据机械能守恒定律有
解得
（2）对物块滑离弧形滑块时，物块和弧形滑块速度分别为
、
，由水平方向动量守恒可知
根据机械能守恒定律有
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解得
物块的速度
物块刚滑上小车时速度的大小为2m/s。
（3）物块滑上小车，若物块没有滑离小车，对物块与小车，根据动量守恒定律有
令相对位移为
，则有
解得
可知，当小车质量
增大时，相对位移
增大，当
时，解得
可知，当
时，物块滑离小车，相对位移为
，则有
当
时，物块没有滑离小车，则有
解得
19．如图所示，质量为4m、半径为R 的光滑四分之一圆弧体A 静止在足够大的光滑水平面上，水平面刚
好与圆弧面的最底端相切，轻弹簧放在光滑水平面上，左端固定在竖直固定挡板上，用外力使质量为m 的
小球B 压缩弹簧（B 与弹簧不连接），由静止释放小球，小球被弹开后运动到圆弧体的最高点时，恰好
与圆弧体相对静止，不计小球的大小，重力加速度为g。求：
（1）弹簧具有的最大弹性势能；
（2）小球B 第一次滚上圆弧面的一瞬间对圆弧面的压力大小；
（3）小球B 第二次滚上圆弧面后，上升的最大高度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
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【详解】（1）设弹簧开始具有的最大弹性势能为 Ep，设小球被弹开后速度大小为v0，滚上圆弧面最高点
后速度大小为v1，根据能量守恒有
根据动量守恒
解得
（2）由（1）可解得
小球B 第一次滚上圆弧面的一瞬间
解得
根据牛顿第三定律可知，小球对圆弧面的压力大小
（3）设小球第一次离开圆弧面时，小球的速度大小为v2、圆弧体的速度大小为v3，根据动量守恒有
根据能量守恒有
从小球第二次滚上圆弧面到上升到最高点过程中，设上升到最高点时共同速度为v4，上升的最大高度为
h，根据动量守恒有
根据能量守恒有
解得
20．如图所示，光滑的
圆弧槽B 静止在光滑水平面上，圆弧槽的最低点与光滑水平面相切，其半径为
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R。在水平面上有一质量为m 的小球C 处于静止状态，其左边连接着轻质弹簧。现将一质量也为m 的小球
A 从圆弧槽最高点由静止释放，小球A 和小球C 均可视为质点，圆弧槽质量
，重力加速度为g，不
计一切摩擦和空气阻力，求：
（1）圆弧槽B 的最终速度大小；
（2）弹簧的最大弹性势能；
（3）小球C 的最终速度大小。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【详解】（1）小球A 沿着圆弧槽下滑过程中，水平方向动量守恒有
根据机械能守恒有
解得
，
（2）在小球A 压缩弹簧的过程中，当两球速度相等时，弹簧具有的弹性势能最大，
根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
（3）当弹簧再次恢复原长时两球分离，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得
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21．如图所示，质量为
的小车静止在光滑的水平地面上，小车AB 段是半径为R（R 未知）的四分
之一光滑圆弧轨道，BC 段是长为L（L 未知）的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B 点。一质量为m=3kg
的滑块在小车上的B 点以v0=5 m/s的初速度开始向左运动，滑块恰好到达圆弧的顶端A 点，然后滑入BC
轨道，最后恰好停在C 点。若滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为
，重力加速度为g 取
。
（1）求圆弧的半径；
（2）求小车BC 段的长度；
（3）若滑块在小车光滑圆弧轨道上运动的时间为
，求该过程中滑块对小车做的功和滑块对小车弹
力冲量的大小和方向。
【答案】（1）
；（2）
；（3）36J，
，方向斜向左下方，与竖直方向成
角
【详解】（1）滑块在最高点A 时与小车相对静止，自B 滑至最高点A 过程中水平方向动量守恒定律
滑块与小车组成系统机械能守恒
解得圆弧的半径为
（2）滑块最后恰好停在C 点，说明滑块在C 点时与小车共速，小车自B 点开始至C 点过程中，水平方向
动量守恒
由系统能量守恒定律
解得小车BC 段的长度为
（3）滑块自B 上升至返回B 过程中，水平方向动量守恒
滑块与小车组成的系统机械能守恒
联立解得
，
对小车由动能定理
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解得该过程中滑块对小车做的功为
该过程对滑块由动量定理，竖直方向有
解得
方向竖直向上；水平方向有
解得
方向水平向右，故小车对滑块弹力冲量的大小为
方向斜向右上方，与竖直方向成
角，由于小车对滑块的弹力与滑块对小车的弹力是一对相互作用力，
则滑块对小车弹力冲量的大小为
，方向斜向左下方，与竖直方向成
角。
22．如图，左端固定在墙壁上的水平轻质弹簧，处于自然状态时另一端在光滑水平台面右端；质量为3m
的小车静置于光滑的水平面上且紧靠平台，其左侧a 端与台面等高，小车的上表面由长度为R 的粗糙水平
面ab 和半径为R 的四分之一圆弧形光滑轨道bc 组成。质量为m 的小物块P（与弹簧不栓接）在外力作用
下将弹簧压缩至某一位置，由静止释放后从a 端以大小为
（g 为重力加速度大小）的速度滑上小车，
恰好能到达顶端c。
（1）求由静止释放时弹簧的弹性势能
；
（2）求P 与ab 间的动摩擦因数
；
（3）请通过计算判断P 是否会滑离小车？
【答案】（1）
；（2）
；（3）P 会滑离小车
【详解】（1）令弹簧恢复原长时，P 的速度为
，根据系统能量守恒有
其中
解得
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（2）P 恰好到达顶点c 时，此时P 与小车共速，设此时速度大小为v，根据水平方向动量守恒有
根据系统能量守恒
解得
（3）设小物块P 最终停在小车上，小物块在粗糙水平面ab 上的相对路程为s，由于水平方向动量守恒，可
知，此时P 与小车速度大小仍然为v，根据系统能量守恒有
解得
由于
故P 会滑离小车。
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