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2025 年高考数学第三次模拟考试
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
A
A
C
B
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
ACD
ABC
ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出
，再应用裂项相消法计算求和；
（2）先应用
，再结合
解得
，得出
，最后计算得出
.
【详解】（1）当
时，由
，
则
，由
，则
，
所以等差数列
的公差为
，所以
，
故
故数列
的前
项和
．.............6 分
（2）当
时，
，可得
，
当
时，
，
将
代入上式，则
，
综上所述，
．
，可得
，
又因为
，则
，
由方程
，可得
，解得
，
由
，则等差数列
的公差为3，所以
，
由
，则
．.............13 分
16．（15 分）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知
，进而解方程即可求得答案；
（2）设
，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长
，
，进而计算面积
，
，再结合已知求得
，且
再求直线在
轴上截距的范
围即可.
【详解】（1）根据题意得
解得
所以
，焦点
.
所以椭圆
的方程是：
..............4 分
（2）由题可设直线方程为：
，
，
，
，
.
由
得
,
由题知
，
，
,.............6 分
.
又点
到直线的距离
，
.............10 分
由
得
，由题知
，得
，
.
.
，
，解得：
且
,
或
，
直线在
轴上截距的取值范围是
............15 分
17．（15 分）
【答案】(1)
(2)
(3)分布列答案见解析，
【分析】（1）分析可知，甲顾客摸到个红球
个白球、或者是个红球个白球个黑球，利用组合计数
原理结合古典概型的概率公式可求得
的值；
（2）记事件
乙顾客按照方案一摸球获奖，记事件
乙顾客第二次摸到红球，求出
、
的
值，利用条件概率公式可求得
的值；
（3）分析可知随机变量
的可能取值有
、
、
、
、、
、，计算出随机变量
在不同取值下
的概率，可得出随机变量
的分布列，进而可求得
的值.
【详解】（1）若
，则甲顾客摸到个红球
个白球、或者是个红球个白球个黑球，
所以，
.............4 分
（2）记事件
乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知
，
记事件
乙顾客第二次摸到红球，则
，
，
所以，
...........9 分
（3）摸到次红球的概率为
，摸到次白球的概率为
，摸到次黑球的概率为
，
则
的可能取值有
、
、
、
、、
、，
，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
故
...........15 分
18．（17 分）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)5．
【分析】（1）先求导
，由
在
处取得极值，得
解出验证即可；
（2）设
，验证
的单调递增，即有
，即可得证；
（3）存在实数
，使得
成立，即
成立．构造函数
，即求
即可.
【详解】（1）
，
因为
在
处取得极值，
所以
，所以
，
解得
．
经验证当
时，
在
处取得极小值，符合题意，
故
．...........4 分
（2）对任意的m，
，设
，则
，
由（1）知
，则
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
，所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，即
，
故
．.............6 分9
（3）存在实数
，使得
成立，即
成立．
令
，
，则
，
，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增．
又
，
，
故存在唯一的
，使得
，即
．
当
时，
，即
，当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
，结合
，得
，
故k 的最小整数值为5．.............17 分
19．（17 分）
【答案】(1)
(2)
(3)①16；②
【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解；
（2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切圆半径，即可得表面积；法2：利用等体
积法求内切圆半径，即可得表面积；
（3）根据题意分析几何体的结构特征.①利用割补法求体积；②求相应的法向量，利用空间向量求二面
角.
【详解】（1）根据题意，平面
的法向量
，平面
的法向量
，
所以
，故
...........3 分
（2）不妨设
，在平面
内取一点
，则向量
，
取平面
的一个法向量
，
所以点
到平面
的距离为
对于
，
当
时，
表示经过
，
，
的平面在第一象限的部分.
由对称性可知
表示
，
，
这六个顶点形成的正八面体.
法1：设内切球的半径为，则即为原点
到平面
的距离，
则
.
所以内切球的表面积为
；.............9 分
法2：考虑
；
即为三个坐标平面与
围成的四面体，其四个顶点分别为
，
，
，
，
此四面体的体积为
，
由对称性知，正八面体
的体积
，
设内切球的半径为，正八面体
的表面积为
，
所以
，解得：
.
所以内切球的表面积为
；............9 分
（3）由（2）可知
所围几何体是关于平面
，
，
对称的，
其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中
、OB、
两两垂直，且
.
集合
所表示的几何图形
也关于平面
，
，
对
称，
其在第一卦限内的部分
的图形如图（1），
图1
①如图2，就是把图1 的几何图形进行分割的结果.
图2
所以
所构成的几何体
如图3 所示.
图3
法一：其中正方体
记为集合
所构成的区域.
而
构成了一个正四棱锥，且
到面
的距离为1，
所以
，
所以几何体
的体积
.
法二：从图2 可以看出，几何体
在第一卦限的部分为有公共底面
的两个三棱锥
和
.
设其体积为
.
由正方体的性质可知
面
.
因为
，
，
所以其体积
.
所以几何体
的体积
.
②由题意可知：面
方程为
，所以其法向量
，面
方程为
，其法向
量
.
所以
由图知两个相邻的面所成角为钝角.
故
相邻两个面所成角为
.............17 分
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法
得到所要求的二面角余弦值即可．
