查漏补缺02：函数与导数（4考点+22题型）（学生版）_数学_专项复习_2025年_2025年高考数学重难点讲义专练（新高考通用）

查漏补缺 02：函数与导数
考点一：函数的概念与性质
知识点1 函数的有关概念
1、函数的三要素：
（1）在函数 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；
（2）与 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。显然，值域是集合B
的子集．（3）函数的对应关系： .
2、相等函数与分段函数
（1）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
（2）分段函数：在函数定义域内，对于自变量 取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称
为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部
分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。
知识点2 函数的单调性
1、单调函数的定义
x ,x
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 1 2，
x <x f (x )<f (x )
当 1 2时，都有 1 2 ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递增函数。
x <x f (x )>f (x )
当 1 2时，都有 1 2 ，那么就说函数f(x)在区间D上是单调递减函数。
2、函数的单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D
叫做y＝f(x)的单调区间．
3、函数单调性的性质
f (x) g(x)
若函数 与 在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
f (x) f (x)+C
（1） 与 （C为常数）具有相同的单调性.
f (x) −f (x)
（2） 与 的单调性相反.
（3）当
a>0
时，
af(x)
与
f (x)
单调性相同；当
a<0
时，
af(x)
与
f (x)
单调性相反.
f (x) f (x) √f (x)
（4）若 ≥0，则 与 具有相同的单调性.
a
（5）若
f (x)
恒为正值或恒为负值，则当
a>0
时，
f (x)
与
f (x)
具有相反的单调性；
a
当
a<0
时，
f (x)
与
f (x)
具有相同的单调性.
f (x) g(x)
（6） 与 的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+↗=↗;（2）↘+↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点3 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个x，都
偶函数 关于y轴对称
有 ，那么函数f(x)是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都
奇函数 关于原点对称
有 ，那么函数 是奇函数
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1） 为奇函数⇔ 的图象关于原点对称； 为偶函数⇔ 的图象关于y轴对称．
（2）如果函数 是偶函数，那么 ．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 ，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的
非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于
原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点4 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那
么就称函数 为周期函数，称T为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
知识点5 函数的对称性
1、关于线对称
若函数 满足 ，则函数 关于直线 对称，特别地，当a＝b＝0时，
函数 关于y轴对称，此时函数 是偶函数．
2、关于点对称
f 2ax2b f x
若函数 满足 ，则函数 关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0
时， ，则函数 关于原点对称，此时函数 是奇函数．
【题型1 求函数的定义域】
求函数定义域的依据：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围
1、分式的分母不能为零.n x (其中n2k,kN) x0,
2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即 中
n x (其中n2k1,kN) xR
奇次方根的被开方数取全体实数，即 中， .
3、零次幂的底数不能为零，即x0
中
x0
.
4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交
集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连
接。
1．（24-25高三上·山东·月考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·全国·开学考试）下列集合中，与集合 不相等的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三下·辽宁·月考）已知 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·江苏·合格测试）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 求函数的值域】
求函数值域的七种方法
1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．
2、图象法：作出函数图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结
合．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.
4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元t代替，将解析式化归
为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．
5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，
axb ax2 bxe
y  y 
形如 cxd 或 cxd （a，c至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法
ax2 bxc
y 
dx2 ex f
6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：
将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应用
判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。另外，此种形式还可使用分离常数
法解法。
7、导数法：对可导函数 求导，令 ，求出极值点，判断函数的单调性：
如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；
如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。
1．（24-25高三上·山东菏泽·月考）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数 ，则 的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（24-25高三上·甘肃酒泉·期末）已知函数 的值域为 ， ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【题型3 函数的单调性及应用】
判断函数单调性(单调区间）的常用方法
①定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得出结论。
②图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可以作出，可由图象的升、降判断它的单调性或
写出单调区间。
③复合函数法：根据“同增异减”判断，即内、外层函数的单调性相同时，为增函数，内、外层函数的单
调性不同时，为减函数。
④导数法：先求导，再利用导数的正负，确定函数的单调性(单调区间）。
⑤性质法：a.在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增一减=增，减一增=减
1．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数 的单调递增区间是 ．
2．（24-25高三下·河北衡水·开学考试）已知函数 ，则不等式 的解
集为 ．
3．（24-25高三下·湖北荆州·月考）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·辽宁大连·期末）已知函数 ，若对任意的 ，都有
，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型4 函数的奇偶性及应用】
1、求函数值或函数解析式：利用奇偶性将所求值对应的自变量转化到已知解析式的区间，代入已知的解
析式，然后利用函数的奇偶性求解即可.
2、求参数：由定义或定义的等价关系式 (奇函数)与 (偶函数)得到恒等式，再利用系数相等构造方程(组)求解.
1．（24-25高三下·河南信阳·开学考试）已知函数 ，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·四川巴中·一模）若函数 为奇函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．无解
3．（24-25高三下·福建泉州·一模）已知函数 ，若 ，
则 的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．5
4．（24-25高三下·广东广州·月考）已知 为奇函数，当 时， ，则
．
【题型5 函数的周期性与对称性应用】
a
函数周期性的常用结论及应用（ 是不为0的常数）
f xa f x f xa f xa
T a T 2a
（1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ；
1
f xa
f xaf x f x
T 2a T 2a
（3）若 ，则 ； （4）若 ，则 ；
1
f xa
f x f xa f xb T  ab
T 2a a b
（5）若 ，则 ； （6）若 ，则 （ ）
1．（24-25高三上·安徽安庆·月考）已知函数 是定义域为 的奇函数，满足 ，
若 ，则 ．
2．（24-25高三下·湖南·月考）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， .则 （ ）A． B． C． D．
3．（24-25高三下·广东深圳·月考）（多选）函数 ， 的定义域均为 ，且对任意 均
满足 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）（多选）已知函数 的图象关于点 对称，函数
的图象关于直线 对称，则下列说法正确的为（ ）
A．4是 的一个周期 B． 是偶函数
C． D．
【题型6 抽象函数的性质应用】
1、抽象函数的赋值法：赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：
（1）……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；
（2）通过 的变换判定单调性；
（3）令式子中出现 及 判定抽象函数的奇偶性；
（4）换 为 确定周期性.
2、判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
f (x+y)=⋯
** 错误的表达式 **若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
f (x )−f (x )=f ((x −x )+x )−f (x ) f (x )−f (x )=f (x )−f ((x −x )+x )
2 1 2 1 1 1 或 2 1 2 1 2 2 ;
f (xy)=⋯
** 错误的表达式 **若给出的是“积型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
x x
( ) ( )
f (x )−f (x )=f x ⋅ 2 −f (x ) f (x )−f (x )=f (x )−f x ⋅ 1
2 1 1 x 1 2 1 2 2 x
1 或 2 .
1．（24-25高三下·青海海南·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，，则 ．
2．（24-25高三下·黑龙江吉林·模拟预测）（多选）已知函数 的定义域为 ，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． 是偶函数
3．（24-25高三下·海南·三模）（多选）已知函数 的定义域为R，且 ，若
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是奇函数
C． D．若 ，则
4．（24-25高三上·江苏·期末）（多选）定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C． 在 上单调递减
D．不等式 的解集为
考点二：指数、对数、幂函数
知识点1 指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中指数x是
自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、指数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图象在 轴的上方，过定点
图像特征
当 逐渐增大时，图象逐渐上升 当 逐渐增大时，图象逐渐下降
定义域 R
值域 (0,+∞)
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
性质
奇偶性 非奇非偶函数
当 时， ； 当 时， ；
范围
当 时， ； 当 时， ；
3、指数函数的常用技巧
（1）当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情况讨论；
（2）指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数（1） ；（2） ；（3） ；（4） 的图
象，
底数 与1的之间的大小关系为 ；
规律：在 轴右（左）侧图象越高（低），其底数越大。
（3）指数函数 与 的图象关于 轴对称。
知识点2 对数函数及其性质
1、对数函数的概念
（1）定义：函数 （ ，且 ）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为 ．
（2）特殊的对数函数
y=lgx
①常用对数函数：以10为底的对数函数 .
y=lnx
②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数 .
2、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
性质 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＞0 当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数
3、对数函数图象的常用结论
y=log x
（1）函数y＝log x与 1 的图象x轴对称；
a
a
（2）对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，
故0＜c＜d＜1＜a＜b.
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
知识点3 幂函数及其性质
1、幂函数的定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
（1）幂函数的特征：xα的系数是1；xα的底数x是自变量；xα的指数α为常数．
只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．
1
（2）幂函数的图象：同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，
y=x2
的图象(如图)．
2、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；
（3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点
时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；
（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．
【题型1 指对幂代数式的化简求值】
指数幂运算的一般原则
（1）指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；
（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；
（3）底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；
（4）运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。1．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）若 ，则 ．
2．（24-25高三上·安徽淮南·月考）若 ， ，则用 、 表示 .
3．（24-25高三上·重庆·月考）计算： ．
4．（24-25高三下·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 指数函数的图象与性质】
1、指数函数的图象需要注意以下几个特征：
（1）指数函数的图象所过的关键点为 ， ， ；
（2）函数图象与坐标轴的交点位置；
（3）函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。
2、指数型复合函数的值域
y  f(ax) a 0 a 1
（1）形如 （ ，且 ）的函数求值域
ax t f(t) t
换元法：令 ，将求原函数的值域转化为求 的值域，但要注意“新元 ”的范围
y
afx
a 0 a 1
（2）形如 （ ，且 ）的函数求值域
 f x  f x y a y afx
换元法：令 ，先求出 的值域，再利用 的单调性求出 的值域。
1．（24-25高三上·山东·月考）函数 的图象恒过的定点是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·内蒙古·月考）函数 ，且 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·内蒙古·月考）设 ， ，那么 是（ ）
A．奇函数且在 上是增函数 B．偶函数且在 上是减函数
C．奇函数且在 上是减函数 D．偶函数且在 上是增函数
4．24-25高三上·辽宁·月考）已知函数 且 在区间 上单调递增，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 对数函数的图象与性质】
1、对数函数图象的识别及应用方法
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高
点、最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
2、对数型复合函数的值域
y  f(log x) a 0 a 1
（1）形如 a （ ，且 ）的函数求值域
log xt log xt y  f t y  f t
换元法：令 a ，先求出 a 的值域，再利用 的单调性，再求出 的值域。
y log f x
（2）形如 a （
a 0
，且
a 1
）的函数的值域
 f x  f x y log  y log f x
换元法：令 ，先求出 的值域，再利用 a 的单调性，求出 a 的值
域。
1．（24-25高三上·河北·月考）已知函数 且 的图象过定点 ，则点 的坐标为 .
2．（24-25高三下·湖南·月考）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
.
3．（24-25高三下·陕西宝鸡·二模）若函数 为奇函数，则
（ ）
A． B． C．8 D．16
4．（24-25高三下·安徽·一模）若函数 是减函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【题型4 幂函数的图象与性质】
对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即 x=1,y=1,y=x所分区域.根
据a<0，0<a<1，a=1，a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
1．（24-25高三上·河南濮阳·月考）当 时，幂函数 为减函数，则实数m的
值为 ．
2．（24-25高三上·广东潮州·月考）已知函数 ， ，则“ ”是“ 是增函数”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高三上·湖南邵阳·月考）在同一坐标系内，函数 和 的图象可能是
（ ）A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·江西新余·月考）已知幂函数 的图象过点 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 定义域为
【题型5 指对幂函数比较大小】
指对幂比较大小的常见方法
1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数
值，然后利用该函数的单调性比较；
2、作差法、作商法：
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；
3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函
数的性质比较大小；
4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
5、构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”
规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一
些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
1．（24-25高三下·陕西宝鸡·二模）若 ， ，则实数 、 、 的大小顺序为
（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·天津·月考）已知 则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·广东广州·模拟预测）已知 ， .设 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·辽宁·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【题型6 指对幂函数综合应用】
1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知 为实数，函数 ，其中
.
(1)若函数 是偶函数，求实数 的值；
(2)设 ，当 时，函数 的值域为 ，若 的最小值为 ，求实数 的值.2．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知幂函数 的图象经过点 .
(1)求 的解析式.
(2)设函数 .
①判断 的奇偶性；
②判断 在 上的单调性，并用定义加以证明.
3．（24-25高三上·山东德州·模拟测试）已知定义域为 的函数 是奇函数．
(1)求 的值；
(2)判断函数 在 上的单调性，并证明你的结论；
(3)若 ，使 成立，求实数 的取值范围．
4．（24-25高三上·山东济南·模拟测试）已知函数 为常数，函数 .
(1)若 为奇函数，求 的值.
(2)若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围.(3)在第(1)问的条件下，当 时， ，函数 在区间 上的值域为
，求实数 的取值范围.
考点三：函数与方程
知识点1 函数零点与方程的解
1、函数零点的定义
（1）函数零点的概念：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
（2）函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
【注意】函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是交点的横坐标，
也就是说函数的零点不是一个点，而是一个数．
2、函数零点存在定理
（1）定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，
那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，
这个c也就是方程f(x)＝0的根．
（2）两个重要推论
推论1：函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线， ，且 具有单调性，
则函数 在区间 内只有一个零点.
推论2：函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，函数 在区间 内有零点，且
函数 具有单调性，则
知识点2 二分法
1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零
点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2、求二分法的步骤
给定精确度 ，用二分法求函数 零点 的近似值的步骤
①确定零点 的初始区间 ，验证
②求区间 的中点③计算 ，进一步确定零点所在的区间：
若 （此时 ），则 就是函数的零点；
若 （此时 ），则令 ；
若 （此时 ），则令 .
④判断是否达到精确度 ：若 ，则得到零点近似值 （或 ）；否则重复（2）~（4）
【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点.
【题型1 函数零点所在区间问题】
函数零点定理是指如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 ，
那么函数 在区间 内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点
又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为
力。
1．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·重庆·月考）函数 的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东惠州·模拟预测）已知函数 ，那么在下列区间中含有函数 零点
的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·广西·月考）设函数 ，满足 .若函数
存在零点 ，则（ ）
A． B． C． D．【题型2 函数零点个数的判断】
函数零点个数的判断方法
1、直接法：直接求零点，令 ，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.
2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ，结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
3、图象法：
（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个数
就是函数 的零点个数；
（2）两个函数图象：将函数 拆成两个函数 和 的差，根据 ，则
函数 的零点个数就是函数 和 的图象的交点个数
4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函
数，则只需解决在一个周期内的零点的个数
1．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知函数 ，则函数 在区间 上的零点
个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（24-25高三下·贵州黔东南·模拟预测）设函数 ，则函数 零
点的个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知函数 ，则方程 实数根的个
数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
4．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知定义域为 的函数 满足当 时，
，且对任意 都有 ，则当 时，关于 的方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型3 已知函数零点个数求参数】
已知零点个数求参数范围的方法
1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个
熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
1．（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知函数 ， ， 的零点有两个，
求m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二下·辽宁·开学考试）若函数 有两个零点，则k的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知函数 有2个实数解，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知函数 ，若函数
存在5个零点，则 （ ）A．1 B． C．1或 D．
考点四：导数及其应用
知识点1 导数的概念
1、函数y＝f(x)在x＝x 处的导数
0
一般地，称函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率＝lim为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)或y′|x
0 0 0
＝x，即f′(x)＝lim＝lim．
0 0
2、导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，y)处的切线的斜率(瞬时速度就是
0 0 0 0
位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝lim为f(x)的导函数．
知识点2 导数的运算
1、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝log x(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝
a
f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝
2、导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
知识点3 导数与函数的单调性、极值、最值
1、导数与函数单调性的关系：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内
单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减．
2、函数极值的定义
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝
0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y
＝f(x)的极小值．（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y
＝f(x)的极大值．
3、函数最值的定义
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上
单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【题型1 利用导数求曲线的切线】
1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤
 x , f x  f(x )
第一步（求斜率）：求出曲线在点 0 0 处切线的斜率 0
y f(x ) f(x )(xx )
第二步（写方程）：用点斜式 0 0 0
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
2、求曲线“过”某点处的切线方程步骤
Q  x , f x 
第一步：设切点为 0 0 ；
y  f(x) x f(x )
第二步：求出函数 在点 0处的导数 0 ；
f(x )k x f(x )
第三步：利用Q在曲线上和 0 PQ，解出 0及 0 ；
y f(x ) f(x )(xx )
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为 0 0 0 ．
1．（24-25高三下·广东深圳·模拟预测）已知函数 是奇函数，则曲线 在 处
的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三下·山东聊城·一模）曲线 在 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·广东深圳·月考）过点 作曲线 的切线 ，切点为 ，则点 的横
坐标不可能是（ ）A．2 B． C． D．
4．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点 作曲线 的切线，则切线条数最多为
（ ）
A． B． C． D．
【题型2 根据切线情况求参数】
已知f (x)，过点 ，可作曲线的 （ ）条切线问题
第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
第四步：将 代入切线方程，得： ，整理成关于 得分方程；
第五步：题意已知能作几条切线，关于 的方程就有几个实数解；
1．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数 ，若曲线 在点 处的切线与直
线 垂直，则实数 = .
2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）若直线 与曲线 相切，则 的最小值为
.
3．（24-25高三下·福建福州·模拟预测）若曲线 与曲线 相切，则 ．
4．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）若曲线 与曲线 有三条公切线，则 的取值范
围是 .
【题型3 利用导数研究函数的单调性】
对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且
导函数在此区间的任意子区间上都不恒为 0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间
上单调增（减）的充分条件。
1、导数法求函数单调区间的步骤
f x
（1）确定函数 的定义域；
fx
（2）求 （通分合并、因式分解）；
fx0
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
fx0
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2含参函数单调性讨论依据
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
3、已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x
在区间D上单调增（单减）
f(x)（0 0）
在区间D上恒成立；
（2）函数
f x
在区间D上存在单调增（单减）区间
f(x)（0 0）
在区间D上能成立；
f x f(x)
（3）已知函数 在区间D内单调 不存在变号零点
f x f(x)
（4）已知函数 在区间D内不单调 存在变号零点
1．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知函数 的图象如下图所示，则其导函数 的图象可能是
（ ）A． B．
C． D．
2．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知函数 在定义域上单调递增，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·山东聊城·一模）已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时，
，若 是增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知
(1)当 时，过原点作函数 的切线l，求切线l的方程；
(2)讨论函数 的导函数 的单调性.
【题型4 构造函数解不等式】
构造函数法解决函数问题中的常见类型
关系式为“加”型构造：f(x)g(x) f(x)g(x) [f(x)g(x)] f(x)g(x) f(x)g(x)
（1） 构造
xf '(x) f(x)0 [xf(x)]'  xf'(x) f(x)
（2） 构造
f '(x) f(x)0 [ex f(x)]' ex[f '(x) f(x)]
（3） 构造
xf '(x)nf(x)0 [xnf(x)]'  xnf '(x)nxn1f(x) xn1[xf'(x)nf(x)] x
（4） 构造 （注意 的符号）
f(x)f(x) [f(x)ex] f(x)ex f(x)ex ex[f(x)f(x)]
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
f(x) f(x)g(x) f(x)g(x)
[ ]
f(x)g(x) f(x)g(x) g(x) [g(x)]2
（6） 构造
f(x) xf '(x) f(x)
[ ]' 
（7） xf '(x) f(x)0 构造 x x2
f(x) f'(x)ex  f(x)ex f '(x) f(x)
[ ]'  
f '(x) f(x)0 ex (ex)2 ex
（8） 构造
f(x) xnf'(x)nxn1f(x) xf '(x)nf(x)
[ ]'  
xf '(x)nf(x)0 xn (xn)2 xn1 x
（9） 构造 （注意 的符号）
f(x) f(x)ex f(x)ex f(x)f(x)
[ ] 
f(x)f(x) ex [ex]2 ex
（10） 构造
1．（24-25高三上·广东潮州·月考）定义在 上的函数 的导函数为 ，当 时，
且 ，则不等式 的解集为 ．
2．（24-25高三下·山东·模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且当 时，
，则满足 的 的取值范围是 ．
3．（24-25高三上·云南德宏·期末）已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，满足
，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·四川德阳·模拟预测）设定义域为 的函数 的导函数为 .已知 ，
，若 在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．【题型5 利用导数研究函数的极值】
误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
点拨：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于 0的点，而没有对这些点左右两
侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导
数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条
件是 两侧异号。
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；
②如果由负变正，则 是极小值．
③如果在 的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
2、根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路：
根据函数 的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出 ，然后分析的根的个数：①分类
讨论法分析 的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析 的根的个数并求解参数范
围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围.
1．（24-25高三下·河北保定·开学考试）已知 的一个极值点为2，则实数 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（24-25高三下·黑龙江吉林·模拟预测）已知函数 在 处取得极小值，则
．
3．（24-25高三下·广东湛江·一模）已知函数 在区间 上存在唯一个极大值点，则m
的最大值为（ ）A． B． C． D．
4．（24-25高三下·四川成都·二模）若函数 有极值，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 利用导数研究函数的最值】
函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个
是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
1．（24-25高三下·湖北荆州·模拟预测）函数 的最小值为 .
2．（24-25高三下·甘肃兰州·一模）函数 在 上的最小值为 ．
3．（24-25高三上·江苏南通·月考）在同一平面直角坐标系中，函数 及其导函数 的图象
如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点 ，则（ ）
A．函数 的最小值为1
B．函数 的最小值为1
C．函数 的最小值为1D．函数 的最小值为1
4．（24-25高三下·四川内江·月考）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求函数 在 的最小值 .
【题型7 利用导数研究不等式成立问题】
1、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
m f x m f x
xD
（1） ， min
m f x m f x
xD
（2） ， max
m f x m f x
xD
（3） ， max
m f x m f x
xD
（4） ， min
2、双变量不等式
（1）若x a,b ，x c,d ，总有 f x gx  成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 max min
（2）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 max max
（3）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ；
1 2 1 2 min min
（4）若x a,b ，x c,d ，有 f x gx  成立，故 f x gx ．
1 2 1 2 min max
1．（24-25高三下·江西萍乡·一模）设函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数 的取值范围是 .
2．（24-25高三下·湖南岳阳·一模）已知函数 ，其导函数为 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三下·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数 ， 的导函数为 ，
且 ．
(1)求 的最值；
(2)求证： ．
4．（24-25高三下·陕西西安·二模）已知函数 ．
(1)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若是函数的极值点，求证：．